SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG)

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1 SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) STÉPHANE ATTAL PAUL-ANDRÉ MEYER Inerpréaion probabilise e exension des inégrales sochasiques non commuaives Séminaire de probabiliés (Srasbourg), ome 27 (1993), p <hp://wwwnumdamorg/iem?idsps_ _0> Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1993, ous drois réservés L accès aux archives du séminaire de probabiliés (Srasbourg) (hp://www-irma u-srasbgfr/irma/semproba/indexshml), implique l accord avec les condiions générales d uilisaion (hp://wwwnumdamorg/legalphp) Toue uilisaion commerciale ou impression sysémaique es consiuive d une infracion pénale Toue copie ou impression de ce fichier doi conenir la présene menion de copyrigh Aricle numérisé dans le cadre du programme Numérisaion de documens anciens mahémaiques hp://wwwnumdamorg/

2 INTERPRÉTATION PROBABILISTE ET EXTENSION DES INTÉGRALES STOCHASTIQUES NON COMMUTATIVES Séphane ATTAL e Paul-André MEYER Insiu de Recherche Mahémaique Avancée Universié Louis Paseur e CNRS 7, rue René Descares Srasbourg Cedex, France 0 Résumé Nous donnons une nouvelle présenaion des inégrales sochasiques non commuaives définies par Hudson e Parhasarahy [4] Cee approche, suggérée la première fois par Meyer [5], se place dans une inerpréaion probabilise de l espace de Fock en définissan ces inégrales d opéraeurs grâce à des équaions différenielles sochasiques (classiques) Elle perme de voir expliciemen l acion de ces opéraeurs sur les variables aléaoires de l espace de Fock Nous monrons que ce poin de vue es équivalen à celui de Hudson e Parhasarahy sur le domaine des exponenielles sochasiques à coefficien localemen borné Mais il a l avanage, dans le cas où les opéraeurs considérés son bornés, d avoir un sens en dehors de conrairemen au précéden Nous définissons ainsi une exension probabilise des inégrales sochasiques non commuaives Nous donnons une condiion suffisane pour que de elles inégrales soien prolongeables à ou l espace de Fock Nous monrons que nous avons alors une vraie formule d Io non commuaive pour la composiion des opéraeurs Ce qui nous perme d exhiber une algèbre de semimaringales non commuaives Nous donnons enfin plusieurs applicaions de cee exension, en pariculier une qui perme de donner une inerpréaion de quares opéraions fondamenales du calcul sochasique classique au moyen des inégrales sochasiques non commuaives 1 Inroducion Noaions souci de Tou ce aricle es fai dans le cadre d espaces vecoriels réels, par simplicaion, mais il n y aurai aucune difficulé supplémenaire à les considérer

3 _ 313 complexes De même, ou l aricle es fai dans l inerpréaion brownienne de l espace de Fock, oujours par souci de simplificaion, mais ce qui es énoncé ici ne dépend pas de l inerpréaion probabilise choisie Soi (S,~,P), l espace de Wiener Soi (W)>o le mouvemen bronien canonique sur Q, soien les ribus engendrées par les variables aléaoires {Wu; u ~, resp u > }, {Wu - u }, ~ ~ Soien ~, les espaces de Fock symériques consruis respecivemen sur L2 (~ ), L2 ( (o, ] ), L2 ( ~, oo [) e LZ ( ~s, ~ ) On a alors les idenificaions suivanes (cf [6]) : L2(~~ ~~ P) r" Lz(~~ P) La projecion orhogonale de $ sur ~~ es noée le (c es l opéraeur d espérance condiionnelle par rappor à Pour ou u E L2(~), nous noerons e(u) l exponenielle sochasique de la variable aléaoire dw~ e, pour ou s, u] u 1[0,], Rappelons que la maringale adme la représenaion prévisible suivane : 1 fô u(s) dw Ainsi on a ~(u]), ~(v]) > exp ( u(s)v(s) ds), pour ous u, v E qui son localemen bornés Soi L1b(1R) le sous-espace des élémens de Nous noerons E~b l espace des combinaisons linéaires finies de veceurs ~(u), pour u E L b(1r) Rappelons que ce sous-espace es dense dans ~ Élémens de calcul sochasique non commuaif Nous rappelons ici quelques élémens du calcul sochasique de Hudson e Parhasarahy [4] non commuaif Grâce à l indépendance des accroissemens du mouvemen brownien on a sur 03A6 une srucure de produi ensoriel coninu : pour s, 03A6 ~ 03A6s] ~ 03A6[s,] ~ 03A6[

4 ~(u) ~ ~ 314 Une famille d opéraeurs de 03A6 dans 03A6, définie sur es un processus adapé d opéraeurs si, pour ou u E L b(1r), l applicaion - foremen mesurable dans $ e si, pour ou E ~, es C es à dire si H Hj ~ I[ dans la srucure 03A6 ~ 03A6] pour un opéraeur H~ de ~~ dans lui-même désignan l idenié de Un processus adapé d opéraeurs es une maringale d opéraeurs si, pour ous s, ous u, v E M ~{v ~ ) > _ e(u~), M8 ~(va~ ) >, ie E, M les le, Ms ~a ( Ma Si T es un opéraeur sur ~, de domaine la famille définie par T~(u) _ ~~ E 1R, u E es une maringale d opéraeurs, appelée maringale associée à T On a les rois maringales d opéraeurs pariculières de créaion, d annihilaion e de nombre, respecivemen noées définies par, A ~{v) > _ ~(u), ~(v) > / o ~ ~(u), A- ~(v) > ~(u), ~(v) > / v(s) ds pour ou E ~(u), AO ~(v) > ~(u), E(v) > / u(s)v(s) ds e ous u, v E Si H, H, H e H son des processus d opéraeurs adapés vérifian, pour ou u e E 1R, (1) / ~Hs~(u)~ o0 alors la famille des inégrales sochasiques non commuaives (2) T / / H-sdA-s / /,

5 ~ 315 es bien définie sur ou E 1R, e ous u, v E comme un processus adapé d opéraeurs vérifian, pour (3) E(u), > 0 ~(u), u(s )v(s ) v(s) Remarque 1 : Les condiions de normes (1) que l on impose ici son moins resricives que celle de Hudson e Parhasarahy Remarque 2 : Si le processus adapé vérifie (2), il es monré dans [4] que,~ 0 ds 00 Remarque 3 : Si les processus adjoins (He)* l expression 0 u(s) ~(Hs)*~(u)~ ~(H-s)*~(u)~2 ~H*s~(u)~ son aussi définis sur e si u(s) 2~(HOs)*~(u)~2 ds es finie, alors le processus adme la représenaion inégrale T* (H )* da /" (Hs )* da À (H-s)* das À H*s ds Remarque 4 : L inégrale sochasique non commuaive T, peu êre définie pour -{-oo de la même façon si (1) es vérifié pour 00 Pour ou e E {, o, -}, la maringale associée à l opéraeur f H es alors ( f ~ H Remarque 5 : L unicié d une représenaion inégrale du ype (2) dans [2] dans le cas où ous les opéraeurs son fermables a éé démonrée Dans la suie, chaque fois qu une de ces inégrales d opéraeurs apparaîra, nous supposerons que les processus H~, H, H- e H vérifien (1) Par commodié, le erme ds sera parfois noé où il fau imaginer que le A compore en exposan un symbole invisible Cee noaion nous permera de parler des inégrales de la forme 0 H; da~s, pour ê E {, o, -, } ; ces inégrales seron noées h II Inerpréaion probabilise a condui à don- non commuaives Nous allons expliquer ou d abord la démarche inuiive qui ner une nouvelle inerpréaion des inégrales sochasiques

6 316 Les définiions iniiales des maringales donnen da1 dw da dw 0 dao1 0 daodw dw * * * (~ [7j) Pour un e 6 {,o, 2014, }, on se donne une Inégrale d opéraeurs If sur $ e un veceur / ~ ~, de maringale associée e de représenaion prévisible f JE[/] L idée présenée dans [7j es que la famille adapée es une semimaringale qui doi vérifier une formule d inégraion par paries d Io (~ (~ Ce qui, dans la srucure 0 s écri (F~ 0 0 B) (If 0 0 (~ ~H 0 ~ 0 ~ On obien finalemen l équaion d(i~ F) I~ f dw HfdW si ê Ho f dw H-fd si ~ o S16:- Hfd sic Ce son ces équaions qui nous amènen à poser une nouvelle définiion des inégrales sochasiques non commuaives, don nous monrerons ensuie qu elle es équivalene à celle de Hudson e Parhasarahy sur le domaine ~ Exension des inégrales sochasiques non commuaives Supposons que soi un processus d opéraeurs bornés de 03A6 dans 03A6 Supposons que sur ~& les opéraeurs T soien de la forme (2) pour des processus adapés H~, c 6 {, o, 2014, }, d opéraeurs bornés Tous les opéraeurs considérés éan bornés, ils son définis sur ou ~ La définiion (3) des inégrales sochasiques non commuaives n a, a priori, pas d exension évidene en dehors du domaine Par conre, les équaions inuiives obenues plus hau on un sens lorsque / es quelconque dans ~ C es ce qui nous amène à poser une nouvelle définiion pour les inégrales sochasiques non commuaives

7 - 317 Avan ou, il nous fau remarquer que la condiion (1) peu s écrire (Tune aure manière Pour ou f 6 de maringale associée e de représen- la condiion (1) s écri aion prévisible f c ~ /~ (1 ) 0~H-sfs~ ~Hsfs~2 ~Hsfs~ ~Hosfs~2 ds ~ Définiion : Un domaine D ~ 03A6 sera admissible s il conien ~lb e si pour ou f ~ D, de maringale associée e de représenaion prévisible f c Jo /a on a /~ 6 D e /~ 6 D pour (presque) ou Définiion: Soien 7~, c 6 {? o, 2014, }, des processus d opéraeurs définis sur un domaine admissible D, soi un processus adapé d opéraeurs fermables définis sur D Nous dirons que T adme la représenaion (2) éendue à D si, pour ou f 6 D, de maringale associée e de représenaion prévisible f JE:[/] les processus ~ vérifien (1 ), si ~ oo e si,pour ou, (4) / (r,~)/~~ / / / Avan d énoncer les résulas liés à cee définiion, il nous apparien de vérifier que la relaion (4), pour des processus ~ donnés, déermine le processus T de manière unique Ce résula es en fai une conséquence du héorème qui sui En effe, on va prouver que sur l équaion (4) es une équaion différenielle sochasique classique qui adme une soluion unique L espace ~ es dense dans D, l opéraeur T~ es densémen défini (car T es fermable), donc la valeur de T sur D es déerminée par limies faibles de ses valeurs sur ~ Il fau aussi remarquer qu un processus T n admera de représenaion inegrale sur le domaine ~ que si ous les opéraeurs considérés son borné (en effe ou opéraeur fermable don le domaine es l espace ou enier es borné) Théorème 1 - Sur le domaine admissible ~lb la définiion éendue (4) des inégrales sochasiques non commuaives es équivalene à la définiion (3) de Hudson e Parhasarahy Démonsraion Nous allons monrer que l on peu passer de la forme "scalaire" (3) à la forme "vecorielle" (4) Soi un processus adapé d opéraeurs de 03A6 dans ~, défini sur de la forme (2) Les processus H~ vérifien (1), donc (1 ) De plus, la condiion J~ ds oo es vérifiée (remarque 2) D après

8 6(u,j), / / / 318 (3), on a pour ous M,u dans / Grâce à l adapaion des opéraeurs H~, ~ 6 [0,~] e à la srucure de produi ensoriel coninu ~j ~ $~] 0 ~,]) cee égalié s écri e(~j),t~(~])> / ~]),~)u(6)~(~)~)~e(~])~)~e(~])~6(~ > c(u[~]),c(u[~])>~ e~p [ 6(u]), ~(~j) ~6(~]) ~6(~,) ~ e(~) > c~ (- ru(r)~(r) dr )] ~ Ce que nous écrivons, pour simplifier un momen, sous la forme 6(u,]), / ~)etp(- / ~ Par différeniaion ~~]),r,6(~])> D où finalemen / ~(~)c~p(- / e~p ~ ~) A () e~p f- / ~ ~(u]), T~(v])> 0u(s)v(s) ~(us]), Ts~(vs]) > ds 0 K(s)ds Quand u e v son localemen bornées, cee équaion différenielle (ordinaire) adme une soluion unique Grâce à la forme de la représenaion prévisible de e en remplaçan A~ par sa valeur, cee équaion s écri c(~]),r,e(~])>e(~]), / ~)Tc(~])~>

9 03BBI)g L espace ~6 éan dense dans ~, on peu éliminer les produis scalaires avec pour en déduire une égalié vecorielle En noan que si g on a gd ), s, cee égalié prend la forme Z 9 -I- H )9 a dws -I- À Hs 9 a ds -f - À H; 9a dws À Ha 9s ds Ce qui prouve le héorème dans un sens Réciproquemen sur, l équaion (4) es une équaion différenielle sochasique admean une soluion unique En prenan le produi scalaire des deux membres de {4) avec un on voi facilemen que l on peu remoner la démonsraion précédene jusqu à (3) Remarquons mainenan que, si on ajoue un erme iniial à T, ie si Tf es de la forme T ~11 I I f I I, alors, d aprés le résula précéden, nous avons (T BBI H; )g, dw, À Hs ge ds À H; gs dw, À Hsgs ds C es à dire Tg 03BBIE[g] l -1- dws -1-0 H-s gd ds 0 Hs gs dwa 0Hsgs ds Nous allons donner une condiion suffisane pour qu une indenié du ype (4), vérifiée sur puisse êre éendue à un domaine admissible D Théorème 2-Soi un processus adapé d opéraeurs de 03A6 dans 03A6 admean une représenaion inégrale du ype (2) sur avec erme iniial, pour des processus adapés HE, E E {, o, -, } Supposons qu il exise un domaine admissible D sur lequel son dé,~nis ous Ies opéraeurs e sur lequel son vérifiées Ies condiions de normes (1 ) e fô fdi ~2 ds oo Si Ies processus des adjoins (H~)* vérifien Ies condiions de normes de Ia remarque 3 alors Ia représenaion inégrale de es vraie au sens éendu (4) sur ou D Démonsraion Par le héorème 1, on a, pour ou f E ~6, Tf f ] 0 (Ts Hs dwa -i- À Ha ds -1- À 0 Hs fs dwa À 0Hs f, ds

10 f fi 320 Noons A( f) l expression du second membre Soi f E D, soi ( dans ~~b qui converge vers f Pour ou g E E~b on a ~g~ g, Tf - Tfn > g, Tfn -A(fi)> g, A(f-f )>) ~ ~T*g~ ~f ~ ( g, A(f ) >1 Il suffi donc de monrer que l applicaion linéaire f H g, A( f) > es coninue g, A(f) > g, 03BBf > / gs, Tsfs > ds / gs, HOsfs > ds 0 0 une suie À g, H-s fs > ds À gs, Hsfs > ds À g, Hsfs > ds En passan à l adjoin dans ous les produis scalaires e en appliquan l inégalié de Schwarz, on obien g, A(f ) > ~ / ds / II (HOs)*gs~ ~fs~ ds / ~(H-s )*g~ ~fs~ ds / ~(Hs )*gs~ ~f ~ ds 0 0 / _ [~g~ 03BB ~(Hs )*991) ds ~H*sg~ ds ( ~T*sgs~ Z ds 1/2 ~(Hos)*gs~ ~H*s g~ ~f~ ds ds 1/2 ( ~(H-s) * g~ 2 ds 1/2 ] ~f~ On conclu grâce aux remarques 3 e 2 e à la fermabilié de T (son adjoin es densémen défini) Ce que l on peu reirer de cee démonsraion c es que si T e T * admeen une représenaion inégrale du ype (4) sur alors l idenié (4) pour T e T * s éend à ou veceur f el que les deux membres de (4) soien bien dé$nis fô gs Nous disposons donc d une exension des inégrales sochasiques non commuaives, ainsi que de condiions suffisanes pour pouvoir l appliquer L équaion (4) donne la valeur d une inégrale éendue appliquée à un veceur de la forme Mais il arrive parfois que des veceurs de 03A6 apparaissen plus naurellemen sous la forme f ô v9 ds C es ce qui moive le résula suivan, qui es un élémen imporan pour la formule d Io non commuaive présenée plus loin

11 321 Proposiion 3-Soi un processus d opéraeurs bornés admean une représenaion inégrale éendue sur ou 03A6 Soi g un élémen de de Ia forme g 0 vs ds, où vd es dans 03A6s] pour presque ou s Alors, si on pose gd f o vu d21, Tg À Démonsraion Tsvs ds f 0(Hs 1" ds Pour presque ou s, le veceur vd adme une représenaion prévisible vd c fô h(s, u) Par la formule (4), on a 0 À Hou h( s u) dwu Tg À Tvs ds À ( u) dwu À H-u h(s u) dv À Hû IEuvs dwu -f - À HuIEuvs du ds [Tsvs À dwu À Huvs du] ds - % En inerverissan les inégrales doubles on obien Tg À i i 9 d À À ds H9 vu dv dwd du ds À À Ce qui perme de conclure (rappellons que les operaeurs HJ e Hd son forcemen bornés) 1 Exension de la formule d Io non commuaive Nous allons d abord présener inuiivemen ce que pourrai êre une formule d inégraion par paries pour les inégrales sochasiques non commuaives Nous énoncerons ensuie sa forme rigoureuse donnée dans ~4~, puis nous verrons commen elle s éend dans nore nouveau cadre Pour E, e dans ~, o, -, }, soien I e deux inégrales sochasiques non commuaives par rappor à A~ e à AE~ respecivemen Une formulaion inuiive d une formule d Io dans ce conexe serai : _ (di~)i~ I~(dI~ ) (dl ) (5) H~I~ da~ I~H~ da~ H~H~ da~da~ Les différenes valeurs de da da~ peuven êre prévues grâce à la able donnan les valeurs des da~1 e des da dw On voi alors que les seuls produis dai da~ non nuls son da da da da- da dada da da da d

12 _ Cee able défini un produi (~, ~ ) H de {, o, -, } dans {, o, -,, ~},, avec la convenion daø 0 Noons, pour ou u dans el que da~ da~ u~ la foncion qui vau u si e, o, e ll -, Noons u~ Nous conviendrons que la foncion qui vau u si E -, o, e 1 si ~, u~u~0 Avec ces noaions e la formule (3), la formule d Io (5) prend la forme : I h~ ) > À H~ I > ds À I;H ;~ > ds 0 / o (S) Hâ Hâ > ds (6) (I~ )*~(u]), li > À uf (S)vE(S) (H~s )*~(u] ), 1 J ) > ds 0 À u~1 (S)v~ CS) (Ia )*E(uJ ) ~ H~ > ds 0 / o, H~ s ~(v]) > Dans le cadre général de ~4~, il n es pas possible de composer les opéraeurs En effe, ils ne son définis que sur or rien ne garani la sabilié de ce espace sous l acion de ces opéraeurs Aussi la seule forme de formule d Io qui ai un sens dans le conexe rés général de Hudson e Parhasarahy es l équaion (fi) Cee équaion es jusemen la forme que donne le héorème de Hudson e Parhasarahy à la formule d inégraion par paries non commuaive Lorsque l on se place dans le cadre resein des inégrales éendues au domaine admissible ~, on peu espérer obenir une formule du ype (5), car on ne ravaille qu avec des opéraeurs définis sur ou 03A6 donc composables C es l obje du héorème suivan Théorème 4 - La formule d Io non commuaive (5), présenée ci dessus, es vraie dans le cadre des inégrales sochasiques non commuaives parou définies Démonsraion Soien, T al I I I I e T a I I I- I li des inégrales d opéraeurs éendues à ou ~ On a donc, pour ou f E ~ de maringale associée ( f e de représenaion prévisible f IE[f J f f a dws, f~ 03BB IE[f] 0 (Z â f H os)fs dwd -1- H -sfs H s f* dwa -- H sfs ds À E[ 0 ( T H ) dws 0 ds 0 H fs dws 0 H

13 323 Pour ou, on noe hj (T Hj )ji, h[ H fi, h - H -f On a donc TT F Ti (À E[F] 0 [h Os ] dws] Ti h) ds 0 hh ds] A A E [ F] e hl H f ds /~ /~ Hi h[ /~ ds Hj (À E [F] /~ [h? ) h ] dwu] dws o s0 o [( h ] dwu] ds T [0 h) ds 0 h[ ds] 0 Hs (À E[F] o Mais, par la proposiion 3, on a, pour le dernier erme de cee égalié, Ti /~ h[] ds /~ h[ ] ds o H s0 [h) h ] du dws 0 Hs s0 [h) hl] du ds Lorsque l on reourne à l équaion iniiale, on a ainsi TT F ÀÀ E [F] 0 (Ts (h[ ) dws 0 (Ts dws ds 0 H-s(h Os) 0 Hj h[ ds 0Hs (À OE[F] s0 [h Ou hl] dwu s0 h) du s0 hl du] dws (À E[F] s0[h Ou dwu s0 h -u s0 du hi du] ds 0 Tsh -s 0 Tsh s ds ds En remplaçan les h ~ par leur valeur, on a Ti T& Fi À À E [F] T HosT s Ts H HfI dws /~ T~ H ~ Hj ds HfI dws / ~(H~ T ds /~ Hj H Fs ds

14 324 TT F aa I Tâ T9H9 H He ) ~ ~ da 0 (Hs T; Hs Hâ ) da9 (H T H Hd) da 0 (H-sT stsh -s H-sH Os) z0 da-s 0 (HsT s (HsT s TsH s) TsH s HOsH s)das ds 0 H-s H s ds] F Ce qui démonre l exension de la formule d Io non commuaive [] d opéraeurs bornés e représenables sous la forme (2) (avec erme iniial), pour des processus H d opéraeurs bornés els q~ue ~ ~ (H ( ~ [ es localemen inégrable H ~~ [ e H (~ son localemen de carré inégrable H ~ ~H ~ ~ [ es localemen bornée (S es donc un ensemble de semimaringales non commuaives régulières) Alors S es une algèbre pour la composiion Théorème 5- Soi S l ensemble des processus adapés Démonsraion Par le héorème 2, un élémen de S adme une représenaion inégrale éendue sur ~ On peu donc composer les élémens de S Leur composiion vérifie l exension de la formule d Io non commuaive Il es facile de vérifier sur la dernière égalié de la démonsraion du héorème 4 que, si deux semimaringales non commuaives on une norme localemen bornée e vérifien les condiions de normes de l énoncé, alors leur composé les vérifie aussi Il suffi donc de monrer que pour ou élémen de S on a que H ~ ~ T ~ ~ es localemen bornée Inéressons-nous d abord au erme de la forme ~ô H~ ds apparaissan dans la représenaion inégrale de T Par l équaion (3), on a, pour ou u, v E L~6(1R), c es-à-dire Donc nous avons l esimaion, À Hs ds > _, À H, ds >, À H8 ds E(ui) À HJ ds 1 1 0Hs ds ~(u]) 1 ( 0 ~Hs~ 1 ~~(u])~ 0 0

15 325 Ceci prouve que f ô J?~ ds es un opéraeur borné sur avec une norme localemen bornée en ; il peu donc êre éendu en un opéraeur borné sur ~, avec une norme localemen bornée en Le processus Y défini par Y T - J; H~ ds, E 1R, es une maringale d opéraeurs bornés Donc, pour ou E 1R fixé, ou s e f ~ E ], IEsYfs Y, f 8 (par définiion des maringales d opéraeurs) Donc ~ ~Y~ Ce qui prouve que oues maringale d opéraeurs bornés a une norme localemen bornée en Nous avons donc monré que ous les élémens de S on une norme localemen bornée Ceci achève de démonrer le héorème III Applicaions La première applicaion de cee exension a éé donnée dans [1] Dans ce aricle son éudiées les ransformaions T de (S~, ~, P) qui préserven P e elles que le mouvemen brownien image de (W)>o par T soi un mouvemen brownien pour L opéraeur associé sur TF FoT, F E L2(S2), es une isomérie, morphisme de l algèbre L (SI), qui commue avec les espérances condiionnelles de la filraion canonique Dans ce aricle es donnée une caracérisaion simple e complèe de ces opéraeurs grâce au calcul sochasique non commuaif On voi bien ici que ce problème concerne des opéraeurs bornés e que l on s inéresse à leur valeur sur ou ~ D aure par, la démonsraion de ces résuas uilise plusieurs fois une récurrence sur la valeur d une inégrale sochasique non commuaive appliquée à des élémens des différens chaos de ~ Ces résulas n auraien pas pu êre obenu sans l exension des inégrales non commuaives Une aure applicaion de cee exension apparaî dans [3] Dans ce aricle son éudiés les opéraeurs de Hilber-Schmid sur ~ Il y es monré que ces opéraeurs admeen ous une décomposiion chaoique non commuaive, ie ils son représenables en une série d inégrales iérées de la forme ~0n0 f (l,, n)i dal dan, ~1,,~n E {, o, -} La convergence de cee série es monrée au sens for sur un domaine dense de 03A6, conenan sricemen Elle es monrée au sens faible sur un domaine encore plus grand Sans l exension des inégrales sochasiques non commuaives, nous n aurions pu avoir que des convergences au sens faible e sur Elb seulemen

16 326 Exension du calcul sochasique classique La dernière applicaion que nous présenons ici raie des liens enre le calcul sochasique non commuaif e le calcul sochasique classique Plus exacemen du premier en an que généralisaion du second Il es déjà connu que l opéraeur T de muliplicaion par l inégrale sochasique ~0 ha dws, pour un processus prévisible es représenable en inégrales sochasiques non commuaives sous la forme T, où H es l opéraeur de muliplicaion par h, s E Nous allons voir ici que d aures opéraeurs fondamenaux du calcul sochasique classique peuven êre représenés en inégrales sochasiques non commuaives Cee représenaion a l avanage de monrer le rôle classique joué par chacune des inégrales ~0 H; ~ E ~, o, -, }, dans cerains cas pariculiers Cela donne une inuiion probabilise de l acion qu une inégrale da; es censée généraliser Soi À E soi (h )>o un processus prévisible borné, soi (n )>o une semimaringale don le erme a variaion bornée es absolumen coninu par rappor à la mesure de Lebesgue, c es à dire n E 1R Soi (m)>o une maringale de représenaion prévisible m c ms dwd e elle que (presque) chacune des variables aléaoires nis soi bornée Soi ~6 le sous-espace des variables aléaoires de ~ qui son bornées Sous les condiions posées ci-dessus, on peu définir sur ~6, pour ou E IR, les quare opéraeurs fondamenaux suivans : E~ : x ~ Il : x fo ~--~ ha dxd J : x ~ô ~ xd dn~ ~--~ ~ x, m ~ ~ où ( x m )~ désigne le croche de x e de m Soi H l opéraeur de muliplicaion par h, N l opéraeur de muliplicaion par P l opéraeur de muliplicaion par p e M l opéraeur de muliplicaion par ~ Proposiion 6- ~ opéraeur adapé T Il J Cm, défini sur ~b fl, es représenable en inégrales sochasiques non commuaives sur ou avec T 03BBI 0 (Hs - Ts) daos 0 Ns daâ 0 P, ds 0 Ma

17 327 Démonsraion Si ~ E~ J~ alors, pour ou a: ~ ~6, dws 0 xsps ds / ds 03BBIE[x] / / / / / / dws (Hs - Ts)xs / dws Nsxs dws / / Ce qui, diaprés la définiion (4) de l exension des inégrales sochasiques non commuaives, veu exacemen dire que T 03BBI 0 (Hs - Ts)dAOs / Ns das il / Références [1] ATTAL (S) : "Représenaion des endomorphismes de l espace de Wiener qui préserven les maringales", prépublicaion [2] ATTAL (S) : "Problèmes d unicié dans les représenaions d opéraeurs sur l espace de Fock" Séminaire de probabiliés XXVI, Springer Verlag, p , 1993 [3] ATTAL (S) : "Non-commuaive chaoic expansion of Hilber-Schmid operaors on Fock space ", prépublicaion [4] HUDSON (RL) & PARTHASARATHY (KR) : "Quanum Iô s formula and sochasic evoluions", Comm Mah Phys 93, p , 1984 [5] MEYER (PA) : "Quelques remarques au suje du calcul sochasique sur l espace de Fock", Séminaire de Probabiliés XX, Springer Verlag, p , 1986 [6] MEYER (PA) : "Elémens de probabiliés quaniques", Séminaire de Probabiliés XX, Springer Verlag, p , 1986 [7] MEYER (PA) : "Quanum probabiliy for probabiliss", LNM 1538, Springer (1993)