f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

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1 CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers si f./ est aussi proche de ` que l on veut, dès que est suffisamment proche de. ou f./ se rapproche de `, lorsque se rapproche de. On note! f./ D `. Définition. Limite infinie en un point) On dit que f admet C pour ite lorsque tend vers, si si f admet une ite quand tend vers et si cette ite est égale à f. /. C est-à-dire, f continue en! f./ D f. / Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point de a; bœ. Eemple Les fonctions polnômes sont continues sur R. 7! a C b C c C C d n. Dérivée d une fonction Définition. Soit f W D! R une fonction et ; D. On appelle tau d accroissement de f entre et le rapport D f. / f. / f./ est aussi grand que l on veut, dès que est suffisamment proche de. ou f ) f./ est de plus en plus grand, lorsque se rapproche de. f Pente = τ On note! f./ D C. f ) Définition. Limite finie à l infini) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers C si f./ est aussi proche de ` que l on veut, dès que est suffisamment grand. ou On note f./ se rapproche de `, lorsque est de plus en plus grand.!c f./ D `. Définition. Limite infinie à l infini) On dit que f admet C pour ite lorsque tend vers C si Définition. Soit f W D! R et D. On appelle dérivée de f en le réel défini par f f./ f. /. / D! si cette ite eiste et est finie. On dit alors que f est dérivable en. ou f./ est aussi grand que l on veut, dès que est suffisamment grand. f./ de plus en plus grand, lorsque est de plus en plus grand. On note!c. Continuité f./ D C. f ) T Pente = f ' ) Définition. Soit f W D! R une fonction et D. On dit que f est continue en Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 I. Fonctions d une variable réelle Page

2 Remarque Si on pose h D ou D C h ), on obtient f f./ f. / f. C h/ f. /. / D D! h! h La courbe représentative de f admet au point de coordonnées ; f. / une tangente de coefficient directeur f. / et d équation D f. / C. /f. / : Définition. On dit que f est dérivable sur D si elle est dérivable en tout point de D. On appelle alors fonction dérivée de f l application f définie par f W D! R 7! f./ Définition. On dit que f est de classe C sur D si f est dérivable sur D ; la fonction dérivée f est continue sur D. Proposition. Soit f W a; bœ! R une fonction dérivable sur un intervalle a; bœ. La fonction f est croissante sur a; bœ si et seulement si f./ > pour tout a; bœ. La fonction f est décroissante sur a; bœ si et seulement si f./ 6 pour tout a; bœ. La fonction f est constante sur a; bœ si et seulement si f./ D pour tout a; bœ. Remarque Si f./ > pour tout a; bœ, alors f est strictement croissante sur a; bœ. Si f./ < pour tout a; bœ, alors f est strictement décroissante sur a; bœ. Définition. Pour tout n >, on définit la dérivée n-ième f.n/ de f comme la dérivée de f.n / lorsque f.n / eiste et est dérivable : On pose f./ D f. f.n/./ D f.n /./ Définition. On dit que f est de classe C n sur D si f.n/ eiste et est continue sur D.. Conveité Définition. Soit f W Œa; b! R. On dit que f est convee si f. C. // 6 f./ C. /f./ pour tout ; Œa; b et tout Œ;. On dit que f est concave si f est convee, i.e., f. C. // > f./ C. /f./ Proposition. Soit f W Œa; b! R une fonction deu fois dérivable sur Œa; b. Alors < f est convee sur Œa; b SSI f est positive ou nulle : f convee sur Œa; b f./ > ; 8 Œa; b f est concave sur Œa; b SSI f est négative ou nulle : f concave sur Œa; b f./ 6 ; 8 Œa; b Théorème.6 Soit f W I! R une fonction définie sur un intervalle I et J D f.i /. On suppose que f est strictement monotone sur I. Alors, la fonction f est bijective de I sur J : il eiste une fonction f W J! I telle que D f./ D f./ 8 I; 8 J ou encore f f./ D 8 I De plus, si f est dérivable en avec f. /, alors.f /. / D f. / où D f. /. Dérivée seconde Définition. Soit f une fonction dérivable sur D. Si f est dérivable, on note f ou f./ la dérivée de f. La fonction f est appelée dérivée seconde de f. Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 I. Fonctions d une variable réelle Page

3 CHAPITRE II Optimisation d une fonction d une variable réelle. Etremums d une fonction f) Théorème. Soit f W Œa; b! R une fonction continue sur Œa; b. Alors f admet un minimum et un maimum global : il eiste m et M dans Œa; b tels que 8 Œa; b ; f. m / 6 f./ 6 f. M / pour tout tel que f. m / 6 6 f. M /, il eiste Œa; b tel que f./ D Théorème des valeurs intermédiaires) Soit D D a; bœ un intervalle ouvert et f W D! R. On considère les problèmes d optimisation suivants : min f./ D ma f./ D Définition. Soit f W D! R une fonction définie sur un intervalle D. La fonction f admet un minimum global en m D si 8 D f./ > f. m / La fonction f admet un maimum global en M D si f) f M ) 8 D f./ 6 f. M / Cela consiste à rechercher les etremums locau ou globau de f.. Condition nécessaire d optimalité Proposition. Condition nécessaire d optimalité) Soit f W D! R dérivable D. Si f admet un etremum local ou global) en alors Remarque La condition f. / D f./ D ne donne que des points candidats ou critiques). Il faut ensuite étudier la nature de chacun de ces points. Nature d un point critique étude directe) : Soit un point critique : f m ) M m Définition. Soit f W D! R une fonction définie sur un intervalle D. La fonction f admet un minimum local en D si 8 V. / f./ > f. / La fonction f admet un maimum local en D si 8 V. / f./ 6 f. / où V. / D ; C Œ est un voisinage de. f) f ) f ) On pose On étudie alors le signe de f. f. / D f D f./ f. / Si f >, f admet un minimum en. Si f 6, f admet un maimum en. L etremum sera global ou local, selon que l inégalité est vraie pour tout ou pour tout dans un voisinage de.. Conditions suffisantes d optimalité locale Proposition. Conditions suffisantes d optimalité) Soit f W D! R deu fois dérivable en D. Si est un point critique de f f. / D ) alors si f. / <, alors f admet un maimum local en. si f. / >, alors f admet un minimum local en. Remarque Lorsque f. / D, il faut faire une étude directe. Deu cas peuvent se produire : f./ s annule en changeant de signe : point d infleion f./ s annule sans changer de signe : etremum Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 II. Optimisation d une fonction d une variable réelle Page

4 . Optimalité globale : le cas convee/concave Proposition. Soit f W D! R une fonction dérivable en D. Si f est convee, f admet un minimum global en SSI f. / D. Si f est concave, f admet un maimum global en SSI f. / D. Remarque Si la fonction f est strictement convee ou concave alors l etremum est unique.. Méthodologie ) On détermine le domaine de définition de f./. ) On étude la conveité de f./. ) On résout l équation f./ D pour trouver les points candidats :,,... ) Si f./ est convee ou concave, la fonction admet un minimum ou maimum global au) points) trouvés). ) Sinon, on calcule f. / pour chacun des points candidats : si f. / >, f admet un minimum local en ; si f. / <, f admet un maimum local en ; 6) Sinon si f. / D ), on étudie le signe de f. Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 II. Optimisation d une fonction d une variable réelle Page

5 CHAPITRE III Fonctions réelles de deu variables réelles. Fonctions de deu variables On considère l espace produit Représentation en dimensions Représentation dans R : ; ; f.; / z = f,) R D R R Un élément de R est un couple noté.; / ou. ; /. La somme de deu éléments de R est Le produit par un réel est.; / C. ; / D. C ; C /,).; / D.; / Définition. On dit que.; / tend vers. ; / si tend vers et tend vers. On note.; /!. ; /!! Définition. Soit.; / un point de R. On appelle voisinage ouvert élémentaire) de.; / tout ensemble V de la forme avec r ; r >. V D r ; C r Œ r ; C r Œ R!!!!!!!!!! Une fonction réelle de variables réelles est une application f définie sur une partie de R à valeurs dans R : f W R! R.; / 7! f.; / f.; / D C Définition. Soit f W R! R et. ; / R. On dit que f admet ` R pour ite lorsque.; / tend vers. ; / si 8,8 8, 7, 6,,6,8, f.; / est aussi proche que l on veut de ` dès que.; / est suffisamment proche de. ; /,,,6,8 On note ` D f.; /.;/!. ; /,,,,,,,,,,,, Définition. Soit f W R! R et. ; / R. On dit que f est continue en. ; / si f admet une ite en. ; / et si cette ite est égale à f. ; /. f continue en. ; / f.; / D f. ; /.;/!. ; /,,, f.; / D On dit que f est continue sur D R si elle est continue en tout point de D.. Représentations graphiques Représentation des courbes de niveau Soit f W R R! R. On appelle courbe de niveau c de f l ensemble : n o C c.f / D.; / R W f.; / D c Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 III. Fonctions réelles de deu variables réelles Page

6 ,,6 Définition. Soit f W R! R et D R. On dit que f est de classe C sur D, si f admet des dérivées partielles continues sur D. On définit alors la différentielle de f en. ; / D, df. ; / D f. ; / d C f. ; / d!!,8,,!, On appelle gradient de f en. ; / le vecteur f!. ; / gradf. ; / D rf. ; / A f. ; /!,8 6!,!,6!, f.; / D C f 6 f.; / D. Différentiabilité Définition. Soit f W R! R et. ; / R. On appelle dérivée partielle de f en. ; / par rapport à la dérivée de l application 7! f.; / en. On la note f. ; ; / D 7! f.; / ˇˇˇˇ D De même, la dérivée par rapport à est f. ; ; / D 7! f. ; / ˇˇˇˇ D Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 III. Fonctions réelles de deu variables réelles Page 6

7 CHAPITRE IV Optimisation d une fonction de deu variables I. Optimisation d une fonction Etremums libres) Définition. Soit D R et f W D! R. On dit que f admet un minimum global en. ; / D si 8.; / D; f. ; / 6 f.; / f admet un maimum global en. ; / D si 8.; / D; f. ; / > f.; / f admet un minimum local en. ; / D si 8.; / V; f. ; / 6 f.; / f admet un maimum local en. ; / D si 8.; / V; f. ; / > f.; / où V est un voisignage de. ; / dans D. Théorème. Soit f W R! R une fonction de classe C au voisinage de. ; / R. Si f admet un etremum en. ; /, on a nécessairement f. ; / D et f. ; / D Un point vérifiant ) est appelé point stationnaire ou critique pour f. Nature du point candidat Étude directe) Le théorème. ne donne que des points candidats. ; /. Il faut ensuite étudier la nature de chaque point. Pour cela, on étudie le signe de ). Optimisation sous contrainte etremums liés) Soit f; gw R! R deu fonctions. On considère le problème d optimisation suivant : Optimiser f.; /.P / sous la contrainte g.; / D On cherche. ; / vérifiant g. ; / D tel qu on ait ou f.; / 6 f. ; / f.; / > f. ; / pour un maimum pour un minimum pour tout.; / V. ; / vérifiant g.; / D. Pour résoudre le problème.p /, on introduit une nouvelle fonction appelée lagrangien associé à.p / : L.; ; / D f.; / C g.; / Théorème. Conditions nécessaires d optimalité) Soit f; gw R! R de classe C au voisinage de. ; / R. Si.P / admet une solution en. ; /, en général, il eiste R tel que 8 ˆ< L. ; ; / D L ˆ:. ; ; / D L. ; ; / D La variable est appelée multiplicateur de Lagrange associé à.p /. Nature du point candidat Étude directe) Le résultat précédent ne donne que des points candidats. Il faut ensuite étudier la nature de chaque point. Pour cela, on peut étudier le signe de f D f.; / f. ; / en tenant compte de la contrainte g.; / D. Méthode de substitution Lorsque la contrainte g.; / D permet d eprimer en fonction de : D./ le problème d optimisation sous contrainte.p / est équivalent au problème d optimisation d une fonction d une variable : Optimiser h./ D f.;.// pour.; / proche de. ; /. f D f.; / f. ; / Si f > alors f admet un minimum en. ; /. Si f 6 alors f admet un maimum en. ; /. L etremum sera global ou local, selon que l inégalité est vraie pour tout.; / ou pour.; / proche de. ; /. Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 IV. Optimisation d une fonction de deu variables I Page 7

8 CHAPITRE V Compléments sur les fonctions réelles de deu variables. Dérivées partielles secondes Définition. Soit f W R! R admettant des dérivées partielles : f W R! R f W R! R : Si ces fonctions admettent des dérivées partielles par rapport à et, elles sont appelées dérivées partielles secondes ou d ordre de f. Notations ou f D f f D f f D @f f D @f On dit que f est de classe C sur U, si elle admet des dérivées partielles secondes continues sur U. Remarques) La somme de fonctions convees resp. concaves) est convee resp. concave). ) Le ma resp. min) de plusieurs fonctions convees resp. concaves) est convee resp. concave). ) Si f.; / D g./ch./ avec g et h convees resp. concaves), alors f est convee resp. concave). Proposition. Si f est de classe C sur R, alors 8 ˆ< det H f > f est convee f > ˆ: f > H f est semi-définie positive. en tout.; / R. et 8 ˆ< det H f > f est concave f 6 ˆ: f 6 H f est semi-définie négative. en tout.; / R. Théorème. Schwarz) Si f W R! R est de classe C au voisinage de. ; / R, alors f. ; / D f. ; / Définition. Soit f W R! R une fonction de classe C sur U R. On appelle matrice hessienne de f en. ; / U, la matrice f. B ; / f. ; / C H f. ; / A f. ; / f. ; / Définition. On appelle hessien de f en. ; / U, le déterminant de la matrice hessienne de f en. ; / : det H f. ; / D f. ; / f. ; / f. ; /. Conveité Définition. On dit que C R est convee si pour tous M ; M C et tout Œ;, on a M C. /M C avec M D. ; / et M D. ; /. Définition. Soit C R un ensemble convee. On dit qu une fonction f W C! R est convee si pour tous M ; M C et tout Œ;, on a f M C. /M 6 f.m / C. /f.m / On dit que f est concave si f est convee : f M C. /M > f.m / C. /f.m / Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 V. Compléments sur les fonctions réelles de deu variables Page 8

9 CHAPITRE VI Optimisation d une fonction de deu variables II. Optimisation sans contrainte Rappels. Soit f W R! R de classe C. On recherche les etremums de f sur R. Les points critiques ou candidats) sont donnés par les CNO : rf.; / D f f.; / D.; / D Reste à étudier la nature de chaque point candidat. Théorème. Soit f W R! R de classe C au voisinage de. ; / R. On suppose que f. ; / D f. ; / D. On note det H f. ; / le hessien de f en ce point. Si H f. ; / est définie positive, i.e., si det H f. ; / > et f. ; / >, alors f admet un minimum local en. ; /. Si H f. ; / est définie négative, i.e., si det H f. ; / > et f. ; / <, alors f admet un maimum local en. ; /. Si det H f. ; / <, alors f n admet pas d etremum en. ; / point col). Remarque Si det H f. ; / D, le théorème ne permet pas de conclure. Il faut étudier plus précisément le signe de f. Théorème. Le cas convee/concave) Soit C R convee et f W C! R de classe C sur C. Définition. Calcul du hessien) Si f et g sont de classe C, la matrice hessienne de L est : L L L L L g H L.; ; / D BL L C A D BL L C A L L L g g Le hessien est det H L.; ; / D g hg L g L i g g L g L Théorème. Soit f; gw R! R de classe C au voisinage de. ; /. On suppose que. ; / est un point candidat avec R. Si det H L. ; ; / >, alors.p / admet un maimum local en. ; /. Si det H L. ; ; / <, alors.p / admet un minimum local en. ; /. Si det H L. ; ; / D, alors on ne peut pas conclure. Il faut étudier directement le signe de f. Théorème. Le cas convee/concave) Soit C R convee et f; gw C! R de classe C sur C. On suppose que g est affine : g.; / D a C b C c Si f est convee sur C,.P / admet un minimum global en. ; / SSI rl. ; ; / D. Si f est concave sur C,.P / admet un maimum global en. ; / SSI rl. ; ; / D.. Condition de qualification Les théorèmes donnant les CN et les CS d optimalité sous contrainte ne sont pas toujours valides. Il faut rajouter au conditions déjà vues une condition supplémentaire appelée condition de qualification : rg. ; / Si f est convee sur C, f admet un minimum global en. ; / SSI rf. ; / D Si f est concave sur C, f admet un maimum global en. ; / SSI rf. ; / D. Optimisation sous contrainte Rappels. Les points candidats du problème d optimisation.p / sont donnés par les CNO Optimiser f.; / sous la contrainte g.; / D rl.; ; / D 8 ˆ< L.; ; / D L ˆ:.; ; / D L.; ; / D où L.; ; / D f.; / C g.; /. Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 VI. Optimisation d une fonction de deu variables II Page 9

10 CHAPITRE VII Les fonctions logarithme et eponentielle - Élasticité. La fonction logarithme népérien On appelle logarithme népérien la fonction notée `n : vérifiant 8 R C `nw R C! R 7! `n.`n / D et `n./ D John Napier, né à Merchiston, près d Édimbourg, en et mort le avril 67 au château de Merchiston, est un théologien, phsicien, astronome et mathématicien écossais. Étude de la fonction `n Domaine de définition : D`n D R C D ; CŒ. Dérivée :.`n / D Signe de la dérivée :.`n / > 8 R C. Variations : `n est donc strictement croissante sur R C. Dérivée seconde.`n / D < 8 R C La fonction `n est donc strictement) concave sur R C. Limites `n D `n D C! C!C Représentation graphique Propriétés Pour a; b R C, on a `n.ab/ D `n a C `n b `n.a=b/ D `n.a/ `n.b/ Pour a R C et r Q, on a `n D `n a `n.a r / D r `n a a On note e le réel vérifiant `n e D. Il est appelé nombre de Néper. e ; 78. On a les ites suivantes : `n!c D n! n `n D! `n D u! `n. C u/ u D. La fonction eponentielle On appelle fonction eponentielle la fonction réciproque de `n. Elle est notée epw 7! e Pour tout R, e est l unique réel tel que En particulier, e D. `n.e / D : Étude de la fonction ep Domaine de définition : D ep D R. Dérivée :.e / D e Signe de la dérivée :.e / > 8 R. Variations : ep est donc strictement croissante sur R. Dérivée seconde.e / D e > 8 R La fonction ep est donc strictement) convee sur R. Limites : Représentation graphique! e D!C e D C Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 VII. Les fonctions logarithme et eponentielle - Élasticité Page

11 Propriétés Pour a; b R, on a e acb D e a e b e a b D ea e b Pour a R et r Q, on a e a D e a.e a / r D e ar Pour >, et R / e`n D `n.e / D On a les ites suivantes :! n e D!C! e D C n e D. Fonction puissance Soit R. On appelle fonction puissance d eposant, la fonction notée 7! définie sur R C par D e `n 8 R C Étude de la fonction Domaine de définition : D D R C D ; CŒ. Dérivée : D > si > < si < Variations : Si >, est strictement croissante. Si <, est strictement décroissante. Dérivée seconde D. / < si < < > sinon Conveité Si < <, est strictement concave. Sinon, est strictement convee. Limites D!C D! Représentation graphique : C si > si < si > C si < Propriétés Pour ; R C et ; ˇ R, on a. Élasticité Cˇ D ˇ./ D D ˇ D. /ˇ Définition. Soit f./ une fonction et R tel que f. /. On appelle dérivée logarithmique de f en le réel `njf. /j D f. / f. / Définition. Soit f./ une fonction et R tel que f. /. On appelle variation relative de la variable le rapport D La variation relative de la fonction f./ est alors f f. / D f./ f. / f. / Définition. Soit f./ une fonction et R tel que f. /. On appelle élasticité de f entre et, le rapport e.f; ; / D f./ f. / f. / D var. rel. de f var. rel. de Si f est dérivable en, on définit l élasticité de f en : f./ f. / f. / e.f; / D f. / D B f. / A Si est petit, alors Etude de l élasticité f f. / e.f; / Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 VII. Les fonctions logarithme et eponentielle - Élasticité Page

12 je.f; /j > : la variation relative de f./ est supérieure à celle de : la fonction est élastique je.f; /j < : la variation relative de f./ est inférieure à celle de : la fonction est inélastique. je.f; /j D : la variation relative de f./ est identique à celle de. Propriétés de l élasticité Soit f et g deu fonctions. On a e f g; D e.f; / C e.g; / f e g ; D e.f; / e.g; / Si D f./ et D f./ alors e f ; D e.f; / où D f. / Définition. Soit f W R! R une fonction de classe C. L élasticité partielle de f par rapport à est e.f / D f.; / f.; / L élasticité partielle de f par rapport à est e.f / D f.; / f.; / Vincent Jalb Université de Limoges L Économie - Mathématiques Appliquées -6 VII. Les fonctions logarithme et eponentielle - Élasticité Page