Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem Lycée Roland Garros

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1 Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem Lycée Roland Garros

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3 Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence 3 1. Principe de récurrence 3 Chapitre 2. Généralités sur les suites 7 1. Suites majorées, minorées, bornées 7 2. Sens de variation 8 3. Suites arithmétiques et suites géométriques 9 partie 2. Limites de suites et de fonctions 13 Chapitre 3. Limites de suites Définitions et premières propriétés Suites de référence Opérations sur les limites Théorèmes importants Exercices Suites adjacentes 20 Méthode 21 Chapitre 4. Limites de fonctions Limites d une fonction à l infini Limites d une fonction en un réel a Opérations sur les limites Théorèmes de comparaison Limite d une fonction composée Asymptote oblique 30 partie 3. Continuité et dérivabilité 31 Chapitre 5. Continuité Exemple de référence : Fonction «partie entière» Continuité 34 Chapitre 6. Dérivabilité Dérivabilité en a - Fonction dérivée Notion de primitive Méthode d EULER 42 iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES partie 4. Fonction exponentielle - Équations différentielles 45 Chapitre 7. La fonction exponentielle Introduction Définition de la fonction exponentielle Propriétés de la fonction exponentielle Théorème (Équation fonctionnelle caractéristique) Le nombre e - La notation e x Étude de la fonction exponentielle Fonction composée x e u(x) 53 Chapitre 8. Équations différentielles Activités 1 et 2 pages Équation différentielle y = k y Équation différentielle y = ay+ b 56 partie 5. Les nombres complexes 59 Chapitre 9. Forme algébrique Introduction Points du plan et nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Les affixes et la géométrie Nombres complexes conjugués 66 Chapitre 10. Forme trigonométrique Module d un nombre complexe Argument d un nombre complexe non nul Arguments et opérations Notation exponentielle 82 Chapitre 11. Second degré dans C 83 Équations du second degré dans C à coefficients réels 83 Chapitre 12. Transformations Translation Homothétie Rotation Exercices 86 partie 6. Fonction logarithme népérien 91 Chapitre 13. La fonction logarithme népérien Activités Définition et premières propriétés Étude de la fonction logarithme népérien 94 Chapitre 14. Fonctions associées - Croissances comparées 97

5 TABLE DES MATIÈRES v 1. Fonction exponentielle de base a, avec a R Fonctions racines n-ièmes Croissances comparées 99

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7 Première partie Récurrence et suites

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9 CHAPITRE 1 Raisonnement par récurrence 1. Principe de récurrence 1.1. Exemples de propositions dépendantes d un entier naturel n P(n) : «2 n 100n» P(n) : « n 2 n(n+ 1)(2n+ 1) =» P(n) : «3 divise 4 n + 1» Soit u la suite définie par u 0 = 0 et n 0, u n+1 = u n + 5. On considère les propositions : P(n) : «0<u n < 3» et Q(n) : «u n u n+1» Toutes ces propositions ont un sens, mais sont-elles vraies pour toutes les valeurs de l entier naturel n? seulement pour certaines valeurs? pour aucune valeur? 1.2. Intérêt et idée du raisonnement par récurrence. Exemple : Notons P n la proposition 1 : « n 3 = (1+2+ +n) 2». Nous pouvons dire que : P 1 est vraie, puisque 1 3 = 1 2 ; P 2 est vraie, puisque = 9=(1+2) 2 ; P 3 est vraie, puisque = 36=(1+2+3) 2. Mais qu en est-il de P n pour les autres valeurs de l entier naturel n? On ne peut pas faire une infinité de vérifications! Peut-on trouver une méthode directe?... On peut remarquer que n est la somme des n premiers entiers naturels non nuls : n= 1 n(n+ 1) 2 D où : pour tout n N, la proposition P n équivaut à : n 3 = 1 2 n2 (n+ 1) 2 Mais à ce stade, il semble difficile, voire impossible de poursuivre une méthode directe. Nous allons introduire une nouvelle méthode de démonstration largement utilisée par les mathématiciens : le raisonnement par récurrence. 1. proposition : phrase ou énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux 3

10 4 1. RAISONNEMENT PAR RéCURRENCE Un peu d histoire 2 : L esprit de ce raisonnement figure déjà implicitement dans les Éléments d Euclide (vers 300), il est clairement formulé par Blaise Pascal vers 1654 dans son traité du triangle arithmétique et, à la fin du XIX e siècle, Richard Dedekind et Giuseppe Peano dressent la liste, en nombre minimal, des axiomes à partir desquels on démontre toutes les propriétés vraies dans N. La récurrence fait partie de ces axiomes. Selon Henri Poincaré, le raisonnement par récurrence «est un instrument qui permet de passer du fini à l infini», c est-à-dire qu avec seulement deux étapes, il permet de démontrer que P n est vraie pour une infinité de valeurs de l entier n. L idée s appuie sur le principe des dominos. Les dominos sont disposés de telle façon que : chaque domino, s il est renversé, renverse le suivant (hérédité). Il suffit de renverser le premier domino (initialisation) pour que tous les dominos soient renversés (c est une réaction en chaîne) Principe du raisonnement par récurrence. Rédaction : Pour démontrer par récurrence qu une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n n 0, on procède en trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) : on vérifie que P(n 0 ) est vraie. (initialisation) soit n un entier naturel, n n 0. On suppose que P(n) est vraie (c est l hypothèse de récurrence) et on montre qu alors P(n + 1) est vraie. (hérédité) conclusion : pour tout entier naturel n n 0, P(n) est vraie Exemples et contre-exemples. Exemple 1 : exercice résolu 1 page 203 Exemple 2 : exercice résolu 2 page 203 Exemple 3 : exercice 3 page 217 P(n) : « n 2 n(n+ 1)(2n+ 1) =» doit être démontrée pour tout 6 entier naturel n 1. Rédaction : on vérifie que P(1) : «1 2 = 1 (1+1)(2 1+1)» est vraie! (initialisation) 6 2. inspiré de faits réels : les personnages cités ont réellement existé et les esprits curieux peuvent faire des recherches : CDI, encyclopédie, internet,...

11 1. PRINCIPE DE RÉCURRENCE 5 soit n un entier naturel, n 1, on suppose que l égalité P(n) est vraie. Alors, en ajoutant (n+ 1) 2 à chacun de ses membres, on obtient : n 2 + (n+ 1) 2 n(n+ 1)(2n+ 1) = + (n+ 1) 2 6 On factorise par (n+ 1) dans le second membre que l on réduit au même dénominateur. Cela donne : (n+ 1) 2 = (n+ 1)(2n2 + 7n+ 6) 6 Or 2n 2 + 7n+ 6=(n+ 2)(2n+ 3), alors on reconnaît P(n+ 1). (hérédité) conclusion : pour tout entier naturel n 1, n 2 n(n+ 1)(2n+ 1) = 6 est vraie. Exemple 4 : exercice 5 page corrigé page 459 Exemple 5 : exercice 10 page Exercices. n 1, 2, 4 et 9 pages 217 et 218. La suite (u n ) est définie par u 1 = 0 et pour tout n 1, u n+1 = 1 2 u n. Quelle est la valeur exacte du 2009 e terme de cette suite?

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13 CHAPITRE 2 Généralités sur les suites 1. Suites majorées, minorées, bornées 1.1. Définitions. (u n ) est majorée, s il existe un réel M tel que pour tout entier n, u n M. remarque : Tout réel M supérieur à M est aussi un majorant de (u n ). (u n ) est minorée, s il existe un réel m tel que pour tout entier n, u n m. remarque : Tout réel m inférieur à m est aussi un minorant de (u n ). La suite (u n ) est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée Remarques. Une suite croissante est minorée par son premier terme. Une suite décroissante est majorée par son premier terme Méthodes. Dans le cas d une suite (u n ) donnée par u n = f (n), où f est une fonction définie sur [0,+ [, le tableau de variation de f et la limite de f en + permettent de préciser si la suite est bornée. exemple : u n = 2n2 + 1 n 2, pour n N. + 4 Lorsqu une suite est définie par une relation de récurrence, si on conjecture que la suite est majorée (ou minorée ou bornée), on peut envisager de le démontrer par récurrence Exercices. Démontrer selon le cas si la suite de terme général u n est minorée ou majorée : (1) u n = n 2 5n+ 1 (2) u n = n+ 3 n 1 (3) u n = n n 7

14 8 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Dans chacun des cas suivants, démontrer que la suite (u n ) est bornée : (1) Pour tout n N, u n = ( 1) n + sinn (2) Pour tout n N, u n = cosn+ 5 n (3) Pour tout n N, u n = 3n 2 n+ 2 n 17 et 19 p Sens de variation 2.1. Définitions. Une suite (u n ) est croissante à partir du rang n 0 si : pour tout entier n n 0, u n+1 u n. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang n 0 si : pour tout entier n n 0, u n+1 > u n. Une suite (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 si : pour tout entier n n 0, u n+1 u n. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang n 0 si : pour tout entier n n 0, u n+1 < u n. Une suite (u n ) est constante (resp. stationnaire à partir du rang n 0 ) si tous ses termes sont égaux (resp. égaux à partir du rang n 0 ) Méthodes et exemples. On peut appliquer directement les définitions en étudiant le signe de u n+1 u n exemple : u n = cos(n 2 ) 2n, pour tout n N. Lorsque la suite est à termes strictement positifs, on peut calculer le quotient u n+1 et le comparer à 1. u n exemple : v n = n!, pour tout n 1. 2n Pour une suite définie par u n = f (n), où la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur [n 0,+ [, alors la suite (u n ) est croissante (resp. décroissante) à partir du rang n 0. exemple : w n = n 2 + n 10, pour tout n N. ATTENTION : La réciproque est fausse! par exemple, f (x)=x cos(2πx). La suite (u n ) définie par u n = f (n) est croissante, alors que f n est pas monotone sur [0, + [.

15 3. SUITES ARITHMéTIQUES ET SUITES GéOMéTRIQUES 9 Dans le cas des suites définies par une relation de récurrence u n+1 = f (u n ) Si f est croissante sur un intervalle I contenant tous les u n, alors on démontre par récurrence que, pour tout n, u n+1 u n ou u n+1 u n Exercices. n 15 page 218 Parmi les suites suivantes lesquelles sont croissantes? décroissantes? ni l un ni l autre? { u0 = 7 (1) u n+1 = u n 4 (2) u n = 2n n+ 1 { u0 = 10 (3) u n+1 = u n 5 3. Suites arithmétiques et suites géométriques 3.1. Suite arithmétique Définition. Dire que la suite (u n ) est arithmétique signifie qu il existe un réel r tel que : pour tout entier naturel n, u n+1 u n = r. Le réel r est appelé raison de la suite. Il résulte de cette définition que pour démontrer qu une suite est arithmétique, il suffit de montrer que la différence u n+1 u n entre deux termes consécutifs quelconques est constante. Cette constante est la raison. exemple : (u n ) est définie pour tout n par u n = 3n+ 1. Soit un naturel n, u n+1 u n = 3(n+ 1)+1 (3n+ 1)=3. La suite (u n ) est arithmétique de raison Propriétés. Une suite arithmétique de raison nulle est constante. Une suite arithmétique de raison non nulle est strictement monotone et non bornée. Quels que soient les entiers naturels m et p, u m = u p + (m p)r.

16 10 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Somme de termes consécutifs. Si S= u m + +u p, avec m< p, est la somme de p m+ 1 termes consécutifs d une suite arithmétique, alors S= (p m+ 1)(u m+ u p ) 2 n(n+ 1) exemple : n=. 2 = (nombre de termes) (1er terme+ dernier terme) Suite géométrique Définition. Dire que la suite (v n ) est géométrique signifie qu il existe un réel b tel que : pour tout entier naturel n, v n+1 = bv n. Le réel b est appelé raison de la suite. Il résulte de cette définition que pour démontrer qu une suite est géométrique, il suffit de montrer (si tous les termes sont non nuls) que le quotient v n+1 de deux termes consécutifs quelconques est constant, cette v n constante est la raison. exemple : (v n ) est définie pour tout n par v n = 2 3 n. Soit un naturel n, v n 0 et v n+1 v n = 2 3 n+1 3n 2 = 1 3. La suite (v n ) est géométrique de raison Propriétés. Une suite géométrique de raison 1 est constante. Une suite géométrique de raison strictement positive, différente de 1, est strictement monotone. Quels que soient les entiers naturels m et p, v m = v p b m p Somme de termes consécutifs. Si S = u m + +u p, avec m < p, est la somme de N = p m+ 1 termes consécutifs d une suite géométrique de raison b (b 1), alors ( 1 b N ) ( 1 raison S= u m = (1 er nombre de termes) terme) 1 b 1 raison exemple : Lorsque z 1, 1+ z+ z 2 + +z n = 1 zn+1 1 z.

17 3. SUITES ARITHMéTIQUES ET SUITES GéOMéTRIQUES Exercices. Parmi les suites proposées, lesquelles sont arithmétiques? géométriques? ni l un ni l autre? (1) { u0 = 4 u n+1 = u n 3 (2) u n = 2 n + 3 (3) { u0 = 6 u n+1 = 2u n

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19 Deuxième partie Limites de suites et de fonctions

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21 CHAPITRE 3 Limites de suites La variable d une suite est son indice (entier naturel) : l étude de la limite éventuelle d une suite n a de sens que lorsque n Limite finie. 1. Définitions et premières propriétés Définition. Dire que (u n ) a pour limite l ou converge vers l, l R, signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient aussi tous les u n à partir d un certain rang. Notation. lim u n = l n + On dit d une suite qu elle est convergente lorsqu elle a une limite finie ; sinon on dit qu elle est divergente. Propriété. Si la limite existe alors elle est unique. Exemples. La suite de terme général u n = 1, pour n 1, converge vers 0. n La suite de terme général ( 1) n n a pas de limite : elle diverge. Propriété. Si une suite est convergente, alors elle est bornée. Preuve. Si (u n ) converge vers l, alors (définition) tout intervalle ouvert contenant l, contient aussi tous les u n sauf un nombre fini d entre eux. En particulier, ]l 1;l+1[ contient tous les u n à partir d un certain rang n 0. Puisqu un ensemble fini de réels possède toujours un plus petit élément m et un plus grand élément M alors, pour tout entier naturel n, La suite (u n ) est bornée. min(m;l 1) u n max(m;l+1) ATTENTION. La réciproque est FAUSSE! La suite de terme général ( 1) n est bornée MAIS ne converge pas. 15

22 16 3. LIMITES DE SUITES Théorème (admis). (1) Toute suite croissante et majorée converge. (2) Toute suite décroissante et minorée converge. Exemple important. Si (u n ) est une suite géométrique de premier terme>0et de raison q telle que 0 q < 1, alors : (u n ) est décroissante et minorée par 0 donc converge. De plus : lim u n = 0 n Limite infinie. Définition. On dit qu une suite (u n ) diverge vers+ lorsque tout intervalle de la forme ]A,+ [ contient tous les u n à partir d un certain rang. Notation. lim u n =+ n + Théorème. Toute suite croissante et non majorée diverge vers+. Démonstration (R.O.C.). Soit (u n ) une suite croissante et non majorée : la suite n est pas majorée, alors : A R, n 0 N tel que u n0 > A et la suite est croissante, alors : n n 0, u n u n0 Alors pour tout réel A, il existe un entier n 0 tel que : n n 0, u n > A Pour tout réel A, ]A,+ [ contient tous les u n à partir d un certain rang. On définit de manière analogue lim u n = et : n + Toute suite décroissante et non minorée diverge vers. Exemple important. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison non nulle r : Si r > 0 alors lim u n =+ n + Si r < 0 alors lim u n = n + Pour déterminer la limite éventuelle d une suite, on peut utiliser les opérations sur les limites avec des suites de référence et/ou la comparaison avec des suites de référence :

23 4. THéORèMES IMPORTANTS Suites de référence Les suites arithmétiques, les suites géométriques, (n 2 ), (n 3 ),..., 1 n, 1 n 2, Opérations sur les limites 3.1. Limite d une somme u n + v n. Si u n a pour limite l l l + + et si v n a pour limite l + + alors u n + v n a pour limite l+l + +??? 3.2. Limite d un produit u n v n. Si u n a pour limite l l>0 l>0 l<0 l< et si v n a pour limite l ou alors u n v n a pour limite ll ??? 3.3. Limite d un quotient u n v n Cas où la limite de v n n est pas nulle. Si u n a pour limite l l ou et si v n a pour limite l 0 + ou l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou alors u n l a pour limite v n l 0 + +??? Cas où la limite de v n est nulle. Si u n a pour limite l>0 ou + l>0 ou + l<0 ou l<0 ou 0 et si v n a pour limite 0 en restant positive 0 en restant négative 0 en restant positive 0 en restant négative 0 alors u n v n a pour limite + +??? 4. Théorèmes importants Théorème d encadrement ou des «gendarmes». Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles qu à partir d un certain rang : Propriété. u n v n w n Si lim u n = lim w n = l, alors lim v n = l. n + n + n + lim n + u n = l lim n + u n l =0

24 18 3. LIMITES DE SUITES Une variante utile du théorème d encadrement. Si à partir d un certain rang u n l v n et si lim v n = 0, alors n + lim u n = l n + Théorème de comparaison. Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles qu à partir d un certain rang : u n v n Si lim u n =+, alors lim v n =+. n + n + Si lim v n =, alors lim u n =. n + n + Suite explicite. u n = f (n) et α désigne un réel ou+ ou. Si lim x + f (x)=α, alors lim u n = α n + ATTENTION. La réciproque est FAUSSE! Considérer par exemple : f : x x cos(2πx) et u n = f (n). La suite tend vers+, mais la fonction n a pas de limite en+. 5. Exercices EX1 : d après sujet Amérique du nord, juin 2007 (p n ) est définie par p 1 = 0,2 et, pour tout n 1, p n+1 = 0,05p n + 0,05 On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par u n = p n a. Montrer que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, u n puis p n en fonction de n. c. Calculer la limite de p n quand n tend vers+. EX2 : d après sujet Liban, juin 2007 (p n ) est définie par p 1 = 1 et, pour tout n 1, a. Calculer p 2 et p 3. p n+1 = 0,8p n + 0,05 b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, p n > 0,25. c. Démontrer que la suite (p n ) est décroissante.

25 5. EXERCICES 19 d. En déduire que la suite p n est convergente vers un réel noté l. e. Justifier que l vérifie l équation l=0,8l+0,05. En déduire la valeur de l. EX3 : Nouvelle Calédonie, novembre 2006 Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 et u n+1 = 1 ( u n + 2 ) 2 2 u n 1. a. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par : f (x)= 1 ( x+ 2 ) 2 x Étudier le sens de variation de f, et tracer sa courbe représentative ( ) dans le plan muni d un repère orthonormal O ; i, j. (On prendra comme unité 2 cm). b. Utiliser le graphique ( pour ) construire les points A 0, A 1, A 2 et A 3 de l axe O ; i d abscisses respectives u 0, u 1, u 2 et u a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u n 2 b. Montrer que pour tout x 2, f (x) x. c. En déduire que la suite (u n ) est décroissante à partir du rang 1. d. Prouver qu elle converge. 3. Soit L la limite de la suite (u n ). Montrer que L est solution de l équation : ( ) x= 1 2 x+ 2 x En déduire sa valeur. EXERCICES DU LIVRE HYPERBOLE: 1 ) Sujets guidés 1 et 2 pages 214 et ) Exercices 24 et 27 page ) Exercices 33, 34 et 35 page ) Exercices 46 et 47 page ) Exercice 49 page 225

26 20 3. LIMITES DE SUITES 6. Suites adjacentes Définition. Dire que deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes signifie que l une est croissante, l autre déroissante et lim (u n v n )=0 n + Propriété. Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes. Si (u n ) est la suite croissante et (v n ) la suite décroissante, alors n N, u n v n Démonstration (par l absurde). On suppose qu il existe un entier n 0 tel que v n0 < u n0. Puisque la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante : n n 0, v n v n0 < u n0 u n Alors : n n 0, u n v n u n0 v n0 > 0 En posant δ = u n0 v n0, l intervalle ouvert ] δ;δ[ contient 0 mais ne contient aucun des termes u n tels que n n 0. ABSURDE! Puisque par définition de deux suites adjacentes : lim (u n v n )=0 n + Théorème des suites adjacentes. Si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes, alors elles sont toutes les deux convergentes et lim u n = lim v n. n + n + Démonstration (R.O.C.). Si (u n ) est croissante, alors n N, u 0 u n et si (v n ) est décroissante, alors n N, v n v 0 et puisque n N, u n v n On en déduit : n N, u 0 u n v n v 0 Ainsi : La suite (u n ) est croissante et majorée par v 0, alors elle converge vers l 1 et la suite (v n ) est décroissante et minorée par u 0, alors elle converge vers l 2 Par différence de ces deux suites convergentes on obtient : lim (u n v n )=l 1 l 2 n + Or, par hypothèse lim (u n v n ) = 0 et, par unicité de la limite on en n + conclut : l 1 = l 2

27 MéTHODE 21 Exercice 1 France métropolitaine, juin 2005 (4 points) Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : (1) deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : l une est croissante, l autre est décroissante et u n v n tend vers 0 quand n tend vers + ; (2) si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a u n v n ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : «Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite». Partie B On considère une suite (u n ), définie sur N dont aucun terme n est nul. On définit alors la suite (v n ) sur N par v n = 2 u n. Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. (1) Si (u n ) est convergente, alors (v n ) est convergente. (2) Si (u n ) est minorée par 2, alors (v n ) est minorée par 1. (3) Si (u n ) est décroissante, alors (v n ) est croissante. (4) Si (u n ) est divergente, alors (v n ) converge vers zéro. Conséquence du théorème. Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes. S il existe un réel l tel que, pour tout entier n, u n l v n, alors lim u n = lim v n = l n + n + Méthode La convergence éventuelle d une suite se justifie en général : soit à l aide de suites de référence (encadrement ou opérations) ; soit on montre que la suite est croissante et majorée ; soit on montre que la suite est décroissante et minorée ; soit on montre que l on a deux suites adjacentes.

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29 CHAPITRE 4 Limites de fonctions 1. Limites d une fonction à l infini 1.1. Limite finie en+ - Asymptote horizontale Définition. Soit l R. Dire que f (x) admet pour limite l lorsque x tend vers + signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x «assez grands», c-à-d pour tous les x d un certain intervalle ]A;+ [. On note lim f (x)=l x + l A lim f (x)=l lim x + x + f (x) l = Interprétation graphique (ou géométrique). La droite d équation y = l est asymptote horizontale à C f en+. 23

30 24 4. LIMITES DE FONCTIONS On définit de manière analogue lim x f (x)=l Exemples. Les fonctions x 1 x ; x 1 x 2 ; x 1 x n (n N ) ; x 1 ont pour x limite 0 en+ et en Limite infinie en Définition. Dire que f (x) admet pour limite+ lorsque x tend vers+ signifie que tout intervalle ]M;+ [ contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x «assez grands». On note lim f (x)=+ x + M A On définit de manière analogue lim f (x)= et aussi les limites infinies en. x +

31 1. LIMITES D UNE FONCTION À L INFINI Exemples. Les fonctions x x ; x x 2 ; x x n (n N ) ; x x ont pour limite + en +. Si n est pair, la fonction x x n (n N ) a pour limite+ en. Si n est impair, la fonction x x n (n N ) a pour limite en Les fonctions sin et cos n ont pas de limite en l infini.

32 26 4. LIMITES DE FONCTIONS 2. Limites d une fonction en un réel a 2.1. Limite infinie en a - Asymptote verticale Définition. Dire que f (x) admet pour limite + lorsque x tend vers a signifie que tout intervalle ]A;+ [ contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x «assez proches de a», c-à-d pour tous les x dans D f et dans un certain intervalle ]a h; a+ h[. On note lim f (x)=+ x a A a Interprétation graphique (ou géométrique). La droite d équation x = a est asymptote verticale à C f On définit de manière analogue lim x a f (x)= Exemples. Les fonctions x 1 x 2 ; x 1 x ont pour limite+ en 0. Si n est pair, la fonction x x n (n N ) a pour limite+ en 0. Si n est impair, la fonction x x n (n N ) a pour limite+ en 0 + et en 0.

33 2.2. Limite finie en a. 2. LIMITES D UNE FONCTION EN UN RÉEL A Définition. Dire que f (x) admet pour limite l lorsque x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x «assez proches de a». On note lim f (x)=l x a l a lim x a f (x)=l lim f (x) l =0 x a Exemples. sin(x) cos(x) 1 lim = 1 ; lim = 0 x 0 x x 0 x

34 28 4. LIMITES DE FONCTIONS 3. Opérations sur les limites 3.1. Limite d une somme f + g. Si f a pour limite l l l + + et si g a pour limite l + + alors f + g a pour limite l+l + +??? 3.2. Limite d un produit f g. Si f a pour limite l l>0 l>0 l<0 l< et si g a pour limite l ou alors f g a pour limite ll ??? 3.3. Limite d un quotient f g Cas où la limite de g n est pas nulle. Si f a pour limite l l ou et si g a pour limite l 0 + ou l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + ou alors f g a pour limite l Cas où la limite de g est nulle. l 0 + +??? Si f a pour limite l>0 ou + l>0 ou + l<0 ou l<0 ou 0 et si g a pour limite 0 en restant positive 0 en restant négative 0 en restant positive 0 en restant négative 0 alors f g a pour limite + +???

35 4. THÉORÈMES DE COMPARAISON Théorèmes de comparaison 4.1. Théorème d encadrement ou des «gendarmes». Soit f, g et h trois fonctions définies sur un même intervalle I et l R, α désigne un réel de I ou une borne (éventuellement + ou ) de I. Si pour tout x I, g (x) f (x) h(x) et lim g (x) = lim h(x) = l x α x α alors lim x α 4.2. Démonstration (R.O.C.) dans le cas où α=+. f, g et h sont définies sur un intervalle I dont une borne est +. Soit J un intervalle ouvert de centre l. Par définition de lim g (x)=l, il existe A 1 I tel que, pour tout x A 1, x + Par définition de g (x) J lim h(x)=l, il existe A 2 I tel que, pour tout x A 2, x + h(x) J On pose A= max{a [ 1, A 2 }. ] Pour tout x A, g (x);h(x) J or g (x) f (x) h(x), alors f (x) J Ainsi, tout intervalle J ouvert de centre l contient toutes les valeurs f (x) pour tous les x «assez grands», c-à-d. lim f (x)=l. x Théorème de comparaison 2. Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et l R, α désigne un réel de I ou une borne (éventuellement + ou ) de I. Si pour tout x I, f (x) l g (x) et si lim g (x)=0, alors x α lim f (x)=l x α 4.4. Théorème de comparaison 3. Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I, α désigne un réel de I ou une borne (éventuellement + ou ) de I. (1) Si pour tout x I, f (x) g (x) et si lim x α g (x)=+, lim f (x)=+ x α (2) Si pour tout x I, f (x) g (x) et si lim x α g (x)=, lim f (x)= x α alors alors

36 30 4. LIMITES DE FONCTIONS 5. Limite d une fonction composée 5.1. Théorème. Soit f et u deux fonctions telles que u est définie sur un intervalle I et f est définie sur un intervalle J et, pour tout x I, u(x) J. α désigne un réel de I ou une borne (éventuellement + ou ) de I ; β désigne un réel de J ou une borne (éventuellement + ou ) de J ; γ désigne un réel ou+ ou. Si lim u(x)=β et si lim f (x)=γ alors lim f ((u(x))=γ x α x β x α Définition. 6. Asymptote oblique C f désigne la courbe représentative d une fonction f dans un repère donné. Dire que la droite d équation y = ax+ b, (a 0), est asymptote oblique à C f au voisinage de+ signifie que [ ] f (x) (ax+ b) = 0 lim x + On définit pareillement une asymptote oblique au voisinage de. C f

37 Troisième partie Continuité et dérivabilité

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39 CHAPITRE 5 Continuité 1. Exemple de référence : Fonction «partie entière» Un réel est : soit un entier relatif ; soit strictement compris entre deux entiers relatifs consécutifs. Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n x < n+ 1. L entier n que l on associe ainsi au réel x est appelé la partie entière de x. On note E (x) cet unique entier relatif tel que : E (x) x < E (x)+1 x 1<E (x) x et on définit ainsi sur R une fonction : la fonction «partie entière». Du dernier encadrement ci-dessus, on déduit (par comparaison) que lim E (x)=+ et lim x + E (x)= x Exemples : E (π)=3 ; E ( 5)= 3 ; E (10 6 )=10 6 La fonction «partie entière» est constante sur tout intervalle de la forme [n ; n+ 1[ où n Z. En particulier, pour tout x [0;1[, E (x)=0. Soit n Z, alors lim x n x< n E (x) = n 1 et lim x n x> n E (x) = n, limite à gauche et une limite à droite, mais elles sont différentes. La limite («tout court») en n, n Z, n existe pas. Représentation graphique il y a une Graphiquement : la courbe représentative de la fonction «partie entière» est formée de plusieurs «morceaux», le tracé est «discontinu». 33

40 34 5. CONTINUITÉ 2. Continuité 2.1. Continuité en un point, sur un intervalle. Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Dire que f est continue en a signifie que lim f (x)= f (a) x a Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel de I Remarques Graphiquement, la continuité d une fonction f sur un intervalle I se traduit par le fait que la courbe représentative de f, restreinte à I, est d un seul «morceau», elle peut être tracée «sans avoir à lever le crayon». L étude de la continuité n a aucun sens en un point n appartenant pas à l ensemble de définition de la fonction. Exemples et contre-exemple page 122 et exercices résolus page Propriétés. La somme et le produit de fonctions continues sur un même intervalle I sont des fonctions continues sur I. La composée de deux fonctions continues sur des intervalles «compatibles» est une fonction continue sur l intervalle de départ. Le quotient de deux fonctions continues sur le même intervalle I sur lequel le dénominateur ne s annule pas est une fonction continue sur I. Les fonctions polynômes, sin, cos et. sont continues sur R. La fonction. est continue sur [0;+ [. Les fonctions rationnelles sont des fonctions continues sur chacun des intervalles de leur ensemble de définition. La fonction partie entière, définie sur R, n est pas continue sur R.

41 2.3. Suites et fonctions continues. 2. CONTINUITÉ 35 Théorème : Si (u n ) est une suite convergente vers un réel l et si f est une fonction continue en l, alors : lim f (u n)= f (l) n + Application : On pourra démontrer que la suite (u n ) définie par : u 0 = 4 et, pour tout n N, u n+1 = u n + 1, est une suite décroissante et minorée par 0, par conséquent : (u n ) converge vers un réel l 0. Par ailleurs, la fonction f : x x+ 1, définie sur [ 1;+ [, est la composée de fonctions continues, alors f est continue sur [ 1; + [ qui contient l 0. Alors : lim f (u n)= f (l) n + Or, u n+1 = f (u n ) et lim n + u n+1= lim n + u n = l. Finalement, puisque la limite est unique : l= f (l)

42 36 5. CONTINUITÉ 2.4. THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES. Représentation graphique d une fonction continue sur un intervalle [a; b] G H m entre f (a) et f (b), la droite d équation y = m coupe C au moins une fois sur l intervalle [a; b] y = m a α Intervalle [a; b] b Énoncépstandard Si f est continue sur l intervalle I = [a;b] et si le réel m est compris entre f (a) et f (b), alors l équation f (x)=m possède au moins une solution dans l intervalle I. L intervalle I de départ n est pas forcément fermé, ni borné. On adapte alors l énoncé du théorème à la nature de I, par exemple : Énoncé adapté à I = [a; + [ Si f est continue sur l intervalle I = [a;+ [ et si le réel m est compris entre f (a) et lim f (x), alors l équation f (x) = m possède au moins x + une solution dans l intervalle I. Le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) ne résout pas les équations de la forme f (x) = m, mais il permet de justifier l existence de solutions dans un intervalle I. Attention! l hypothèse de continuité est essentielle. [ [ 3 Considérons l équation : E (x) = 2, 5 sur l intervalle I = 2 ;+. ( ) [ ( ) [ 3 3 E = 1 et lim E (x)=+, alors 2,5 E ; lim 2 n + 2 E (x) x + 2, 5 est une valeur intermédiaire de la fonction partie entière sur l intervalle I mais l équation E (x)=2,5 n a pas de solution dans I. La fonction «partie entière» n est pas continue sur I : on ne peut pas appliquer le T.V.I.

43 2.5. Corollaire : le théorème de la bijection. 2. CONTINUITÉ 37 Si aux hypothèses du T.V.I., assurant l existence de solution(s) dans l intervalle I pour l équation f (x) = m, s ajoute l hypothèse de stricte monotonie de f sur I, alors on peut conclure à l unicité d une telle solution dans I. Démonstration : On considère comme prérequis le théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur l intervalle [a;b] et si m est compris entre f (a) et f (b), alors il existe un réel c [a;b] tel que f (c)=m. Si on suppose (par exemple) f strictement croissante sur [a;b] : x [a;c[, f (x)< f (c), donc f (x) m, et x ]c;b], f (c)< f (x), donc f (x) m. Alors : c est l unique solution dans [a; b] de l équation f (x) = m.

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45 CHAPITRE 6 Dérivabilité 1. Dérivabilité en a - Fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I Définitions. (1) f est dérivable en a si le quotient f (a+ h) f (a) admet une li- h mite finie lorsque h tend vers 0. (2) Dans ce cas, cette limite est notée f (a) et est appelée nombre dérivé de f en a. f (a+ h) f (a) f (x) f (a) lim = lim = f (a) h 0 h x a x a Exemples : Exercice résolu 1 page 93 Démontrer que la fonction x x 3 est dérivable en 2. Attention, il existe des fonctions non dérivables en un point : la fonction valeur absolue et la fonction racine carrée ne sont pas dérivables en 0. (3) On dit que f est dérivable sur l intervalle I, si f est dérivable en tout x de I, et on appelle fonction dérivée ou dérivée de f la fonction, notée f, qui à chaque x de I associe f (x). Si la fonction f est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f est appelée la dérivée seconde de f et notée f. En cinématique, lorsque f (t) est la distance parcourue par un mobile sur une ligne droite depuis l instant origine jusqu à l instant t, les nombres f (t) et f (t) sont respectivement la vitesse instantanée et l accélération instantanée du mobile l instant t. Exemple : Soit n 2, démontrer que x x n est dérivable sur R. On utilisera le résultat suivant : a n b n = (a b) ( a n 1 + a n 2 b+ a n 3 b ab n 2 + b n 1) } {{ } n termes 1.2. Interprétation géométrique. Si f est dérivable en a, alors la courbe représentative de f admet, en son point d abscisse a, une tangente de coefficient directeur f (a). 39

46 40 6. DÉRIVABILITÉ On dit aussi que f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées ( a, f (a) ). Une équation de cette tangente est : y = f (a) (x a)+ f (a) Exercice 3 page Approximation affine. Si f est dérivable en a, alors f f (a+ h) f (a) (a)= lim. h 0 h f (a+ h) f (a) Pour tout h 0 tel que (a+h) I, on pose : ϕ(h)= f (a), h alors : f (a+ h)= f (a)+h.f (a)+h.ϕ(h), avec lim ϕ(h)=0 h 0 Pour h suffisamment proche de zéro, h.ϕ(h) peut être négligé. On obtient l approximation de f (a+ h) : f (a+ h) f (a)+h.f (a) Le second membre est une expression affine en h, h f (a) h+ f (a), appelée approximation affine de f en a + h. Plus h est proche de zéro, meilleure est l approximation affine. Exemples Déterminer, sans calculatrice, une valeur approchée de 1,99 4 et de 2, A(a, f (a)) N M(a+ h, f (a+ h)) (AM) (T A ) C f 1.4. Lien entre dérivabilité et continuité. Si f est dérivable en a, alors lim x a f (x)= lim h 0 f (a+ h)= f (a).

47 1. DÉRIVABILITÉ EN a - FONCTION DÉRIVÉE 41 La dérivabilité implique la continuité. La réciproque est fausse! La fonction racine carrée continue en 0, mais non dérivable en 0. Même chose pour la fonction valeur absolue. La dérivabilité est une notion plus «forte» que la continuité Dérivées usuelles et opérations sur les dérivées. (page 94) 1.6. Signe de la dérivée - sens de variation de la fonction. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. si pour tout x I, f (x) 0, alors f est croissante sur I. si f ne s annule qu en des valeurs isolées de I, la croissance est stricte. si pour tout x I, f (x) 0, alors f est décroissante sur I. si f ne s annule qu en des valeurs isolées de I, la décroissance est stricte. si pour tout x I, f (x)=0, alors f est constante sur I. Si f s annule en a I en changeant de signe, alors f admet sur I un extremum (relatif) en a Dérivée d une fonction composée. Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et f une fonction dérivable sur J. Pour tout x 0 I et pour tout X 0 J, on a : u(x) u(x 0 ) lim = u f (X ) f (X 0 ) (x 0 ) et lim = f (X 0 ) x x 0 x x 0 X X 0 X X 0 En particulier, si X 0 = u(x 0 ) et puisque lim u(x)=u(x 0 ) (dérivabilité continuité) x x0 et si u n est pas constante au voisinage de x 0, alors, pour x assez proche de x 0, x x 0 on a : u(x) u(x 0 ), et f (u(x)) f (u(x 0 )) = f (u(x)) f (u(x 0)) x x 0 u(x) u(x 0 ) } {{ } tend vers f (u(x 0 )) u(x) u(x 0) x x 0 } {{ } tend vers u (x 0 )

48 42 6. DÉRIVABILITÉ Finalement : f (u(x)) f (u(x 0 )) lim = u (x 0 ) f (u(x 0 )) x x 0 x x 0 ( f u ) (x)=u (x) f u(x) 2. Notion de primitive Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que : x I, F (x)= f (x) Par exemple, F : x x 2 + x+ 1 et G : x x 2 + x sont deux primitives sur R de la même fonction f : x 2x Méthode d EULER 3.1. Présentation de la méthode. Cette méthode est utilisée pour approcher la représentation graphique d une fonction f lorsqu on connaît sa valeur en un réel x 0 et sa dérivée. Le principe est basé sur l approximation affine : pour h voisin de 0 : f (x+ h) f (x)+h f (x) En exploitant ce résultat, on peut approcher la courbe C de f à l aide d une courbe constituée de segments de droites. On considère un réel h strictement positif. On pose x 1 = x 0 + h ; x 2 = x 1 + h ; x 3 = x 2 + h ;... ; x n+1 = x n + h On considère les points M 0, M 1, M 2,... de la courbe C, d abscisse respective x 0, x 1, x 2,... Chaque point M n a donc pour coordonnées ( x n ; f (x n ) ). On cherche à construire, uniquement à l aide de la connaissance de f, une suite de points P 0, P 1, P 2,..., qui approchent les points M 0, M 1, M 2,... de la courbe C. On part du point P 0 = M 0 ( x0 ; f (x 0 ) ) de la courbe C pour lequel f (x 0 ) est non nul. On pose :

49 3. MÉTHODE D EULER 43 y 1 = f (x 0 )+h f (x 0 ) et on construit le point P 1 (x 1 ; y 1 ), alors y 1 f (x 0 + h), c est-à-dire y 1 f (x 1 ) donc le point P 1 est proche du point M 1. y 2 = y 1 + h f (x 1 ) et on construit le point P 2 (x 2 ; y 2 ), alors y 2 f (x 1 )+h f (x 1 ) f (x 1 + h)= f (x 2 ), c est-à-dire y 2 f (x 2 ) donc le point P 2 est proche du point M 2. On recommence ainsi de suite. On construit ainsi une suite de points P n (x n ; y n ) tels que y n+1 = y n + h f (x n ) En joignant les points P 0, P 1, P 2,... on obtient une courbe affine par morceaux qui approche celle de f Étude d un exemple. On considère la fonction f définie sur l intervalle [1;4] par f (x)= 1 x. On souhaite observer la courbe obtenue par la méthode d EULER, en comparaison avec la courbe de f. 1. Déterminer la fonction dérivée f de f. 2. On choisit ici x 0 = 1. h étant un réel strictement positif fixé, la suite (x n ) est définie par x 0 = 0 et x n+1 = x n + h. Définir la suite (y n ) obtenue par la méthode d EULER pour cette fonction f en donnant y 0 = f (x 0 ) et en explicitant clairement la valeur de y n+1 en fonction de y n et x n. 3. Réaliser une feuille de calcul à l aide d un tableur et utiliser l assistant graphique pour visualiser les courbes représentant f et son approximation par la méthode d EULER. voir fichier Euler-ex1.ods ou.xls 3.3. Approcher la courbe d une primitive à l aide de la méthode d EULER. On admet le théorème (d existence) suivant : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I La fonction inverse est continue sur ]0; + [ donc admet des primitives sur cet intervalle :

50 44 6. DÉRIVABILITÉ Soit F celle des primitives sur ]0;+ [ de f : x 1 qui prend la valeur 0 x en 1, c est-à-dire F (1)=0. On ne connaît pas explicitement une telle primitive, mais en utilisant la méthode d EULER, avec un pas égal à 0,01, on peut visualiser la courbe approximative de F sur [1; 4]. voir fichier Euler-ex2.ods ou.xls

51 Quatrième partie Fonction exponentielle - Équations différentielles

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53 CHAPITRE 7 La fonction exponentielle 1. Introduction 1.1. Activités. Nous avons entrevu (TP «Demi-vie» et activité 2 pages 10-11) et nous verrons («désintégration radioctive») que, dans la description de certains phénomènes d évolution, la vitesse de variation d une quantité est proportionnelle à cette quantité. La modélisation mathématique nous conduit à chercher des fonctions dérivables vérifiant une relation de la forme f = k f où k R Il s agît donc de résoudre une équation dont l inconnue est une fonction et dans laquelle intervient la dérivée de cette fonction inconnue. Une telle équation, faisant intervenir une fonction inconnue et ses dérivées successives, s appelle une équation différentielle. On s intéresse à l équation différentielle y = k y dans le cas où k = 1 et la «condition initiale» f (0)=1, alors avec l activité 2 page 11 et la méthode d EULER on conjecture : l existence d une unique fonction f dérivable sur R et vérifiant : pour tout x R, f (x)= f (x) et f (0)= Propriété. S il existe une fonction f dérivable sur R telle que f = f et f (0)=1, alors f ne s annule pas sur R Démonstration On considère une fonction auxilliaire définie sur R par ϕ(x)= f (x) f ( x). ϕ est dérivable sur R et, pour tout x R, ϕ (x)= f (x) f ( x) f (x) f ( x). De f = f, on en déduit ϕ = 0, alors ϕ est constante sur R et comme ϕ(0)=1, on en conclut que La fonction f ne peut pas s annuler. x R, f (x) f ( x)=1 47

54 48 7. LA FONCTION EXPONENTIELLE 2. Définition de la fonction exponentielle 2.1. Théorème et définition. Il existe une, et une seule, fonction f vérifiant : f est dérivable sur R pour tout x R, f (x)= f (x) f (0)=1 Cette fonction s appelle la fonction exponentielle, elle est notée exp. Démonstration L existence d une solution est admise. (cf. conjecture de l activité 2) Pour démontrer l unicité, on suppose qu il existe une autre fonction g dérivable sur R telle que g = g et g (0)=1. Puisque f ne s annule pas sur R, on peut considérer la fonction auxilliaire g f et montrer qu elle est constante et égale à 1, d où g = f. 3. Propriétés de la fonction exponentielle (1) La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée est égale à elle-même, pour tout réel x : exp (x)=exp(x) (2) La fonction exponentielle est continue sur R et, de plus, (3) Quels que soient les réels a et b, exp(0)=1. exp(a+ b)= exp(a) exp(b) (4) Quels que soient les réels a et b et l entier n, (a) exp(2a)= ( exp(a) ) 2 1 (b) exp( a) = exp(a) (c) (d) exp(a b)= exp(a) exp(b) exp(na)= ( exp(a) ) n (5) Quel que soit le réel a, exp(a)>0

55 Démonstrations 4. THÉORÈME (ÉQUATION FONCTIONNELLE CARACTÉRISTIQUE) 49 (1) Par définition de exp. (2) Par définition de exp. (3) On considère la fonction auxilliaire g définie sur R par g (x)=exp(a+ b x) exp(x) On démontre que g est constante, donc : g (0)= g (b). (4) (a) On applique la formule précédente avec b = a. (b) exp(0) = exp(a+ ( a)) = exp(a) exp( a), or exp(0) = 1 et exp(a) 0,... (c) On applique 3. et 4. b.. (d) On démontre cette propriété pour tout n N, à l aide d un raisonnement par récurrence. Puis, à l aide de 4. b., on étend la propriété à tout n Z. ( a (5) Pour tout réel a, exp(a)=exp 2 + a ( ( a )) 2 = exp et exp(a) 0. 2) 2 4. Théorème (Équation fonctionnelle caractéristique) La fonction exponentielle est la seule fonction f, dérivable sur R, non nulle, telle que : Quels que soient les réels a et b, f (a+ b)= f (a) f (b) et f (0)=1 Démonstration La fonction exponentielle vérifie les quatre conditions : dérivable sur R, non nulle, exp(a+ b)=exp(a) exp(b) et exp (0)=1. Soit f une fonction vérifiant ces quatre conditions. Démontrons, en exploitant les données, que f = exp. f est dérivable sur R et, quels que soient les réels a et b, f (a+ b)= f (a) f (b). L idée consiste à fixer un réel x quelconque, puis à considérer la fonction auxilliaire ϕ, de la variable t, définie sur R par ϕ(t )= f (t+ x)= f (t ) f (x). ϕ est dérivable sur R. On calcule l expression de sa dérivée de deux façons. En identifiant les deux calculs, on obtient, lorsque t = 0 : f (x)= f (0) f (x) f (0)=1, alors d après ce qui précède, x étant quelconque, on a f = f Il reste à prouver que f (0)=1 et il reste une hypothèse non utilisée : f n est pas la fonction nulle, alors il existe un réel c tel que f (c) 0. Or, f (c)= f (0+c)= f (0) f (c) et f (c) 0 impliquent f (0)= 1 Conclusion : f est solution de l équation différentielle f = f et f (0)=1, par définition, c est exp.

56 50 7. LA FONCTION EXPONENTIELLE 5. Le nombre e - La notation e x L image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, soit exp(1)=e. Une valeur approchée au millième de e est 2,718. Des propriétés précédentes, on déduit que, pour tout entier relatif n, exp(n)=exp(n 1)= ( exp(1) ) n = e n On convient d étendre cette notation pour tout réel x, alors l écriture e x désigne l image de x par la fonction exponentielle. exp(x)=e x On réécrit donc toutes les propriétés avec cette nouvelle notation : (1) La fonction x e x est dérivable sur R et sa dérivée est ellemême. (2) e 0 = 1 et quel que soit le réel x, e x > 0. e a+b = e a e b (3) Quels que soient les réels a et b et l entier n : e a = 1 e a e a b = ea e b (e a ) n = e na Exercices 11, 13 et 14 pages 30 et 31 Exercices 37 à 40 page 32 Exercices 42 et 43 page 32

57 6. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Étude de la fonction exponentielle 6.1. Sens de variation et limites. (1) Nous avons vu que pour tout réel x, e x > 0 et exp (x)=e x, alors exp est strictement croissante sur R (2) On démontre que, pour tout x R, e x x. Pour cela on étudie la fonction définie sur R par f (x) = e x x et on montre qu elle admet un minimum positif. On conclut par comparaison : lim x + ex =+ (3) On pose X = x, alors lim x ex = 0 (4) La fonction exp est dérivable en 0 et e 0 = 1, alors par définition de la dérivabilité en un point : e h 1 lim = 1 h 0 h (5) Équation de la tangente au point d abscisse 0 : y = x+ 1 (6) Équation de la tangente au point d abscisse 1 : y = e.x 6.2. Tableau de variation. x 0 + exp (x) + + exp 0 1

58 52 7. LA FONCTION EXPONENTIELLE 6.3. Représentation graphique. e 6.4. Autres limites-croissances comparées. (1) Étudier la fonction définie sur R par f (x)=e x x2 et en déduire : 2 (2) En déduire par composition : e x lim x + x =+ lim x xex = Équations et inéquations Hyperbole pages 16, 17 et 19. (1) Pour tous réels a et b, e a < e b a< b (2) Pour tous réels a et b, e a = e b a= b

59 7. FONCTION COMPOSÉE x e u(x) Fonction composée x e u(x) Étant donnée une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I, alors (par composition) la fonction exp u est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, ( exp u ) (x)=u (x) exp (u(x))=u (x) e u(x) Puisque pour tout x I, e u(x) > 0, le signe de ( exp u ) (x) est exactement celui de u (x), alors exp u et u ont les mêmes variations sur I.

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61 CHAPITRE 8 Équations différentielles 1. Activités 1 et 2 pages Équation différentielle y = k y Théorème Soit k un réel non nul. L ensemble des solutions de l équation différentielle (E 0 ) y = k y est l ensemble des fonctions de la forme x C e kx, où C est une constante réelle quelconque. Démonstration : R.O.C. Soit C R une constante fixée, on considère la fonction f définie sur R par f (x)= C e kx f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f est solution de (E 0 ). f (x)=kc e kx = k f (x) On désigne par g une solution quelconque de l équation (E 0 ). On souhaite démontrer qu elle est nécessairement de la forme g (x)= C e kx. C est-à-dire que ϕ : x ϕ(x)= g (x) e kx est constante sur R. On étudie donc la fonction ϕ ainsi définie : ϕ est dérivable sur R et, pour tout réel x, ϕ (x)=g (x) e kx k g (x) e kx = [ g (x) k g (x) ] e kx = 0 } {{ } g solution de (E 0 ) ϕ est la fonction nulle sur R, donc ϕ est constante sur R. CQFD! Exercices : n 1, 2 et 3 page 50. Théorème Soient x 0 et y 0 deux réels donnés, alors l équation différentielle (E 0 ) y = k y admet une unique solution f vérifiant la condition initiale f (x 0 )= y 0. 55

62 56 8. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Démonstration : R.O.C. Il suffit d appliquer la condition initiale à l expression générale d une solution de (E 0 ). Cela détermine la constante C, d où l unicité de la solution de (E 0 ) telle que f (x 0 )= y 0 Exemples et exercices : n 1 résolu page 43 ; n 4 à 9 page 50 ; TD 1 page Équation différentielle y = ay+ b Théorème Soient a et b deux réels tel que a 0. L ensemble des solutions de l équation différentielle (E ) y = ay+ b est l ensemble des fonctions de la forme x C e ax b où C est une constante réelle quelconque. a Démonstration : R.O.C. Vérifier que la fonction f définie sur R par f (x)= C e ax b est solution de (E). a Soit g une solution de (E), on souhaite démontrer qu alors g est de la forme ce qui équivaut à g (x)= C e ax b a g (x)= f (x) b a où f = g + b a est solution de l équation (E 0) y = a y (cf. paragraphe précédent). ( Soit x R, on calcule f (x)=g (x)= ag (x)+b= a g (x)+ b ) = a f (x) CQFD! } {{ } a g solution de (E) Théorème Soient x 0 et y 0 deux réels donnés, alors l équation différentielle (E ) y = ay+ b admet une unique solution f vérifiant la condition initiale f (x 0 )= y 0. Démonstration : R.O.C. Appliquer la condition initiale à l expression générale d une solution de (E). Cela détermine la constante C, d où l unique solution de (E) vérifiant f (x 0 )= y 0. Exemples : n 2 résolu page 43 ; sujets guidés 1 et 2 pages 47, 48 ; sujet corrigé page 49. Exercices : n 13 à 21 page 51 ; n 30 page 53.