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1 École doctorale d astroome et d astrophysque d Île de Frace. I.A.P., févrer 2013 Post-master. Approche statstque bayésee par l exemple Aalyse de surve Mchel Foc (Mchel.Foc@ap.fr, www2.ap.fr/users/foc/esegemet/aalyse_de_surve/) L aalyse de surve désge u esemble de techques statstques permettat de trater des doées soumses à ue cesure, c est-à-dre de doées dot l o e coaît, pour certaes d etre elles, qu ue bore féreure ou supéreure et o ue valeur précse. Elle est appelée survval aalyss ou lfetme data aalyss das la lttérature aglo-saxoe ; vor auss cesorg, cesored data. I. Domaes d applcato E médece, l aalyse de surve permet d évaluer l effcacté d u tratemet. O souhate par exemple estmer la durée de surve probable d u patet. O utlse pour cela u échatllo de malades dot o coaît, pour chacu d eux, sot la vrae durée de surve (doée o cesurée ou détecto), sot ue bore féreure de cette durée (doée cesurée). Le deuxème cas se produt lorsqu o perd la trace d u patet, par exemple e raso d u déméagemet, ou lorsqu l décède pour ue cause dépedate. E démographe, l aalyse de surve sert à costrure des tables de mortalté. Celles-c sot utlsées par les actuares pour détermer le motat des assuraces-ve et retes vagères, etre autres ; o parle de tables actuarelles quad les doées sot regroupées das des tervalles. E géere, l aalyse de surve permet d estmer la fablté de maches, de composats électroques... L aalyse de surve est auss utle e astrophysque. Imagos que l o at détecté des sources à ue logueur d ode λ et qu o observe aux mêmes postos à ue autre logueur d ode, λ. Certaes sources e sot pas détectées à λ car le rapport sgal/brut, l /b, est trop fable. Commet calculer alors la dstrbuto des couleurs m m = 2,5 log 10 (l /l) + c te? II. Notatos et déftos Repreos l exemple d u tratemet médcal. O cosdère ue populato de patets dot la durée de surve est décrte par ue varable aléatore T. U échatllo de dvdus est tré aléatoremet de cette populato. Les varables aléatores T (avec 1, ) décrvat la durée de surve des patets sot supposées dépedates et detquemet dstrbuées (selo la lo de T). La durée de ve effectve du patet o est otée t. Elle est cesurée s t > s. Posos τ = m{t, s } et 1 s t s (détecto), δ = 1(t s ) = 0 s t > s (doée cesurée). 1

2 Pour chaque patet, o coaît τ et δ. O coaît auss le seul s pour les doées o cesurées, mas cette formato e sera pas utlsée c (elle pourrat l être e revache pour des smulatos). La probablté de surve sera décrte par l ue des foctos suvates : Focto de répartto (ou probablté cumulée) F(t) : Desté de probablté f (t) : Focto de surve S(t) : F(t) = P(T t). f (t) dt = P(t T < t + dt), sot f (t) = df dt. S(t) = 1 F(t) = P(T > t). O recotre parfos auss la focto de hasard, h(t) = f (t)/s(t). O va chercher des estmateurs de ces quattés à partr d u échatllo de talle. O adoptera les otatos suvates : X ou X : estmateur de la varable aléatore X e l absece de cesure. ˆX ou ˆX : estmateur de X dérvé de l estmateur de Kapla & Meer. ˇX ou ˇX : autre estmateur de X e présece de cesure. S forme de la lo est supposée coue (lo ormale par exemple) mas que ses paramètres (moyee, dsperso) sot cous, o procède à ue estmato paramétrque. S la forme de la lo elle-même est à détermer, l s agt d ue estmato o paramétrque. L estmato paramétrque est plus facle à réalser (par exemple e maxmsat la vrasemblace ; cf. V) ; elle permet d extrapoler hors du domae des valeurs observées et de predre e compte les certtudes observatoelles ; elle est plus effcace s la forme de la lo de probablté adoptée est correcte (cf. Mller (1983)). So, l estmato o paramétrque est préférable, mas les estmateurs o paramétrques sot plus dffcles à costrure. III. III.1. III.2. Types de cesure Nature de la cesure Cesure à drote : o e coaît pour certas qu ue bore féreure de t (cf. exemple médcal). Cesure à gauche : o e coaît pour certas qu ue bore supéreure de t (cf. exemple astrophysque). Il sufft de remplacer τ par τ pour obter ue cesure à drote, ou meux, par max j 1, {τ j} τ pour que les τ soet tous postfs, ce qu o supposera par la sute pour l estmato o paramétrque. Cesure par tervalle : o e coaît pour certas qu ue bore supéreure et ue bore féreure de t (o traté c ; cf. lttérature). Cec se produt otammet s u patet se red à l hôptal à des dates régulères : s l e se présete pas à u redez-vous, o sat seulemet que so décès s est produt das l tervalle etre la derère vste et le redez-vous. Processus de cesure La termologe est passablemet fluctuate et cofuse. Cesure de type I : les seuls de détecto sot fxés a pror. S le seul est commu à toutes les valeurs, o parle de cesure smple ; so, de cesure progressve ou gééralsée. Ue étude lmtée à ue durée prédéfe de l effcacté d u tratemet médcal applqué, dès t = 0, à tous les patets d u échatllo costtue u exemple de cesure smple de type I. 2

3 S des patets retret das l échatllo e cours d étude, l s agt d ue cesure progressve de type I. Das l exemple astrophysque, o a ue cesure smple de type I pour les lumostés l lorsque les sources détectées à la logueur d ode λ sot cosdérées comme o détectées à λ s l est féreure à u seul uforme (par exemple, 3 b, où b est le brut das le champ). À cause de l éparpllemet des magtudes m, les couleurs m m subsset ue cesure gééralsée de type I. Cesure aléatore (parfos qualfée de cesure de type III) : pour chaque élémet de l échatllo, le seul est aléatore et dépedat de t. E pratque, la cesure aléatore est proche d ue cesure gééralsée de type I. La cesure smple de type I est u cas partculer de cesure aléatore das le cas où les s sot tous dstrbués de la même maère avec ue dsperso ulle. Cesure de type II : o fxe a pror le ombre k de détectos. Toutes les valeurs o observées ue fos ce ombre attet sot cesurées. Le seul est doc fxé a posteror. Das l exemple médcal, o arrête l étude dès que le ombre de décès dépasse k. Das l exemple astrophysque, o observe, à ue logueur d ode λ, u champ où sources so déjà coues à λ. L observato dure jusqu à ce qu u ombre k de ces sources soet détectées à λ (ce qu ft par se produre, le rapport sgal/brut augmetat ormalemet avec le temps...). Icovéet : la durée totale d observato est pas maîtrsée. Trocature : l exstece même des dvdus o détectés est coue. Das l exemple astrophysque, cec se produt pour les sources qu e sot détectées à la logueur d ode λ, à λ. III.3. Hypothèse de la cesure o formatve O supposera la cesure o formatve, c est-à-dre que P(t T < t + dt T > τ et δ = 0) = P(t T < t + dt T > s ). E clar, le fat que l observato o sot cesurée e dt re d autre que t > τ : o e peut otammet pas e coclure que t est «lo» ou «près» de τ. Exemple de cesure formatve : patets abadoat u tratemet médcal car ls ot le setmet, peut-être justfé, que leur état e s amélore pas. IV. IV.1. IV.1.a. Estmato o paramétrque E l absece de cesure Méthode drecte U estmateur emprque S (t) de S(t) est la fracto de valeurs t strctemet supéreures à t. S les t sot ragés par ordre crossat (t 1 t 2... t ), o a 1 s t < t 1, S (t) = ( )/ s t [t, t +1 [, 0 s t t. O peut auss écrre S (t) = F (t) = 1(t > t ) 1(t t ), 3

4 et f (t) = d F dt = δ(t t ) où δ est la dstrbuto de Drac. Le pods de chaque doée est doc 1/., IV.1.b. Produt des probabltés codtoelles O suppose c les t j dstcts. Posos t 0 = 0, p 0 = P(T > t 0 ) (= 1) et j 1,, p j P(T > t j T > t j 1 ) = P([T > t j] et [T > t j 1 ]) P(T > t j 1 ) = P(T > t j) P(T > t j 1 ). U estmateur de p j est p j = j j + 1. De même, s t [t, t +1 [, u estmateur de p, t P(T > t T > t ) est Or p, t = = 1. S(t) = P(T > t T > t ) P(T > t T > t 1 )... P(T > 0). Pour t [t, t +1 [, u estmateur de S(t) est doc S (t) = p, t p j = j j + 1 =. O retrouve be le résultat obteu par la méthode drecte. IV.2. E présece de cesure. Estmateur de Kapla & Meer O suppose c que certaes doées sot soumses à ue cesure o formatve à drote (peu mporte le processus). IV.2.a. Cas où les valeurs sot toutes dstctes O a toujours Ŝ (t) = 1(t > t ) mas les valeurs vraes t sot désormas coues pour les doées cesurées. L estmato drecte est doc mpossble 1 (cf. IV.2.e. cepedat). E revache, s la méthode du produt des probabltés codtoelles apporte re e l absece de cesure, elle présete l avatage de se gééralser au cas où des doées sot cesurées : o costrut as l estmateur de Kapla & Meer. Supposos les τ dstcts et ragés par ordre crossat. Comme précédemmet,, Ŝ (t) = ˆp, t ˆp j, 1. Notos qu élmer toutes les doées cesurées ou les cosdérer comme des détectos revet à surestmer F(t) ; au cotrare, remplacer les valeurs cesurées par la plus grade valeur, τ, qu elle sot détectée ou o, codut à sous-estmer F(t). 4

5 mas le calcul des ˆp j et de ˆp, t dot être modfé pour predre e compte les doées cesurées. S j correspod à ue détecto, l y a, parm les t k, k j (les valeurs «à rsque»), j valeurs vraes t k das ]τ j, [ (tous les τ k, k>j, cesurés ou o) et j + 1 valeurs vraes das ]τ j 1, [ (les mêmes plus τ j ). O a doc ˆp j = j j + 1. S la doée o j est cesurée, l y a j + 1 valeurs vraes das ]τ j, [ (car t j > τ j ) parm les k j, et autat das ]τ j 1, [, doc ˆp j = 1. Remarque : l est utle de ter compte des valeurs cesurées τ k, k j 1 : les t k, k j 1 peuvet certes tomber das les tervalles ]τ j 1, + [ et ]τ j, + [, mas, s o e teat compte, e raso de l hypothèse de cesure o formatve, o devrat les affecter das ces deux tervalles proportoellemet à j et j + 1 respectvemet s j est pas cesuré, et à j + 1 et j + 1 so. Que j sot cesuré ou o, o peut écrre ( ) δj j ˆp j =. j + 1 Ef, ˆp, t = 1 s t τ. ˆp, t est e revache pas déf s t > τ («0/0»). Au fal, 1 s t < τ 1, ( ) δj j s 1, 1 et t [τ, τ +1[, j + 1 Ŝ (t) = 1 ( ) δj j s t = τ et δ = 0, j s t = τ et δ = 1. S t > τ, o sat que 0 Ŝ (t) Ŝ (τ ) car S(t) est ue focto décrossate postve. S δ = 1, o a doc Ŝ (t) = 0 pour tout t > τ ; s δ = 0, Ŝ (t) est pas défe précsémet. Remarque : les ˆp j sot évdemmet très certas : pour obter des valeurs plus fables, l faut regrouper les observatos das des tervalles assez larges ; o obtet alors les «estmateurs actuarels». Nous allos vor e revache que Ŝ (t) est u bo estmateur o paramétrque de S(t) ; Kapla & Meer (1958) l ot appelé product-lmt estmator car c est la lmte des estmateurs actuarels quad le ombre de valeurs par tervalle ted vers 1. E l absece de cesure, o retrouve la focto de surve emprque. IV.2.b. Cas gééral Das le cas où les τ e sot pas dstcts, o applque la procédure suvate. Notos le ombre de valeurs dstctes et τ ces valeurs, ragées par ordre crossat. Sot, 1, le ombre de valeurs τ j supéreures ou égales à τ, d le ombre de τ j détectés égaux à τ et c le ombre de τ j cesurés égaux à τ. O a 1 = et j = j 1 d j 1 c j 1 pour tout j 2. La procédure applquée das la secto précédete reste valable e coveat que les valeurs cesurées égales à τ sot ftésmalemet supéreures aux valeurs détectées. O obtet alors 1 s t < τ 1, Ŝ (t) = j d j s 1, et t [τ, τ +1 [. j 5

6 Populato Échatllo Estmateur de Kapla & Meer Valeurs cesurées cosdérées comme détectées Valeurs cesurées élmées Valeurs cesurées remplacées par la plus grade valeur Fgure 1. Focto de répartto F(t) pour = 100 couples (t, s ) trés aléatoremet et uformémet das [0, 1]. L estmateur de Kapla & Meer est ue focto e escaler, cotue à drote et dscotue à gauche aux valeurs détectées seulemet. O a ˆ f (t) = w δ(t τ ), avec w = Ŝ (τ ) Ŝ (τ ) = Ŝ (τ 1 ) Ŝ (τ ). Le pods w est ul pour les valeurs cesurées, et dfféret de 1/ et varable pour les valeurs détectées. IV.2.c. Applcato O veut estmer la durée de ve typque d ue ampoule euve. O dspose d u échatllo de = 11 ampoules qu o allume à l stat t = 0 et qu o étude pedat 10 mos. Par mesure d écoome, o étet certaes ampoules e cours d étude à des stats défs a pror ; d autres claquet avat qu o e les étege. 6

7 N o de l ampoule Date d extcto Date de claquage (e mos) (e mos) Costrusos l estmateur de Kapla & Meer de la focto de surve d ue ampoule. Les τ j preet les valeurs suvates : Ampoule o j τ j = 2 = 1 > 10 > 1 > 8 = 6 = 4 = 3 > 2 = 3 > 6 Il faut d abord ordoer et regrouper les τ j. Il y a = 7 valeurs dstctes τ. τ d c ( d )/ Ŝ (τ ) /11 10/11 = 0, /9 8/9 0,909 = 0, /7 5/7 0,808 = 0, /5 4/5 0,577 = 0, /4 3/4 0,462 = 0, ,346 = 0, ,346 = 0,346 : ombre de τ j τ. d : ombre de τ j détectés et égaux à τ. c : ombre de τ j cesurés et égaux à τ. O a 1 = et +1 = d c. Ŝ (τ 0 ) = 1 et Ŝ (τ ) = d Ŝ (τ 1 ). Focto de surve emprque 1 s t < τ 1, Ŝ (τ Ŝ (t) = ) s t [τ, τ +1 [ et 1, 1, Ŝ (τ ) s t τ. Estmateur de Kapla & Meer Fgure 2. Focto de surve d ue ampoule. 7

8 IV.2.d. Redstrbuto des doées cesurées à drote L estmateur de Kapla & Meer peut être costrut selo la procédure tératve suvate, plus tutve mas mos effcace umérquemet : 1. Ordoer les τ de maère crossate. S des valeurs cesurées sot égales aux valeurs détectées, placer celles-c avat celles-là ; 2. Cosdérer la valeur o comme détectée ; 3. Attrbuer talemet le pods w = 1/ à toutes les valeurs, détectées ou o ; 4. E allat de = 1 jusqu à = 1, s la valeur o est cesurée, attrbuer so pods w à tous les j > qu sot détectés e proporto de leur pods, c est-à-dre calculer W = et fare les affectatos suvates : j + 1,, w j w j + w δ j w j W ; w 0 ; 5. Calculer ˆF (t) = w 1(t τ ). δ j w j j=+1 IV.2.e. IV.2.e.. Proprétés de l estmateur de Kapla & Meer Bas et covergece L estmateur de Kapla & Meer est légèremet basé : e gééral, E( ˆF [t]) < F(t), où E désge l espérace. Il est e revache coverget (cosstet estmator) : ɛ > 0, Il est doc asymptotquemet o basé : lm P ( ˆF [t] F[t] ) ɛ = 0. lm E( ˆF [t]) = F(t). IV.2.e.. Auto-cohérece E l absece de cesure, u estmateur de S(t) est S (t) = 1 E présece de cesure, o peut ecore écrre S (t) = 1 1(t > t). (δ 1[t > t] + [1 δ ] 1[t > t]), mas la valeur de 1(t > t) est pas coue pour les doées cesurées. S u estmateur Š (t) de S(t) est cou, o peut estmer l espérace de 1(t > t) sachat que δ = 0 et t > s : o a E(1[t > t] δ = 0 et t > s ) = P(T > t) P(T > s ), doc Ě(1[t > t] δ = 0 et t > s ) = Š(t) Š (s ). 8

9 L estmateur de Kapla & Meer présete la proprété d être auto-cohéret (self-cosstet ; Efro, 1967), c.-à-d. que Ŝ (t) = 1 ( ) Ŝ (t) δ 1[t > t] + [1 δ ]. Ŝ (s ) S l o part d ue focto de surve arbtrare (mas compatble avec les cotrates sur ue focto de surve) Š (0), o peut calculer tératvemet ue estmato Š (k) par Š (k) (t) = 1 δ Š (k 1) (t) 1[t > t] + [1 δ ] Š (k 1) (s ). et l o a lm k Š (k) = Ŝ. IV.2.f. Lmtatos de l estmateur de Kapla & Meer L estmateur de Kapla & Meer est dscotu. Pour certaes applcatos, l est écessare de le lsser e le covoluat avec u oyau. Il e pred pas e compte les certtudes sur les valeurs t et les cesures s. Elles sot églgeables e statstques médcales (la date de décès ou de sorte de l échatllo d u patet est coue précsémet), mas souvet crucales e astrophysque. Ces certtudes s ajoutat à la dsperso trsèque de la lo de dstrbuto (qu o peut caractérser par l écart-type autour de la moyee), la dsperso apparete estmée à partr de l estmateur de Kapla & Meer surestme la dsperso trsèque. Par alleurs, le seul de cesure est souvet arbtrare e astrophysque : o peut as cosdérer qu ue source est pas détectée s so flux est féreur à 2, 3 ou 5 fos le brut (cf. Kashyap et al.). Des smulatos, de type bootstrap par exemple, peuvet permettre de modélser ces phéomèes et de corrger leurs effets. IV.2.g. Estmato de la médae La médae m est défe par F(m) (= 1 S[m]) = 1/2. U estmateur de la médae est doc obteu e cherchat la valeur ˆm telle que Ŝ ( ˆm ) = 1 2. ˆm tombe forcémet sur ue des valeurs détectées, sauf das le cas où l ue des marches de Ŝ vaut précsémet 1/2 : ˆm est alors pas précsémet déf (le même cas se produt e l absece de cesure à chaque fos que le ombre de doées est par : o covet alors que m = (t /2 + t /2+1 )/2). Das le cas étudé au IV.2.c, o trouve que ˆm = 4 mos (dem pour m à partr des valeurs vraes de l échatllo). IV.2.h. Estmato de la moyee Rappelos d abord que ous avos décalé toutes les valeurs de telle sorte que P(T < 0) = 0. La moyee µ est défe par µ = E(T) = t f (t) dt. t=0 Or f (t) = ds/dt. E tégrat par partes, o obtet µ = [ t S(t) ] + S(t) dt = t=0 t=0 S(t) dt. t=0 Ŝ (t) est costate et vaut Ŝ (τ ) sur [τ, τ [. U estmateur de µ est doc +1 ˆµ = Ŝ (τ ) (τ +1 τ ), =0 9

10 e posat τ 0 = 0, τ +1 = et 0 = 0. ˆµ est pas défe s Ŝ (τ ) 0, c.-à-d. s le derer pot est pas détecté. O covet gééralemet de poser Ŝ (τ ) = 0, mas o sous-estme alors la moyee. Avec cette coveto, o obtet das le cas étudé au IV.2.c que ˆµ 5,6 mos ( µ = 5,64 mos à partr des valeurs vraes, mas c est u coup de chace). IV.2.. Estmato de la varace et du bas par la méthode du bootstrap Il exste des formules complquées mas peu satsfasates pour estmer la varace et le bas de la lo. E pratque, l est plus commode de fare des smulatos. O peut otammet utlser la méthode du bootstrap, c.-à-d. qu o rééchatlloe aléatoremet l échatllo observé. Rappelos succctemet le prcpe de cette méthode : Pour chaque smulato q, o tre ombres aléatores t (q) selo la lo Ŝ (t) 2 ; O pose τ (q) = m{t (q), s } et δ (q) = 1(t (q) s ) ; O calcule l estmateur de Kapla Ŝ (q) (t) à partr des τ (q) et δ (q) ; O compare la dstrbuto des Ŝ (q) (t) à Ŝ (t) et o e dédut ue estmato de la varace et du bas de la lo. La même méthode permer de calculer la varace et le bas de quattés dérvées telles que la moyee, la médae ou la dsperso trsèque. Remarques Ŝ (t) état costate sur tout tervalle [τ, τ +1 [ et dscotue e tout pot correspodat à ue détecto, o e tre que des valeurs égales aux τ, δ =1. S ceux-c sot trop espacés, l peut être souhatable de lsser Ŝ (t) ou d «éparpller» aléatoremet les τ (q) autour des τ détectés. O peut ter compte des certtudes sur les τ e leur ajoutat ue erreur trée aléatoremet. La procédure décrte c-dessus est applcable au cas d ue cesure de type I. Das le cas d ue cesure aléatore, l est souhatable de trer auss les seuls s de maère aléatore (cf. Maller & Zhou, p. 239). O peut, là ecore, le fare par la méthode du bootstrap. V. Estmato paramétrque. Méthode du maxmum de vrasemblace Nous supposos c la forme de la lo coue. Notos θ = (θ 1,..., θ k ) les paramètres de la lo et S(t ; θ ) la probablté P(T > t θ ). V.1. E l absece de cesure E l absece de doées cesurées (et e églgeat les certtudes observatoelles), la vrasemblace, c.-à-d. la probablté que la stuato observée se produse coassat θ, doc d obter smultaémet T das [t, t + dt [ pour tout 1,, est la quatté L = P(T 1 [t 1, t 1 + dt 1 [ θ ) P(T [t, t + dt [ θ ) = f (t 1 ; θ ) dt 1 f (t ; θ ) dt, car les T sot des varables aléatores dépedates. La méthode du maxmum de vrasemblace cosste à adopter comme estmateur θ le vecteur θ maxmsat la vrasemblace ou, ce qu est plus commode umérquemet, mmsat L l L. Das le cas où f (t) est ue lo ormale de moyee µ = θ 1 et d écart-type (c.-à-d. de dsperso trsèque) σ = θ 2, ( ) ( 1 (t µ) 2 ) L exp 2 π σ 2 σ 2, 2. Il sufft de trer u ombre aléatore a de maère uforme das [0, 1] et de chercher t (q) tel que Ŝ (t (q) ) = a. 10

11 sot (t µ) 2 L = 2 σ 2 + l σ + c te. L est mmale pour µ et σ solutos du système { L/ µ = 0, L/ σ = 0}, sot µ = 1 t et σ 2 = 1 (t µ ) 2. O obtet les mêmes valeurs de µ et σ que par la méthode des momets. Rappelos que σ sous-estme σ car l est calculé à partr de µ au leu de µ (u estmateur o basé de σ 2 est (t µ ) 2 /( 1)). V.2. E présece de cesure S s est le seul de cesure pour la doée o, La vrasemblace est doc P(T > s ) = S(s ; θ ) = 1 F(s ; θ ) = [ L =, δ =1 P(T [τ, τ + dτ [ θ ] ) f (τ ; θ ) δ S(τ ; θ ) 1 δ., δ =0 t=s f (t ; θ ) dt. P(T > τ θ ) Das le cas d ue lo ormale de moyee µ = θ 1 et d écart-type σ = θ 2, S(t) = 1 2 erfc t µ 2 σ, où erfc est la focto d erreur complémetare. O e peut pas doer de formule lttérale pour les valeurs ˇµ et ˇσ mmsat L, mas o peut asémet les calculer umérquemet à l ade de bblothèques telles que Numercal recpes. V.3. Maxmum de vrasemblace et estmato o paramétrque La méthode du maxmum de vrasemblace est pas réservée à l estmato paramétrque : o peut motrer que l estmateur de Kapla & Meer est l estmateur o paramétrque maxmsat la vrasemblace. Ordoos les k valeurs détectées x dstctes par ordre crossat et posos x 0 = 0 et x k+1 =. Notos le ombre de valeurs τ j supéreures ou égales à x, d le ombre de détectos égales à x, γ le ombre de valeurs cesurées das [x, x +1 [ et y (j) (j 1, γ ) les valeurs cesurées comprses das cet tervalle. Pour ue détecto, P(T = x ) = (S[x ] S[x ]). (Maxmser la vrasemblace de maère o paramétrque va claremet redre S(t) dscotue, ce qu est pas possble de maère paramétrque quad la lo de probablté adoptée est cotue.) La vrasemblace vaut doc L = ( γ 0 ) ( S[y (j) 0 ] [S(x 1 ) S(x 1)] d 1 γ 1 ) ( S[y (j) 1 ] [S(x k ) S(x k)] d k γ k S[y (j) k ] ). 11

12 S état ue focto décrossate comprse etre 0 et 1, le maxmum est obteu e preat S(y (j) 0 ) = 1 et, pour tout > 0, S(x ) = S(x 1) et S(y (j) ) = S(x +1 ). Posos P = S(x ) (= S(y (j) ) = S(x +1 )) et p = P /P 1. Il faut désormas maxmser L = k (P 1 P ) d P γ. O a P = p 1 p, doc L = k (p 1 p 1 ) d (1 p ) d (p 1 p ) γ = k (p 1 p ) d +γ p d (1 p ) d. O a k (p 1 p ) d +γ = d j + γ j = j j+1, doc k j= (d j + γ j ) = k+1 = et k k j= p (d j+γ j ). L = k p d (1 p ) d, sot L = k ([ d ] l p + d l[1 p ]). Le mmum de L est obteu e cherchat les ˆp solutos du système {( L/ p = 0) 1, k }, sot ˆp = ( d )/, c est-à-dre le résultat obteu pour l estmateur de Kapla & Meer. Celu-c est doc u estmateur de maxmum de vrasemblace. VI. VII. Comparaso d échatllos, corrélato et régresso léare avec des doées cesurées Cf. référeces. Lmtes supéreures e astrophysque Vor Kashyap et al. (2010) pour ue clarfcato de la dstcto etre bore supéreure de l tervalle de coface et lmte supéreure sur le flux d u objet. VIII. Ste du cours Référeces Lvres et artcles Droesbeke, J.-J., Fchet, B. & Tass, Ph. (rédacteurs ; 1989) : Aalyse statstque des durées de ve. Modélsato des doées cesurées ; éd. Ecoomca. Efro, B. (1967) : The two sample problem wth cesored data ; Proceedgs of the 5 th Berkeley symposum o mathematcal statstcs ad probabltes 4, 831. Fegelso, E. D. & Nelso, P. I. (1985) : Statstcal methods for astroomcal data wth upper lmts. I. Uvarate dstrbutos ; ApJ 293,

13 Fegelso, E. D. & Jogesh Babu, R. (2012) : Moder statstcal methods for astroomy Wth R applcato ; Cambrdge uversty press. Isobe, T., Fegelso, E. D. & Nelso, P. I. (1986) : Statstcal methods for astroomcal data wth upper lmts. II. Correlato ad regresso ; ApJ 306, 490. Kapla, E. L. & Meer, P. (1958) : Noparametrc estmato from complete observatos ; Joural of the Amerca statstcal assocato 53, 457. Kashyap, V. L. et al. (2010) : O computg upper lmts to source testes ; ApJ 719, 900. Maller, R. A. & Zhou, X. (1996) : Survval aalyss wth log-term survvors ; éd. Wley & sos. Mller, R. G. (1983) : What prce Kapla-Meer? ; Bometrcs 39, Schmtt, J. H. (1985) : Statstcal aalyss of astroomcal data cotag upper bouds : geeral methods ad examples draw from X-ray astroomy ; ApJ 293, 191. Codes de statstques de l uversté Pe State (vor e partculer asurv). Fore aux questos du Statstcal cosultg ceter for astroomy de l uversté Pe State mga/scca/. 13

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