Analyse 1 L1-mathématiques

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1 Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO

2 Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres Les ensembles N, Z, Q et R Les intervlles et voisinges Clculs Mnipultion des inéglités Vleurs bsolues Puissnces et identités remrqubles Quelques stuces et pièges techniques Exercices Clculs de limites. Rppels sur le logrithme et l exponentielle Rppels sur le logrithme népérien Exponentielle Clculs de limites Combinisons de limites Formes indéterminées Le théorème des gendrmes Exercices Fonctions d une vrible réelle. Dérivtion. Fonctions usuelles 6 3. Fonctions Notion de fonction et vocbulire é r e n t Vritions et bijections Dérivtion Définition et règles de clcul Lien dérivtion et grphe Dérivtion de l bijection réciproque Fonctions inverses clssiques Fonctions hyperboliques Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques réciproques Exercices

3 TABLE DES MATIÈRES 4 Intégrles 9 4. Définition et premières propriétés grphe et surfce Primitives et intégrles Primitives usuelles et exemple Méthodes de clculs Intégrtion pr prtie Chngement de vribles Primitives des frctions rtionnelles Décomposition en éléments simples Clculs des primitives des frctions rtionnelles Exercices Fonctions de plusieurs vribles 4 5. Introduction et rppels Exemples de fonctions de plusieurs vribles Rppels sur l géométrie de R n Grphe. Dérivées prtielles. Sous-espce tngent Motivtions Grphe d une ppliction de plusieurs vribles Définitions des dérivées prtielles. Di é r e n t i e l l e Lien entre di érentielle et dérivée. Retour sur l tngente Grdient. Di érentielles totles. Chmps de vecteurs Courbes de niveu. Théorème de l fonction implicite (cs de deux vribles) Exemples de courbes de niveu Théorème de l fonction implicite. Retour sur le grdient Exercices Intégrle double 5 6. Définition de l intégrle double Intégrle double sur un pvé Clcul de surfce et de volumes Chngement de vribles : coordonnées polires Équtions di érentielles Équtions di é r e n t i e l l e s h o m o g è n e s Éqution y y = Éqution y + y = Éqution y + py + qy = Équtions non-homogènes éqution du type y y = F éqution du type y + py + qy = F D utres équtions di é r e n t i e l l e s Équtions à coe cients non constnts Équtions à vribles séprbles Exercices

4 Chpitre Inéglités et clculs. Nombres.. Les ensembles N, Z, Q et R On ser mené à considérer qutre ensembles de nombres.. L ensemble N des entiers nturels,,, 3,... C est l ensemble qui sert à indexer les suites. Tout élément y un successeur (n! n + ), tous les éléments suf y ont un prédécesseur. L reltion d ordre est n<n+. Pr exemple, si p et q sont deux entiers tels que p>q,lorsp q +.. L ensemble Z des entiers reltifs,...,,,,,, 3. Tout élément y un successeur et un prédécesseur. L reltion d ordre étend celle de N. L di érence entre N et Z est essentiellement de nture lgébrique. 3. L ensemble Q des rtionnels. Un nombre x est un rtionnel s il s écrit sous l forme x = p q, vec p Z et q N := N \{}. Notez que 8, 56 8m et plus générlement vec 5 5 5m m N représentent le même nombre rtionnel. On préfèrer l forme 8 cr le 5 dénominteur et le numérteur n ont ps de diviseur commun. On rppelle l dditions e deux rtionnels, et donc l reltion d ordre est donnée pr p q p q + p q = pq + qp qq, pple p q () p q pq. Àldi érence de Z et N, un rtionnel n ps de successeur ni de prédécesseur comptible vec l reltion d ordre.

5 .. Clculs 4 L ensemble Q est dense dns R, c est à dire qu entre deux réels di érent, il y toujours u moins un rtionnel (et en fit une infinité). Même si cel défie un peut l intuition, les trois ensembles N, Z et Q ont le même nombre d éléments, ou plus exctement, l même infinité d éléments. On dit qu ils sont dénombrbles. Tout comme pour Z, l pssge de Z à Q se justifie essentiellement pr des rguments lgébriques. 4. L ensemble des réels R. C est un ensemble bien plus gros que Q puisqu on ne peut ps compter ses éléments (contrirement à Q). Pr exemple,,e ou encore p sont des irrtionnels, c est à dire des réels qui ne sont ps rtionnels. Dns ce cours, nous n évoquerons ps l ensemble D des décimux prfois utilisés. Nous rppelons les inclusions N Z Q R... Les intervlles et voisinges L reltion d ordre entre les réels, permet de définir les intervlles :. ], b[= {x R, <x<b} est l intervlle ouvert d extrémités et b.. [, b[= {x R, pple x < b} est l intervlle ouvert en b et fermé en. Il vut ], b[[{}. 3. ], b] ={x R, < x pple b} est l intervlle ouvert en et fermé en b. Il vut ], b[[{b}. 4. [, b] ={x R, pple x pple b} est l intervlle fermé d extrémité et b. Il vut ], b[[{, b}. Un intervlle d extrémités et b comme ci-dessus est dit borné. Les intervlles non bornés sont du type (, +[ vec (= [ ou ], ou du type ],b)vec(=[ou]ouencore ], [= R. Pr exemple [, +[ est l ensemble des réels x vérifint x. Un intervlle se crctérise pr l bsence de trou entre ses extrémités. Définition... Si est un réel, on ppelle voisinge de tout intervlle qui contient un intervlle de l forme ] ",+ "[ vec " >. On utiliser cette notion de voisinge de l mnière suivnte : L fonction sinus est strictement positive sur un voisinge de.. Clculs.. Mnipultion des inéglités Inéglités strictes ou lrges? Il fut bien distinguer l inéglité stricte < de l inéglité lrge pple. Si < blors on ussi pple b mis l impliction contrire est fusse. Pr exemple <k<permet d rmer lim n!+ kn =misl rmtion pple k pple nelepermetps. Un nombre x ne vérifie ps x<xmis il vérifie x pple x.

6 .. Clculs 5 Opértions sur les inéglités Addition d inéglité. On peut toujours dditionner deux inéglités (dns le même sens) : <bet c<d=) + c<b+ d. Si les deux inéglités de guche sont lrges, l inéglité de droite est lrge ussi. Si l une des inéglités de guche est stricte, lors celle de droite ussi est stricte. Addition d un terme, chngement de côté. <b () + c<b+ c. On en déduit que <best équivlent à b<. Multipliction d inéglités On peut multiplier des inéglités si les nombres sont tous strictement positifs : <<bet <c<d=) < c < bd. En e et, bd c = (d c)+ d(b ) est le somme de nombres positifs. Multipliction pr un nombre négtif Si on chnge les signes dns une inéglité, on chnge de sens. Rppelons que chnger de signe signifie multiplier pr - : <b=) > b. Plus générlement, si c<, <bentrine c > cb. Élévtion u crré. Si et b sont tous les deux positifs lors et b sont dns le même ordre que et b. Pour le voir, il su t de se souvenir de l identité remrquble b =( b)( + b). Ceci permet ussi de voir que si et b sont négtifs, lors et b sont dns l ordre contrire de et b. Si et b sont de signe di é r e n t, o n n e p e u t r i e n d i r e s u r l o r d r e r e l t i etf be. n t r e Exemples = etb =3, <b. Au contrire, = 3etb =donnent >b. pssge à l inverse. Si et b sont de même signe (et non nuls) <b () > b. En e et, < b. b = b. Pr contre si et b sont de signes contrires <bentrine b

7 .. Clculs 6.. Vleurs bsolues Si x est un réel, le réel x n est ps nécessirement négtif. C est l opposé de x, u sens ou x +( x) =. Exemples Si x =, x =. Mis si x =, x =. Définition... Si x est un réel, x désigne celui des deux nombres x et positif (ou nul). x qui est Ainsi, si x =, x =,six>, x = x et si x<, x = x. L vleur bsolue est utile pour exprimer de fçons condensée certins encdrements. Exemples x < signifiex ], [ ou encore <x<. x x < " signifie x ]x ",x + "[, ce qui est équivlent à dire que x est dns l intervlle ouvert de centre x et de ryon " (voir déf...). On rppelle l inéglité tringulire On ussi rppelle l églité p x = x (et non ps x!). b pple b. (.) Exemple. On veut donner une expression simplifier de f(x) := p x +x ++ p x 6x +9. On obtient f(x) = p (x +) + p (x 3) = x + + x 3. x - 3 x + x x + x + On dresse le tbleu de signe et on dditionne : x 3 x +3 x +3 x 3 f(x) x + x Les opértions fites précédemment sur les inéglités montrent q u on ne peut ps comprer et b à p r t i r d <b. e..3 Puissnces et identités remrqubles Puissnces rtionnelles Nous reverrons ces notions u chpitre suivnt. Nous rppelons cependnt certines définitions et formules utilise pour le clculs. L quntité p x n est définie que pour x positif. Elle vérifie ( p x) = x (à ne ps confondre vec p x = x!). Pr contre l quntité 3p x est définie pour tout x réel. q Plus générlement, si q est un entier strictement positif, p x est définie pour x positif (ou nul) si q est pir, et pour tout x si q est impir. Elle vérifie ( qp x) q = x.

8 .. Clculs 7 L quntité qp x se noter ussi x q. On rppelle que si p est un entier strictement positif, x p = (définie pour x 6= ). xp Pr convention (u moins pour le moment), x =six 6=. Comme x 7! x p (vec p entier strictement positif) trnsforme un réel positif en un réel positif, on montre l églité : x p p q = q x p =( qp x) p. On donne ici les règles de clculs et de mnipultions des puissnces. Elles sont données pour x et y strictement positifs, on peut dns certins cs (en fonction des vleurs de r et r )lesétendreucsx et/ou y non nuls. Le cs nul étnt toujours délict à gérer à cuse des puissnces négtives : 8 x R +, 8 y R +, 8 r Q et 8 r Q, (xy) r = x r.y r, x r+r = x r.x r et (x r ) r = x rr =(x r ) r. Binôme de Newton n n! n.(n )...(n (k )) Les coe cients du binôme de Newton sont = =. k k!(n k)! k! Ce sont des entiers (même si leur expression est cour forme de frction). Ils permettent d obtenir nx n ( + b) n = k b n k. k En prticulier on ur ( + b) = +b + b et ( b) = b + b. On ussi b =( b)( + b)...4 Quelques stuces et pièges techniques Diviser ou soustrire? k= Si on veut étudier ou résoudre une (in)éqution de l forme = b ou <b, on peut toujours se rmener à b =ou b<. Exemple. On veut étudier x = x +oux <x+. Pour ce fire on v étudier l inéglité lrge x pple x +quipermetdetriterlesdeux problèmes en même temps. Or x pple x + () x x pple. On cherche les rcines du polynôme X X. Le discriminnt est =+4=5,et les rcines sont donc = +p 5 et b = p 5. Les solutions de l éqution sont donc x = ou x = b, celles de l inéqution sont x ]b, [. Il est prfois utile de diviser! Au lieu de psser de = b ou <bà ( r e s p e c t i v e m e n t ) b =ou b<onvoudritvoir b =et b <.

9 .3. Exercices 8 Pour l églité, les deux équtions sont équivlentes si et seulement si b n est ps nul. Pour l inéqution, on se réfèrer ux mnipultions des inéglités. Il fut donc que l on it b>, sinon l inéglité chnge de sens. Exemple. Étudier x + pple Quntité conjugué x x. On rppelle que l quntité conjugué de +b et b. Il est prfois utile de multiplier et diviser une expression pr se quntité conjugué pour obtenir une expression plus prtique. p p Exemple. Si on veut étudier n + n, on peut écrire lim n!+ p p ( p n ++ p n)( p p n + n) n + n = p p n ++ n noter que l on multiplie et divise pr une quntité non nulle si n est un entier nturel = (p n +) ( p n) p p n ++ n = n + n p p = n ++ n p n ++ p n. p p Cette dernière expression permet d rmer lim n + n =. n!+.3 Exercices Exercice Développer les expressions suivntes : / 7(5 +3b 5) (8 +b) / (3x )(5x +) 3/ 4 x x / (x +) 5/ (x 5)(x +5) 6/ (5x 3) 7/ (x p 3) 5 (x + p 3). 5 Exercice Fctoriser les expressions suivntes : / (x )(x 3) + (x ) (4x +5)(x ) / (4x ) (4x ) + x(8x 4) + x 6 3/ x x ++x. Exercice 3 Résoudre dns R, x / x + p 3 =.

10 .3. Exercices 9 (x +3) / (x )(3x 4) =. 3/ x + < x x, 4/ x = p x, 5/ x pple p x. Exercice 4 Développer ( + 3x) 4 Exercice 5 On pose S =+x x n. / Clculer x.s et S x.s. / Donner une utre expression de S en fonction de et de x. 3/ En déduire une fctoristion de n b n. Exercice 6 / Montrer b pple + b pple + b. / dire qund il y églités ou inéglités strictes. Exercice 7 Simplifier / / 3/ + x x+ 3x +4 x+ 4 x + x. y x+3 y Exercice 8. / A-t-on pour tout x dns R x + x + = x + x +? / Résoudre dns R, x + x + = x + x +.

11 Chpitre Clculs de limites. Rppels sur le logrithme et l exponentielle On se contenter ici de rppeler quelques propriétés utiles pour les clculs de limite... Rppels sur le logrithme népérien Il y plusieurs fçons de définir le logrithme :. C est l bijection réciproque de exp,. c est l primitive de x 7! x sur R + qui s nnule en, 3. c est une solution de l éqution fonctionnelle 8, b > f(b) =f()+f(b). (.) Nous nous focliserons, dns un premier termes, sur l dernière propriété (éqution fonctionnelle). Cette éqution montre qu ucune solution (di érente de l fonction nulle prtout) ne peut être définie en puisqu on devrit voir, 8 x, f() = f() + f(x). Elle montre ussi que nécessirement f() =, puis que f ne peut s nnuler que en. Ceci implique ussi que f est monotone (strictement croissnte ou strictement décroissnte). On construit insi une solution, qui est crctérisée pr s vleur en un point, c est à dire, que si on on se fixe un point 6= et> et une vleur c = f(), lors on peut construire une (unique) fonction continue f vérifint l éqution fonctionnelle. L fonction ln est une solution de ce type. Elle est définie sur ], +[= R + L éqution fonctionnelle permet d voir : 8 p, 8x >, q On ussi les limites suivntes : ln(x p q )= p q ln(x). lim ln x =+ et lim x!+ ln x =. x! +

12 .. Rppels sur le logrithme et l exponentielle Si on cherche l solution en se fixnt l condition f() =, on trouve le logrithme déciml souvent noté Log. Il est proportionnel à ln u sens où pour tout x, Log (x) = ln(x) ln(). Si n est un entier strictement positif, [Log (n)] + est le nombre de chi res nécessires pour écrire n en bse. Cel signifie que [Log (n)] psse de à lorsque n psse de 99 à, et psse de 4 à 5 lorsque n psse de 9999 à. C est donc une fonction qui croît très lentement. On retiendr que ln est plus fible que les puissnces. Cel donne donc pour p q > (vec q impir pour l limite en ) lim x p ln x q ln x = lim x! + x!+ x p q =. Pour les clculs de limites on retiendr ussi lim x! ln( + x) x.. Exponentielle =. Comme pour le logrithme, il y (u moins) trois mnières di érentes d introduire l exponentielle :. exp est l bijection réciproque de ln.. Pr l étude des solutions de l éqution di é r e n t i e l yl e = y vec l condition initile y() =. 3. Pr l étude des solutions de l éqution fonctionnelle 8, b f( + b) =f()f(b). (.) Nous nous foclisons, dns un premier temps, sur l éqution fonctionnelle. Si f est une solution on trouve f() = f( + ) = f().f(). Il y donc deux solutions possibles pour l vleur f() : f() = ou f() =. Si on retient l solution f() =, lors pour tout x, f(x) =f(x +)=f(x)f() =. Pour obtenir une solution de l éqution fonctionnelle non nulle, il fut donc choisir f() =. L éqution montre ussi que pour tout x, f(x) estnécessirementstrictementpositif, puis que f est strictement croissnte ou strictement décroissnte. Tout comme pour ln, une solution de l éqution fonctionnelle est entièrement déterminé pr s vleur en un point 6=.Lfonctionexpestunesolutiondecetteéqution.Elle est définie sur R et à vleurs dns R +.

13 .. Clculs de limites On retiendr : Limites en ±. lim exp(x) =+ lim x!+ exp(x) =. x! exp(x) Limite du tux de vrition en : lim =. x! x Croissnce comprée : exp est toujours plus forte que n importe qu elle puissnce x n.pourtout p >, q exp(x) lim x!+ x p q. Clculs de limites.. Combinisons de limites = lim x! x p q exp(x) =. Si lim f(x) =l et lim g(x) =l lors lim(f + g)(x) =l + l. x!y x!y x!y Si lim f(x) =l et lim g(x) =l lors lim f(x).g(x) =l.l. x!y x!y x!y Si lim f(x) =l et lim g(x) =l g(x) et l 6= lorslim x!y x!y x!y f(x) = l l. Si lim f(x) =+ et lim g(x) =+ lors lim(f + g)(x) =+. x!y x!y x!y Si lim f(x) = et lim g(x) = lors lim(f + g)(x) =. x!y x!y x!y.. Formes indéterminées Les opértions sur les limites rppelée précédemment ne permettent ps de toujours conclure. Il y des formes dites indéterminées : Si lim f(x) = + et lim g(x) = x!y x!y lors lim(f + g)(x) est x!y indéterminée. Si lim f(x) x!y = + et lim g(x) x!y = lors limf(x).g(x) est x!y indéterminée. g(x) Si lim f(x) = ± et lim g(x) = ± lors lim x!y x!y x!y f(x) est indéterminée. g(x) Si lim f(x) =etlimg(x) =lorslim est indéterminée. x!y x!y x!y f(x) Il y une méthode qui permet très souvent de trouver les limites (lorsqu elles existent) : il s git d identifier les termes dominnts (en vleur bsolue) et de les mettre en fcteur. Décomposition Lorsqu on veut clculer une limite, on est souvent rmener à une expression du type A + B C + D,

14 .. Clculs de limites 3 chque expression A, B, C et D pouvnt être du même genre. exp(x) x3 Exemple. Clculer les limites lorsque x tends vers ± de f(x) = ln( x )+x x.on peut écrire A =exp(x), B = x 3, C =ln( x ) etd = x x. Ensuite on redécoupe D en ( + b)/(c + d) enposntprexemple = x, b = x, c =etd =. Clcul de chque terme On détermine pour chque terme de l décomposition s limite (éventuelle). On identifie les formes indéterminées. Ensuite, on met en fcteurs les termes dominnts. Voici trité l exemple f(x) donnéci-dessus. En +. Au numérteur, A est dominnt. Pour le dénominteur, est dominnt puis D est dominnt. On trouve donc L quntité donc à étudier lim x!+ f(x) = exp(x)( x 3 exp(x) ) x ( ln x x + ). x ln x x 3 tend vers si x tend vers +. De même exp(x) x +. Il reste x exp(x), limite dont on sit qu elle existe et vut +. x En. Au numérteur, le terme dominnt devient x 3 puisqu il tend vers (si x! ), lors que exp(x) tendvers.letermedominntpourledénominteurest encore x.ontrouvedonc f(x) = Cel permet d en déduire x 3 ( + exp(x) x 3 ) = x ln x ( x + ) x lim f(x) =+ x! exp(x) x x 3 ). ln x x + x En. Si on veut étudier l limite en, à ce moment le numérteur tend vers une quntité finie. Le dénominteur tend vers. L limite existe donc et vut...3 Le théorème des gendrmes Théorème... Soient f, g et h trois fonctions telles que pour tout xf(x) pple g(x) pple h(x). Si lim x!y f(x) =l =lim x!y h(x) lors lim x!y g(x) =l. Ce théorème est souvent utile lorsqu il y des quntités dont on ne peut ps estimer fcilement les limites ou si on sit qu il n y ps de limites. Exemple. Donner, si elle existe l limite lim x! x sin x.

15 .3. Exercices 4 Si x! +, tend vers + et on sit que sinus n ps de limite en +. On sit x ussi que l on pour tout y, pple sin(y) pple. Cel donne pour tout x 6=, x pple x sin pple x. Les termes extrémux convergent vers, x le terme du milieu ussi, en vertu du théorème....3 Exercices Exercice 9 Résoudre les équtions suivntes : / ln(x +3)+ln(x +5)=ln5. / ln(x ) + ln(x +)=ln45. 3/ ln(x 3) + ln(x +)=ln(x +5). x + y =65 4/ ln x +lny =ln. x 5/ + y =69 ln x +lny =ln6. Exercice Déterminer les limites en des fonctions en x suivntes : / p x(ln x) 3. / 5p x(ln x) 8. Exercice Résoudre exp(4x + ) exp() exp(4x +) =exp(). Exercice Étudier les limites éventuelles des expressions suivntes : / p x +3qundx tend vers, / x +7 qund x tend vers, x 3/ qund x tend vers, x x 4/ qund x tend vers, xp x n x 5/ qund x tend vers, + ou, x 6/ x sin qund x tend vers, x 7/ sin x qund x tend vers + ou, rx 8/ + r qund x tend vers, x x 9/ 4x3 x + x 3x +x qund x tend vers et +,

16 .3. Exercices 5 / ( + x)3 3 qund x tend vers et, x / p x qund x tend vers. x

17 Chpitre 3 Fonctions d une vrible réelle. Dérivtion. Fonctions usuelles 3. Fonctions 3.. Notion de fonction et vocbulire érent Définition d une fonction Définition 3... Une fonction est un objet qui à tout point d un ensemble de déprt ssocie une (et une seule) imge f : x 7! f(x). Si y = f(x), y est l imge de x pr f et x est un ntécédent de y. Une fonction se crctérise pr son grphe Si une fonction est donnée pr une expression de f(x), pr exemple f(x) =e x +lnx + x, c est ussi vlble pour f(y) =e y +lny + y ou f() =e +ln +... On peut voir une fonction comme une sorte de boite noire. On lui entre une donnée (le x!), elle rend une réponse ( le f(x)). Cette boite noire donne toujours l même réponse si on lui rentre l même donnée. Pr exemple, l opértion :. Pour un entier n on lui ssocie s il est pir, s il est impir est une fonction.. Pour un entier n, on lui ssocie s il est pir et s il est multiple de 3 n est ps une fonction cr les multiples de 6 ont plusieurs réponses possibles! 3. lncer un pièce et regrder le résultt, n est ps une fonction, cr on plusieurs résultts possibles. Il fut donc voir une fonction comme étnt une opértion dynmique : à une entrée correspond une sortie. L entrée s ppelle l vrible. C est pour cel qu une fonction se note x 7! f(x), signifint qu à l vrible x (l donnée d entrée) on ssocie l vleur f(x) (l sortie de l boite). Remrque. Il est cournt de commettre un bus de lngge et de nottion en prlnt de l fonction f(x). On prle insi de l fonction sin x, ou encore de e x ou ussi de x.

18 3.. Fonctions 7 On devrit en fit dire x 7! sin x (ou l ppeler sinus), x 7! e x (ou exponentielle) ou enfin x 7! x (élévtion u crré). Dns un premier temps, nous conseillons vivement de s interdire cet bus de lngge et de s e orcer de toujours écrire et dire x 7! f(x). Nous nous intéresserons, dns un première temps ux fonctions d une vrible réelle, puis, dns un utre chpitre ux fonctions de plusieurs vribles réelles. En physique, l pluprt des fonctions dépendent de plusieurs vribles. m Exemple. L théorie de l reltivité donne l msse d une prticule m := p c v, où v est l vitesse de l prticule. L msse m s exprime comme une fonction de v. Elle s exprime ussi comme une fonction de l msse initile m ou encore comme une fonction de l vitesse de l lumière. Ensemble de définition. Grphe Lorsqu on dispose d une fonction sous l forme 7! f( ) ilfutvntétudierson ensemble de définition, c est à dire décrire l ensemble des pour lesquels f( ) peutêtre défini. Pr exemple p :x 7! p x est définie sur R + et x 7! x est définie sur R. Il fut noter que R + est un intervlle lors que R est une union de deux intervlle. L pluprt du temps, les fonctions que nous rencontrerons seront définies sur une union d intervlle. Définition 3... Considérons une fonction définie sur un intervlle I. Pour chque x I on peut donc définir l vleur f(x). L ensemble des points du pln de l forme (x, f(x)) vec x I s ppelle le grphe de f. Si on y = f(x), lors y est l imge de x pr f et x est un ntécédent de y pr f. L ensemble des points y de l forme f(x) pour x quelconque dns I s ppelle l imge de I pr f. On le note f(i). L ppliction f est dite injective si pour tout y dns f(i) il existe un unique x tel que y = f(x). Une fonction définit donc un grphe, et réciproquement, un grphe définit une fonction. Une prtie de l nlyse consiste à donner des résultts sur l llure du grphe d une fonction : s il est continu, régulier, convexe, etc. Exemples grphes de x 7! x ou x 7! p x. L nottion f(i) veci intervlle est une nottion. Il ne fut ps comprendre que c est l imge de I u sens où on ne rentre ps un intervlle comme donnée à l fonction f mis des réels. Il s git donc d un ensemble qui s écrit ussi f(i) :={y R, 9 x I, f(x) =y}. Si f(x) estuniquelorsquex est déterminé, il se peut que pour y R il existe plusieurs x di érents tels que y = f(x). Cel explique/justifie l définition de l injection qui crctérise l unicité. Définition 3..3 (intuitive). Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit qu elle est continue si son grphe grph(f) est en un seul morceu.

19 3.. Fonctions 8 Cette définition de l continuité n est ps rigoureuse mis elle évite trop de technique. Pour l comprendre, il est préférble de voir des exemples de fonctions non continues : Exemples x 7! [x] (prtie entière) ou tout utre truc bricolé. Théorème Soit I un intervlle et f une fonction continue sur I. Alors l imge f(i) est ussi un intervlle. Ce théorème s ppelle le théorème des vleurs intermédiires. Une version équivlente est de dire qu vec les mêmes hypothèses, s il existe x et x dns I tels que f(x)f(x ) < (les imges sont de signe contrire), lors il existe x entre x et x tel que f(x )=. Opértions sur les fonctions Lorsqu on dispose de deux fonctions f et g on peut définir l fonction f + g pr x 7! f(x) +g(x), plus générlement l fonction.f + b.g pr x 7!.f(x) +b.g(x). L fonction f.g est définie pr x 7! f(x).g(x). L fonction f f(x) pr x 7!, définie là où g g g(x) ne s nnule ps. L fonction f g pr x 7! f(g(x)) définie là où les imges de g sont dns le domine de définition de f. 3.. Vritions et bijections Sens de vrition Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On dit qu elle est croissnte, si pour tout x et x dns I, x pple x =) f(x) pple f(x ), strictement croissnte si pour tout x et x dns I, x<x =) f(x) <f(x ), décroissnte, si pour tout x et x dns I, x pple x =) f(x) f(x ), strictement décroissnte, si pour tout x et x dns I, x<x =) f(x) >f(x ), Une fonction est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissnte ou décroissnte Exemples x 7! x est (strictement) croissnte sur R + et (strictement) décroissnte sur R. x 7! [x] est croissnte mis ps strictement croissnte. Une fonction constnte est à l fois croissnte et décroissnte. x 7! x est (strictement) croissnte sur R + et sur R n est ps globlement croissnte sur son ensemble de définition. mis elle Remrque. L contrire de l proposition f est croissnte n est ps f est décroissnte. Pr exemple x 7! x n est ni croissnte ni décroissnte sur R. Il serit tout ussi fux de penser qu une fonction est nécessirement monotone sur un intervlle. Pr exemple l fonction définie pr f : x 7! x sin si x 6= etf() = est x continue et n est monotone sur ucun voisinge de (le tester vec les mchines).

20 3.. Fonctions 9 Extrem Les extrem, c est à dire là où l fonction tteint un mximum ou un minimum, sont souvent importnts à déterminer. Pr exemple, en physique, ils correspondent à des sitution d équilibre (possibles), stble s il s git d un minimum, instble s il s git d un mximum. On imgine le minimum comme le creux de l vgue et le mximum comme le sommet de l montgne. Toutefois, cette description imgée des extrem n est ps é q u i v l e n t e à l à o ù l f o n c t i o n e s t l e p l u s b s o u l à o ù l f o n c t i o n e s t l e p l u s h u t Dns un premier temps, nous n étudierons ps cet spect, et nous y reviendrons plus trd. bijection et bijection réciproque Théorème 3..6 (et définition). Soit f une ppliction continue et strictement monotone définie sur un intervlle I. Alors f est injective. On peut définir l bijection réciproque, notée f qui ssocie à y J := f(i) l unique x tel que y = f(x). De plus f l même stricte monotonie que f et son grphe est obtenu en fisnt l symétrie pr rpport à l première bissectrice (l droite d éqution y = x) du grphe de f. Remrque 3. Il ne fut ps confondre l nottion f vec l fonction f.lnottion est prfois mbiguë, il fut voir quelques notions d lgèbre pour l comprendre. L bijection réciproque f est l inverse de f pour l loi de composition, l inverse pour l multipliction étnt /f. En théorie, une bijection est une ppliction qui est à l fois injective et surjective. Nous vons défini l notion d injection ps celle de surjection. Il est implicitement cché dns le théorème que f : I 7! J := f(i) est surjective. Nous n insisterons cependnt ps sur cette notion. Exemples L ppliction x 7! x est strictement croissnte sur l intervlle R + =[, +[ et continue. S bijection réciproque est une fonction définie sur R + à v l e u r s d n sr +. c est en fit x 7! p x. De même x 7! x 3 est continue et strictement croissnte sur R. L bijection réciproque est x 7! 3p x. Plus générlement, q p est l bijection réciproque de x 7! x q définie sur R + si q est pir et R si q est impir. Il fut donc retenir les églités 8 y J, f f (y) =y et 8 x I, f f(x) =x. (3.) On peut retenir l définition sous forme de phrse : si f est injective de I dns f(i) =J, pour y J, f (y) estlex de I tel que y = f(x).

21 3.. Dérivtion 3. Dérivtion 3.. Définition et règles de clcul Définition 3... Une fonction f est dite dérivble en si lim h! f( + h) h existe. On ppelle lors ce nombre nombre dérivé de f en. Il se note f (). Si f : I! R est dérivble sur tout l intervlle I, on définit lors une nouvelle fonction f de I dns R pr f : x 7! f (x). Cette nouvelle fonction s ppelle fonction dérivée de f sur I. On dmettr que si f est dérivble en lors elle est continue en. Sif est dérivble sur un intervlle, elle est donc continue sur ce-même intervlle. Exemple. À l ide de l formule de Newton, développer (x + h)n et en déduire l dérivée de x 7! x n. l dérivée est linéire : ( f + µg) = f + µg. f() L dérivée d un produit n est ps le produit des dérivées mis (fg) = f.g + g.f. Dérivtion d un produit de composition : (f g) = f g.g. Si f et g sont deux fonctions dérivbles, vec g qui ne s nnule ps, f = f g g + g.g.f = f g Tbleu récpitultif pour les fonctions usuelles : g f. g Fonction x 7! f(x) Dérivée f (x) sin(u(x)) u (x)cos(u(x)) cos(u(x)) u (x)sin(u(x)) u n (x), n nu (x)u n (x) u n (x), n nu (x) u n+ (x) u n (x) n u (x)u n (x) u (x) ln(u(x)) u(x) exp(u(x)) u (x)e u(x) tn(u(x)) u (x)( + tn (u(x))) Remrque 4. On souvent tendnce à écrire (x) =ouencore(x ) =x. Il s git d une erreur due à l bus de nottion x pour x 7! x ou x pour x 7! x. Cet bus est source d erreurs.

22 3.. Dérivtion 3.. Lien dérivtion et grphe Sens de vrition Théorème 3... Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I. Si f est (strictement) positive sur cet intervlle (c est à dire pour tout x I, f (x) ) lors l fonction f est (strictement) croissnte sur l intervlle I. Si l dérivée est (strictement) négtive sur l intervlle, l fonction f est (strictement) décroissnte. On obtient insi un joli corollire des deux théorèmes 3..6 et 3.. : Corollire Soit f une fonction dérivble sur I. Si f est strictement positive sur I lors f est une bijection de I sur l intervlle imge J := f(i). Exemple. On redémontre insi que x 7! x p est une bijection de R! R si p est impir ou de R +! R + si p est pir. Tngente Si f est dérivble en un point de I lors le grphe de f dmet en (, f()) une tngente. Elle pour éqution y f() =f ()(x ). Il y plusieurs fçons de voir l tngente en un point. L une d elle consiste à dire que l tngente est l meilleur pproximtion ne de f u voisinge du point, c est à dire que pour x proche de, f(x) f()+f ()(x ). Cette dernière expression est ne en x. Extrem Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R. Soit x un point de I tel qu il existe un voisinge ]x ",x+ "[ contenu dns I. On dit que f dmet un minimum locl en x s il existe un voisinge J =]x ",x+ " [ contenu dns I tel que pour tout point y de J on it f(y) f(x). f dmet un mximum locl en x s il existe un voisinge J =]x ",x+ " [ contenu dns I tel que pour tout point y de J on it f(y) pple f(x). Exemple. Montrer que x 7! x dmet un minimum en. Théorème Soit f une fonction définie et dérivble sur un intervlle I de R. Si l dérivée f s nnule et chnge de signe en x lors f dmet un extremum en x.

23 3.. Dérivtion Convexité Définition Soit I un intervlle. Une fonction f : I! R est dite convexe si pour tout et b dns I et pour tout [, ], f( +( )b) pple f()+( )f(b). En d utre termes, l imge d un brycentre (positif) est plus bsse que le brycentre des imges. Exemple. x 7! x est convexe. Proposition Une ppliction convexe sur un intervlle ouvert est continue sur cet intervlle. On dmettr des crctéristion plus prtique de l convexité : Théorème Soit f une ppliction définie sur l intervlle I.. Si f est dérivble sur I, lors f est convexe si et seulement si f est croissnte.. Si f est deux fois dérivble, lors f est convexe si et seulement si f est positive. Exemple. x 7! x vec ces critères! 3..3 Dérivtion de l bijection réciproque Considérons f de I dns R. On suppose que c est une bijection de I sur l intervlle imge J = f(i). On rppelle que f est donc strictement monotone sur cet intervlle. L bijection réciproque vérifie l éqution f f (x) =x. Supposons mintennt que f est dérivble et essyons de clculer ce que pourrit être l dérivée de f. L formule de dérivtion du produit de composition donne f (f (x)) f (x) =, soit f (x) = f (f (x)) Ceci se trduit pr : si cel un sens, c est à dire si f (f (x)) n est ps nul. Théorème Si f est une bijection de I dns J = f(i) dérivble, lors f est dérivble en tout point y = f(x) où f (x) 6= et on f (y) = f(x).. ceci signifie que f est elle-même dérivble, l dérivée se notnt f.

24 3.3. Fonctions inverses clssiques 3 Applictions. x 7! x pourdérivéex 7! x, qui ne s nnule qu en zéro. Ainsi l bijection réciproque y 7! p y est dérivble pour tout y 6== et p y = x = p y, cr on y = x ou encore x = p y. Plus générlement, l dérivée de q p est donnée pr p q (y) = qx q = q x x = p q y q q y = q y q y = q y q. 3.3 Fonctions inverses clssiques 3.3. Fonctions hyperboliques Exponentielle et logrithme exp(x) Nous rppelons l limite dmise :lim =.Cettelimitepeutussis écrire x! x sous l forme exp(x) exp() lim =. x! x L éqution fonctionnelle montre lors que exp est dérivble puis que pour tout x, exp = exp. En d utres termes, exp est désoltion de l éqution di é r e n t i e l l e y = y. On voit lors que exp est strictement croissnte puisque s dérivée est strictement positive. c est donc une bijection de R sur exp(r). l imge de cet intervlle est l intervlle R +. Comme exp vérifie exp( + b) =exp()exp(b), l bijection réciproque vérifie f(cd) =f(c)+f(d). On reconnit l éqution fonctionnelle crctéristique des logrithmes. On dmettr : Théorème Les deux fonctions exp et ln sont des bijections réciproques. Le théorème 3..9 permet de vérifier que ln est dérivble sur R + de dérivée ln (x) = x. ln(x) En prticulier l limite dmise lim x! x =s écritjuste lim x! ln(x) ln() x = =.. en posnt c =exp() etd =exp(b).

25 3.3. Fonctions inverses clssiques 4 Trigonométrie hyperbolique Soient cosh et sinh définies pr cosh(x) = exp(x)+exp( x) sinh(x) = exp(x) exp( x). Il est immédit que cosh est strictement positive, insi que sinh est positive sur R + et négtive sur R. De plus cosh et sinh sont dérivbles comme combinisons de fonctions dérivbles. Le clcul montre que cosh =sinhetsinh =cosh.onendéduitquesinhest strictement croissnte. On montre que c est une bijection de R sur R. L fonction cosh est strictement croissnte sur R + et c est une bijection de R + sur [, +[. Les bijection réciproques se notent respectivement rgsinh et rgcosh. En posnt X =exp(x) puisenrésolvntleséqutions on trouve une expression explicite y =cosh(x) ouy =sinh(x), rgcosh (y) =ln(y + p y ) et rgsinh (y) = ln(y + p y +). Les dérivtion en utilisnt les formules de fonctions composées ou le théorème 3..9 donnent 8x >, rgcosh (x) = Appliction : longueur d une prbole. Fonctions puissnces p x et 8 x R, rgsinh (x) = p x +. Si x est un réel strictement positif et q un entier nturel non nul, on vu l nottion qp x = x q. Nous llons mintennt justifier cette nottion. Pr définition de l bijection réciproque, on ( qp x) q = x. D où ln(x) = ln(( qp x) q )=q ln( qp x). Cel donne ln( qp x)= q ln(x) etceljustifiedonc qp x = x q. Si mintennt p est un entier reltif (non nul), on exp( p q ln(x)) = exp(ln(x p q )) = x p q. Comme Q est dense dns R, cel justifie l définition : Pour tout >etpourtout R on pose =exp( ln ). Posons e =exp(),c estàdireln(e) =.Ondonc e x =exp(x).

26 3.3. Fonctions inverses clssiques Fonctions trigonométriques On rppelle que sin et cos sont fonctions définies sur R. Elle sont -périodiques, c est à dire que pour tout x, cos(x + ) =cos(x) et sin(x + ) =sin(x). Elles sont toutes les dérivbles et cos = sin et sin =cos. De plus cos est pire, c est à dire que pour tout x, cos( x) =cos(x). L fonction sin est elle impire (sin( x) = sin(x)). Il y ussi une propriété de ces fonctions : cos (x)+sin (x) =. Ceci se trduit géométriquement sur le cercle unité. Cel permet de déduire des symétries des vleurs du type sin( x) oucos(x + ) à p r t i r d e s xi et n cos x. On rppelle dns le tbleu suivnt quelques vleurs essentielles : cos x sin x p6 3 p4 p On rppelle ussi que l fonction tn est définie sur R \{ + k, k Z} pr 3 p 3 Elle est impire et -périodique. tn(x) = sin x cos x Fonctions trigonométriques réciproques. L fonction tn définie pr tn(x) = sin(x) vérifie que s limite est en cos(x) en +. Elle est dérivble comme rpport de fonctions dérivbles et, et + tn (x) = cos (x)+sin (x) cos (x) = cos (x) =+tn (x). L dérivée est donc strictement positive, ce qui montre que tn est une bijection de ] sur R S bijection réciproque se note rctn. Pour x dns R, rctn(x) estleréely dns ], [ tel que tn(y) =x. On donc imméditement l reltion, [ tn rctn(x) =x.

27 3.4. Exercices 6 Pr contre l reltion rctn tn(x) =x n est vlble que pour x dns ], [. L fonction rctn est très importnte pour clculer les intégrles. On se souviendr que rctn (x) = +x. L bijection réciproque est ussi importnte pour les pssge de coordonnées crtésiennes ux coordonnées polires : si M pourcoordonnéescrtésiennes(x, y), ses coordonnées polires (, ) sont données pr x = cos et y = sin. Cel permet d obtenir y x =tn( ) etdonc =rctnx y ou +rctnx y. Dns l même fmille, on trouve les bijections réciproques de sin et cos. Elles sont un peu moins utiles. L fonction sin est une bijection de [, ] sur [, ]. L bijection réciproque se note rcsin. Elle v donc de [, ] sur [, ]. Ainsi pour x dns [, ], rcsin(x) estleréel y de [, ] tel que sin(y) =x. On donc l reltion sin rcsin(x) =x. Attention, l formule rcsin sin(x) = x n est ps toujours vrie. Elle n est vlble que pour x dns l intervlle [, ]. On ussi rcsin (x) = p x. De fçon similire, cos est une bijection de [, ] dns[ se note rccos. On ussi, ]. L bijection réciproque 8 x [, ] cos rccos(x) =x et 8 x [, ], rccos cos(x) =x. Le clcul de l dérivée donne rccos x = p x. 3.4 Exercices Exercice 3 Donner les ensembles de définitions des fonctions suivntes : / t 7! t + t +3. / x 7! p (x )(x ). 3/ y 7! y 4y 6. p 4 6 4/ 7!. 3

28 3.4. Exercices 7 Exercice 4 Former les fonctions f g à l i d e d e s 3 p r e m i è r e s f o n c t i o n s d e l e x e r c i c e p r é c é d e n t. D o les ensembles de définition. Exercice 5 Résoudre les équtions suivntes : / e 4x+ e e = 4x+ e. / 3x+ =8 5x 3. 3/ e ln( x) = x +. 4/ (x )e ln(x ) =lne x+. Exercice 6 L fonction y 7! p y est-elle dérivble? Exercice 7 Clculer les dérivées de / f(x) = sin((x +) (x +)), / ln(ln x), 3/ +tnx, Exercice 8 Clculer l dérivée f en fonction de g lorsque / f(x) =g(x)+g(), / f(x) =(x )g(x), Exercice 9 Soit f une fonction définie et dérivble sur R. SoitP le polynôme P (X) =X +3X +4. / Que vut P f(x)? / Clculer l dérivée de P f de deux mnières di érentes : à l ide des formules de produits de composition et à l ide de l question précédente. Exercice Montrer que x 7! x dmet un minimum en. Exercice / Trouver le rectngle de périmètre fixé P qui l plus grnde surfce possible. Exercice Soit p un entier positif. / Montrer que l fonction f :[, +[! R définie pr f(x) = p. / Montrer que pour tout et b réels positifs on ( + x)p +x p pourmximum ( + b) p pple p ( p + b p ).

29 3.4. Exercices 8 Exercice 3 x 3 Soit f l fonction définie pr f(x) = (x ). / Donner son ensemble de définition. Justifier qu elle y est dérivble. / Étudier les vritions de f. 3/ * Donner les limites de f(x) uxbornesdesonensemblededéfinition. 4/ Donner les extrem de f. Résumer le tout dns un tbleu. 5/ Donner, en fonction de l vleur du prmètre m, le nombre de solutions (on ne demnde ps LES solutions) de f(x) =m.

30 Chpitre 4 Intégrles 4. Définition et premières propriétés 4.. grphe et surfce On considère un intervlle I =[, b] (vec pple b) der et une fonction f de I dns R. On rppelle que le grphe de f est l ensemble des points (x, y) der qui vérifient x [, b] et y = f(x). Définition 4... On ppelle intégrle de f sur l intervlle [, b] l surfce comprise entre le grphe de f et l xe des bsisses, cette surfce étnt comptée positivement si le grphe est u-dessus de l xe et négtivement sinon. On l noter On pose ussi Z b f(t)dt déf = Z b f(t)dt Z b f(t)dt. On comprend, vec cette définition qu on ne peut ps clculer l intégrle de n importe quelle fonction, et qu il fut que son grphe soit su sment joli. En prticulier on dmettr qu on peut clculer Z b f(t)dt pour n importe quelle fonction continue f. On déduit de cette définition une propriété importnt de l intégrle : Proposition 4... Si f est positive sur [, b] lors Z b f(t)dt. Démonstrtion. Si f est positive, son grphe est toujours u-dessus de l xe des bscisses et donc l surfce est positive. De cette proposition découle deux corolires utiles : Corollire Si f g (i.e. si pour tout t de [, b], f(t) g(t)) lors Z b g(t)dt. Il su td utiliserlpropositionvecf g. Corollire Z b f(t)dt pple Z b f(t) dt. Il su td utiliserlepremiercorollireenremrquntque f pple f pple f. Z b f(t)dt

31 4.. Définition et premières propriétés Primitives et intégrles. Commençons pr donner quelques propriétés de l intégrle : Proposition Soient f et g deux fonction (continues) définies sur [, b]. Alors : Z b (f + g)(t)dt = Z b Pour tout dns R, f(t)dt + Z b Z b f(t)dt = g(t)dt. Z b f(t)dt. Pour tout c dns [, b] (et même illeur si f est définie en dehors de [, b]) on l reltion de Chsles Z b f(t)dt = Z c f(t)dt + Z b c f(t)dt. Définition On dit que l fonction F :[, b]! R est une primitive de f sur [, b] si et seulement si F est dérivble de dérivée f. Le théorème fondmentle en clcul di érentiel est le lien entre primitive et intégrle : Théorème Si f est continue lors l fonction définie sur [, b] pr F (x) = Z x f(t)dt est une primitive de f. Si F et G sont deux primitives de f sur [, b] lorsf G est dérivble de dérivée nulle. C est donc une fonction constnte. Ainsi, deux primitives d une même fonction sur un intervlle di èrent seulement d une constnte. On peut donc dire que x 7! F (x) déf R = x f(t)dt est l primitive de f sur [, b] qui s nnule en. Ceci permet ussi de clculer une intégrle à l ide d une primitive quelconque : Proposition Si G est une primitive quelconque de f sur [, b], lors Z b f(t)dt = G(b) G().

32 4.. Méthodes de clculs Primitives usuelles et exemple. f(t) F (t) f(t) F (t) n 6=, (t + ) n (t + ) n+ t + cos( t) sin( t) cosh( t) sinh( t) n + ln t + sin( t) cos( t) sinh( t) cosh( t) t pour >, 6= cos t =+tn t sin t t + p t p t t ln tn t cotnt rctn t rcsin t rgcosh t e t e t p t + rgsinh t Exemple. On souhite clculer I = Z I =.3 si nous posons u(x) =+3x,lorsI = 6 On trouve u finl I = ln(3) Méthodes de clculs. 4.. Intégrtion pr prtie t dt. On remrque que I s écrit +3t Z Z.3t +3t dt. I = 6 [ln u(t) ]. Si f et g sont dérivbles sur [, b], on rppelle l formule (fg) = f g + fg. Ceci permet d écrire l formule d intégrtion pr prtie : u (t) dt, ce qui signifie que u(t) Z b f (t)g(t)dt =[f(t)g(t)] b Z b g (t)f(t)dt

33 4.. Méthodes de clculs. 3 Cette formule est très utile pour clculer des intégrles compliquées. Plutôt que de fire une longue théorie voici quelques exemples. Exemples Clcul de I = Z 3 t ln tdt. On mnipule mieux l dérivée de ln que l fonction ln. On v donc fire une IPP pour se débrrsser du ln. Posons v (t) =t,onv(t) = 3 t3. Posons u(t) =lnt, onu (t) = t.ontrouvedonc I = Z 3 ce qui donne I = 7 3 ln 3 3 v (t)u(t)dt =[v(t)u(t)] 3 Z 3 Z 3 v(t)u (t)dt, t dt. OntrouvedoncI =9ln3 Clcul de I = R rctn tdt. On pose v (t) =,etu(t) =rctnt. On trouve v(t) =t et u (t) =. Ceci donne +t et donc I = 4 ln. I =[t rctn t] Z t +t dt, Clcul de J n = R dt. On pose encore v (t) =etu(t) = (+t ) n v(t) =t et u nt (t) =, et donc ( + t ) n+ J n = n + Z nt dt, ( + t ) n ( + t ) n.ondonc ce qui donne ussi J n = n +nj n nj n+. On donc pour tout n, nj n+ = n +(n J n pour tout n. )J n. Comme on connit J, on peut clculer 4.. Chngement de vribles L formule du chngement de vrible déjà été vue sns être évoquée explicitement. considéronsunebijection dérivble u de [, b] sur l intervlle [c, d](u est doncstrictement monotone), et une primitive F de f (définie sur [c, d]). On ur Le terme de guche de (4.) s écrit ussi u.f u. F u(b) F u() =F (u(b)) F (u()). (4.) Z b u (t)f u(t)dt puisque l dérivée de F u est

34 4.. Méthodes de clculs. 33 Le terme de droite de (4.) s écrit ussi Z b Z u(b) u() u (t)f u(t)dt = f(t)dt. Ainsi (4.) s écrit ussi Z u(b) u() f( )d. Cette formule s ppelle l formule du chngement de vrible. E ectuer un chngement de vrible dns l intégrle Z b f(t)dt c est : * Soit écrire t = u(x) oùu est une ppliction strictement monotone et dérivble de [c, d] sur [, b], * Soit poser x = u(t) oùu est une ppliction strictement monotone et dérivble de [, b] sur [c, d]. Exemples Aire d une ellipse : L éqution d une ellipse est x + y b =. On souhite connître son ire. On remrque que l symétrie permet de ne clculer que l surfce comprise dns le qurt-de-pln supérieur, c est à dire là où x et y sont positifs. L éqution devient lors r y = b ce qui signifie que l surfce de l ellipse est S =4b dx. On pose lors x = sin t, pourt entre et (on remrquer que sin est bien bijective et dérivble sur cet intervlle) ce qui donne dx = cos(t)dt.on donc Z p Z S =4b sin t cos(t)dt =4b cos tdt, (puisqu entre O et cos t est positif). cette dernière intégrle se clcule en utilisnt l formule cos t = +cos(t).ontrouveufinls = b. Z Clcul de I = x + x + dx. On écrit x + x +=(x + ) +, soit 4 I = Z x, Z r (x + ) + 3 dx. 4 on pose lors t = x + (ce qui définit bien une bijection dérivble entre [, ] et [, 3 ]) et on donc dt = dx, ce qui donne I = Z 3 t dt = 4 3 Z 3 x p 3 ) + dt. ( t

35 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 34 On e ectue le chngement de vrible u = t p 3 (ce qui donne du = p 3 dt) pourobtenir I = p Z p 3 3 u + du. p 3 On trouve donc I = 6 p 3. Pour clculer une primitive on se rmène donc à clculer une intégrle et on utilise les outils présentés (chngement de vrible et ou intégrtion pr prtie). Si on veut clculer un primitive prticulière, vlnt b en on clculer donc F (x) =b + Z x f(t) dt et on prend bien soin de ne ps mettre l même vrible dns l intégrle qu à l extérieur : x pour F (x), t (pr exemple) pour l intégrle. Si on veut clculer les primitives, on se contenter de clculer Z x f(t) dt sur un intervlle où f est définie et on jouter une constnte quelconque. 4.3 Primitives des frctions rtionnelles 4.3. Décomposition en éléments simples Polynômes Définition On ppelle polynôme à coe P : x 7! + x n x n, cients dns R toute ppliction du type Si P n est ps l ppliction nulle on ppelle degré de P le plus grnd k tel que k soit non nul. Il se note deg(p ). Pr convention, et pour ne ps confondre l ppliction x 7! x n et s vleur en x, x n, le polynôme P : x 7! + x n x n se noter ussi P = P (X) = + X n X n. Exemple. Le polynôme P (X) =X 5 + X 4 + X +estdedegré5. Le polynôme P (X) =3estdedegré.C estlfonctionconstnteégleà3.lepolynôme nul (c est à dire l fonction constnte nulle) ser dit de degré. Définition Un polynôme P R[X] de degré forme 8 >< X vec R, P (X) = ou >: X + px + q vec p est dit irréductible s il est de l 4q<.

36 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 35 Exemples X, X +oux + X + sont irréductibles. X X +etx 3 + X ne le sont ps. Théorème Tout polynôme non nul se décompose de fçon unique comme un produit de polynômes irréductibles et d un réel. Exemple. Décomposition en fcteurs irréductibles de X 4 +. c est un polynôme de degré 4 sns rcines dns R, qui s écrir donc comme produit de polynômes de degré irréductibles. On donc X 4 + = (X +) X =(X + p X)(X ++ p X) =(X p X+)(X + p X+) Les deux polynômes obtenus sont bien irréductibles. Le polynôme P (X) =X +X +s écritussip (X) =(X +). Proposition Soient P et Q dns R[X], vec Q 6=. Il existe deux polynômes uniques R et T, vec deg(r) < deg(q) tels que P = QT + R. Cette opértion s ppelle l division euclidienne de P pr Q ; R s ppelle le reste de l division et T le quotient. Exemple. On ur X 5 + X +=(X + X +)(X 3 X +) (X +);Lequotient de X 5 + X + pr X + X +estdoncx 3 X +etleresteest (X +). Si on e ectue l division euclidienne de X + X +prx 5 + X +,onpeutécrire X + X +=(X 5 + X +) +(X + X +), et < 5, ce qui signife que le quotient est et le reste X + X +. Proposition P est un multiple de Q si et seulement si le reste de l division euclidienne de P pr Q est nul. Exemple. E ectuons l division euclidienne de X 5 + X + pr X + X +: X 5 +X + X + X + X 5 X 4 X 3 X 4 X 3 +X + X 3 X + X 4 +X 3 +X X +X + X X Donc X 5 + X +estunmultipledex + X +.

37 4.3. Primitives des frctions rtionnelles 36 Frctions rtionnelles Définition On ppelle frction rtionnelle toute ppliction du type T : x 7! P (x) Q(x) où P et Q sont deux polynômes, Q étnt non nul. P s ppelle le numérteur et Q le dénominteur. On ppelle degré de l frction le terme deg(p ) deg(q). On noter R(X) l ensemble des frctions rtionnelles réelles. Tout comme pour les polynômes on noter (souvent) T = T (X) = P (X) l frction pour ne ps l confondre vec s vleur en x. Une frction rtionnelle n est ps Q(X) nécessirement définie sur R à cuse du dénominteur. On ppelle pôle de l frction tout point où le dénominteur s nnule. On fer toutefois ttention de ne ps jouter de fux pôles : Exemple. l frction X présente un pôle en sous cette forme mis elle vut X 3 X + ussi qui n ucun pôles. Il fut donc retirer tous les fcteurs irréductibles X + X + communs u dénominteur et u numérteur. Si P est une frction rtionnelle, on peut toujours e ectuer le division euclidienne de Q P pr Q pour obtenir P = QT + R vec deg(r) < deg(q). On ur donc P Q = T + R Q. On considèrer que toute frction rtionnelle est de degré < et s écrit P Q vec P et Q sns terme irréductibles commun dns leur décomposition respective. Définition On ppelle élément simple de R(X) une frction rtionnelle ynt l une des formes suivntes : (X b),où est dns n R, b est dns R et n est un entier. X + b où et b sont deux réels non tous les deux nuls et p et q deux réels tels (X + px + q) n que p 4q soit < et n est un entier. Le principle résultt sur les frction rtionnelles est le suivnt ; ilest utile pour l intégrtion et/ou l recherche de primitives. Théorème Toute frction (de degré < ) se décompose de fçon unique comme une somme d éléments simples de R(X). On peut ussi préciser sous quelle forme il fut recherche les éléments simples, mis l formultion est ssez lourde : Prenons P une frction rtionnelle vec P et Q premiers entre eux. Les fcteurs premiers Q de Q sont notés T,...,T k et S,...,S l sns fire intervenir l multiplicité, où T i est du type T i = X i et S j est du type S j = X + p j X + Q j (vec p j 4q j < ). Cel signifie que Q s écrit Q = ky ly (T i ) m i (S j ) m j, i= j=