thermique Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle

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1 Méthode des éléments finis : thermique Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle 24 mars mars 2011

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3 Table des matières 1 oi de Fourier 1 2 Charges thermiques Source de chaleur ponctuelle Source de chaleur volumique Température imposée (ou prescrite) T P sur une surface S T Densité de flux ϕ S imposée sur une surface S ϕ Échange de chaleur par convection sur une surface S ϕ Échange de chaleur par radiation en milieu infini sur une surface S ϕ Bilan thermique : équation de la chaleur 3 4 Forme différentielle 4 5 Forme intégrale faible 5 6 Forme discrétisée : éléments finis Discrétisation du domaine : maillage Représentation élémentaire (ou locale) du champ de températures Représentation globale du champ de températures Exemple : problème à une dimension Partition des degrés de liberté Discrétisation de la forme intégrale faible Mise en œuvre pratique : calculs élémentaires et assemblage 10 8 Exemples de calculs élémentaires Élément à deux nœuds (problème à une dimension) Triangle à trois nœuds (problème plan) Élément isoparamétrique à trois nœuds équidistants (problème à une dimension) Exemple de mise en équation Données du problème Discrétisation du domaine Partition des températures nodales Matrices élémentaires Remarque : champ de températures T (x; t) et fonctions test T = δt Assemblage Équation Résolution en régime stationnaire Problème linéaire Équation Exemple Problème non linéaire Méthode de substitution Méthode de Newton-Raphson Méthode mixte : substitution et Newton-Raphson

4 11 Résolution en régime transitoire Problème linéaire Problème non linéaire A Caractéristiques de quelques matériaux isotropes 32 B Programmes Maple 32 B.1 lin 3n B.2 nonlin B.3 nonlin B.4 nonlin C Programme Scilab 35 C.1 nonlin 3a Références 38

5 Thermique 1 1 oi de Fourier Soit T (x, y, z; t) la température au point M de coordonnées (x, y, z) 1 à l instant t. Si la température dépend du temps, on dit que le régime thermique est variable (ou transitoire) ; dans le cas contraire, on dit qu il est permanent (ou stationnaire). a température s exprime en kelvin (K). Dans la pratique, on utilise souvent le degré Celsius ( C) : T (en K) = T (en C) Considérons en un point M un élément de surface ds infiniment petit. Soit n un vecteur unitaire et normal à ds. a puissance thermique (quantité de chaleur par unité de temps) qui traverse ds dans le sens de n est égale à (loi de Fourier 2 ) : ( ) dφ = n λ grad T ds = n ϕ ds (1.1) où le tenseur de conductivité thermique du matériau λ a pour représentation matricielle dans le repère orthonormé {x, y, z} : λ xx λ xy λ xz [λ] = λ yy λ yz (1.2) sym. a quantité de chaleur s exprime en joule (1 J=1 N.m=1 kg.m 2.s 2 ). dφ est le flux thermique en M, à travers ds. e flux thermique est une puissance thermique et s exprime en watt (1 W=1 J/s). a conductivité thermique s exprime en W/(m.K). e vecteur ϕ = λ grad T est le vecteur densité de flux thermique en M. a quantité ϕ = n ϕ = dφ ds a densité de flux thermique s exprime en W/m 2. Remarque : λ zz est appelé densité de flux thermique en M et dans la direction n. e vecteur densité de flux et le gradient thermique ne sont pas nécessairement colinéaires (figure 1). 1. e repère {x, y, z} est un repère orthonormé direct. 2. Joseph Fourier ( )

6 2 Méthode des éléments finis Figure 1 Matériau anisotrope Si le matériau est isotrope, la matrice de conductivité se réduit à : 1 [λ] = λ 1 (1.3) 1 où λ est le coefficient de conductivité thermique du matériau ( A) et ϕ = λ grad T (1.4) e vecteur densité de flux et le gradient thermique sont colinéaires (figure 2). Figure 2 Matériau isotrope 2 Charges thermiques Convention : les quantités de chaleur reçues par le solide sont comptées positivement. 2.1 Source de chaleur ponctuelle Une source de chaleur ponctuelle Q est définie par la puissance thermique reçue par le système. Elle s exprime en W. 2.2 Source de chaleur volumique Une source de chaleur volumique q est définie par la puissance thermique générée par unité de volume. Elle s exprime en W/m 3.

7 Thermique Température imposée (ou prescrite) T P sur une surface S T a température peut être imposée en un point ou sur une surface. 2.4 Densité de flux ϕ S imposée sur une surface S ϕ Elle s exprime en W/m Échange de chaleur par convection sur une surface S ϕ a convection est l échange de chaleur entre un solide et un fluide. Soit un point M situé à la surface du solide. Soient T la température du solide en M et T f la température du fluide au voisinage de M. expérience montre que la quantité de chaleur reçue par le solide en M, par unité de surface et par unité de temps, est égale à : où h est le coefficient d échange par convection. h s exprime en W/(m 2.K). ϕ c = h (T f T ) (loi de Newton) (2.1) 2.6 Échange de chaleur par radiation en milieu infini sur une surface S ϕ a quantité de chaleur reçue par le solide, considéré comme un corps gris à la température T et rayonnant vers l extérieur considéré comme un corps noir à la température T, par unité de surface et par unité de temps, est égale à : où : ϕ r = ε σ ( T 4 T 4 ) (loi de Stefan-Boltzmann) (2.2) les températures sont exprimées en Kelvin. ε < 1 est l émissivité (sans dimension). σ est la constante de Stefan : σ = W/(m 2.K 4 ). 3 Bilan thermique : équation de la chaleur Soit v une partie quelconque de V limitée par la surface s. a puissance thermique stockée dans v est égale à la somme de la puissance thermique générée par les sources volumiques contenues dans v et de la puissance thermique reçue sous forme de flux à travers la surface s : T ρ c P v t dv = q dv + n ( λ grad T ) ds (3.1) v s

8 4 Méthode des éléments finis où : ρ est la masse volumique du matériau (kg/m 3 ). c p est la capacité thermique massique (J/(kg.K)) ( A). n est la normale unitaire à s dirigée vers l extérieur de v. Transformons la dernière intégrale de la relation (3.1) en intégrale de volume à l aide du théorème d Ostrogradski. Il vient : (ρ c P T div ( λ grad T ) q ) dv = 0 (3.2) où : T = T t. e domaine v étant arbitraire, on en déduit : en tout point du solide. v ρ c P Cette équation est appelée équation de la chaleur. T div ( λ grad T ) q = 0 (3.3) Remarque : pour un matériau homogène et isotrope, l équation (3.3) s écrit dans le repère orthonormé {x, y, z} : ( ρ c P T 2 ) T = λ x T y T z 2 + q (3.4) 4 Forme différentielle Résoudre un problème thermique consiste à chercher un champ de températures T (x, y, z; t) tel que : avec : ρ c P T div ( λ grad T ) q = 0 en tout point du solide (4.1a) les conditions aux limites : T = T P sur S T n ( λ grad T ) = ϕs + h ( T f T ) + ε σ ( T 4 T 4 ) } {{ } } {{ } convection rayonnement S = S T S ϕ, S T S ϕ = sur S ϕ (4.1b) où S est la surface du solide et n la normale unitaire à S dirigée vers l extérieur de V. la condition initiale à l instant t = t 0 : T (x, y, z; t 0 ) = T 0 (x, y, z) (4.1c) a quantité r(t ) définie par : r(t ) = ρ c P T div ( λ grad T ) q (4.2) est appelée résidu de l équation (4.1a). r(t ) est nul si T est solution de l équation (4.1a) et différent de 0 dans le cas contraire.

9 Thermique 5 5 Forme intégrale faible Pour résoudre l équation (4.1) par la méthode des éléments finis, nous utilisons la méthode des résidus pondérés dans la formulation de Galerkin [2, 11, 16, 18, 26, 27, 43, 44]. Multiplions l équation (4.1a) par une fonction arbitraire T et intégrons sur le domaine V : W(T, T ) = V T r(t ) dv = V T ( ρ c P T div ( λ grad T ) q ) dv = 0 a fonction T est appelée fonction de pondération (ou fonction test). En utilisant la relation : où f est un scalaire, l équation (5.1) s écrit : W(T, T ) = T ρ c P T dv V + V T (5.1) div (f v ) = f div v + v grad f (5.2) V V div ( T ( λ grad T ) ) dv grad T ( λ grad T ) dv V T q dv = 0 Transformons la deuxième intégrale de cette équation en intégrale de surface à l aide du théorème d Ostrogradski : div ( T ( λ grad T ) ) dv = S ϕ T n ( λ grad T ) ds + et imposons la condition T = 0 sur S T, ce qui annule la dernière intégrale. S T (5.3) T n ( λ grad T ) ds (5.4) En utilisant la relation (5.4), les conditions aux limites (4.1b) et l équation (5.3), nous obtenons la formulation intégrale faible d un problème thermique : Trouver T (x, y, z ; t) tel que : W(T, T ) = T ρ c P T dv + grad T λ grad T dv V V T ( ϕ S + h ( T f T ) + ε σ ( T 4 T 4 ) ) ds S ϕ =0 T, T = 0 sur S T V T q dv (5.5a) avec la condition aux limites : et la condition initiale : T = T P sur S T T (x, y, z; t 0 ) = T 0 (x, y, z) (5.5b) (5.5c) Remarques : es fonctions T et T doivent être suffisamment régulières pour que les expressions ci-dessus aient un sens. a fonction T est appelée champ de températures virtuelles. a formulation intégrale (5.5) est l analogue pour un problème thermique du principe des travaux virtuels en mécanique.

10 6 Méthode des éléments finis Dans l équation (5.1) la fonction T doit être dérivable deux fois et une fois dans l équation (5.5). Ces équations sont dites respectivement forme intégrale forte et forme intégrale faible de l équation différentielle (4.1). Sous certaines conditions de régularité, les formulations (4.1) et (5.5) sont équivalentes. 6 Forme discrétisée : éléments finis a solution analytique de l équation (5.5) est en général inaccessible. On est donc conduit à chercher une solution approchée par une méthode numérique : la méthode des éléments finis. Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Galerkin : le champ de températures et les fonctions test appartiennent au même espace de dimension finie. 6.1 Discrétisation du domaine : maillage e domaine V est décomposé en sous-domaines V e de forme géométrique simple (les éléments) reliés entre eux en des points appelés nœuds. Cette opération s appelle maillage (figure 3). Figure 3 Domaine plan discrétisé en 12 éléments reliés entre eux par 15 noeuds e maillage est défini par la table des nœuds et la table des éléments. 6.2 Représentation élémentaire (ou locale) du champ de températures e champ de températures T e (x, y, z; t) dans l élément (e) a pour expression : T e (x, y, z; t) = [ N1 e(x, y, z)... N i e(x, y, z)... N n e e(x, y, z)] = [N e (x, y, z)] {T e (t)} T1 e(t). Ti e(t). Tn e e(t) (6.1) où : n e est le nombre de nœuds de l élément. les fonctions Ni e (x, y, z) sont les fonctions d interpolation élémentaires. la matrice [N e (x, y, z)] est la matrice d interpolation élémentaire. le vecteur {T e (t)} regroupe les températures des nœuds de l élément (e).

11 Thermique Représentation globale du champ de températures e champ de températures T (x, y, z; t) a pour expression sur l ensemble du domaine V : T 1 (t) T (x, y, z; t) = [ N 1 (x, y, z)... N i (x, y, z)... N n (x, y, z) ]. T i (t) = [N(x, y, z)] {T (t)}. T n (t) (6.2) où : n est le nombre de nœuds du maillage. les fonctions N i (x, y, z) sont les fonctions d interpolation (ou fonctions de forme). [N(x, y, z)] est la matrice d interpolation. {T (t)} est le vecteur des températures nodales. es fonctions d interpolation vérifient les relations : où (x j, y j, z j ) sont les coordonnées du nœud j. N e i (x j, y j, z j ) = δ ij, N i (x j, y j, z j ) = δ ij i, j (6.3) 6.4 Exemple : problème à une dimension Fonctions d interpolation sur un élément à deux noeuds : N e 1 = (1 x ), N e 2 = x, = x 2 x 1 Champ de températures sur un élément à deux noeuds : T e (x) = N e 1 T 1 + N e 2 T 2

12 8 Méthode des éléments finis Fonctions d interpolation sur le domaine (n nœuds, n 1 éléments) : Champ de températures sur le domaine : T (x) = N 1 (x) T N i (x) T i + + N n (x) T n 6.5 Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en températures inconnues {T } et connues {T P } ([1], [18], [19]) : { } {T =?} {T } = (6.4) {T P } où le vecteur {T P } regroupe les températures (connues) des nœuds situés sur la surface S T. Cette partition induit une partition de la matrice d interpolation : [N] = [ [N ] [N P ] ] (6.5) d où l expression de T et T : T = [ [N ] [N P ] ] { } {T } {T P }, T = [ [N ] [N P ] ] { {T } } = [N {0} ] {T} = δt (6.6) Remarques : Compte-tenu des propriétés des fonctions d interpolation, T = T P et T = 0 aux nœuds situés sur la frontière S T. T représente une variation quelconque de T : T = δt = [ [N ] [N P ] ] { } {δt }. {0} 6.6 Discrétisation de la forme intégrale faible De l expression du champ de températures T sur le domaine : T = [N] {T } (6.7)

13 Thermique 9 on déduit : et avec : T = [N] { T } (6.8) {grad T } = [B] {T } (6.9) [B] = [ {B 1 }... {B i }... {B n } ] (6.10) où {B i } dépend du problème traité (spatial, plan, axisymétrique... ). Pour un problème spatial, {B i } s écrit dans le repère orthonormé {x, y, z} : De même, on a : d où : {B i } = N i x N i y N i z (6.11) T = [N] {T } = {T } T [N] T (6.12) {grad T } = [B] {T }, {grad T } T = {T } T [B] T (6.13) En portant ces relations dans l équation (5.5a), il vient : W(T, T ) = {T } T ( [C] { T } + [K] {T } {F } ) (6.14) où : {F } = V [C] = ρ c P [N] T [N] dv (6.15) V [K] = [B] T [λ] [B] dv + h [N] T [N] ds (6.16) V S ϕ [N] T q dv + [N] T ( ϕ S + h T f + ε σ ( T 4 T 4 ) ) ds (6.17) S ϕ [C] est la matrice de capacité thermique (J/K). [K] est la matrice de conductivité thermique (W/K). {F } est le vecteur des flux nodaux (W). {T } est le vecteur des températures nodales (K). Remarque : par construction, les matrices [C] et [K] sont symétriques. a partition des degrés de liberté induit une partition de [C], [K] et {F } : [C] = [ [C ] ] [C P ] [C P ] [C P P ], [K] = [ [K ] ] [K P ] [K P ] [K P P ], {F } = { } {F } {F P } (6.18)

14 10 Méthode des éléments finis a forme discrétisée d un problème thermique s écrit finalement : Trouver {T (t)} tel que : ( [[C W({T }, {T}) ={T} T ] [C P ] ] { { T } } { T P } + [ [K ] [K P ] ] { } ) {T } {F {T P } } = 0 {T} (6.19) avec la condition initiale {T (t 0 )} = {T,0 }. es températures nodales inconnues {T (t)} sont donc les solutions de l équation : avec la condition initiale : [C ] { T } + [K ] {T } = {F } [C P ] { T P } [K P ] {T P } (6.20a) {T (t 0 )} = {T,0 } (6.20b) 7 Mise en œuvre pratique : calculs élémentaires et assemblage Dans la pratique, [C], [K] et {F } sont construits élément par élément. Cette opération s appelle assemblage. De l expression du champ de températures dans l élément (e) : on déduit : De même, on a : d où : T e = [N e ] {T e } (7.1) {grad T e } = [B e ] {T e } et T e = [N e ] { T e } (7.2) T e = [N e ] {T e } = {T e } T [N e ] T (7.3) {grad T e } = [B e ]{T e }, {grad T e } T = {T e } T [B e ] T (7.4) En reportant ces expressions dans l équation (5.5a), il vient : W(T, T ) = ( {T e } T ( [c e ] { ) T e } + [k e ] {T e } {f e } ) e (7.5) où : [c e ] = ρ c P [N e ] T [N e ] dv V e (7.6)

15 Thermique 11 [k e ] = [B e ] T [λ] [B e ] dv + h [N e ] T [N e ] ds (7.7) V e Sϕ e {f e } = [N e ] T q dv + [N e ] T ( ϕ S + h T f + ε σ ( T 4 T 4 ) ) ds (7.8) V e S e ϕ Dans ces formules, V e représente le volume de l élément (e) et S e ϕ la partie de S ϕ qui appartient à la frontière de l élément (e). Ces quantités sont en général évaluées numériquement. équation (5.5a) s écrit : W(T, T ) = e ( ( {T } T [C e ] { T ) ) } + [K e ] {T } {F e } (7.9) où les matrices [C e ], [K e ] et {F e } sont obtenus par expansion respectivement de [c e ], [k e ] et {f e }. Dans ces matrices, les seuls termes non nuls sont les termes associés aux degrés de liberté de l élément (e). On en déduit : [C] = e [C e ], [K] = e [K e ], {F } = e {F e } (7.10) Remarque : dans la pratique, la partition des degrés de liberté est effectuée avant la phase d assemblage. 8 Exemples de calculs élémentaires Dans cette section, l exposant e est omis. 8.1 Élément à deux nœuds (problème à une dimension) Considérons un élément à deux nœuds de longueur dont les caractéristiques A, λ, ρ et c P constantes. sont e champ de températures dans l élément s écrit ( 6.4) : T (x) = ( 1 x ) T 1 + x T 2 = 1 [ ] { } T x x 1 = [N] {T } T 2 où T 1 et T 2 les températures nodales. On en déduit la matrice [B] : [B] = [ N1 x ] N 2 = 1 [ ] 1 1 x, [B] T = 1 [ ] 1 1 la matrice de conductivité [k] : [ k ] = [B] T λ [B] dv = V 0 λ A [B] T [B] dx = λ A [ 1 ] 1 1 1

16 12 Méthode des éléments finis la matrice de capacité [c] : [ c ] = V [N] T ρ c P [N] dv = 0 ρ c P A [N] T [N] dx = ρ c P A 6 [ ] et le vecteur flux {f} dû à une source volumique d intensité q : {f} = V [N] T q dv = 0 A q [N] T dx = q A 2 { } 1 1 a densité de flux calculée avec la formule : est constante dans l élément. Remarques : Pour cet élément, l équation : ϕ x (x) = λ T x = λ [B] {T } = λ ( T 2 T 1 ) {f nod } = { } A ϕx (0) = [ k ] {T } + [ c ] { T A ϕ x () } {f} donne la valeur exacte des flux thermiques aux nœuds de l élément. Cas particulier : problème stationnaire. intégration de l équation : donne : intégration de l équation : donne : ϕ x (x) = ϕ x1 + T (x) = T 1 1 λ a fonction ϕ x (x) s annule pour : x 0 dϕ x dx = q (8.1) x 0 ϕ x = λ dt dx q ds = ϕ x1 + q x (8.2) (8.3) ϕ x (s) ds = T 1 ϕ x1 λ x q 2 λ x2 (8.4) x m = ϕ x1 q Si x m est compris entre 0 et, la température passe par une valeur extrémale : (8.5) T m = T 1 + ϕ2 x1 2 λ q (8.6) 8.2 Triangle à trois nœuds (problème plan) A l intérieur de l élément dont les nœuds sont 1, 2 et 3 (dans le sens trigonométrique), le champ de températures T (x, y) est défini par(figure 4) : T (x, y) = [N(x, y)] {T } = N 1 (x, y) T 1 + N 2 (x, y) T 2 + N 3 (x, y) T 3 (8.7)

17 Thermique 13 Figure 4 Triangle à 3 nœuds : champ de températures dans l élément es fonctions d interpolation sont telles que : T (x 1, y 1 ) = T 1, T (x 2, y 2 ) = T 2, T (x 3, y 3 ) = T 3 T 1, T 2, T 3 (8.8) En particulier, la fonction d interpolation N 1 (x, y) associée au nœud 1 (figure 5) doit vérifier les trois conditions : N 1 (x 1, y 1 ) = 1, N 1 (x 2, y 2 ) = 0, N 1 (x 3, y 3 ) = 0 (8.9) Posons : Figure 5 Triangle à 3 nœuds : fonction d interpolation associée au nœud 1 es trois conditions ci-dessus s écrivent : 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 On en déduit : N 1 (x, y) = a 1 + b 1 x + c 1 y (8.10) a 1 b 1 c 1 1 = 0 0 (8.11) a 1 = 1 2 A (x 2 y 3 x 3 y 2 ), b 1 = 1 2 A (y 2 y 3 ), c 1 = 1 2 A (x 3 x 2 ) (8.12) où l aire de l élément A est définie par : 1 x 1 y 1 2 A = det 1 x 2 y 2 = (x 2 x 1 ) (y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) (y 2 y 1 ) (8.13) 1 x 3 y 3 es deux autres fonctions d interpolation s obtiennent par permutation circulaire sur 1, 2 et 3. a matrice [B] est égale à : N 1 [B] = x N 1 y N 2 x N 2 y N 3 [ ] x N 3 = b1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 y (8.14)

18 14 Méthode des éléments finis et est constante sur l élément. Si de plus l épaisseur t de l élément et la conductivité λ du matériau sont constantes, la matrice de conductivité élémentaire se réduit à : [ k ] = [B] T λ [B] t A (8.15) Avec les mêmes hypothèses, le vecteur flux élémentaire équivalent à une source volumique d intensité q est égal à : {f} = q t A 1 1 (8.16) 3 1 Remarque : le vecteur densité de flux calculé avec la formule : est constant dans l élément. {ϕ} = λ [B] {T } (8.17) 8.3 Élément isoparamétrique à trois nœuds équidistants (problème à une dimension) es coordonnées nodales sont x 1, x 2 et x 3 avec = x 3 x 1 et x 2 = x 1 + x 3. 2 T 1, T 2 et T 3 sont les températures nodales. élément est isoparamétrique : représentation de la géométrie : x 1 ξ (ξ 1) x(ξ) = [N] x 2 = x 1 + (1 ξ 2 ) x x 3 1 ξ 1 ξ (ξ + 1) 2 x 3 = x 2 + ξ 2 (8.18) e jacobien de la transformation est égal à : J(ξ) = x(ξ) ξ = 2. représentation du champ de températures : T 1 ξ (ξ 1) T (ξ) = [N] T 2 = T 1 + (1 ξ 2 ) T T 3 ξ (ξ + 1) 2 T 3 (8.19) On en déduit l expression de la matrice [B] : d où [B] = [ B 1 B 2 B 3 ] [B] = 1 avec B i = N i x = 1 J [ 2 ξ 1 4 ξ 2 ξ + 1 ] N i ξ (8.20a) (8.20b)

19 Thermique 15 es matrices élémentaires sont (programme lin 3n) : matrice de conductivité : [ k ] = = x3 x λ A [B] T [B] dx λ A [B] T [B] J dξ = λ A (8.21) matrice de capacité : [ c ] = = x3 x ρ c P A [N] T [N] dx ρ c P A [N] T [N] J dξ = ρ c P A (8.22) vecteur flux dû à une source de chaleur uniformément répartie d intensité volumique q : {f} = x3 x 1 [N] T A q dx = 1 1 [N] T A q J dξ = q A (8.23) 9 Exemple de mise en équation 9.1 Données du problème e mur représenté la figure (6) est constitué de deux tronçons de même longueur. es caractéristiques du mur sont : A, λ, ρ et c P. Figure 6 Exemple de mise en équation e mur est soumis aux charges thermiques suivantes : température imposée sur la face x = 0 : T (0; t) = T 0 + B sin ωt. échange de chaleur par convection sur la face x = 2 : ϕ = h( T f T (2 ; t) ). source de chaleur volumique d intensité q entre x = 0 et x =. À l instant t = 0, la température du mur est égale à T 0 : T (x; 0) = T 0. es étapes de la mise en équations sont :

20 16 Méthode des éléments finis 9.2 Discrétisation du domaine e mur est discrétisé en deux éléments à deux nœuds (1 2) et (2 3). es variables nodales sont : T 1 (t) {T (t)} = T 2 (t) T 3 (t) es conditions aux limites et la condition initiale s écrivent : T 1 (t) = T 0 + B sin ωt, ϕ 3 = h (T f T 3 (t)), T 2 (0) = T 3 (0) = T Partition des températures nodales Effectuons une partition des degrés de liberté en températures inconnues et températures connues : { } { } T2 =? {T } {T } = = T {T P } 3 =? {T 1 = T 0 + B sin ωt} On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : T 1 3 {DD} = T 2 1 T Matrices élémentaires es matrices élémentaires sont ( 8.1) : Élément 1 2 : ocalisation des degrés de liberté : {ddl 1 2 } = { } T1 3 T 2 1 Matrices élémentaires : [k 1 2 ] = λ A [ ] Élément 2 3 :, [c 1 2 ] = ρ c P A 6 [ ] , {f 1 2 } = q A 2 { } 1 1 ocalisation des degrés de liberté : {ddl 2 3 } = { } T2 1 T 3 2 Matrices élémentaires : [k 2 3 ] = λ A [ 1 ] 1 1 1, [c 2 3 ] = ρ c P A 6 [ ]

21 Thermique Remarque : champ de températures T (x; t) et fonctions test T = δt e champ de températures T et les fonctions test T = δt ont pour expression (figure (7)) : ( T (x; t) = 1 x ) ( x ( x T 1 (t) + T 2 (t), T ) (x) = T2 ) (T1 = δt 1 = 0) sur l élément 1 2 et ( T (x; t) = 2 x ) sur l élément 2 3. ( x ) ( T 2 (t) + 1 T 3 (t), T (x) = 2 x ) ( x ) T2 + 1 T3 9.6 Assemblage Figure 7 Champ de températures T et fonctions test T = δt assemblage des matrices élémentaires conduit à la relation : [ ] ρ c P A T T λ A [ B ω cos ωt = q A { } { } A h (T f T 3 ) ] T 2 T 3 T 0 + B sin ωt Remarque : seuls les blocs [K ], [K P ], [C ], [C P ] et {F } sont assemblés. 9.7 Équation es températures inconnues T 2 (t) et T 3 (t) sont les solutions de l équation : [ ] { } ( [ ] [ ]) { } ρ c P A 4 1 T 2 λ A T T A h T 3 = q A { } { } ρ c { } P A B ω cos ωt + λ A { } T0 + B sin ωt 2 0 A h T f avec la condition initiale : T 2 (0) = T 3 (0) = T Résolution en régime stationnaire En régime stationnaire, l équation (6.20) se réduit à : [K ] {T } = {F } [K P ] {T P } (10.1) Remarque : en l absence de températures imposées, d échange de chaleur par convection ou rayonnement, la matrice [K ] est singulière et l équation (10.1) n a pas de solution.

22 18 Méthode des éléments finis 10.1 Problème linéaire Équation es températures nodales inconnues sont égales à : {T } = [K ] 1 ( {F } [K P ] {T P } ) (10.2) Exemple e mur de surface A représenté sur la figure (8) est constitué de trois domaines. On donne : Géométrie : Figure 8 Exemple : problème linéaire 1 2 = 50 mm, 2 3 = 200 mm, 3 4 = 140 mm Conductivité thermique : λ 1 2 = 1 W/(m.K), λ 2 3 = 3 W/(m.K), λ 3 4 = 10 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face 1 : coefficient h 1 = 120 W/(m 2.K), température du fluide T f1 = 30 C Convection sur la face 4 : coefficient h 4 = 200 W/(m 2.K), température du fluide T f4 = 10 C Source volumique dans le domaine 2 3 : q = 3000 W/m 3 es matrices élémentaires sont ( 8.1) : [ ] ki k [k i j ] = i k i ki avec ki = λ i j A, {f 2 3 } = q A 2 3 i j 2 es températures nodales T 1, T 2, T 3 et T 4 sont les solutions de l équation : k 1 + h 1 k k 1 k1 + k T 1 A h 1 T 1e 2 k k 2 k2 + k T 2 A q 3 k 3 = 2 3 /2 T 3 A q 2 3 /2 0 0 k3 k3 + h 4 T 4 A h 4 T 4e On obtient : { } 1 1 T 1 = C, T 2 = C, T 3 = C, T 4 = C es flux nodaux sont évaluées avec la formule : { } ϕxi {f nod,i j } = = [k i j ] ϕ xj { Ti T j } {f i j }

23 Thermique 19 d où : ϕ x1 = ϕ x2 = W/m 2, ϕ x3 = ϕ x4 = W/m 2 Figure 9 Flux ϕ x dans le mur Dans le domaine 2 3, le flux ϕ x (x) s annule pour : x m = 1 2 ϕ x2 q d où la valeur extrémale de la température : = mm T (x m ) = T 2 + ϕ2 x2 2 λ q = C 10.2 Problème non linéaire Figure 10 Champ de températures dans le mur En présence de radiation ou de non-linéarité du matériau, l équation (10.1) est non linéaire : [K (T )] {T } = {F (T )} [K P (T )] {T P } = { F (T )} (10.3) Ce système d équations non linéaires est résolu de manière itérative par la méthode de substitution, la méthode de Newton-Raphson ou une méthode mixte (substitution et Newton-Raphson) [2, 11, 45]. Soit : le résidu de l équation (10.3). {R(T )} = { F (T )} [K (T )] {T } (10.4) Après avoir choisi un champ de températures initiales {T 0 }, on construit une suite d approximations {T i=1...n } telle que : {R(T n )} = 0 (10.5)

24 20 Méthode des éléments finis Remarques : e résidu {R(T )} est construit élément par élément par assemblage des résidus élémentaires. e résidu doit être évalué avec précision Méthode de substitution Principe Après avoir choisi un vecteur {T 0 }, on construit une suite d approximations {T i=1...n } telle que : { [K (T i 1 )] {T i } = { F (T i 1 )} {R(T n)} = 0 (10.6) ou sous forme incrémentale : [K (T i 1 )] { T i } = { F (T i 1 )} [K (T i 1 i 1 i 1 )] {T } = {R(T )} {T i i 1 } = {T } + { T i } (10.7) {R(T n)} = 0 a figure (11) représente graphiquement cette méthode dans le cas d une équation à une inconnue : K(T ) T = F (T ) Figure 11 Méthode de substitution Remarque : l algorithme (10.7) nécessite l assemblage et la factorisation du bloc [K (T i 1 )] à chaque itération. Si l incrément de température est petit, on peut remplacer la première équation par (résolution à conductivité constante) : [K (T)] l { T} i = {R(T i 1 )}, i > l (10.8) où [K (T l )] est la dernière matrice de conductivité calculée. Exemple : la conductivité dépend de la température e mur (1 2 3) de surface A, d épaisseur et dont la conductivité λ(t ) dépend linéairement de la température, est soumis à une température imposée sur les faces 1 et 2.

25 Thermique 21 On donne : A = 1 m 2, = 100 mm λ(0 C) = 20 W/(m. C), λ(100 C) = 120 W/(m. C) T 1 = 20 C, T 3 = 100 C e mur est représenté par un élément isoparamétrique à trois nœuds équidistants : représentation de la géométrie : x(ξ) = ξ représentation du champ de températures :, J = x ξ = 2 T (ξ) = ξ (ξ 1) 2 où T 1, T 2 et T 3 sont les températures nodales. T 1 + (1 ξ 2 ) T 2 + ξ (ξ + 1) 2 T 3 a matrice de conductivité est égale à : [K(T )] = 1 1 A λ(t (ξ)) [B(ξ)] T [B(ξ)] J dξ, [B] = 1 a température T 2 est la solution de l équation non linéaire : es étapes de la résolution sont : 1. Choisir la précision T min K 22 (T 2 ) T 2 = K 21 (T 2 ) T 1 K 23 (T 2 ) T 3 = F 2 (T 2 ) 2. Choisir la température initiale T Calculer K = K 22 (T2 0 ) (résolution à conductivité constante) 4. A chaque itération i = 1... (a) Calculer K = K 22 (T2 i 1 ) (résolution à conductivité variable) (b) Calculer le résidu : R i 1 = F 2 (T2 i 1 ) K 22 (T2 i 1 ) T2 i 1 (c) Calculer l incrément de température T2 i : K T 2 i = Ri 1 (d) Mettre à jour la température T 2 : T i 2 = T i T i 2 (e) Vérifier la convergence : si T i 2 < Tmin fin du calcul [ 2 ξ 1 4 ξ 2 ξ + 1 ] On obtient (programme nonlin 1) : Méthode de substitution itération K = K 22 (T2 i 1 ) résidu T 2 T 2 (en C)

26 22 Méthode des éléments finis Résolution à conductivité constante itération K = K 22 (T2 0) résidu T 2 T 2 (en C) = = = Figure 12 Champ de températures dans le mur Remarque : avec deux éléments à deux nœuds, on obtient : T 2 = C Méthode de Newton-Raphson Principe Soit : le résidu de l équation (10.3). {R(T )} = { F (T )} [K (T )] {T } (10.9) On construit une suite d approximations {T i=0...n } telle que : {T i } = {T i 1 } + { T i }, {R(T n )} = {0} (10.10) Soit {T i 1 i 1 } l approximation obtenue à l itération i 1 telle que le résidu {R(T )} ne soit pas nul. On cherche une nouvelle approximation : {T i } = {T i 1 } + { T i } (10.11) telle que : {R(T)} i = {R(T i 1 + T)} i = {0} (10.12) Développons cette relation en série de Taylor autour de {T i 1 } : avec : {R(T i 1 + T)} i = {R(T i 1 )} [K t(t i 1 )] { T } i +... = {0} (10.13) R 1 R 1... [K t ] = [J] = D{R} T,1 T,m D{T } =..... R m R m... T,1 T,m (10.14) où R i et T,j sont respectivement les composantes de {R} et {T }. m est la dimension du vecteur résidu. es composantes de la matrice [K t ] sont : K t,ij = R m i K,ik = K,ij + T,k F,i (10.15) T,j T,j T,j k=1

27 Thermique 23 [J] est la matrice jacobienne de {R} par rapport à {T }. [K t ] est la matrice tangente. En négligeant les termes d ordre supérieur à 1, on est amené à résoudre l équation : [K t (T i 1 )] { T } i = {R(T i 1 )} (10.16) Cas particulier : si la non linéarité se réduit à un échange de chaleur par radiation en milieu infini (équation 2.2) : ϕ r = ε σ ( T 4 T 4 ) la matrice tangente est égale à : avec [K t (T i 1 )] = [K ] + T i 1 = [ [N ] S ϕ 4 ε σ T 3,i 1 [N ] T [N ] ds [N P ] ] { {T i 1 } } {T P } (10.17a) (10.17b) Remarque : la méthode de Newton-Raphson nécessite l assemblage et la factorisation de la matrice [K t ] à chaque itération. Dans la pratique, le système d équations est résolu par la méthode de Newton- Raphson lors des premières itérations, puis par la méthode de Newton-Raphson modifiée dès que l incrément de températures { T i } devient suffisamment petit : à chaque itération, on résout : où [K t (T l )] est la dernière matrice tangente calculée. [K t (T)] l { T} i = {R(T i 1 )}, i > l (10.18) es figures (13) et (14) représentent graphiquement ces deux méthodes dans le cas d une équation à un degré de liberté : Dans ce cas, la matrice tangente est égale à : K(T ) T = F (T ), R(T ) = F (T ) K(T ) T (10.19) K t (T ) = R T = K + dk dt T df dt (10.20) Figure 13 Méthode de Newton-Raphson

28 24 Méthode des éléments finis algorithme utilisé est le suivant : Figure 14 Méthode de Newton-Raphson modifiée 1. Choix d un champ de températures initiales : {T 0 } 2. Méthode = Newton-Raphson 3. Pour chaque itération i : (a) Calcul du résidu : (b) Résolution de : {R(T i 1 i 1 i 1 i 1 )} = {F (T )} [K (T ) ] {T [ K] { T i } = {R(T i 1 )} où [ K] est la matrice tangente [K t (T i 1 )] (méthode de Newton-Raphson) ou la dernière matrice tangente calculée [K t (T l )] (méthode de Newton-Raphson modifiée) (c) Mise à jour du champ de température : } {T i } = {T i 1 } + { T i } (d) Évaluation de la convergence : le calcul s arrête si : { T i }T { T i } {T i }T {T i } < ε où ε est la précision désirée. (e) Si la plus grande composante (en module) du vecteur { T i } est plus petite que la quantité T m, la méthode utilisée pour la suite du calcul est la méthode de Newton-Raphson modifiée. es paramètres du calcul sont donc : le champ de températures initiales : {T 0 }. la précision ε. la quantité T m. Exemple : rayonnement en milieu infini Soient 1 et 2 les deux faces d un mur de surface A et d épaisseur = 0.3 m.

29 Thermique 25 es faces 1 et 2 sont respectivement soumises à une température imposée T 1 = 300 K et à un échange de chaleur par rayonnement (émissivité : ε = 0.6 ; température extérieure : T = 800 K). Soit λ = 40 W/(m.K) la conductivité thermique du matériau. a température T 2 est solution de l équation (6.20) : λa [ ] { } T = {A ε σ ( T 4 T2 4 )} T 2 soit K T 2 = F (T 2 ) avec : où les températures sont exprimées en Kelvin. a matrice tangente et le vecteur résidu sont : K = λ, F = λ T 1 + ε σ ( T 4 T 4 2 ) K t = K F T 2 = λ + 4 ε σ T 3 2, R = ε σ ( T 4 T 4 2 ) + λ ( T 1 T 2 ) es étapes de la résolution sont : 1. Choix de la température initiale : T Pour chaque itération i : K t T i 2 = R i 1 avec K t = λ + 4 ε σ T 3,i 1 2, R i 1 = ε σ ( T 4 T 4,i 1 2 ) + λ ( T 1 T i 1 2 ) T i 2 = T i T i 2 T i 2 ε? On obtient (programme nonlin 2) : Méthode de Newton-Raphson Itération K t (T2 i 1 ) Résidu T 2 T 2 (en K)

30 26 Méthode des éléments finis Méthode de Newton-Raphson modifiée Itération K t (T2 0) Résidu T 2 T 2 (en K) Méthode mixte : substitution et Newton-Raphson e mur (1 2 3) de surface A, d épaisseur et dont la conductivité λ(t ) dépend linéairement de la température, est soumis aux charges thermiques suivantes : rayonnement sur la face 1 : ϕ 1 = ε σ( T 4 T 4 1 ) convection sur la face 3 : ϕ 3 = h ( T f T 3 ) On donne : A = 1 m 2, = 500 mm λ(0 C) = 5 W/(m.K)), λ(500 C) = 20 W/(m.K)) ε = 0.8, T = 500 C h =100 W/(m 2.K)), T f = 20 C e mur est représenté par un élément isoparamétrique à trois nœuds équidistants : représentation de la géométrie : x(ξ) = ξ représentation du champ de températures :, J = x ξ = 2 ξ (ξ 1) T (ξ) = T 1 + (1 ξ 2 ) T a matrice de conductivité du mur est égale à : [K(T )] = 1 1 ξ (ξ + 1) 2 A λ(t (ξ)) [B(ξ)] T [B(ξ)] J dξ T 3

31 Thermique 27 où [B] = 1 [ 2 ξ 1 4 ξ 2 ξ + 1 ] es températures nodales sont les solutions de l équation non linéaire : T 1 A ε σ (T 4 T1 4) [K(T )] {T } = {F (T )} avec {T } = T 2 et {F } = 0 A h (T f T 3 ) Cette équation est résolue par une méthode mixte : substitution pour la non-linéarité du matériau et Newton-Raphson pour le rayonnement. À chaque itération, on résout : T 3 [K t (T i 1 )] { T i } = {R(T i 1 )} avec : {R(T i 1 )} = {F (T i 1 )} [K(T i 1 )] {T i 1 } [K t (T i 1 )] = [K(T i 1 )] + 4 A ε σ T 3,i A h On obtient (programme nonlin 3) : Itération T 1 T 2 T 3 T 1 (en C) T 2 (en C) T 3 (en C) = = T 2 (T 1 + T 3 )/2 = C Remarque : avec deux éléments à deux nœuds, on a : [k 1 2 ] = λ((t [ ] 1 + T 2 )/2) 2 1 1, [k ] = λ((t 2 + T 3 )/2) 2 et on obtient (programme nonlin 3a) : [ 1 ] T 1 = C, T 2 = , T 3 = C, T 2 (T 1 + T 3 )/2 = C 11 Résolution en régime transitoire Discrétisons la durée du chargement en intervalles de temps : t 0 t s. À l instant t compris entre t s et t s+1, en supposant une variation linéaire de la température sur l intervalle : t = (1 α) t s + α t s+1 = t s + α t avec t = t s+1 t s, 0 α 1 {T (t)} = (1 α) {T } s + α {T } s+1 = {T } s + α { T } avec { T } = {T } s+1 {T } s (11.1)

32 28 Méthode des éléments finis d où : T (t) = [ ] { } {T N N } s + α { T } P {T P (t)} (11.2) Figure 15 Composante T i de {T } On en déduit : { T } = {T } α α t = { T } t En portant les expressions ci-dessus dans l équation (6.20) il vient : { [ K ] { T } = { F (t)} avec : {T } s+1 = {T } s + { T } [ K ] = [C ] + α t [K ] { F ( (t)} = t {F (t)} [C P ] { T ) P (t)} [K P ] {T P (t)} [K ] {T } s (11.3) (11.4a) (11.4b) Remarque : certaines valeurs de α sont associées à des méthodes classiques : α = 0 : méthode d Euler explicite. α = 1/2 : méthode de Crank-Nicholson. α = 2/3 : méthode de Galerkin. α = 1 : méthode d Euler implicite Problème linéaire incrément de température { T } est égal à : { T } = [ K ] 1 { F (t)} (11.5) a stabilité du schéma d intégration dépend de α et de l incrément de temps. Exemple : considérons l équation à une inconnue : a solution exacte est : T = T 0 e ω t. algorithme ci-dessus s écrit : T + ω T = 0 avec T (0) = T 0 T s+1 T s t + ω ((1 α) T s + α T s+1 )

33 Thermique 29 d où : T s+1 = A T s avec A = 1 t (1 α) ω 1 + α t ω A l instant n t la température est égale à : T (n t) = A n T 0. Pour que la méthode converge, le module de A doit être inférieur à 1 d où : 1 α t ω < 1 t (1 α) ω < 1 + α t ω Il vient, après simplification : t ω < 0 et (1 2 α) t ω < 2 a première inégalité est toujours satisfaite ; la seconde l est si : ou α < 1 2 α 1 2 et t < 2 (1 2 α) ω De plus, il y a stabilité sans oscillation si le coefficient A est positif, ce qui impose : 1 t (1 α) ω > 0 soit : t < 1 (1 α) ω Figure 16 Domaine de stabilité (ω = 1) Soit ω max la plus grande valeur propre de [C] 1 [K]. On montre que ([2, 16, 11, 18, 26]) : le schéma d intégration est stable pour : t < 2 (1 2 α) ω max (11.6) Remarque : le schéma d intégration est inconditionnellement stable pour α 1 2. il y a stabilité sans oscillation si : t < 1 (1 α) ω max (11.7)

34 30 Méthode des éléments finis Exemple : considérons un mur de longueur dont les caractéristiques A, λ, ρ et c P sont constantes. Ce mur est représenté par n éléments à deux nœuds de longueur n. es matrices élémentaires sont égales à : [ k ] = n λ A [ 1 ] 1 1 1, [ c ] = ρ c P A 6 n [ ] d où les matrices globales : [K] = n λ A [C] = ρ c P A 6 n a plus grande valeur propre de la matrice [C] 1 [K] est : ω max = 12 λ n2 ρ c P 2 a condition de stabilité sans oscillation s écrit donc : 11.2 Problème non linéaire t max < ρ c P 12 (1 α) λ ( ) 2 n Si l équation (11.4) est non linéaire (non linéarité du matériau... ), le vecteur {F (t)} et l incrément de température { T } dépendent de la température. { T } est calculé par la méthode de Newton- Raphson ou une méthode mixte : À chaque chaque itération i, on résout : { [ Kt ( T i 1 )] { T i } = {Ri 1 } { T i i 1 } = { T } + { T i } (11.8a) où le résidu est égal à : {R i 1 } = { F ( T i 1 )} [ K ] { T i 1 } (11.8b)

35 Thermique 31 Remarque : si la non linéarité se réduit à un échange de chaleur par radiation en milieu infini (équation 2.2) : ϕ r = ε σ ( T 4 T 4 ) la matrice tangente est égale à : avec [ K t ( T i 1 )] = [ K ] + α t T i 1 = [ N S ϕ 4 ε σ T 3,i 1 [N ] T [N ] ds ] { {T N } s + α { T i 1 } } P {T P (t)} (11.9a) (11.9b)

36 32 Méthode des éléments finis A Caractéristiques de quelques matériaux isotropes λ : coefficient de conductivité thermique c P : capacité thermique massique α : coefficient de dilatation ρ : masse volumique Matériau λ c P α ρ W/(m.K) J/(kg.K) 10 6 K 1 kg/m 3 Acier inox Aluminium Cuivre Plexiglas Référence : S. aroze : Mécanique des structures. B Programmes Maple es programmes suivants sont dans le fichier : thermique.txt. B.1 lin 3n Élément isoparamétrique à trois noeuds équidistants : calcul des matrices élémentaires. restart:with(linalg): # représentation de la géométrie et jacobien x:=(1+xi)*/2;j:=/2; # fonctions d interpolation N:=[xi*(-1+xi)/2,1-xi*xi,xi*(xi+1)/2]; B:=vector([(2*xi-1)/,(-4*xi)/,(2*xi+1)/]): # matrice de conductivité k:=matrix(3,3,(i,j)->int(b[i]*b[j]*lambda*a*j,xi=-1..1),shape=symmetric); # matrice de capacité c=matrix(3,3,(i,j)->int(n[i]*n[j]*a*rho*cp*j,xi=-1..1),shape=symmetric); # vecteur flux d^u à une source volumique d intensité q f:=vector(3,i->int(n[i]*a*q*j,xi=-1..1)); B.2 nonlin 1 Résolution d un problème non linéaire par la méthode de substitution. restart:with(linalg): substitution:=1: conductivite_constante:=2:

37 Thermique 33 methode:=substitution; :=0.1:A:=1: # températures imposées T1:=20:T3:=100: # interpolation assume(xi,real): x:=(1+xi)*/2:j:=/2: N:=vector([xi*(xi-1)/2,1-xi*xi,xi*(xi+1)/2]): B:=vector([(2*xi-1)/,(-4*xi)/,(2*xi+1)/]): lambda:=proc(t::vector) local Txi: Txi:=dotprod(T,N): 20+(120-20)/100*(Txi): end: T:=vector([T1,(T1+T3)*0.5,T3]); precision:=0.1: max_iterations:=20: for iter from 1 to max_iterations do K:=matrix(3,3,(i,j)->int(A*lambda(T)*B[i]*B[j]*J,xi=-1..1)): if iter=1 then Kt1:=K[2,2]:fi: Residu:=-K[2,1]*T[1]-K[2,3]*T[3]-K[2,2]*T[2]: if methode=substitution then Kt:=K[2,2] else Kt:=Kt1:fi: dt:=residu/kt: T[2]:=T[2]+dT; print("iteration = ",iter); print("résidu",residu);print("dt = ",dt);print("t2 = ",T[2]); if abs(dt)<precision then break:fi: if iter=max_iterations then print("non convergence en ",iter,"iterations");fi: od: dt2:=t[2]-0.5*(t[1]+t[3]); F:=multiply(K,T):flux1:=F[1];flux3:=F[3]; plot([x,dotprod(t,n),xi=-1..1], labels=["x en m","t en C"],title="Température dans le mur"); B.3 nonlin 2 Résolution d un problème non linéaire par la méthode de Newton-Raphson. restart: newton_raphson:=1: newton_raphson_modifiee:=2:

38 34 Méthode des éléments finis methode:=newton_raphson; stefan:=5.67e-8;tcelsius:=273.15; :=0.3; T1:=300; Tinfini:=800; lambda:=40; emissivite:=0.6; T2:=0; precision:=0.01: max_iterations:=20: if methode=newton_raphson_modifiee then Kt:=lambda/+4*emissivite*stefan*T2^3;fi: for iter from 1 to max_iterations do if methode=newton_raphson then Kt:=lambda/+4*emissivite*stefan*T2^3:fi; residu:=emissivite*stefan*(tinfini^4-t2^4)-lambda/*(t2-t1): dt2:=residu/kt: T2:=T2+dT2; print("iteration = ",iter); print("kt = ",Kt); print("résidu = ",residu); print("dt2 = ",dt2); print("t2 = ",T2); if abs(dt2)<precision then break:fi: if iter=max_iterations then print("non convergence en ",iter,"iterations");fi: od: B.4 nonlin 3 Résolution d un problème non linéaire par une méthode mixte : substitution et Newton-Raphson. restart:with(linalg): stefan:=5.67e-8:tcelsius:=273.15: :=0.5:A:=1: # convection h:=100:tfluide:=20+tcelsius: # radiation emissivite:=0.8:tinfini:=500+tcelsius: # interpolation assume(xi,real): x:=(1+xi)*/2: J:=/2: N:=vector([xi*(xi-1)/2,1-xi*xi,xi*(xi+1)/2]):

39 Thermique 35 B:=vector([(2*xi-1)/,(-4*xi)/,(2*xi+1)/]): TNodales_celsius:=proc(T::vector) vector(3,i->t[i]-tcelsius): end: lambda:=proc(t::vector) local Txi: Txi:=dotprod(T,N): 5+(20-5)/500*(Txi-TCelsius): end: F:=proc(T::vector) vector([a*emissivite*stefan*(tinfini^4-t[1]^4),0,a*h*(tfluide-t[3])]): end: T:=vector([Tinfini,(Tinfini+Tfluide)*0.5,Tfluide]):TNodales_celsius(T); precision:=0.1: max_iterations:=20: for iter from 1 to max_iterations do K:=matrix(3,3,(i,j)->int(A*lambda(T)*B[i]*B[j]*J,xi=-1..1)): Residu:=matadd(F(T),multiply(K,T),1,-1): # matrice tangente K[1,1]:=K[1,1]+A*4*emissivite*stefan*T[1]^3: K[3,3]:=K[3,3]+A*h: dt:=linsolve(k,residu): T:=matadd(T,dT); print("iteration = ",iter);print("dt = ",dt); print("t = ",TNodales_celsius(T)); if norm(dt)<precision then break:fi: if iter=max_iterations then print("non convergence en ",iter,"iterations");fi: od: dt2:=t[2]-0.5*(t[1]+t[3]); flux1:=f(t)[1];flux3:=f(t)[3]; plot([x,dotprod(tnodales_celsius(t),n),xi=-1..1], labels=["x en m","t en C"],title="Température dans le mur"); C Programme Scilab C.1 nonlin 3a Résolution d un problème non linéaire par une méthode mixte : substitution et Newton-Raphson. Stefan=5.67e-8; TCelsius=273.15; function [lambda]=ambda(t) lambda=5+15*t/500; endfunction; // T en degrés Celsius

40 36 Méthode des éléments finis =0.5; // épaisseur en m // rayonnement sur la face 1 emissivite=0.8; Tinfini=500+TCelsius; // convection sur la face 3 h=100; Tfluide=20+TCelsius; // vecteur T initial en K T=[Tinfini;(Tinfini+Tfluide)/2;Tfluide] // substitution + Newton-Raphson max_iterations=10; eps=1e-2; convergence=%f; printf( \nitération dt1 dt2 dt3 ); printf( T1 T2 T3 (degrés Celcius)\n ); TC=T-TCelsius // vecteur T initial (degrés Celsius) printf( %5d %35.2f %7.2f %7.2f\n,0,TC(1),TC(2),TC(3)); for i=1:max_iterations // matrice de conductivité c1=ambda((tc(1)+tc(2))/2)*2/; c2=ambda((tc(2)+tc(3))/2)*2/; K=[c1,-c1,0;-c1,c1+c2,-c2;0,-c2,c2]; // matrice tangente Kt=K; Kt(1,1)=Kt(1,1)+4*emissivite*Stefan*T(1)^3; Kt(3,3)=Kt(3,3)+h; // vecteur flux et vecteur résidu Flux=[emissivite*Stefan*(Tinfini^4-T(1)^4);0;h*(Tfluide-T(3))] Residu=Flux-K*T dt=kt\residu // résolution du système linéaire par la méthode de Gauss T=T+dT // mise à jour TC=T-TCelsius; // températures en degrés Celsius printf( %5d %10.3f %7.3f %7.3f,i,dT(1),dT(2),dT(3)); printf( %9.2f %7.2f %7.2f\n,TC(1),TC(2),TC(3)); if norm(dt, inf )<eps convergence=%t; printf( \nconvergence en %d itérations\n\n,i);break; end if i==max_iterations printf( \nnon convergence en %2d itérations\n\n,i);end end; if convergence printf( Résidu : ); printf( R1 =%6.2f R2 =%6.2f R3 =%6.2f (W/m2)\n,Residu(1),Residu(2),Residu(3)); printf( Flux : F1 = %5.2f, F3 = %5.2f (W/m2) \n,flux(1),flux(3)); printf( T(2)-0.5*(T(1)+T(3)) = %5.2f degrés Celsius\n,T(2)-0.5*(T(1)+T(3))); end

41 Thermique 37 Références [1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, [2] K.-J. Bathe Finite element procedures in engineering analysis, Prentice Hall, [3] K.-J. Bathe et M. Khoshgoftaar Finite element formulation and solution of nonlinear heat transfer, Nuclear Engineering and Design 51 (1979), p [4] J.-. Batoz et G. Dhatt Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides élastiques, Hermès, [5] J.-M. Bergheau et R. Fortunier Simulation numérique des transferts thermiques par éléments finis, Hermès, [6] A.-M. Bianchi, Y. Fautrelle et J. Etay Transferts thermiques, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, [7] Y. A. Çengel Heat transfer. A practical approach, McGraw-Hill, [8] B. Chéron Transferts thermiques, Ellipses, [9] J. Crabol Transfert de chaleur, Masson, [10] G. Dhatt et G. Touzot Une présentation de la méthode des éléments finis, Maloine, [11] G. Dhatt, G. Touzot et E. efrançois Méthode des éléments finis, Hermès, [12] J. Dhombres et J.-B. Robert Joseph Fourier, Créateur de la physique mathématique, Belin, [13] J. Donea On the accuracy of finite element solutions to the transient heat-conduction equation, International Journal for Numerical Methods in Engineering 8 (1974), p [14] B. Eyglunent Manuel de thermique. Théorie et pratique, 2 éd., Hermès, [15] J. Fourier Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Réédition Jacques Gabay, [16] K. H. Huebner, E. A. Thornton et T. G. Byron The finite element method for engineers, Wiley, [17] T. J. Hughes Unconditionally stable algorithms for nonlinear heat conduction, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 10 (1977), p [18], The finite element method. inear static and dynamic finite element analysis, Dover, [19] J.-F. Imbert Analyse des structures par éléments finis, 3 éd., Cépaduès, [20] F. P. Incropera et D. P. DeWitt Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 4 éd., Wiley, [21] F. Kreith Transmission de la chaleur et thermodynamique, Masson, [22] F. Kreith et M. S. Bohn Principles of heat transfer, Brooks/Cole, [23] P. adevèze et J.-P. Pelle a maîtrise du calcul en mécanique linéaire et non linéaire, Hermès, [24] R. eleu Conception et technologie des systèmes thermiques, Hermès, [25], Procédés thermiques de base, Hermès, [26] R. W. ewis, K. Morgan, H. Thomas et K. N. Seetharamu The finite element method in heat transfer analysis, Wiley, [27] R. W. ewis, P. Nithiarasu et K. N. Seetharamu Fondamentals of the Finite Element Method for Heat and Fluid Flow, Wiley, [28] C. A. ong Essential heat transfer, ongman, 1999.

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