Modèles de Risques et Solvabilité en assurance Vie. Kaltwasser Perrine Le Moine Pierre. Autorité de Contrôle des Assurances et des Mutuelles (ACAM)

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1 Modèles de Rsques e Solvablé en assurance Ve Kalwasser errne Le Mone erre Auoré de Conrôle des Assurances e des Muuelles (ACAM 6, rue abou ARIS CEDEX 9 él. : fax : perrne.kalwasser@acam-france.fr perre.le-mone@acam-france.fr Résumé : Défne acuellemen dans la rélemenaon françase par un pourcenae des provsons mahémaques, la mare de solvablé en assurance ve va ceranemen évoluer dans les années à venr vers une défnon plus adapée aux caracérsques propres à chaque enreprse. L obje du raval es donc de proposer une approche de la solvablé prenan en compe des caracérsques de la socéé éudée (naure des enaemens, rendemen e volalé de l acf... mas pouvan êre ulsée dans la rande majoré des cas. L approche en queson es donc à m-chemn enre une mare fxe e un modèle nerne, rès spécfque à l enreprse concernée. L éude propose une approche des rsques de marché acon e de aux. Elle donne des résulas en marché comple, qu permeen noammen de calculer la mare de solvablé nécessare en foncon du rendemen de l acf sans rsque e de la volalé du porefeulle acon. La mare es ensue esmée en couverure par quanle. Enfn, les bases de l éude de la solvablé en marché ncomple son exposées. Mo clés : assurance-ve, solvablé, couverure, modèles nerne, marché ncomple

2 . INRODUCION DIFFERENES AROCHES DE LA SOLVABILIE LA REGLEMENAION EUROEENNE ACUELLE rudence dans le calcul des provsons rudence sur les acfs admssbles Calcul du mnmum rélemenare de mare de solvablé Elémens consuan la mare de solvablé LE ROJE SOLVABILIE EUDE EN MARCHE COMLE COUVERURE ARFAIE Un premer modèle sur un porefeulle «acons» Applcaon numérque Cas parculer classque : r a =r =%.r INRODUCION DES RACHAS : LES LIMIES DU MODELE «ACIONS» rx héorque de la couverure des rachas Applcaon numérque LE MODELE OBLIGAAIRE : «MACHING» DE FLUX FUURS Couverure des enaemens en l'absence de racha Inroducon des rachas Exemple numérque avec un modèle de volalé Hull e Whe Exemple numérque avec un modèle de volalé Ho e Lee Développemens possbles COUVERURE IMARFAIE : SOLVABILIE AR QUANILE DANS LE CAS D'UN OREFEUILLE «ACIONS» Défnon de l'horzon de la couverure mparfae : Calcul pour un conra qu ven d'êre souscr : Calcul en réme permanen : EUDE EN MARCHE INCOMLE LE OURQUOI DE L'EUDE EN MARCHE INCOMLE BASES HEORIQUES DE L'EUDE EN MARCHES INCOMLES CAS DISCRE : VERS UN MODELE DE SOLVABILIE EN ASSURANCE VIE Cadre énéral Résoluon formelle avec des rachas ndépendans de l'acf CONCLUSION BIBLIOGRAHIE... 3 ANNEXE : MODELISAION DES RACHAS... 3 ANNEXE : RIX DU U SUR ZERO-COUON ANNEXE 3 : CALCUL DE LA ROBABILIE RISQUE NEURE AR LA RANSFORMAION DE ESSHER ANNEXE 4 : CADRE GENERALE DE LA COUVERURE AR QUANILE E RESOLUION NUMERIQUE... 39

3 . INRODUCION Dans la rélemenaon françase, la mare de solvablé exée en assurance ve es un monan de capal équvalen à 4% des provsons mahémaques d'un conra en euros. our un conra en unés de compes, où le rsque fnancer es nul, ce rao es de % e correspond au seul rsque opéraonnel. De manère mplce, la rélemenaon reen un rsque fnancer de 3% envron des provsons mahémaques. Les ravaux du comé de Bâle sur la réforme de la solvablé des banques d'une par e d'aure par l'neracon crossane enre le seceur bancare e le seceur de l'assurance fon de la solvablé des companes d'assurance une préoccupaon majeure de l'unon européenne dans le cadre du proje de réforme «solvablé». Cependan, les récens débas au nveau européen pour défnr les fuures normes de solvablé «solvablé» - von vers une déermnaon au cas par cas de la mare. lus précsémen, les orenaons prses fon nervenr 3 nveaux de complexé : - le premer nveau es un rao smple, e don le franchssemen consuera un snal d'alere pour les auorés de conrôle - le deuxème nveau sera consué par l'ulsaon d'un modèle sandard de rsque - le rosème nveau es une approche basée sur les modèles nernes développés par chaque socéé, e valdé par les auorés de conrôle. L'objecf de ce mémore es d'éuder une ou pluseurs approches de la solvablé qu peuven êre la base du deuxème nveau. Il s'a donc de proposer des élémens de ce que pourra êre un modèle sandard de solvablé, permean de donner en foncon des caracérsques de chaque socéé (srucure de l'acf, nombre de sores de conras... la mare nécessare. Après avor présené les rélemenaons européennes e amércanes en maère d'assurance ve basées sur des raos forfaares, nous présenerons les ros plers de l'accord de Bâle : l'exence en fonds propres, le processus de survellance prudenel e la dscplne de marché e ces mplcaons probables sur le fuur réme de solvablé européen. Le es d'exblé (éa C6 bs basé sur des scénar défavorables qu ven d'êre ms en place e les mplcaons des nouvelles normes compables seron ans présenées dans le cadre de cee évoluon rélemenare. Nous présenerons ensue les spécfcés des conras d'assurance ve en euros. Ceux-c son caracérsés par une fscalé avanaeuse pour les sores de conras au-delà de ans, des exonéraons de dros de successon applcables aux capaux ransms va un conra d'assurance ve e un mécansme de parcpaon aux bénéfces réalsés par l'assureur sur la eson des acfs représenan ces enaemens. Ces conras son soums à dfférens rsques : le rsque de racha des conras avan échéance, le rsque de marché acon e le rsque de aux pour lesquels nous proposerons des modèles ans que le rsque opéraonnel (ncende du sèe par exemple qu es exrêmemen dffcle à esmer e le rsque de défau des conrepares (des émeeurs d'oblaons prncpalemen dans le cas de companes 3

4 d'assurance françases qu peu êre nélé en premère approche car les assureurs possèden en majoré des oblaons émses par les Eas de l'ocde ou des enreprses publques de ces mêmes Eas qu son répuées sans rsque. Nous consdèrerons dans un premer emps la couverure en marché comple des enaemens correspondan à un conra en euros à prme unque dans le cas où les acfs prs en couverure son des acons, dans un premer emps sans racha, pus avec des rachas, e enfn dans le cas où les enaemens son couvers par des oblaons avec des rachas ndépendans de l'évoluon des aux. Nous prolonerons ce raval par une éude de la solvablé par quanle, qu es plus rasonnable que la couverure parfae lorsque acf e passf son décorrélés. Nous nous pencherons enfn sur la possblé de consrure une approche de la solvablé en marchés ncomples, qu reflèe meux la réalé mas don l'ulsaon en praque se révèle délcae.. DIFFERENES AROCHES DE LA SOLVABILIE Le conrôle rélemenare de la solvablé des companes d'assurance en France es aujourd'hu prncpalemen basé sur le passf des companes. Les provsons e les élémens admssbles en représenaon de la mare de solvablé doven êre suffsans pour fare face aux enaemens e aux aléas. Ces deux élémens son ndssocables dans la mesure où des provsons prudenes e une exence en mare de solvablé relavemen fable peuven représener un monan plus mporan que des provsons calculées en espérance e une mare mporane comme le monre l'exemple suvan. So un enaemen de dans ans, nous consdérons cas : - un aux d'acualsaon de 3 % e une mare qu représene 4 % des provsons mahémaques (cas A - un aux d'acualsaon de 4,5 % e une mare qu représene % des provsons mahémaques (cas B. ableau : Exence de mare selon le scénaro à = rovsons mare somme Cas A 7,9 3,, Cas B 7,3 7, 77,3 Nous observons c que c'es dans le premer cas avec une mare représenan 4 % des provsons que la prudence es plus mporane, l faudra donc arder à l'espr que c'es la somme des provsons e de la mare qu mpore e non la mare seule, n les provsons seules. La séparaon enre capaux propres e provsons es compable e fscale mas pas économque.. La rélemenaon européenne acuelle.. rudence dans le calcul des provsons Les provsons mahémaques qu serven de base au calcul de la mare de solvablé en assurance ve son éales à la dfférence enre les enaemens de l'assureur e ceux de l'assuré à un nsan. De fa elles son fables au débu de la ve du conra 4

5 (l'espérance des enaemens de l'assuré e de l'assureur son nulles au momen de la snaure du conra e aumenen jusqu'au momen du débu du versemen de la rene pour un conra d'assurance ve avec sore en rene par exemple. La prudence dans le calcul des provsons echnques es un des plers de la solvablé en France. D'une par les ables de moralé qu serven aux calculs doven êre cerfées ou rélemenares e par prudence les ables de moralé des femmes son ulsées pour le calcul des aranes en cas de ve e celles des hommes pour le calcul des aranes en cas de décès. D'aure par le aux aran par le conra ne peu excéder : - 75 % du ME 3 sur les premères années du conra ; - mnmum (3,5 % ; 6 % du ME au-delà de ans. Le aux d'acualsaon des enaemens ne peu êre supéreur au aux aran e au rendemen des acfs qu son en représenaon des enaemens. Lmer celu-c pour le calcul des provsons mahémaques es pruden car la somme acualsée des enaemens es décrossane avec le aux d'acualsaon... rudence sur les acfs admssbles Il ne sera pas pruden pour une enreprse d'nvesr oues les prmes dans des oblaons rsquées d'une même socéé ou dans une devse aure que celle de ses enaemens. En effe cela l'exposera à des rsques de chane, de conrepare ou de concenraon rop mporans d'un pon de vue prudenel. C'es pour cee rason que des rèles de conruence, de dversfcaon e de dsperson on éé mses en places pour les acfs adms en représenaon des enaemens rélemenés (R 33- e suvan du code des assurances. Mas ces conranes on des lmes, par exemple ren n'empêche un assureur de représener ces enaemens avec un porefeulle nves dans des socéés d'un même seceur el que la haue echnoloe, qu es à la fos rsqué e don les valeurs son foremen corrélées...3 Calcul du mnmum rélemenare de mare de solvablé La mare de solvablé es défne dans les arcles R 334- à R du code des assurances. Elle représene au-delà des provsons echnques (provsons mahémaques, provson pour parcpaon aux excédens, provsons pour snsres à payer,... qu son la source prncpale de solvablé d'une compane d'assurance le "maelas" de sécuré conre l'alea dans la réalsaon de dvers rsques qu peuven affecer le passf ou l'acf d'une socéé d'assurance. Cee noon es équvalene à celle des fonds propres ulsée dans le domane bancare. Le aux d'acualsaon des provsons mahémaques es en énéral le aux aran donc une socéé qu prome % e une 3,5% auron les mêmes provsons e donc la même mare alors que l'enaemen de la seconde es plus rsqué. 5

6 ..4 Elémens consuan la mare de solvablé Les élémens admssbles en couverure du mnmum rélemenare de mare de solvablé son les acfs moblsables par l'enreprse en cas de dffculé fnancère au delà des acfs représenan les provsons echnques. Au mons deux lmes apparassen c, la premère es que % des plus-values laenes son prses en compe alors que celles-c son mposables e qu'une pare reven aux assurés va la parcpaon aux bénéfces. Une deuxème lme es que ce son les valeurs dans des condons normales de marché qu son prses en compe e non des valeurs de lqudaon. Le sysème franças (qu es laremen une reranscrpon de drecves européennes présene l'nconvénen de ne pas offrr de défnon cohérene d'un pon de vue économque du capal. En effe conraremen à la value a rsk par exemple qu correspond au capal nécessare pour fare face dans 99% des cas par exemple, les méhodes de raos forfaares ne présenen aucun len drec avec les objecfs prudenels, ls ne son basés que sur des raos calculés emprquemen e fxés ensue. Elle ne en compe de la composon d'acfs qu'au ravers de rèles smples de dversfcaon, de conruence e de dsperson. Enfn cee méhode es peu souple par rappor à la srucure spécfque d'une enreprse, noammen l'adéquaon acf e passf e la déermnaon des raos peu sembler assez arbrare dans les deux cas.. Le proje solvablé Sue à un rappor rems en par KMG, la commsson européenne a accéléré la réflexon enaée sur la réforme du sysème de solvablé dans l'unon européenne dans le cadre du proje "Solvablé " qu devra reposer sur les ros mêmes plers que Bâle : - une exence en fonds propres ; - un conrôle prudenel ; - la dscplne de marché. our auan des dfférences fondamenales exsen enre le conrôle bancare e le conrôle des companes d'assurances. D'une par les rsques de marché e de créd son essenellemen des rsques d'acfs e l n'exse pas en banque d'équvalen aux rsques de passf auxquels son soumses les enreprses d'assurance els que le rsque de sousprovsonnemen, le rsque de racha ou le rsque lé à la polque de souscrpon. D'aure par les accords de Bâle successfs on pour bu de manenr la sablé du sysème bancare mondal e par conséquen concernen surou les randes banques nernaonales alors que le conrôle prudenel en assurance a avan ou vocaon à proéer les assurés conre le rsque de falle ndvduelle d'une compane. S les deux derners plers semblen ransposables à l'assurance relavemen asémen, le premer nécesse des aménaemens auremen plus conséquens. Le premer pon que l'on peu soulever concerne la ypoloe des rsques qu es consensuelle e a fa l'obje de développemen de modèles basés sur les même rsques dans oues les banques, uné qu n'exse pas sur les modèles qu'on commencé à développer les prncpaux assureurs 6

7 européens. Le rsque de marché par exemple pore sur le porefeulle de néocaon, noon qu n'a pas d'équvalen en assurance, le rsque de aux relève lu d'un conrôle qualaf dans le deuxème pler de Bâle alors qu'l es cenral en assurance ve au ravers de la eson acf-passf; quan au rsque de créd, les oblaons faes aux companes d'assurance sur la qualé des acfs en représenaon des enaemens rélemenés le renden mons pernen. En ce qu concerne les modèles nernes, le problème de leur valdaon par les auorés de conrôle es plus complexe qu'en banque de par la dffculé à rouver une ypoloe commune e la lonueur des enaemens des assureurs (renes, lan d'eparne Rerae opulare,..., le conrôle a poseror des modèles de rsque de marché (qu es calculé sur jours éan déjà problémaque en banque 4. L'évoluon des exences en fonds propres dans le cadre des fuures drecves européennes nécesse donc une réflexon mporane e ne peu êre une smple ransposon de Bâle. ar la sue nous allons consdérer so un conra de durée ans à prme unque, so une énéraon de conras de ce ype. En effe les conras à versemen lbres son le produ le plus répandu parm les conras d'assurance ve. Dans ce cadre un versemen es équvalen à un conra à prme unque de même dae d'échéance que le conra car dans ce cas ce son les condons de marché au momen de la dae de versemen de la prme qu mpore rélemenaremen e non la dae de souscrpon du conra. Les élémens qu'l es alors mporan de consdérer son : - le aux proms par le conra (c'es à dre l'enaemen de l'assureur ; - la srucure des foncons de racha ; - les acfs prs en couverure des enaemens, c des acons e des oblaons. 3. EUDE EN MARCHE COMLE L'approche de la solvablé ne peu êre fae sans consdérer l'mperfecon des marchés, s'en es même une de ses premères rasons d'êre : le passf n'éan pas réplcable par des acfs dsponbles sur le marché, l es nécessare de prendre une mare supplémenare, d'où la mare de solvablé. Or on peu ou à fa nrodure cee problémaque en marché comple. Commencer par ce cas parculer smple perme de poser des conceps plus délcas à maner en marché ncomple. Cee premère approche permera en parculer de donner la héore de la couverure par quanle, qu es un oul néressan pour éuder la solvablé parelle (à 95 ou 99%, avec laquelle peu êre comparée une éude en Value a Rsque (VaR. 4. Couverure parfae Nous devons avan oue chose précser ce qu'es la mare de solvablé. Cee noon déjà présenée précédemmen comme un coussn de sécuré n'es pas une noon économquemen pernene. En effe, c'es la noon de porefeulle de couverure du passf d'assurance qu es pernen dans une approche économque : la rélemenaon e la compablé on découpé ce porefeulle V en deux pares, que son les provsons mahémaques (noées M e la mare de solvablé (noée MS : V=M+MS. 7

8 C'es avec cee dée que nous ravallerons, ou en conservan la déclnason en mare e provsons : conserver ce repère facle la comparason avec la rélemenaon e perme plus faclemen d'appréhender les valeurs numérques obenues. 4.. Un premer modèle sur un porefeulle «acons» our nore modèle, nous allons consdérer un conra d'assurance ve en euro, à prme unque, d'une durée de hu ans, e de aux echnque r. Dans un premer emps, l n'y a pas de racha possble avan le erme. Ans, l'enaemen de l'assureur es de verser.(+r dans hu ans. Il va donc devor mere en provson mahémaque la somme M =.(+ r /(+ r a, où r a es le aux d'acualsaon, c'es à dre le rendemen moyen des acfs sur cee pérode. ar prudence, ce aux do êre nféreur au aux echnque, la rélemenaon le lme d'alleurs au mnmum enre 6% ME e 3,5%. Enfn, les acfs ne son pas vendus avan les hu ans, les plus values ne son donc pas réalsées avan la sore du conra e l n'y a pas de parcpaon aux bénéfces venan aumener les provsons mahémaques avan la sore. S on prévo une revalorsaon à la sore, celle-c n'nerven qu'en cas de rendemen élevé des acfs au erme, e cela n'affece en ren l'exence nale en mare de solvablé. L'assureur va donc placer cee provson mahémaque dans un acf S, que nous supposerons suvre un modèle Black & Scholes : ds = μ d + σ dw S S = M où μ es le rendemen de l'acf, σ sa volalé, es W es un mouvemen brownen sandard. Or, placé dans ce acf rsqué (e en praque, l'acf de l'assureur compore oujours un rsque, une provson mahémaque calculée de manère prudene ne perme pas oujours à l'assureur de enr ses enaemens. En effe, la probablé pour que S <M =.(+ r n'es pas nulle. our êre solvable, l'assureur do donc allouer du capal, e consuer une mare de solvablé. Celle-c do êre suffsane pour couvrr les enaemens en cas de mauvase performance de l'acf : elle do assurer au mnmum le flux à la dae : (M -S +. On a donc alors dans ous les cas S + (M - S + M. La mare do donc pouvor êre vu comme l'acha d'une opon de vene (ou pu, de monan nal la provson mahémaque S =M, de srke K= M =(+r e de mauré ans. Il ne s'a là que d'un mnmum : pour que cee borne nféreure so pernene, l fau que le monan de la mare so effecvemen nves dans l'opon, ou serve à réplquer l'opon. Or l n'es pas oujours possble de rouver ces produs de couverure sur le marché, e la réplcaon demande elle une eson dynamque e connue du porefeulle : l conven donc de consdérer les résulas obenus dans ce cadre héorque smple avec un espr crque. On peu néanmons rearder ce que représene cee mare en proporon des provsons mahémaques, la rélemenaon rasonnan ans, e demandan à l'assureur un surplus de capal éal à 4% des provsons mahémaques. On consae dans nore modèle smple, que la solvablé n'es pas seulemen foncon des enaemens, mas auss de la qualé des acfs, ans que du deré de prudence dans l'acualsaon des enaemens.

9 4.. Applcaon numérque D'après la formule de Black & Scholes, s ρ es le aux sans rsque connu, consan au cours du emps : ( + r MS = u S = K = + r (, (, ρ, σ ( + ra ( + r ρ ( + ra MS = ( + r e N( d N( d σ 4ln( + ra + 4( ρ + où d = σ d = d σ 4..3 Cas parculer classque : r a =r =%.r Il es relavemen fréquen d'ulser le même aux pour le aux echnque e celu servan à acualser les enaemens. En effe, ces deux aux doven refléer le rendemen qu'l es rasonnable d'espérer duran la pérode du conra. En oure, par prudence, on prend un aux echnque nféreur à % du aux de l'acf sans rsque (aux Moyen des Empruns d'ea afn de prendre une mare de sécuré sur leur varaon fuure e de enr compe des coûs de l'assureur. De plus ces % permeen d'éver de consuer une provson pour aléas fnancers (AF, exée lorsque % du rendemen de l'acf de l'assureur es nféreur à ce qu'l a proms. laçons nous donc à r a =r =%.r Le aux de couverure ne dépend donc plus que de deux paramères, à savor le aux de l'acf sans rsque r, e la volalé de l'acf rsqué dans lequel la provson mahémaque es nvese. our r=4% e σ=%, les résulas obenus son encore rès élevés, pusqu'en réme permanen, l'exence mnmale de mare es de 5,5% des provsons mahémaques. ableau : hypohèses r r a r σ M( aux connu 3,% 3,% 4% %,66 3,9% Les résulas sur le beson de mare son présenés dans le ableau c-dessous. ableau 3 : beson en mare M( MS MS/M(,,7,7% 7,3,79 7,3% 6,65,796 7,43% 5,99,766 6,97% 4,343,77 6,4% 3,76,677 5,74%,,57 4,6% 9

10 ,467,44 3,6%,66,,% oal,43,56 5,49% Dans le cas plus énéral, nous pouvons racer le raphque du aux de mare en foncon de r e σ : Fure : aux de mare en foncon du rendemen e de la volalé de l'acf L'échelle du raphque éan chose de manère à consdérer des plaes de rendemen e de volalé rasonnables, on peu vor que la sensblé du aux de mare es plus fore par rappor à la volalé que par rappor au aux d'nérê de l'acf sans rsque. D'aure par, on remarque que la surface es relavemen proche d'un plan, on peu donc en rer une expresson relavemen smple du aux de mare en foncon de r e σ, à l'ade d'un développemen de aylor au pon (r=5% e σ=%. On a alors : x =, 36 -, r +, σ On peu donc consrure à parr de cee formule une able permean de donner le pourcenae des provsons mahémaques qu'l fau pour consuer un nveau mnmal de mare : ableau 4 : Exence de mare en foncon de r e σ \ r σ \,% 3,% 4,% 5,% 6,% 3,%,57%,3%,9%,55%,% 5,%,%,54%,%,6%,5% 7,% 4,9% 3,5% 3,5% 3,7%,3% 9,% 5,5% 5,6% 4,% 4,4% 4,4%,% 6,% 6,47% 6,3% 5,79% 5,45% 3,%,% 7,77% 7,43% 7,% 6,76% 5,% 9,4% 9,%,74%,4%,7% 7,%,73%,39%,5% 9,7% 9,37% 9,%,4%,7%,36%,%,6%

11 On consae donc que la mare rélemenare à 4% (don envron 3% de rsques fnancers ne peu convenr dans ous les cas de fure. Elle apparaî même ben souven nsuffsane. S'l fau fare la remarque que le porefeulle d'une compane d'assurance ve conen en énéral un rand nombre d'oblaons (envron % de son porefeulle, la rélemenaon perme à un assureur de déenr jusqu'à 65% d'acons en représenaon de ses enaemens rélemenés, e es donc foremen soums au rsque que nous venons d'éuder. 4. Inroducon des rachas : les lmes du modèle «acons» On a consdéré jusqu'à manenan que les conras allaen ous à leur erme, c'es à dre qu'ls éaen ous racheés à l'ssue de la huème année. Or un rsque mporan en assurance ve es celu du racha avan le erme, comme la rélemenaon le perme (elle prévo auss des pénalés don nous ne endrons pas compe dans cee éude. our éuder ces rachas (modélsaon en annexe, nous allons nrodure x la proporon de rachas à la fn de l'année par rappor au nombre nal de conras souscrs + (en fa à la dae = lm + ε. ε, ε > On a donc ~ x = =. A pror, les x~ son des varables aléaores posves H - mesurables où H es la flraon naurelle assocée au processus à saus ~ X = ~ x (nous noerons x = x H. A la dae, l'assureur do payer x.(+ r, e do par conséquen vendre la pare des acfs ms en représenaon de ces enaemens : x.s. Afn de se proéer conre ces rachas, l'assureur do couvrr la pere évenuelle par un flux : 4.. rx héorque de la couverure des rachas + + x.( + r - x. S = x ( + r - S A ce sade, l nous fau donc évaluer le prx du flux de couverure x.( r - x. S + +. La forme de ce flux es rès proche de celle d'une opon de vene : l conven ouefos de soulner que l'évaluaon du prx d'un flux en marché comple se fa en prenan l'espérance sous probablé rsque neure du flux acualsé, e que dans nore présen cas, la varable x nerven. Nous supposerons donc les x ndépendans de l'acf. ar la sue, nous consdérerons : - Q la probablé hsorque du processus X, auquel es assocée la flraon H sur l'ensemble des éas de la naure Ω X ; - la probablé hsorque du brownenw, auquel es assocée la flraon G sur l'ensemble des éas de la naure Ω ; S = - la probablé rsque neure pour S, équvalene à ;

12 - on peu défnr la flraon relave à l'ensemble de l'nformaon dsponble à une dae donnée : F = H G. S les x son ndépendans de l'acf, alors des éas de la naure Ω es défn par : Ω X e { ω ( ω, ω ω, ω } Ω =Ω Ω = = Ω Ω X S X S X X S S Ω S son dsjons, e l'ensemble La probablé sur Ω es alors la probablé Ω défne par ( ω, ω = ( ω ( ω Ω d dq d X S X S La probablé rsque-neure sur Ω es alors dω ( ω = ( ωx, ωs = dq( ωx. d ( ωs. C'es c que l'hypohèse de marchés comples joue. En effe, on suppose l'uncé de la probablé rsque neure (ou mesure marnale équvalene : cee hypohèse es c smplfcarce, e l'éude en marché ncomple es plus pernene. Cec d, elle n'es pas sans nérê, e les résulas obenus dans ce cadre son jusfés lorsque l'on cherche à évaluer les rsques avec un nombre moyen (ou déermné au préalable de rachas. Nous nous pencherons sur la manère de résoudre plus précsémen ce problème dans la pare suvane du rappor. A parr de ces hypohèses, on connaî faclemen la lo de x~ à parr de Q, pusque ~ x = X X. En marché comple, on peu donc évaluer le prx à la dae de souscrpon (= de la couverure MS des rachas à la dae par : ρ + MS = E e x(( + r S Ω donc (par le héorème de Fubn so ρ [ ] (( MS = E x E e + r S + Q [ ] MS = EQ x. u( S = M, K = ( + r, ρ, σ 4.. Applcaon numérque our éuder l'mpac des rachas sur la mare exble, reprenons les mêmes hypohèses que dans le modèle de base. Reardons, pour une énéraon de conras la couverure nécessare ndue par un aux de rachas annuel de 5%: ableau 5 : hypohèses r r a r σ M( aux connu 4,5% 3,5% 4% %. 3,9%

13 Les résulas sur le beson de mare son présenés dans le ableau c-dessous. ableau 6 : beson en mare dae x x.m( MS 5%,54, 5%,54,7 5%,54,5 3 5%,54, 4 5%,54,4 5 5%,54,34 6 5%,54, %,54,449 6%,64,599 La couverure sans racha sera de 9,%. Lorsque l'on calcule la somme des MS rapporé aux provsons mahémaques nales, on rouve un quoen éal à 7,3%. On consae donc une dmnuon du beson de mare, ce qu relavemen surprenan. En fa, ce résula es dû à deux lmes du modèle : - La premère lme proven de l'absence d'adéquaon acf-passf : cee adéquaon es en praque obenue en assurance par l'acha d'oblaons, qu peuven en pare réplquer les enaemens fuurs. En effe, s l'assureur prome du 4% sur ans, l peu avor dans son porefeulle une oblaon de rendemen 4% e d'échéance ans (dans la praque, l n'es évdemmen pas ceran de rouver l'acf en queson sur le marché, mas l'exemple es donné à re d'llusraon. Dans ce cas, l y a un rsque quas-nul en cas d'absence de rachas, l'nroducon de ces derners ndusan un rsque de aux, l'assureur devan vendre une pare de ses oblaons avan l'échéance. - Dans le cas où l'acf de l'assureur es un porefeulle acon, l n'y a aucun «machn» des flux fuurs, seule compe l'ncerude des revenus fuurs, qu es mons rande à brève échéance : les rachas dmnuen donc cee ncerude en rédusan l'horzon de paemen. - La seconde lme proven de l'évaluaon en marchés comples. En revenan aux calculs de la couverure MS d'un racha à la dae on consae que le erme E Q [ x ] ne reflèe que rès parellemen le rsque auquel l'assureur es exposé. En effe, ce derner n'es parfaemen couver que dans les cas où x rese nféreur à E Q [ x ]. Nous revendrons sur ce pon dans la pare sur les marchés ncomples : s dans ce cas l'ulsaon praque des résulas héorques sera smple, leur jusfcaon demande quelques développemens non rvaux. On peu auss consaer que le modèle es ndfféren aux hypohèses de mse en run-off de l'acvé, ou de sa connué (nouvelle souscrpon de conras dans le fuur. En effe, la perspecve de nouveaux conras devra fare dmnuer le rsque, la vene de l'acf pour payer les sores de conras pouvan alors êre remplacées par l'aen "cash" des nouveaux enrans, ces derners prenan alors les dros sur les acfs. Or dans ce modèle, plus 3

14 ve l'acf es vendu, mons le rsque es rand : l n'y a pas de prse en compe de la eson acf-passf fae par l'assureur, afn de macher les flux fuurs. 4.3 Le modèle oblaare : «machn» de flux fuurs Dans une premère approche, nous avons fa le chox de ne consdérer qu'un porefeulle acon. Smple à éuder, l ne correspond qu'à une pare de la réalé, 75% à % de l'acf d'une compane d'assurance ve éan en énéral consué d'oblaons. En effe, consdérons pour smplfer qu'l exse sur le marché des oblaons d'échéance ans, fournssan un aux fxe r b r. our smplfer les calculs, nous supposerons que cee oblaon ne verse aucun flux avan le erme e verse à l'échéance le nomnal capalsé au aux r b. En nvesssan les provsons mahémaques dans ce acf, l'assureur ne prend donc aucun rsque fnancer en l'absence de racha. En effe, son nvesssemen lu assure de pouvor fournr le monan aran dans ans. Le problème se pose lorsqu'l y a une sore de conra : l'assureur do alors vendre une pare de son acf. S'l y a eu enre emps une hausse des aux d'nérê, la valeur de l'oblaon aura bassé, e l'assureur ne pourra enr son enaemen avec la seule vene de son nvesssemen. Ce cadre es encore rès smple, car l suppose que l'assureur rouve sur le marché les oblaons correspondan aux échéances de paemens (= ans, ce qu n'es pas oujours le cas. S l'échéance es supéreure à ans, même en l'absence de rachas, on se rerouve face dans le même cas de fure, où une hausse des aux fralse l'assureur. Dans le cas où la mauré de l'oblaon es nféreure à hu ans, une basse des aux pose un problème de refnancemen, l'assureur ne pouvan rouver sur le marché des produs permean d'obenr un rendemen éalan celu qu'l receva avec l'oblaon arrvée à erme. our éuder la solvablé dans ce cadre, l nous fau nrodure un modèle de aux d'nérês : pour reser dans l'espr Black & Scholes, nous prenons un modèle de Heah Jarrow Moron. Dans ce modèle, le zéro coupon d'échéance es un acf qu verse à la dae, son prx à la dae es noé B(,, e sa dynamque donnée par : db(, = μ(, d+ σ(, dw B (, B (, = en l'absence d'opporuné d'arbrae μ(, es l'espérance du aux de rendemen nsanané de B(,, e σ(, sa volalé. W es un mouvemen brownen sandard sous la probablé hsorque Couverure des enaemens en l'absence de racha Comme précédemmen, l'assureur reço une prme unque, aran un aux echnque r, avec un aux d'acualsaon r a. Le aux sans rsque dépend lu de la mauré e es dédu du prx des zéro-coupons. La provson mahémaque consuée par la compane à la souscrpon du conra es la même que précédemmen : M =.(+ r /(+ r a. Ce monan es nves dans une oblaon fournssan un rendemen capalsé au aux r b : le flux versé à la dae = ans par cee oblaon es donc (+ r b. Le aux r b de l'oblaon es le aux acuarel du coupon à ans : B(, (+ r b =, l'acf de la compane es donc consué d'un nombre N d'oblaons : 4

15 ( r ( + r + = N. B(,( + r b a A la dae, la valeur A de l'acf de l'assureur vau l'échéance du conra, on a (car B(,= ( + r A = ( + r ( + r b a = N ( + r A + = B(,( r b. A ( + ra On consae que la valeur de l'acf es suffsane pour honorer les enaemens prs s e seulemen s r a r b, ce qu es assuré par la rélemenaon. En l'absence de rachas, le rsque fnancer es donc nul, les flux fuurs éan parfaemen "machés" Inroducon des rachas Nous nous suons oujours en marchés comples, e la forme des aux de racha x~ su oujours celle défne dans le cas d'un acf nves en acons. Ans, à la dae, l'assureur do payer ~ x ( + r, en vendan les acfs ms en représenaon des conras racheés : x~ A. La mare nale do pouvor couvrr la pere évenuelle, en énéran un flux au mons éal à ~ ( ~ = ~ (( ( x r x A x + r A. Il s'a là encore d'un pu sur l'acf, consué c par un zéro coupon : avec : + ρs ds ( + r MS = E e x ( + r B(,( + r b Ω ( + ra donc (par le héorème de Fubn + ( + r ρs ( ( [ ] ds + r a MS = + rb E x e B(, Q E ( + ra ( + rb ( + r v = ( σ ( s, σ ( s, ds ( + ra K = ( + rb ( + r B(, K d = ln + v v B(, donc (preuve en annexe ( + r MS = E [ x Q ] ( + rb KB (, ( do B (, ( d v ( + ra N N ou encore : ( + r MS = E [ x Q ] ( + r B(, N ( do ( + r (, ( b B N d v ( + ra 5

16 4.3.3 Exemple numérque avec un modèle de volalé Hull e Whe s λ ( La forme de la volalé es (, ( e σ =, donc λ ( σ ( s, σ ( s, ds = s ( e λ + e λ e ( e 3 λ λ ( + λ e λ ( + Avec les valeurs numérques s=% e λ=4% On peu alors calculer le beson de mare lorsque le aux de racha es de 5% par an, r a =r =3,5% e r b =5%. ableau 7 : hypohèses aux lon M( B(, 5%,37,677 Les résulas son alors : ableau : Evoluon de l exence de mare pour un conra modèle de Hull e Whe dae M K( Courbe B(, v d N(d N(d-v MS aux,677,%,,%,35,7,75%,93,97% -,6,467,4,6E-3,7,75 3,%,943 4,5%,574,5,445 3,5E-3 3,9,75 3,6%,99 4,%,935,537,47,7E-3 4,4,777 4,%,5 3,6%,3743,594,54,6E-3 5,,4 4,35%,,4%,4369,66,67,3E-3 6,9,3 4,6%,764,39%,7975,7,76 5,7E-4 7,7,6 4,%,7 4,54%,9477,974,97,5E-5,37,9 5,%,677,% La provson mahémaque vau à la souscrpon, e la somme de opons nécessares pour couvrr les 5% de rachas annuels vau MS =,3 : on a dans ce cas une mare mnmale de,3%. On peu rearder la mare pour un conra en cours, souscr l y a k années, e.. k couver par une oblaon à mauré -k : on a alors pour { } = MS MS k k = = k = k = où MS E Q k [ ~ k x ] ( + r k + B(, N( d k ( + r ( + r a ( + r b B(, k n( d v 5 6

17 v k = ( σ ( s, k σ ( s, ds k ( + ra K = k ( + rb ( + r k k B(, K d = ln + vk vk B(, k On a donc un charemen en foncon de la durée d'ancenneé dans le conra qu évolue de la manère suvane : ableau 9 : Exence de mare en réme permanen modèle de Hull e Whe Durée dans % de conra M en M MS MS/M le conra resan en R cours en R MS(k,9,3% %,,3,35,56,4% 95%,9,3,7,4353 4,6% 9%,96,39 3,9,577 5,% 5%,94,49 4,4,663 5,46% %,9,5 5,,56 4,7% 75%,9,4 6,9,36,93% 7%,6,5 7,7,,% 65%,3,,37,,% 65%,6, On consae qu'l y un beson de mare plus élevé pour les conras en cours, souscrs l y a 3 ou 4 ans 6. Cec mpace donc le beson oal en réme permanen, qu es alors plus élevé que pour des conras souscrs dans l'année. Dans nore exemple, le rappor enre la mare e le monan oal des provsons mahémaques es de,94%, ce qu rese cee fos en dessous des 3% de rsques fnancers prévus dans l'acuelle rélemenaon Exemple numérque avec un modèle de volalé Ho e Lee La forme de la volalé es σ(,=s.(-, avec s=% Graphque : Volalé de Hull e Whe (HW e de Ho e Lee (HL 7

18 Avec aux lon de 5%, on a M(=,37 e B(,=,677, l exence de mare avec en réme permanen es calculée dans le ableau c-dessous. ableau : Evoluon de l exence de mare pour un conra modèle de Ho e Lee dae M K( Courbe B(, v d N(d N(d-v MS aux,677,%,,%,35,7,75%,93 4,% -,5,476,44 3,7E-3,7,75 3,%,943 6,97%,77,5,444 3,65E-3 3,9,75 3,6%,99 7,3%,333,54,47 3,37E-3 4,4,777 4,%,5 6,%,45,59,56,6E-3 5,,4 4,35%, 3,4%,379,645,594,74E-3 6,9,3 4,6%,764 9,%,69639,757,75 7,4E-4 7,7,6 4,%,7 5,9%,67769,953,94 5,E-5,37,9 5,%,677,% On oben cee fos un beson de mare de,54%, ce qu es léèremen supéreur aux,3% obenus avec Hull e Whe. ar conre, en réme permanen, la dfférence es nulle, l'écar enre les deux modèles dmnuan rès ve avec l'ancenneé dans le conra : le chffre de 3% des M es donc relavemen pernen sous ces hypohèses Développemens possbles Nous venons de rearder le cas où les oblaons acheées on pour mauré l'échéance du conra. Or praquemen, ce machn parfa des flux fuurs n'es pas oujours réalsable, oues les maurés n'éan pas dsponbles sur le marché. L'approche précédene par des us rese ouefos encore valable (s l'échéance de l'oblaon es nféreure à ans, l'opon es un call, e les calculs son de la même forme. D'aure par, l es possble par cee méhode d'évaluer la mare nécessare pour couvrr un mécansme de B. En effe, s l'acf de l'assureur es nves dans une acon S don 5% (mnmum rélemenare des plus-values son redsbuées en revalorsaon de la M, alors, pour un conra qu ven d'êre souscr e sans sore avan les ans : MS = E e + r + r S + ρ + MS = E e ( + r +.5 r r S = + ρ S+ S.5 = S Cee espérance sous probablé rsque neure s'évalue par moné-carlo, lorsque d l'on conna le chanemen de probablé (par le modèle de Black & Scholes ou d méhode de Essher présenée en annexe Couverure mparfae : solvablé par quanle dans le cas d'un porefeulle «acons» Jusqu'à présen, nous avons vu la mare de solvablé comme une opon que l'assureur do prendre afn d'êre ceran de enr ses enaemens. En marché comple, en +

19 supposan que ces dérvés exsen, on peu couvrr de manère cerane les flux fuurs. Or les valeurs exrêmes pouvan êre prses par le passf (valeurs élevées, mas surou par l'acf (valeurs rès fables aumenen foremen le prx de la couverure. Cela sera encore plus percepble en marché ncomple. Nous allons donc nous pencher sur la couverure par quanle, qu perme de prévor la mare suffsane permean de enr les enaemens dans 95 ou 99% des cas. Cee éape es d'auan plus néressane que, dans l'espr, elle se rapproche de l'éude en marché ncomple : on va chercher à sur-réplquer le passf sous un ceran nombre de conranes. Le cadre énéral de la couverure par quanle es présené en annexe Défnon de l'horzon de la couverure mparfae : Dre que l'on désre couvrr les enaemens au quanle α n'es pas une donnée suffsammen précse pour effecuer le calcul. En effe, l y a pluseurs manères de comprendre ce objecf. La premère qu ven à l'espr es de dre que ce son les flux à échéance qu doven êre couvers au quanle α. Or on vo ou de sue une lme fore : un même enaemen ne condu pas nécessaremen des flux versés à une dae unque. Nous défnrons donc la couverure au quanle α à l'horzon comme le prx mnmum d'une sraée permean d'obenr à la dae une valeur de porefeulle supéreure dans au mons α% à la valeur en des enaemens fuurs. En oure, nous prendrons pour horzon ans. Fxer un el horzon reven à dre que la mare de solvablé es suffsane 99 années sur, e que l'année où elle ne l'es pas, l fau remere du capal. rocéder ans a deux avanaes :. L'nsuffsance n'es pas consaée au momen de payer les enaemens, comme ce à quo condu une couverure en pourcenae des flux fuurs.. La pérode de an correspond à la fréquence des blans, e donc des réévaluaons des enaemens. C'es donc plus parculèremen à ce momen que la mare de solvablé peu-êre renforcée Calcul pour un conra qu ven d'êre souscr : Nous nous suons de nouveau dans le modèle smple, en l'absence de rachas, où la mare s'exprme par : 9

20 A la dae quelconque, on sa que ( + r MS = u S = K = + r (, (, ρσ, ( + ra ( + r ρ N N ( + ra MS = ( + r e ( d ( d σ 4ln( 4( où + ra + ρ + d = σ d = d σ S = S Donc à la dae, la valeur aléaore de l'acf es : e ( + r ( μ σ + σw ( μ σ + σw = e ( + ra s = S ( u = e ( μ σ où u N (,, donc sa densé f ( u = e Π On a + r s u = ( s = σ μ + ln σ + ra u ( + r ( + r a e σu Or d( s f ( u = f ( ( s ds, on a donc la densé de la lo de l'acf : ds d( s f ( ( s ds La densé de S es donc, pour μ=%, σ=%, r a =r e = Graphque : Densé de S A l'ssue de la premère année, l'acf S de l'assureur vaudra s, e ses enaemens seron le monan de la mare permean d'assurer le flux ((+r -S + à échéance. Le monan de cee mare sera donc :