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1 DI 3ème nnée EPUUniversité de Tours Déprtement Informtique ANALYSE NUMERIQUE Chpitre 3 Intégrtion numérique résumé du cours 1 Introduction Il s git d une mniére générle de déterminer, le mieux possible, pour l essentiel, une vleur pprochée de l intégrle u sens de Riemnn I = f(x)dx (1) où et b sont des réels. Les problèmes de qudrture (intégrtion) numérique se rencontrent lorsque l fonction f est continue mis n ps de primitive explicite connue, ou lorsque l fonction f n est donnée que pr un nombre fini de couples (x i, y i ), 1 i n. Une idée importnte consiste à utiliser les méthodes d interpoltion polynomile, puisque les primitives des fonctions polynômes sont fciles à clculer. On fréquement recours à ces techniques de qudrture numérique pour obtenir des solutions pprochées d équtions différentielles (E.D.O. et E.D.P.). Intégrtion de type interpoltion [, b] un intervlle, on note (x i ) i une subdivision ordonnée : = x 0 < x 1 <... < x n = b.1 Générlités Définition.1 Une formule d intégrtion à n + 1 points pour clculer une vleur pprochée de I est une reltion de l forme J n (f) = k=n k=0 A nk f(x k ) REMARQUE : Les coefficients A nk ne dépendent bien sûr ps de f, ils servent pour tous les clculs d intégrles reltifs à cet intervlle et à ces points de subdivision. 0 Jen Fbbri Cours d Anlyse Numérique -version 3.0 jnvier 008 1

2 Polynôme d interpoltion de Lgrnge Lorsque f est connue u moins en n + 1 points(distincts) de subdivision et est de clsse C n+1, on écrit fcilement le polynôme d interpoltion de Lgrnge P n de f et l erreur e, i=n 1 f(x) = P n (x) + e(x) = L i (x)f(x i ) + (n + 1)! L(x)f (n+1) (ζ x ) vec L i (x) = j=n j = 0 j i i=0 x x j x i x j et L(x) = 0 i n Ainsi l intégrle du polynôme de Lgrnge donne : i=n P n (x)dx = ( i=0 L i (x)dx)f(x i ) = J n (f) (x x i ) oú ζ x [, b] Définition. L formule J n (f) est une formule de qudrture de type interpoltion pour (1) On mesure l précision des qudrtures numériques à l ide des notions : Définition.3 L erreur d intégrtion est le réel E(f) = I J n (f) Une formule de qudrture est dite excte sur F s.e.v. de C 0 [, b], si g F E(g) = 0 Une formule de qudrture un degré de précision p IN si elle est excte sur l espce vectoriel des polynômes IP p (de degré p), vec E(x p+1 ) 0. Ces définitions sont reliées entre elles! Proposition.1 L erreur d intégrtion, pour une formule de type interpoltion peut se clculer en E(f) = f (n+1) (θ) b L(x)dx (n + 1)! pour un certin θ, lorsque le polynôme L reste de signe constnt sur [, b]. Théorème.1 Une formule de qudrture à n + 1 points est excte sur IP n si et seulement si elle est de type interpoltion. REMARQUE : Les énoncés ci-dessus peuvent ussi s écrire vec un poids d intégrtion µ 0 sur [, b], pour des vleurs pprochées de µ(x)f(x)dx.

3 . Qudrtures simples On retrouve les formules clssiques (FAIRE DES FIGURES!): Méthode des rectngles : on utilise l vleur de f en un seul point, voici deux exemples (b ) I = (b )f() + f (b ) (θ) = (b )f(b) + f ( θ) Méthode des trpèzes : formule de qudrture à points f() + f(b) (b )3 I = (b ) f () (ˆθ) 1 Ces formules (illustrer pr quelques figures) s obtiennent, pr exemple, pr l méthode des coefficients indéterminés (pour les coefficients A nk ), et en utilisnt l Proposition ci-dessus ou un développement de Tylor judicieux (pour l erreur)...en supposnt l régulrité déqute des fonctions f..3 Formules de Newton-Côtes Ce sont des formules de qudrture de type interpoltion vec subdivision régulière. Si les deux extrémités de l intervlle sont des points d interpoltion il s git de Newton-Côtes fermé (méthodes des trpèzes, de Simpson...) Si les deux bornes de l intervlle d intégrtion ne sont ps des points d interpoltion il s git de Newton-Côtes ouvert (méthode de Poncelet...) L régulrité de l subdivision permet d obtenir des formules qui sont très générles. Théorème. Pour une subdivision régulière en n prties de l intervlle [, b], l formule générle de Newton-Cotes fermé pour où les coefficients sont f(x)dx est : j=n I n (f) = (b ) B n,j f( + jh) vec h = b n j=0 B n,j = ()n j n (t k)dt = B n,n j j!(n j)!n 0 k j Proposition. Dns les formules de Newton-Côtes fermé de ps h = (b )/n, le degré de précision est n + 3 si n est pir n + si n est impir. CONSEQUENCE : si on le choix une formule vec un nombre impir de points (c est à dire une formule centrée ) est préférble. 3

4 .4 Noyu de Peno Pour évluer l erreur de qudrture E(f) d une méthode d ordre n, on commence pr en donner une représenttion intégrle. Définition.4 x réel de [, b], on note x (x t) + l fonction qui vut x t si ce réel est positif et 0 sinon, et E((x t) n +) l erreur de qudrture liée à s puissnce n-ième. Le noyu de Peno de l méthode de qudrture est l fonction K(t) = 1 n! E((x t)n +) Pour des fonctions ssez régulières, grce à un développement de Tylor, on montre que Théorème.3 Si f C n+1 [, b] lors E(f) = f (n+1) (t)k(t)dt EXEMPLE : Clcul de l erreur dns l formule de Simpson sur [, 1] (formule de Newton-Côtes fermé à 3 points) On I(f) = f(x)dx et pr Simpson J 3 (f) = 1 [f() + 4f(0) + f(1)] 3 Ainsi E(f) = I(f) J 3 (f), et en prticulier le noyu de Peno est K(t) = 1 6 E((x t)3 +) = 1 6 [ (x t) 3 +dx 1 3 (( t)3 + + (4( t) (1 t) 3 +)] K(t)dt intervient dns l expression de l erreur pour n importe quelle fonction de clsse C n+1...on peut donc fire pprître ce terme en rélisnt le clcul de l erreur pour l fonction prticulière φ : x x n+1 Proposition.3 Avec les hypothèses et nottions précédentes E(φ) = (n + 1)! K(t)dt C est une conséquence du précédent Théorème. Pour n = 3, on évlue donc E(φ) = E(x x 4 ). E(φ) = x 4 dx 1 3 (()4 + 4(0) 4 + (1) 4 ) = 4 15 Ce qui permet d écrire l formule de Simpson sous l forme f(x)dx = 1 3 [f() + 4f(0) + f(1)] 1 90 f (4) (ζ).5 Formules composites (générlisées) Comme pour ugmenter l précision de l qudrture pprochée on ugmente le nombre de points...les clculs se compliquent. Aussi on prtique plutôt des méthodes composites qui reposent sur l utilistion de formules simples, de degré de précision q (1, ou 3), sur des sous-intervlles réguliers de [, b] liés à une subdivision régulière de ps h (vec Nh = b ). 4

5 On note x i = + ih pour 0 i N METHODE COMPOSITE DES TRAPEZES (q = 1) I = h( 1 i=n f() + f(x i ) + 1 f(b)) + ε(n, f) () où ε(n, f) Nh3 1 mx f (x). x [,b] METHODE COMPOSITE DE SIMPSON (q = ) et N = p I = h i=p 3 (f() + 4 où E(N, f) Nh5 90 mx x [,b] f (4) (x). i=p f(x i ) + f(x i ) + f(b)) + E(N, f) (3) 3 Autres méthodes d intégrtion numérique 3.1 Formules de Guss On suppose ici f connue pour tout x [, b], on cherche s il existe un choix optiml de n points (x i ) 1 i n dns [, b] tels que, pour l fonction poids continue et positive w fixe, i=n w(x)f(x)dx = α i f(x i ) (4) pour tout polynôme f de degré inférieur ou égl à m -ce nombre étnt le plus grnd possible. Autrement dit, on recherche un bon choix des x i qui rende l formule (4) excte sur IP m (Bien sûr, m > n). L idée est d utiliser des polynômes orthogonux P k pour le produit sclire < f, g >= w(x)f(x)g(x)dx. Théorème.4 Pour tout entier n > 0 fixé, il existe n réels positifs α i et n réels x i tels que Q IP n i=n w(x)q(x)dx = α i Q(x i ) De plus le choix des x i et celui des α i est le seul possible : les x i sont les rcines du n eme polynôme orthogonl P n. L preuve se décompose en 4 prties : existence, positivité des α i, unicité et exctitude du degré de précision n 1. On utilise l interpolé de Lgrnge en les x i de Q. Les x i sont donnés à priori puisque ce sont les rcines du polynôme orthogonl P n. Selon l intervlle et le poids, on utilise les polynômes de Tchebychev, Legendre, Lguerre EXEMPLES de POLYNÔMES ORTHOGONAUX On donne ici, dns quelques cs usuels, le produit sclire qui définit l norme 5

6 hilbertienne et deux crctéristions de l suite de polynômes orthogonux ssociés dont un procédé itértif constructif (voir dtils en TD). 1)LEGENDRE : pour le produit sclire sur [, 1] défini pr: < f, g >= vec P 0 (x) = 1. f(x)g(x)dx P n (x) = 1 d n n n! dx n (x 1) n P n (x) = n 1 xp n (x) n 1 n n P n (x) )LAGUERRE : pour le produit sclire sur [0, + [ défini pr < f, g >= + e x f(x)g(x)dx 0 L n (x) = e x dn dx n (e x x n ) L n (x) = (n x 1)L n (x) (n 1) L n (x) 3)TCHEBYCHEV : pour le produit sclire sur [, 1] dfini pr : 1 < f, g >= f(x)g(x)dx 1 x ˆT n (x) = cos(n rccos x) 3. Méthode de Romberg Il s git d ppliquer à l formule des trpèzes une méthode générle d ccélértion de l convergence. Principe générl : l méthode de Richrdson On combine plusieurs développements de Tylor d une fonction v u voisinge de 0 pour déterminer u mieux v(0). EXEMPLE : Si v(h) = v(0) + c 1 h + O(h ), on ussi pour un réel r ]0, 1[ fixé (souvent r = 0.5) v(rh) = v(0) + c 1 rh + O(h ), et lors v(rh) rv(h) 1 r = v(0) + O(h ) utrement dit cette combinison linéire simple offre une meilleure vleur pprochée de v(0). Ce qui s méliore encore vec des développements d ordres plus élevés. Appliction u clcul intégrl On initilise le procédé à prtir des pproximtions T h de l intégrle de f pr l méthode composite des trpèzes () pour les ps h, h/, h/4... et de l formule d Euler-McLurin qui permet d écrire l erreur de qudrture sous l forme: Proposition.4 Si f C m+ [, b], il existe des constntes c k telles que c 0 = f(x)dx = T h + 6 k=m k=1 c k h k + O(h m+ ) (5)

7 On cherche ici une bonne v.. de c 0. (5) s écrit sous l forme T h = c 0 c h c 4 h c m h m + 0(h m+ ) On met lors en oeuvre le procédé de Richrdson vec r = 0.5. L méthode de Romberg débute pr le clcul des pproximtions intégrles de f pour les ps h, h 4, h,... que l on dispose dns une colonne. On remrque 8 que l on psse fcilement de T l à T l (où Nl = b ) en rjoutnt les imges des bscisses intermédiires situées u milieu ds intervlles de subdivision: T l = 1 [T l + M l ] où M l = l(f( + l 3l ) + f( + (N 1)l ) f( + )). Le tbleu de l méthode de Romberg s édifie à prtir de s première colonne dont les éléments sont notés : T 00 = T h, T 10 = T h... et de l récurrence ce qui donne T m,n+1 = T m,n + T m,n T m,n 4 n+1 1 T 00 T 11 T 10 T T 1 T 33 T 0 T 3 T 31 T 30 D près ce qui précède on obtient vec T 33 une vleur pprochée de I = c 0 à l précision h 8 u moins. 3.3 Intégrtion sur un intervlle infini On retient deux méthodes: ) Le clcul pproché suppose que l intégrle générlisée est convergente, on décompose donc + f(x)dx = + vec A choisi de sorte que A A f(x)dx + + A f(x)dx f(x)dx < ε... puis on utilise une des formules de qudrtures numériques vues ci-dessus dns l intervlle borné [, A] pour une précision ε. b) Dns les situtions où on connit une fmille de polynômes orthogonux (ceux de Lguerre, pr exemple pour le poids w(x) = e x sur [0, + [), on utilise les formules de Guss. 7

8 4 Intégrtions numériques spécifiques 4.1 Intégrles de fonctions non bornées Il s git d une sitution différente du cs d un intervlle non borné. L sitution type se présente vec f(x) = Φ(x) vec 0 µ < 1 sur [, b] (x ) µ lorsque Φ est borné, Φ() 0. Les conditions ci-dessus grntissent bien l existence de cette intégrle mis ps son clcul. Deux méthodes sont envisgebles : l première correspond un découpge de l intervlle en [, + η] et [ + η, b] comme dns l prtie précédente on utilise dns l méthode générlisée des trpèzes pour l prtie régulière. Une utre voie est d un emploi plus simple si l fonction Φ dmet un développement de Tylor u voisinge de Φ(x) = Σ n k=0φ k) (x )k () +... k! en notnt P n (x) ce polynôme, l écriture Φ = Φ P n + P n permet le clcul intégrl I(f) = Φ(x) b (x ) dx = Φ(x) P n (x) b P n (x) dx + µ (x ) µ (x ) dx µ et sous cette forme l dernière intégrle devient P n (x) (x ) dx = (b µ )1 µ Σ n k=0φ k) (b ) k () k!(1 + k µ) lors que l première n est ps singulière en et peut s évluer vi une méthode composite quelconque. cos x Exemple : Intégrle de Fresnel dx x 4. Intégrles multiples 0 On envisge des domines Ω de IR de bords réguliers et pour une fonction F définie sur l dhérence de Ω, le clcul pproché de F (x, y)dxdy. Un tel clcul dépend de l forme du domine et de s prmétristion. Cs simple : Ω norml pr rpport ux bscisses I = deux formules d intégrtion pprochée G(x) = Ψ(x) Φ(x) F (x, y)dy et I = G(x)dx Ω Ψ(x) Φ(x) F (x, y)dxdy on emboite et pour chcun des clculs, une méthode numérique simple. Cs des géométries polygonles : Pour un rectngle, on peut utiliser une interpoltion bidimensionnelle, obtenue pr le produit des polynômes de Lgrnge en chcune des vribles, si l fonction à intègrer est connue ux noeuds d un réseu rectngulire régulier. Pour un domine polygonl quelconque. C est importnt pour les clculs liés ux tringultions dmissibles des méthodes d éléments finis utilisées dns l résolutions pprochée d équtions ux dérivées prtielles... voir cours ultérieurs. 8