Séminaire de statistique version 1.0
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- Simone Cécile Alarie
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1 Séminaire de statistique version 1.0
2 Plan
3 Approche décisionnelle Test classique Choisir l une des 2 décisions suivantes :
4 Approche décisionnelle Test classique Choisir l une des 2 décisions suivantes : Hypothèse nulle H 0
5 Approche décisionnelle Test classique Choisir l une des 2 décisions suivantes : Hypothèse nulle H 0 Hypothèse alternative H 1
6 Approche décisionnelle Choisir l une des 3 décisions suivantes :
7 Approche décisionnelle Choisir l une des 3 décisions suivantes : Hypothèse nulle H 0
8 Approche décisionnelle Choisir l une des 3 décisions suivantes : Hypothèse nulle H 0 Hypothèse alternative H 1
9 Approche décisionnelle Choisir l une des 3 décisions suivantes : Hypothèse nulle H 0 Hypothèse alternative H 1 Information insuffisante, besoin de plus de données
10
11 Forme générale d un test statistique Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques, obtenues à partir de la : une mesure de la différence Z une mesure de l information V
12 Forme générale d un test statistique Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques, obtenues à partir de la : une mesure de la différence Z une mesure de l information V
13 Forme générale d un test statistique Tout test peut être exprimé en fonction de deux statistiques, obtenues à partir de la : une mesure de la différence Z une mesure de l information V
14 Quelques rappels La dépendant à la fois : des donnés X de paramètres d intérêt θ de paramètres de nuisance φ
15 Quelques rappels La dépendant à la fois : des donnés X de paramètres d intérêt θ de paramètres de nuisance φ
16 Quelques rappels La dépendant à la fois : des donnés X de paramètres d intérêt θ de paramètres de nuisance φ
17 Quelques rappels La dépendant à la fois : des donnés X de paramètres d intérêt θ de paramètres de nuisance φ
18 Quelques rappels En notant ˆφ(θ) l estimation du maximum de de φ pour une valeur de θ fixée, on a que l(θ, ˆφ(θ), X) est asymptotiquement une bonne approximation de la log- l(θ, φ, X) et qu elle ne dépendant que de θ.
19 Quelques rappels En notant ˆφ(θ) l estimation du maximum de de φ pour une valeur de θ fixée, on a que l(θ, ˆφ(θ), X) est asymptotiquement une bonne approximation de la log- l(θ, φ, X) et qu elle ne dépendant que de θ. On peut faire un développement limité à l ordre 2 de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ l(θ, ˆφ(θ), X) = constante + θ Z 1 2 θ Vθ + o(θ θ)
20 Les termes du développement limité Z est la dérivée première de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ V est la dérivée seconde de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matrice d information de Fisher) que l on utilise dans l approche séquentielle Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
21 Les termes du développement limité Z est la dérivée première de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ V est la dérivée seconde de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matrice d information de Fisher) que l on utilise dans l approche séquentielle Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
22 Les termes du développement limité Z est la dérivée première de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ V est la dérivée seconde de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matrice d information de Fisher) que l on utilise dans l approche séquentielle Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
23 Les termes du développement limité Z est la dérivée première de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ V est la dérivée seconde de l(θ, ˆφ(θ), X) par rapport à θ Ce sont aussi les statistiques Z (le score) et V (la matrice d information de Fisher) que l on utilise dans l approche séquentielle Quand θ est petit, Z suit une loi normale N(θZ, V)
24 Les statistiques Z et V en pratique Z = θ l(0, ˆφ(0), X) V = 2 θ θ l(0, ˆφ(0), X) + 2 «φ θ l(0, ˆφ(0), 2 «1 X) φ φ l(0, ˆφ(0), 2 «X) φ θ l(0, ˆφ(0), X)
25 Les statistiques Z et V en pratique Z = θ l(0, ˆφ(0), X) V = 2 θ θ l(0, ˆφ(0), X) + 2 «φ θ l(0, ˆφ(0), 2 «1 X) φ φ l(0, ˆφ(0), 2 «X) φ θ l(0, ˆφ(0), X)
26 1 Soit un échantillon d une loi normale N(µ, σ). La log- s écrit : l(µ, σ, x) = n 2 ln(2π)+ n 2 ln ( 1 σ 2 ) 1 2σ 2 x 2 i + 1 σ 2 µ x i n 2σ 2 µ2
27 1 Soit un échantillon d une loi normale N(µ, σ). La log- s écrit : l(µ, σ, x) = n 2 ln(2π)+ n 2 ln ( 1 σ 2 ) 1 2σ 2 x 2 i + 1 σ 2 µ x i n 2σ 2 µ2 Le paramètre d intérêt est la moyenne θ = µ et le paramètre de nuisance est la précision φ = 1, la log- s écrit σ2 alors : l(θ, φ, x) = n 2 ln(2π) + n 2 ln φ φ 2 x 2 i + φθ x i n 2 φθ2
28 1 Soit un échantillon d une loi normale N(µ, σ). La log- s écrit : l(µ, σ, x) = n 2 ln(2π)+ n 2 ln ( 1 σ 2 ) 1 2σ 2 x 2 i + 1 σ 2 µ x i n 2σ 2 µ2 Le paramètre d intérêt est la moyenne θ = µ et le paramètre de nuisance est la précision φ = 1, la log- s écrit σ2 alors : l(θ, φ, x) = n 2 ln(2π) + n 2 ln φ φ 2 x 2 i + φθ x i n 2 φθ2 ce qui donne : Z = ˆφ(0) x i V = ˆφ(0)n 2Z2 n
29 2 Soit deux échantillons respectivement de lois de Bernoulli B(m, p 1 ) et B(n, p 2 ). En prenant ( p1 θ = ln / p ) ( ) 2 p 1 p 2 et φ = ln 1 p 1 1 p 2 (1 p 1 )(1 p 2 ) on obtient Z = n x i1 m x j2 m + n V = mn( x i1 + x j2 ){(m x i1 )(n x j2 )} (m + n) 3
30 2 Soit deux échantillons respectivement de lois de Bernoulli B(m, p 1 ) et B(n, p 2 ). En prenant ( p1 θ = ln / p ) ( ) 2 p 1 p 2 et φ = ln 1 p 1 1 p 2 (1 p 1 )(1 p 2 ) on obtient Z = n x i1 m x j2 m + n V = mn( x i1 + x j2 ){(m x i1 )(n x j2 )} (m + n) 3
31 2 Soit deux échantillons respectivement de lois de Bernoulli B(m, p 1 ) et B(n, p 2 ). En prenant ( p1 θ = ln / p ) ( ) 2 p 1 p 2 et φ = ln 1 p 1 1 p 2 (1 p 1 )(1 p 2 ) on obtient Z = n x i1 m x j2 m + n V = mn( x i1 + x j2 ){(m x i1 )(n x j2 )} (m + n) 3
32 Liens entre l approche classique des tests et les statistiques Z et V En prenant un risque de première espèce α et un risque une puissance 1 α pour une valeur de référence θ R, pour une test unilatéral, on rejette l hypothèse nulle si Z k α, pour k α défini par P(Z k α ; θ = 0) = α P(Z k α ; θ = θ R ) = 1 α
33 Liens entre l approche classique des tests et les statistiques Z et V Comme Z(θ = 0) N(0, V) et Z(θ = θ R ) N(θ R V, V) cela revient à avoir : k α = 1 2 θ RV et V = ( ) 2 2ɛ1 α θ R
34 Représentaion d un test classique Z 1 2 θ RV rejeter H 0 accepter H 0 ( ) 2 2ɛ1 α θ R V
35 Plan
36 Avantages des plus éthiques que l approche classique ; nécessitent la plupart du temps moins de sujets.
37 Avantages des plus éthiques que l approche classique ; nécessitent la plupart du temps moins de sujets.
38 Inconvénients des la durée de l étude est aléatoire ; le nombre de sujets est aléatoire ; si la procédure s arrête rapidement, les estimations ponctuelles peuvent être très imprécises.
39 Inconvénients des la durée de l étude est aléatoire ; le nombre de sujets est aléatoire ; si la procédure s arrête rapidement, les estimations ponctuelles peuvent être très imprécises.
40 Inconvénients des la durée de l étude est aléatoire ; le nombre de sujets est aléatoire ; si la procédure s arrête rapidement, les estimations ponctuelles peuvent être très imprécises.
41 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
42 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
43 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
44 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
45 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
46 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
47 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
48 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
49 Test unilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
50 Test bilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
51 Test bilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
52 Test bilatéral du rapport de θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
53 Inconvénients du test séquentiel du rapport de La probabilité que le chemin franchisse une frontière est de 1. Malgré cela l étude peut durer très longtemps.
54 Inconvénients du test séquentiel du rapport de La probabilité que le chemin franchisse une frontière est de 1. Malgré cela l étude peut durer très longtemps.
55 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
56 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
57 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
58 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
59 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
60 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
61 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
62 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
63 unilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V
64 bilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
65 bilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
66 bilatéral θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θr 2V continuer rejeter H 0
67 Propriétés du test triangulaire C est un plan fermé. On s arrête obligatoirement au plus tard à un temps fini maximal. S arrête souvent un peu plus tard que le test du rapport de.
68 Propriétés du test triangulaire C est un plan fermé. On s arrête obligatoirement au plus tard à un temps fini maximal. S arrête souvent un peu plus tard que le test du rapport de.
69 Test bilatéral restreint θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
70 Test bilatéral restreint θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
71 Test bilatéral restreint θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
72 Propriétés du test restreint Ne s arrête plus tôt que si on accepte l hypothèse alternative H 1. Si on va jusqu au bout, il accepte plus souvent l hypothèse nulle H 0 que le test classique.
73 Propriétés du test restreint Ne s arrête plus tôt que si on accepte l hypothèse alternative H 1. Si on va jusqu au bout, il accepte plus souvent l hypothèse nulle H 0 que le test classique.
74 Test bilatéral répété ou groupé θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
75 Test bilatéral répété ou groupé θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
76 Test bilatéral répété ou groupé θ R Z rejeter H 0 continuer accepter H 0 θ 2 R V rejeter H 0
77 Propriétés des tests répétés ou groupés Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés. Comme pour les tests restreints, on ne s arrête prématurément que pour refuser l hypothèse nulle H 0. Le test restreint est plus économique sous l hypothèse alternative H 1 et le test répété sous l hypothèse nulle H 0.
78 Propriétés des tests répétés ou groupés Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés. Comme pour les tests restreints, on ne s arrête prématurément que pour refuser l hypothèse nulle H 0. Le test restreint est plus économique sous l hypothèse alternative H 1 et le test répété sous l hypothèse nulle H 0.
79 Propriétés des tests répétés ou groupés Le cadre séquentiel est naturel pour les tests répétés. Comme pour les tests restreints, on ne s arrête prématurément que pour refuser l hypothèse nulle H 0. Le test restreint est plus économique sous l hypothèse alternative H 1 et le test répété sous l hypothèse nulle H 0.
80 Le taux de signification à dépend de l endroit où l on sort. Quand on accepte l hypothèse alternative H 1, plus on sort tôt plus p est faible. Pour les tests du rapport de et triangulaires, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort tôt plus p est grand. Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort près de l abscisse plus p est grand.
81 Le taux de signification à dépend de l endroit où l on sort. Quand on accepte l hypothèse alternative H 1, plus on sort tôt plus p est faible. Pour les tests du rapport de et triangulaires, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort tôt plus p est grand. Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort près de l abscisse plus p est grand.
82 Le taux de signification à dépend de l endroit où l on sort. Quand on accepte l hypothèse alternative H 1, plus on sort tôt plus p est faible. Pour les tests du rapport de et triangulaires, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort tôt plus p est grand. Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort près de l abscisse plus p est grand.
83 Le taux de signification à dépend de l endroit où l on sort. Quand on accepte l hypothèse alternative H 1, plus on sort tôt plus p est faible. Pour les tests du rapport de et triangulaires, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort tôt plus p est grand. Pour les tests restreints et répétés, quand on accepte l hypothèse nulle H 0, plus on sort près de l abscisse plus p est grand.
84 Tous les peuvent être adaptés au cas où il y a des facteurs régressifs ou pronostiques. Le test se fait conditionnellement aux valeurs des coefficients des facteurs de nuisance (facteurs pronostiques servant à l ajustement).
85 Tous les peuvent être adaptés au cas où il y a des facteurs régressifs ou pronostiques. Le test se fait conditionnellement aux valeurs des coefficients des facteurs de nuisance (facteurs pronostiques servant à l ajustement).
86 Plan
87 1 association maladie chronique du foie et lichen plan ; 2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ; 3 association entre anticorps antiphospholipides et prééclampsie.
88 1 association maladie chronique du foie et lichen plan ; 2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ; 3 association entre anticorps antiphospholipides et prééclampsie.
89 1 association maladie chronique du foie et lichen plan ; 2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ; 3 association entre anticorps antiphospholipides et prééclampsie.
90 1 association maladie chronique du foie et lichen plan ; 2 association entre exposition aux acariens et sensibilisation ; 3 association entre anticorps antiphospholipides et prééclampsie.
91 Plan
92 Armitage, P. Sequential medical trials. Blackwell, 2 e édition, Gosh, B.K. (rédacteur) Handbook of sequential analysis. Decker, Siegmund, D. Sequential analysis. Tests and confidence intervals. Springer, Wetherill, G.B. et K.D. Glazebrook Sequential methods in statistics. Chapman and Hall, 2 e édition, Whitehead, J. The design and analysis of sequential clinical trials. Ellis Horwood, 2 e édition, 1997.
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