Un régime oscillatoire est une évolution dans e temps caractérisé par une fonction périodique. dqa dt qa uc = C. uc E C = ½. C.

Transcription

1 Rappels Un régme oscllatore est une évoluton dans e temps caractérsé par une foncton pérodque. ondensateur B dq = = q = - q B dt q u = u E = ½..u 2 = 1. 2 Q 2 Bobne u bob = u L = L d + r dt E L ou E bob = ½. L. 2 D M 1- Décharge du condensateur dans une bobne 1.1 Mse en évdence expérmentale Observatons :

2 La tenson uc prend alternatvement des valeurs postves et négatves la décharge est oscllante. Toutefos uc max et uc mn ne reprennent pas la même valeur à ntervalles de temps égaux. L ampltude décroît au cours du temps : la décharge est oscllante amorte. La tenson uc s annule à des nstants séparés par des ntervalles de temps égaux la décharge est pseudo-pérodque. 1.2 Influence de l amortssement On réalse le même montage que précédemment en fasant varer la valeur de R. Pour R = 10 Ω Pour R = 100 Ω Pour R = 500 Ω

3 Lorsque R augmente, les oscllatons sont plus rapdement amortes. Pour R = 1000Ω Les oscllatons dsparassent. La tenson u décroît sans jamas changer de sgne. La décharge est apérodque. Pour R et r bob ~ 0 Ω Les oscllatons sont non amortes : le régme est pérodque. Le crcut de décharge ne comporte aucun générateur : le crcut RL est le sège d oscllatons lbres. 1.3 Interprétaton En régme pseudo-pérodque, la décharge est oscllante : l y a transfert d énerge du condensateur vers la bobne, une parte de l énerge est dsspée par effet Joule au nveau du conducteur ohmque de résstance R. Pus la bobne resttue l énerge au crcut : une parte est emmagasnée par le condensateur et une parte dsspée par effet Joule au nveau du conducteur ohmque. Et ans de sute L énerge totale ( Econdensateur + E bobne) dmnue au cours du temps. En régme apérodque : l y a transfert d énerge du condensateur vers la bobne mas la résstance du crcut est telle que toute l énerge est dsspée par effet Joule. En régme pérodque ( r = 0) : l n y a aucune perte par effet Joule. Il y a transfert ntégral de l énerge du condensateur vers la bobne pus de la bobne vers le condensateur et ans de sute.l énerge totale est alors constante. 2- Oscllatons d un crcut RL d amortssement néglgeable L amortssement d un crcut RL est dû aux pertes par effet Joule. S l amortssement est néglgeable : la résstance du crcut est néglgeable, le régme est alors pérodque Tenson aux bornes du condensateur Equaton du crcut : u + ul = 0 Or u bob = u L = L. d et = u dt M

4 D où u bob = L. u L équaton du crcut devent : u + L. u = 0 La soluton de l équaton dfférentelle est de la forme : V U (t) = Um. cos ( ω 0.t + ϕ) Phase à l orgne En rad Pulsaton propre en rad.s -1 mpltude en V Note : En classe, nous avons montré que l on peut auss consdèrer U (t) = Um. sn ( ω 0.t + ϕ) soluton de l équaton dfférentelle, auquel cas la valeur de la phase à l orgne n a pas la même valeur que s l on consdère U (t) = Um. cos ( ω 0.t + ϕ). La vérfcaton est basée sur le même prncpe et l expresson de ω 0 est rgoureusement la même. Vérfcaton : u (t) = Um. cos ( ω 0.t + ϕ) u = Um. [- ω 0. sn (ω 0.t + ϕ)] u = - ω 0 Um. [ω 0. cos ( ω 0.t + ϕ)] sot u = - ω 2 0. u que l on peut écrre : u + ω 2 0. u = 0 ou encore u + Identfcaton de ω 0 : Equaton du crcut u + Equaton dfférentelle u On dot avor, à chaque nstant : u + e qu mpose : L 1 2 = ω 0 Rappel maths : [cos ( ω 0.t + ϕ)] = - ω 0. sn (ω 0.t + ϕ) [sn ( ω 0.t + ϕ) ] = + ω 0. cos ( ω 0.t + ϕ) 1 ω02 u = 0 L 1 u = 0 + ω 2 0. u = 0 à partr de la soluton proposée En rad.s-1 L 1 u = 0 = u + ω 2 0. u c est à dre : ω 0 = L 1 L en H en F 2.2 Pérode propre des oscllatons : T0 Par défnton : ω 0. =. 2 T0 π d où T 0 = 2.π. L.

5 vec un tel dspostf on peut créer une tenson snusoïdale de pérode donc de fréquence souhatée ( en ajustant L et ). nalyse dmensonnelle [ L. ] = [ R.] x [ L/R] = [ τ R ] x [τ RL ] = [T] 2 L. est donc ben homogène à un temps 2.3. Intensté du courant Par défnton =. u Or u = Um. [- ω 0. sn (ω 0.t + ϕ)] Rappel maths : - sn α = cos ( α + π ) 2 Sot =.Um ω 0. cos (ω 0.t + ϕ+ 2 π ) D où = Im. cos (ω 0.t + ϕ+ 2 π ) L ntensté, comme la tenson aux bornes du condensateur, est une foncton snusoïdale du temps. L ntensté est en quadrature ( déphasée de 2 π ) avec la tenson u. 3- Entreten des oscllatons L amortssement des oscllatons est dû aux transferts thermques ( effet Joule, en rason de la résstance du crcut ). Pour entretenr les oscllatons, l faut compenser, en moyenne à chaque pérode, les pertes par effet Joule. Pussance dsspée par effet Joule P J = R. 2 Pussance apportée par le dspostf d entreten ( donc par une source externe d énerge = générateur, auquel on applque la conventon générateur) : dot être égale à l énerge dsspée par le crcut par effet Joule. Le dspostf d entreten dot se comporter comme «l opposé d une résstance», on parle de montage «résstance négatve». Les oscllatons entretenues sont une foncton Snusoïdale du temps de pérode t égale à la pérode propre T0 du crcut RL. Les oscllatons entretenues sont snusoïdales de pérode T = T0 pérode propre d oscllatons d un crcut RL sére d amortssement néglgeable. T = T 0 = 2.π. L. omme l énerge dsspée par transfert thermque est ompensée exactement par le dspostf d entreten alors : - l n y a pas d amortssement des oscllatons - l y a échange contnuel d énerge entre le condensateur et la bobne E totale = E condensateur + E bobne = constante.