LES OBJETS À 3 DIMENSIONS Durée suggérée: environ 1½ semaine. Date d achèvement prévue

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1 Durée suggérée: environ 1½ semaine Septembre Octobre Novembre Décembre Janvier Février Mars Avril Mai Juin Date d achèvement prévue

2 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 298

3 Aperçu du chapitre Introduction «La géométrie nous permet de décrire, d analyser et de comprendre notre monde matériel; il n est donc guère surprenant qu elle occupe une place centrale en mathématiques et qu elle demeure un point à l étude tout au long du programme des études de mathématiques à l école» (Navigating through Geometry). «Au fil de leur parcours scolaire, les élèves devraient recevoir des enseignements qui établissent des liens avec les fondements posés lors des années précédentes et en sont le prolongement. On doit constamment exiger d eux qu ils mettent en application une pensée spatiale de plus en plus complexe afin de résoudre des problèmes dans tous les domaines des mathématiques, de même que dans toutes les autres situations à l école, à la maison et dans leur vie.» (Navigating through Geometry 3-5, p. 8) À mesure que les élèves développent leur pensée mathématique et accroissent leur connaissance des caractéristiques géométriques, ils sont de plus en plus en mesure d identifier et de nommer une forme en examinant ses propriétés et en s appuyant sur un raisonnement. Par l exploration de formes tridimensionnelles, les élèves prennent conscience qu ils peuvent classer les formes selon certains attributs précis. Ils seront également encouragés à développer et à communiquer des arguments mathématiques pour expliquer des relations géométriques. On peut décrire la perception spatiale comme une intuition à l égard des formes et des relations qui existent entre celles-ci. Cette notion comprend la capacité de visualiser des formes, et ce, sous tous les angles. Bien des gens disent que la perception spatiale est quelque chose d inné, que l on possède ou non. Van de Walle et Lovin (2006) contestent : «C est absolument faux! Nous savons que quiconque a la possibilité d être exposé régulièrement à des expériences riches touchant les formes et les relations spatiales peut développer sa perception spatiale.» Processus mathématiques [C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation 299 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

4 Domaine: La forme et l espace (les objets à 3D et les figures à 2D) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 4FE4 Décrire et construire des prismes droits à base rectangulaire et des prismes droits à base triangulaire. [C, L, R, V] Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves mettent à profit leurs connaissances antérieures des polygones bidimensionnels afin d identifier et de décrire des prismes. Dans les années précédentes du primaire, les enfants ont appris à classer des formes géométriques selon leurs caractéristiques générales; ils apprennent maintenant à décrire des objets de façon plus détaillée. Ils identifient les propriétés des formes et apprennent à utiliser le bon vocabulaire mathématique pour décrire les formes. L utilisation de petites formes ou tuiles carrées pour créer des formes plus grandes constitue un bon moyen d explorer les formes. Différents critères ou consignes peuvent servir à l objectif visé de l activité. Les blocs modèles sont très utiles à cette fin, mais on peut aussi se servir d autre matériel fabriqué par des enseignants (il en existe beaucoup). Les pièces des blocs modèles sont des prismes, mais elles ont été traitées comme des formes 2D; cependant, en superposant un certain nombre de triangles ou de carrés, on obtient des exemples de différents prismes. Cette superposition aiderait les élèves à conceptualiser la nature uniforme des prismes. De plus, les élèves peuvent fabriquer des modèles simplifiés de prismes, à l aide de journaux roulés et de ruban adhésif, de pailles et de corde, ou de cure-dents et de guimauves miniatures. Les ensembles d objets à 3D vendus sur le marché contiennent habituellement divers prismes. N.B. Tous les prismes utilisés en 4 e année sont des prismes «droits». À des fins de clarté, notons qu un prisme est «droit» si ses faces forment un angle droit avec les bases (nous pouvons aussi dire : «si elles sont perpendiculaires aux bases»). Voici quelques exemples de prismes illustrant la différence entre des prismes droits et d autres prismes qui ne le sont pas : Prisme droit Prisme oblique Prisme droit à base triangulaire Prisme droit à base rectangulaire Bien qu on utilise le terme «droit» dans les résultats et les indicateurs afin de distinguer les prismes droits des autres prismes, il n est pas nécessaire que les élèves fassent de même dans leurs descriptions. À ce stade, «prisme à base rectangulaire» et «prisme à base triangulaire» suffisent. Tous les prismes ont des faces, dont deux sont habituellement appelées bases. Ces deux bases peuvent avoir la forme de n importe quel polygone. Soulignons qu à des fins de précision, le nom d un prisme se compose de plusieurs mots : le mot prisme, suivi des mots désignant la forme de ses bases par exemple, prisme à base triangulaire, prisme à base rectangulaire. Certains élèves voudront peut-être identifier d autres prismes, comme le prisme à bases hexagonales ou le prisme à bases carrées (le prisme à bases carrées appartient à la catégorie des prismes à base rectangulaire, car le carré est un rectangle). En 4 e année, l exploration porte seulement sur les prismes à base rectangulaire et les prismes à base triangulaire. PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 300

5 Résultat d apprentissage général: Décrire les propriétés d objets à 3D et de figures à 2D, et analyser les relations qui existent entre elles Stratégies d évaluation Après une étude approfondie des prismes, donnez aux élèves un organisateur graphique vierge (modèle Frayer) afin qu ils y inscrivent ce qu ils ont compris des prismes. Ressources/Notes Compas Mathématique 4 * Présentation du chapitre GE p. 7 ME p Premiers pas Décrire des colis GE p ME p * Légende GE: Guide d enseignement ME: Manuel de l élève CA : Cahier d activités 301 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

6 Domaine: La forme et l espace (les objets à 3D et les figures à 2D) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 4FE4 (Suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Il existe une séquence développementale associée à la façon dont les élèves réfléchissent et raisonnent sur le plan géométrique. En 4 e année, bon nombre d élèves commencent à développer une plus grande capacité à identifier et à nommer des objets à 3 dimensions. À mesure que la pensée géométrique se développe, les élèves remarquent d autres caractéristiques des objets tridimensionnels. Ces caractéristiques sont les composantes qui, une fois réunies, donnent à un objet sa forme les arêtes, les sommets et les faces (dont deux sont des bases). Lorsque les élèves tentent d identifier et de nommer les caractéristiques des prismes, il peut être nécessaire de faire un retour sur le vocabulaire à utiliser et d encourager les élèves à y avoir recours (en parlant, par exemple, du nombre de faces, d arêtes, de sommets ou des formes de chacune des faces ou des bases). Arête Sommet Indicateurs de rendement: 4FE4.1 Identifier et nommer des caractéristiques communes de prismes à base rectangulaire d un ensemble de tels prismes. Face Face (aussi appelée base) Un prisme à base rectangulaire a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. (Prenez note que tous les prismes à base carrée peuvent être appelés prismes à base rectangulaire, parce que le carré est un rectangle). Sommet 4FE4.2 Identifier et nommer des caractéristiques communes de prismes à base triangulaire d un ensemble de tels prismes. Face (aussi appelée base) Face Un prisme à base triangulaire a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets. Donnez à chaque élève la possibilité de manipuler des modèles concrets de formes à 3 dimensions afin qu il puisse en toucher et en compter toutes les faces, tous les sommets et toutes les arêtes. Pour bien faire comprendre aux élèves ce qu est un prisme droit à base rectangulaire, vous pouvez les répartir en groupes de deux, et distribuer à chacun des groupes plusieurs formes, qu ils pourront examiner tandis que vous donnez à haute voix des indices sur les propriétés de la forme recherchée. Par exemple, «Cette forme à 3 dimensions a 8 sommets». Continuez de donner des indices jusqu à ce que les élèves découvrent de quelle forme il s agit. Certains pourront peut-être réfléchir à une forme seulement en la visualisant, mais il vaut mieux donner à tous les élèves (ou groupes d élèves) des objets concrets pour les aider. PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 302

7 Résultat d apprentissage général: Décrire les propriétés d objets à 3D et de figures à 2D, et analyser les relations qui existent entre elles Stratégies d évaluation Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 1 Reconnaître des prismes à base rectangulaire 4FE4 GE p ME p. 380 CA p. 102 Curiosités mathématiques Former des prismes à base rectangulaire avec des cubes GE p ME p. 381 Leçon 2 Reconnaître des prismes à base triangulaire 4FE4 GE p ME p CA p. 103 À la discrétion de l enseignant, les leçons 1 et 2 peuvent être jumelées ou traitées séparément. Jeu de maths Correspondances géométriques GE p ME p PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

8 Domaine: La forme et l espace (les objets à 3D et les figures à 2D) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 4FE4 (Suite) 4FE4.3 Trier les prismes à base rectangulaire et à base triangulaire d un ensemble de prismes donné selon la forme de leurs bases. 4FE4.7 Identifier des exemples de prismes à base rectangulaire et à base triangulaire dans l environnement. Stratégies d enseignement et d apprentissage Le tri exige des élèves qu ils prêtent attention aux caractéristiques précises des objets. Donnez aux élèves un certain nombre de prismes à 3 dimensions (il peut s agir de modèles fabriqués à des fins pédagogiques ou d objets de vie de tous les jours). Demandezleur de trier les prismes selon la caractéristique : forme de la base. Faites un tableau à 2 colonnes, comme suit : Fournissez des objets à 3 dimensions (modèles fabriqués à des fins pédagogiques ou objets de la vie de tous les jours) comme des sphères, des cônes, des cylindres, des pyramides (que les élèves reconnaissent pour les avoir étudiés en 3 e année), ainsi que des prismes à base rectangulaire et des prismes à base triangulaire. Placez deux cerceaux au sol pour représenter un diagramme de Venn à grande échelle (comme celui indiqué ci-dessous). Fournissez des étiquettes aux élèves et demandez-leur de trier les objets selon les trois ensembles suivants : prismes à base triangulaire, prismes à base rectangulaire, autres. Lorsque les élèves placent leur objet dans le diagramme, demandez-leur d expliquer à la classe pourquoi ils le placent à cet endroit précis. Chasse aux formes Disposez un ensemble de prismes droits à base Prismes àbase triangulaire Autres Prism es à base rectangulaire rectangulaire sur une table (variez la composition de l ensemble en y ajoutant des prismes à base triangulaire et des prismes à base rectangulaire de différentes tailles, des cubes et des prismes orientés dans tous les sens). Demandez aux élèves de circuler dans la salle de classe ou dans l école et de trouver des objets correspondants aux formes. Demandez à certains élèves de faire part de leurs découvertes au reste de la classe. Demandez-leur en quoi l objet qu ils ont trouvé ressemble aux prismes présentés sur la table ou diffère de ceux-ci. Écoutez bien les réponses des élèves et encouragez-les à nommer les caractéristiques courantes. Pensez à leur demander ceci : - À quoi peuvent servir les prismes? [Exemples de réponse : à maintenir des choses en place/à soutenir des toits/à contenir des choses] - Pourquoi les prismes peuvent-ils être de différentes tailles et de différentes formes? [Exemples de réponse : le contenu peut déterminer la forme d un contenant/certains prismes doivent être plus gros pour être solides ou assurer un bon soutien, comme les pattes d une table/pour des raisons décoratives] la PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 304

9 Résultat d apprentissage général: Décrire les propriétés d objets à 3D et de figures à 2D, et analyser les relations qui existent entre elles Stratégies d évaluation Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Journal Donnez aux élèves deux dessins différents de prismes. Demandezleur de trouver, dans un ensemble de modèles fourni en classe, celui qui correspond à chacun. Ils doivent ensuite coller ces images dans leur journal et répondre à la question : «Quelles différences y a-t-il entre ces deux prismes?» (Pour écrire leurs descriptions, les élèves peuvent s inspirer du vocabulaire mathématique qui est affiché sur le babillard.) Présentation Devinettes Encouragez les élèves à utiliser les caractéristiques d un prisme (nombre de faces, nombre d arêtes, nombre de sommets ou forme des faces) pour le décrire. Par exemple, «J ai». Demandez aux élèves de nommer le prisme qui représente le mieux divers objets à 3 dimensions dans la vie de tous les jours. Leçon 3 Décrire des prismes 4FE4 GE p ME p CA p. 104 Curiosités mathématiques Former des prismes à base rectangulaire avec des cubes GE p ME p. 381 Cette activité peut servir à la leçon 1 ou 3. Demandez aux élèves de trier ensemble leur collection d objets à 3 dimensions en 2 groupes : prismes à base rectangulaire et prismes à base triangulaire. Posez les questions suivantes : Quelles sont les caractéristiques des formes qui font qu elles sont semblables? Qu est-ce que ces formes ont de différent? Qu est-ce qui fait un prisme à base rectangulaire un cube? Quelle sorte de prisme obtienton si on le construit à partir d une base rectangulaire? 305 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

10 Domaine: La forme et l espace (les objets à 3D et les figures à 2D) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 4FE4 (Suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Il peut être nécessaire d utiliser plusieurs formes pour construire un prisme. Une façon de représenter les formes consiste à faire des modèles concrets. Demandez aux élèves de superposer des blocs de mosaïque géométriques afin de construire un prisme comme le suivant : 4FE4.4 Construire et décrire un modèle d un prisme à base rectangulaire et d un prisme à base triangulaire à l aide de matériel concret comme des blocs ou de la pâte à modeler. Construisez des prismes avec d autres blocs de mosaïque géométriques. Demandez aux élèves quel prisme ils peuvent construire à l aide des blocs modèles qui ont le plus grand nombre de faces (prismes à base hexagonale). Demandez aux élèves de construire des prismes à base rectangulaire à l aide de cubes emboîtables : 4FE4.7 Identifier des exemples de prismes à base rectangulaire et à base triangulaire dans l environnement. Un autre type de représentation est la charpente. Il s agit d un modèle qui ne montre que les arêtes et les sommets d une figure à 3 dimensions. Mettez diverses formes à 3 dimensions à la disposition des élèves. Certains peuvent avoir besoin de toucher les arêtes et les sommets afin de pouvoir construire un squelette. La construction d un squelette aide les élèves à visualiser la forme et à en retenir les propriétés. Demandez aux élèves de construire des squelettes de prismes en utilisant du matériel comme des cure-dents et de petites boules of pâte à modeler ou des pailles avec des morceaux de curepipes. Par exemple : PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 306

11 Résultat d apprentissage général: Décrire les propriétés d objets à 3D et de figures à 2D, et analyser les relations qui existent entre elles Stratégies d évaluation Superposez des blocs géométriques de manière à construire des prismes à base rectangulaire et des prismes à base triangulaire. Décrivez leurs ressemblances et leurs différences. Demandez aux élèves de construire les charpentes de 2 pyramides différentes à base triangulaire. Demandez-leur de décrire leurs ressemblances et leurs différences. Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 4 Construire des prismes 4FE4 GE p ME p. 389 CA, p. 105 Écoutez les élèves pendant qu ils construisent des développements sur géoplan à l aide de papier quadrillé/isométrique. Parlent-ils des caractéristiques de l objet? Utilisent-ils le bon vocabulaire (les faces, les arêtes, les sommets, congruent)? Ressources supplémentaires: Big Ideas from Dr. Small, (Small 2009) pp PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

12 Domaine: La forme et l espace (les objets à 3D et les figures à 2D) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir : 4FE4 (Suite) 4FE4.6 Construire des prismes à base triangulaire à partir de leurs développements. 4FE4.5 Construire des prismes à base rectangulaire à partir de leurs développements. Stratégies d enseignement et d apprentissage L enseignant distribue aux élèves les feuilles à reproduire du développement des prismes à base rectangulaire et à base triangulaire à découper et à plier. On doit les encourager à les déplier et à observer les formes à 2 dimensions qui sont reliées pour composer chaque développement. Demandez-leur de visualiser le pliage et le dépliage. Les élèves doivent découper et assembler les développements préparés, mais à ce stade, ils doivent aussi dessiner leurs propres développements des prismes à base rectangulaire et des prismes à base triangulaire. Ils doivent également considérer les diverses possibilités de développement. Demandez aux élèves de tracer sur papier les diverses faces des différents prismes pour en faire le développement. Demandez-leur de découper le développement et de le plier pour voir s ils parviennent à construire la forme voulue. Demandez-leur de tracer ce développement sur du papier quadrillé. Dites-leur ensuite de découper l une des faces et de voir à quels endroits elle pourrait être rattachée pour faire un autre développement. Chacun de ces nouveaux développements doit être tracé sur du papier quadrillé. Dével oppements possibles d un cube Ne sont pas des développements d un cube PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE 308

13 Résultat d apprentissage général: Décrire les propriétés d objets à 3D et de figures à 2D, et analyser les relations qui existent entre elles Stratégies d évaluation Fournissez aux élèves divers développements de prismes à construire. Demandez-leur de nommer leur objet à 3 dimensions et d inscrire «face» ou «base» (selon le cas) sur chacune de ses faces. Demandez aux élèves de tracer sur papier les diverses faces des différents prismes pour en faire le développement. Demandez-leur de découper le développement et de le plier pour voir s ils parviennent à obtenir la forme voulue. Demandez-leur de tracer ce développement sur du papier quadrillé. Dites-leur ensuite de découper l une des faces et de voir à quels endroits elle pourrait être rattachée pour faire un autre développement. Chacun de ces nouveaux développements doit être tracé sur du papier quadrillé. Fournissez aux élèves un pentomino (figure à 2 dimensions constituée de 5 carrés adjacents) grâce auquel on peut obtenir, en le pliant, une boîte sans couvercle. Demandez-leur de tracer cette figure et d ajouter un autre carré pour le couvercle de la boîte. Posez la question : À combien d endroits ce carré peut-il être ajouté? (N.B. Les élèves voudront peut-être découper cette figure.) Dites aux élèves que ce diagramme fait partie du développement d un prisme à base carrée. Demandez-leur de compléter le développement en dessinant les faces manquantes. Donnez aux petits groupes d élèves un ensemble de 4 ou 5 développements de prismes rectangulaires ou triangulaires. Chaque ensemble devrait comprendre un développement permettant de construire un prisme à 3 dimensions, et 3 ou 4 autres développements qui ne le permettent pas. Demandez aux élèves d analyser les développements, sans les manipuler, afin de déterminer lequel des développements pourrait être utilisé pour créer un prisme à 3 dimensions. Demandez-leur de justifier leur choix, puis, de vérifier leurs prédictions. Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 5 Construire des prismes à l aide de développements 4FE4 GE p ME p. 390 CA, p. 106 Révision du chapitre GE p ME p Tâche du chapitre Fabriquer un cadre en 3 dimensions GE p ME p Révision cumulative Chapitres 4 à 7 GE p ME p Exerce-toi! CA p. 107 Test du chapitre GE p PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 4 e ANNÉE VERSION PROVISOIRE

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