Atelier «son» Séance 3

Transcription

1 R IO Animateur : Atelier «son» Séance 3 A) Rappels sur la représentation graphique Durant cette séance, nous allons vérifier, de manière pratique, à l aide d instruments, les principes que l on va énoncer. Pour la bonne compréhension de ces expérimentations, il faut se rappeler les bases des représentations graphiques. Les graphiques que nous allons utiliser, sont des graphiques à 2 dimensions avec un curseur xoy. Le curseur horizontal, Ox, est dit axe des abscisses. Il peut représenter n importe quelle grandeur, celle ci doit être précisée pour permettre la lecture du graphique; en général la grandeur représentée par Ox est appelée «variable». Le curseur, Oy, est l axe des ordonnées. Comme pour l axe Ox, il faut préciser la grandeur qu il représente pour la compréhension du graphique. Y dépend de x (la variable) on dit que Y est fonction de x. 1

2 A) Rappels sur la représentation graphique (mode d emploi) (C) y y1 0 A x1 x La courbe (C) représente les variations de Y en fonction de x. (Par exemple, la température en fonction du jour) 1) Tout d abord, on choisit X1 (le jour dont on veut connaitre la température) 2) A partir de X1, on trace une perpendiculaire à Ox. Celle-ci coupe la courbe (C) en un point A. 3) En A, on trace une parallèle à Ox, celle-ci coupe l axe Oy en Y1. Y1 est la valeur recherchée (la température du jour X1) 2

3 A) Rappels sur la représentation graphique Exemples de graphiques Ceillac 3

4 A) Rappels sur la représentation graphique Les graphiques précédents ont des échelles linéaires: toutes les divisions ont la même longueur. Elles conviennent dans la majorité des cas. Cependant, il arrive que l on ait à représenter, sur un même graphique des phénomènes qui peuvent prendre de très grandes valeurs, alors que les petites valeurs sont aussi très importantes et que l on ait besoin de les représenter avec précision. On utilise alors des échelles spéciales. 4

5 A) Rappels sur la représentation graphique Le graphique ci-dessous, montrent les débits des fleuves en fonction de la surface du bassin, au Canada. On peut voir avec précision, ce qui se passe dans les petites valeurs aussi bien que dans les grandes. On a utilisé ici, des échelles logarithmiques, pour les 2 axes. Ce type d échelle est particulièrement bien adaptée pour représenter des phénomènes acoustiques. 5

6 B) Les signaux périodiques Les signaux périodiques sont des signaux qui évoluent dans le temps (l axe Ox représente un temps), la grandeur représentée par Oy peut être quelconque. Le signal est dit périodique, si chaque point de la courbe, se retrouve identique à lui-même à intervalles réguliers. La longueur de ces intervalles réguliers s appelle la période. La période du signal représente un temps. temps La période peut donc s exprimer en seconde(s) soit à l aide de multiples (minute, heure, jour, mois, année) ou soit à l aide de sous-multiples: ms, μs, ns, ps). On remarque qu il suffit de connaître la forme du signal durant sa période, pour pouvoir le reconstituer à l infini. La forme du signal peut être absolument quelconque durant sa période. La notation classique désigne par T la période. période On peut aussi définir un signal périodique par le nombre de fois où il se répète durant 1 seconde. On parle alors de la fréquence, notée N et qui s exprime en Hertz (noté Hz). La période et la fréquence sont liées par la relation: N = 1/T équivalent: T= 1/N Exemple: La tension secteur délivrée par EDF a une forme sinusoïdale et sa fréquence est de 50 Hz, sa période est donc de 1/50 sec soit T= 20 ms. 6

7 B) Les signaux périodiques Exemple de signal périodique y T 0 temps x Chaque point de la courbe, quel qu il soit, se retrouve à l identique, à un instant x + T. 7

8 C) La pierre de base: la sinusoïde Amplitude Cette fonction est essentielle en mathématique, on va voir que toutes les formes, aussi complexes qu elles soient; à partir du moment où elles sont périodiques sont une somme de signaux sinusoïdaux. C est la forme la plus simple des signaux périodiques. Voici une sinusoïde telle que l on peut la voir sur l écran d un oscilloscope. 8

9 C) La sinusoïde permet de définir les bandes passantes Par la suite, et dans bien d autres domaines que l acoustique, on rencontrera la notion de bande passante. La bande passante est définie pour un signal sinusoïdal, c est l intervalle de fréquence compris entre la fréquence minimale et la fréquence maximale qu un dispositif peut traiter. Exemple: la bande passante d une oreille s étend de 20 Hz à 20 khz (pour les très bonnes oreilles) On peut aussi parler de la bande passante d un filtre, d un amplificateur, d une enceinte, d un micro etc Fréquences audibles INFRASON GRAVES Hz 250 MEDIUM Hz AIGUS Hz 4000 ULTRASON Bla-bla-bla-blabla-bla 9

10 C) La sinusoïde: les filtres (pour ceux qui souhaitent aller plus loin ) Nous allons montrer les 3 types principaux de filtres. Attention! L axe Ox représente des fréquences (et non pas un temps), l axe Oy représente le signal à la sortie du filtre. Devant le filtre, on dispose un générateur de signal sinusoïdal, dont on fait varier la fréquence, mais dont l amplitude est constante. y Amplitude Passe-bas Il laisse passer les fréquences «basses», depuis f1 jusqu à 0 0 y f1 x fréquence Amplitude Passe-bande Il ne laisse passer qu une «bande fréquences» celles comprises entre f1 et f2 f1 f2 x 0 fréquence Passe-haut Amplitude 0 y Il laisse passer les fréquences «hautes», supérieure f1 f1 x fréquence 10

11 C) La sinusoïde: les filtres (pour ceux qui souhaitent aller plus loin ) Bande Passante La partie horizontale des courbes (en rouge), s appelle la bande passante du filtre. Dans un monde parfait, elle serait comme le graphique: parfaitement plate; et surtout le filtre devrait se comporter, dans cette bande de fréquence, comme un simple conducteur en cuivre. Hélas! Il n en est rien: la partie qui devrait être horizontale offre des creux et des bosses (l ondulation du filtre), mais plus grave encore,la plupart font tourner la phase du signal d entrée (on peut énoncer la même réalité en disant le temps de propagation de groupe n est plus constant) Le seul filtre «analogique» (réalisé à partir de composants électroniques) qui respecte le temps de propagation de groupe, est le filtre de Bessel encore appelé filtre de Legendre. Celui-ci malheureusement n est pas très performant sous d autres rapports également très importants notamment son facteur de surtension Q) Pente Les parties pentues des courbes en rouge, s appellent justement «pentes» du filtre. Idéalement, la pente devrait être verticale, ce qui est malheureusement impossible. Plus on essaie d obtenir une pente raide, plus le filtre devient complexe et délicat à réaliser. On caractérise la pente, par son atténuation en db (tiens, tiens ) par octave. On dit qu il y a une octave entre 2 fréquences lorsque la seconde est le double de la première. Bien évidemment plus il y a de décibels plus la pente est raide. Pour avoir un ordre de grandeur, dans les filtres analogiques, la pente obtenue est de 6dB par pôle du filtre. Très grossièrement on obtient un pôle avec un condensateur ou une self. Exemple1: Un filtre a une pente de 12dB/octave, combien a-t-il de pôles? 12/6 = 2, il a 2pôles, je dois donc trouver dans sa structure 2 éléments (condensateur(s) ou self(s)) donc soit 2 condensateurs, soit 2 selfs ou encore un condensateur et une self. 11

12 C) La sinusoïde: les filtres (pour ceux qui souhaitent aller plus loin ) Exemple2: Un filtre a une pente de 36dB/octave, combien a-t-il de pôles? 36/6 = 6, il a 6pôles, je dois donc trouver dans sa structure 6 éléments (condensateur(s) ou self(s)). Facteur de surtension Q Amplitude y 0 x fréquence Les courbes en rouge représentent les asymptotes du filtre, la courbe en vert est la bande passante, réelle d un filtre. On constante qu au voisinage du point d intersection des 2 asymptotes, la courbe réelle s éloigne des asymptotes. Ce phénomène est très gênant car le filtre commence à atténuer avant d avoir atteint sa pente. La caractéristique d un filtre à suivre, au plus près, ses asymptotes, est son facteur de surtension, symbolisé par la lettre Q. Un des plus «mauvais» sous ce rapport est justement le filtre Bessel dont on a parlé précédemment pour sa constance dans les temps de propagation de groupes. Certains, préoccupés par le Q, ont conçu des structures performantes sur ce paramètre (filtre de Cauer, filtre de Tchebychef, etc..) malheureusement, ils sont désastreux pour les temps de propagations de groupe et présentent également des ondulations importantes au voisinage de l intersection des asymptotes. 12

13 C) La sinusoïde: les filtres (pour ceux qui souhaitent aller plus loin ) Il est très difficile de réaliser un filtre qui possède toutes les qualités. Une pente abrupte nécessite un nombre élevé de composants et une mise au point délicate. Avoir un Q élevé (ne pas atténuer avant) entraîne généralement une rotation de phase importante durant la partie plate de la courbe, c est-à-dire, que le temps de propagation de groupe n est pas constant: le filtre altère le signal qui lui est confié. Une constance dans le temps de propagation de groupe, entraîne un Q faible, le filtre atténue avant la pente, de plus il atténue, peu, au début de la pente. Tout ce qui a été dit précédemment sur les filtres, s applique au filtres analogiques, réalisés avec des composants électroniques. Aujourd hui, la digitalisation des signaux analogiques, l évolution des techniques numériques, ont donné naissance à une nouvelle race de filtre: Les filtres numériques. Ceux-ci sont délivrés des contraintes des lois de la physique et on aurait envie de dire qu avec eux tout ce qui semblait impossible avant, devient possible avec eux. Malheureusement un monde idéal n existe pas et ils soulèvent d autres problèmes comme par exemple celui de leur convergence Mais avant de rêver aux nombreuses possibilités des filtres numériques, vouloir s en servir suppose. que l on un signal digitalisé! Or, pour digitaliser il faut d abord le filtrer. et par obligation avec un filtre analogique celui-là. Nous verrons, par la suite, son rôle, dans les séances sur l échantillonnage; nous verrons que ce filtre à la vie dure.. très dure. C est pour nous préparer à cette rencontre que nous venons de faire un survol sur le monde des filtres. 13

14 D) L étendue des fréquences 14

15 E) Le théorème de Fourier La découverte: Jean-Baptiste Fourier ( ), né à Auxerre énonce une loi fondamentale: la célèbre «transformée de Fourier». Fourier démontre que tout signal périodique peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux. La fondamentale ayant la fréquence du signal observé, les autres sinusoïdes étant des harmoniques. (Harmonique= sinusoïde dont la fréquence est un multiple entier de la Fondamentale) La transformée de Fourier permet de calculer l amplitude et la phase de chaque harmonique. On peut dire que tous les sons musicaux sont une somme de sinusoïdes En musique on définit un son par: 1) Sa fréquence (celle de la fondamentale) 2) Son intensité (niveau sonore) 3) Son timbre (les harmoniques) (Se rafraîchir auparavant la mémoire sur les propriétés des vecteurs) Illustration de la transformée de Fourier avec une visualisation du diagramme de Fresnel: 15

16 F) Les Spectres des instruments de musique 16

17 G) Généralités sur les sons On peut classer les sons en 2 catégories: 1.Les sons périodiques, généralement les instruments de musique, pour ceux-ci, le théorème de Fourier démontre qu ils ont une somme de signaux sinusoïdaux ayant des fréquences harmoniques. 2.Les sons composés de signaux non répétitifs, impulsions, bruits, etc ; ceux-ci n obéissent pas au théorème de Fourier. Néanmoins l analyseur de spectre montrent qu ils ont tous une somme de signaux sinusoïdaux. Généralement leur spectre est plus complexe que celui d un signal périodique (où l on est assuré de trouver un «désert» entre chaque fréquence harmonique). On peut dire que les sons, aussi complexes soient-ils, périodiques ou non, peuvent être ramenés à une somme de signaux sinusoïdaux. La sinusoïde est le son le plus simple qui soit; c est aussi le pierre de base de tous les sons.! ATTENTION! PAGE IMPORTANTE 17

18 H) Travaux pratiques H) 1. Générateur de fonction B.F Son rôle est de fournir différents signaux audibles. Ces signaux peuvent avoir différentes formes, il est également possible de modifier l amplitude du signal (+ ou fort) et la fréquence (grave ou aigu). Celui que nous allons utiliser est logiciel, mais sa présentation très réaliste, ressemble à un appareil de laboratoire. Il va nous permettre de faire entendre différent type de sons. Il est très utile pour rechercher nos propres limites d audition, comme pour tester du matériel acoustique: amplificateur, égaliseur, mélangeur, correcteur, enceinte etc etc Arrêt-Marche Mode: Sinus = signal périodique Noise = Bruit Forme du signal: Sinus, triangulaire, dent de scie, rectangulaire 18

19 H) 1. Générateur de fonction B.F Pour tourner les «boutons», il faut cliquer gauche au milieu du bouton et maintenir le «clic» enfoncé, déplacer la souris vers la droite pour augmenter la valeur (celle-ci s affiche dans une petite fenêtre, genre popup) ou déplacer la souris vers la gauche pour la diminuer; une fois, la valeur souhaitée atteinte, relâcher le clic. Pour entendre le son produit, il faut tout d abord mettre sous tension votre système d enceintes après les avoir reliées au trou vert de votre carte son. Ensuite, il faut cliquer sur le bouton virtuel «On-Off», la led (virtuelle elle aussi) sur le bouton doit s allumer. ATTENTION! Certains modes de fonctionnement arrêtent automatiquement le générateur après l action demandée. Il faut remettre en marche le générateur si l on souhaite s en servir par la suite. Le générateur est un logiciel gratuit (comme le confirme la présentation de sa face avant). Il s agit d un exécutable qui ne nécessite pas d installation. Vous pourrez le télécharger sur le lien suivant: 19

20 H) 2. Winoscillo Il s agit encore d un appareil «virtuel» ou logiciel, mais qui combine 2 en 1. En effet, dans le monde «réel» des appareils de mesure, l oscilloscope et l analyseur de spectre sont 2 appareils distincts. Ici, dans l appareil virtuel, les 2 instruments sont réunis dans un seul ensemble, avec en plus un énorme avantage: la capture est commune. Cela veut dire que l on peut visualiser une onde sonore dans un visualisation temporelle (grâce à l oscilloscope), mais aussi, que cette même onde sonore peut être analysée sous forme spectrale, et vice-versa. Bien sûr, le «hardware» de l instrument, est la partie son de votre PC. Il faudra donc se limiter à visualiser des phénomènes acoustiques. Le logiciel «winoscillo», oscilloscope analyseur de spectre combiné, est lui aussi un logiciel gratuit. Tout comme le générateur B.F précédent, il utilise la partie «son» de votre PC pour faire ses captures. Une partie de ses performances dépend donc de celles de votre carte. Il faut se limiter à la bande «acoustique». Comme le générateur précédent, il ne nécessite pas d installation. Vous pourrez le télécharger sur le lien suivant: Attention! Il s agit d une version bêta, c est-à-dire non finalisée et qui peut comporter des bugs. Méfiez-vous du petit générateur qui est inclus dans le produit, je suis tombé sur plusieurs bugs. 20

21 H) 2. Winoscillo Au lancement, on obtient l affichage de 2 fenêtres: 1.En haut, la plus petite est la fenêtre de contrôle. 2.En bas, la plus grande, est la fenêtre de visualisation des courbes. curseurs fixes (en pointillés serré) Les curseurs horizontaux s obtiennent en faisant :Ctrl H Les curseurs verticaux s obtiennent en faisant :Ctrl - V curseurs mobiles (en pointillés larges) Pour les déplacer, cliquez dessus et maintenez le clic enfoncé jusqu à la bonne position 21

22 H) 2. Winoscillo Attention! L auteur du logiciel, a fait un choix malheureux dans l appellation des axes. L axe Vertical a été appelé Ox, alors que conventionnellement dans les graphiques il s appelle Oy. Dans les oscilloscopes «réels» cet axe s appelle également Oy. Une fois l appareil activé, appuyez sur la touche F2, pour le mettre en mode «signal» (oscilloscope: représentation d une amplitude en fonction du temps Mode de Fonctionnement Signal : oscilloscope Fenêtre de contrôle de l appareil: F2: oscilloscope F3: Analyseur de spectre Sensibilité Verticale (signal) Gauche: peu sensible Droite: très sensible Echelle de temps (Oscillo:base de temps) Gauche :rapide Droite: lent Déplacement Vertical (Oscillo: Position V) Déplacement Horizontal (Oscillo: Position H) Lancement de l acquisition Ou Arrêt Acquisition 22

23 H) 2. Winoscillo les réglages Les fenêtres de réglages sont des fenêtres fugitives qui n ont pu être capturées. Pour obtenir, la fenêtre de réglage cliquez droit dans le bandeau (noir) d affichage (ou à endroit quelconque de la fenêtre de contrôle). En mode signal, le déclenchement unique est pratique pour capturer un signal impulsionnel (signal-synchro-décl unique), sinon le mode «universelle» convient dans la majorité des cas. Pour le déclenchement unique, régler convenablement le «niveau de déclenchement» de la fenêtre de contrôle pour ne pas avoir de déclenchement intempestif. Une échelle intéressante pour l axe vertical est le mode db (fenêtre de réglage -> outils -> curseurs -> db). Attention: on n a pas de référence 0dB, les mesures sont relatives entre elles. Pour l analyseur de spectre, si vous avez une machine puissante, il vaut mieux changer les paramètres de base. Voici ceux préconisés: Fenêtre de réglage -> spectre -> nombre de points -> 2048 (au lieu de 256). Fenêtre de réglage -> spectre -> Suréchantillonnage -> x8 (au lieu de x1). Les repères. Winoscillo, pour faire des mesures, dispose de curseurs horizontaux et verticaux (dits curseurs). Les curseurs verticaux sont rouges, tandis que les horizontaux sont verts. Dans chaque axe, on dispose, d un curseur fixe en pointillé serré (avec la commande de déplacement on positionne un positionne la courbe, en un de ses points remarquables, sur ce curseur fixe) et d un curseur mobile en pointillé large, ce dernier se déplace avec la souris en cliquant gauche, dessus, et en maintenant le clic enfoncé. L affichage dans la fenêtre de contrôle indique la mesure entre les 2 curseurs. Ils peuvent être activés ou non selon le besoin. Pour activer les curseurs il suffit de faire la combinaison de touches «Ctrl» et «V» pour les curseurs verticaux, et faire la combinaison de touches «Ctrl» et «H» pour les curseurs horizontaux. L activation-désactivation est du style «pied de lampe»: une fois On, une fois Off, etc. Les Curseurs peuvent être tous présents à l écran, mais un seul peut être déplacé. Utilisez «Ctrl» «W» pour passer du contrôle d un curseur à l autre 23

24 H) 2. Winoscillo Ci-dessus, capture d un son constant émis par une voix masculine. Elle a été réalisée avec le réglage»signal -> synchro -> universelle». Le départ de la capture se fait en appuyant sur la touche «Go», l arrêt de la capture a été provoqué manuellement en appuyant sur la touche «Pause» une fois que le signal observé est satisfaisant. Une fois l acquisition démarrée, la touche «Go» devient la touche «Pause». On constate, à l aspect répétitif du signal, qu il s agit d un signal périodique. 24

25 H) 2. Winoscillo Pour une meilleure observation, on ajuste la base de temps de manière à n avoir qu une période sur l écran. A l aide du cadrage horizontal, on amène un minimum, sur le curseur fixe vertical (pointillé serré rouge). Déplacer ensuite, le curseur vertical rouge jusqu au deuxième minimum. Vous pouvez alors lire, dans la fenêtre de contrôle, la période du signal. Les curseurs horizontaux (verts), se déplacent de la même manière avec la combinaison de touches «Ctrl» «H». ATTENTION les db ne sont pas étalonnés et le minimum n est sûrement pas le 0 dbspl. 25

26 H) 2. Winoscillo Spectre - fondamentale Appuyez sur F3 pour passer en analyseur de spectre. L axe horizontal représente désormais des fréquences. Les curseurs fixes n existent plus: seuls les curseurs mobiles restent. Ajuster la sensibilité verticale (injustement appelée Echelle X), et l échelle f pour voir apparaître les raies avec une amplitude convenable (facilement mesurable) Amenez les curseurs au sommet de la première raie. On peut lire 131 Hz et -25,96 db. Attention la valeur de l amplitude n est pas étalonnée, cependant elle pourra servir de référence pour mesurer les autres «raies». Par contre 131 Hz est bien l inverse le la période observée précédemment à l oscilloscope T = 7,65 ms. Nous sommes donc bien positionnés sur la raie de la fondamentale. 26

27 H) 2. Winoscillo Spectre Harmonique 2 Amenez les curseurs au sommet de la seconde raie. On peut lire 261 Hz et -31,82 db. On est bien en présence de l harmonique 2, puisque la fréquence indiquée (à la précision de l appareil, un appareil de laboratoire est beaucoup plus précis) est la double de la fondamentale. L amplitude relative, par rapport à la fondamentale est -31,82 (-25,96) = -5,86 db Sur le spectre, on voit très distinctement les harmoniques de rang: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Celles-ci caractérisent le timbre de la voix qui a été capturée. 27

28 H) 2. Winoscillo Spectre Harmonique 3 Amenez les curseurs au sommet de la troisième raie. On peut lire 390 Hz et -39,23 db. On est bien en présence de l harmonique 3, puisque la fréquence indiquée est la triple de la fondamentale. L amplitude relative, par rapport à la fondamentale est -39,23 (-25,96) = -13,27 db On peut continuer, avec la même méthode, à mesurer les raies des autres harmoniques. Dans le cas présent, la fondamentale est la raie la plus importante, mais ce n est pas toujours le cas, il arrive que son amplitude soit plus faible que celle des harmoniques. 28

29 H) 2. Winoscillo On peut continuer, pour le plaisir, à faire des analyses d autres signaux périodiques; nous retrouvons toujours: 1 fondamentale et des harmoniques (plus ou moins nombreuses). Une conclusion s impose: Bravo! M. FOURIER, vous avez bien travaillé, vous ne nous avez pas menti: nos mesures sur des cas pratiques confirment bien la réalité décrite dans votre théorie! Nous n avons qu un regret: pourquoi êtes-vous né si tard! Car votre théorie a donné un nouvel élan à la physique. 29

30 H) 2. Winoscillo - Impulsion Que se passe-t-il, lorsque nous ne pouvons plus faire appel aux services de M. Fourier, pour les signaux non périodiques? Nous allons expérimenter la capture d un signal unique: un claquement dans les mains. Pour faciliter l expérience on va claquer dans les mains (une seule fois) à 1 mètre, voire plus, du micro. Réglage de l oscillo -> signal -> synchro -> déclenchement unique (ne pas oublier de le remettre après l expérience sur «universelle». Appuyez sur F2 pour revenir en mode oscillo. Mettre les curseurs Echelle X et Echelle t à droite, puis appuyez sur «Go». Recommencer, éventuellement, en retouchant légèrement le niveau de déclenchement ( dans la fenêtre de contrôle) pour éviter les déclenchements intempestifs. On voit que le signal n a rien de périodique et que sa durée est d environ 56 ms. 30

31 H) 2. Winoscillo - Impulsion Appuyez sur F3 pour passer en mode analyseur de spectre. Mettre le curseur «Echelle t» à fond à gauche, pour voir toutes les fréquences audibles. Mettre le curseur «Echelle X» vers la gauche pour rendre les raies visibles à l écran. Le curseur rouge a été mis à 15,65 khz qui représente le seuil haut des fréquences audibles. On constate que le spectre est complexe et que l on y trouve beaucoup de raies, même au-delà du spectre audible. 31

32 H) 2. Winoscillo - Impulsion L analyseur de spectre est un appareil de mesure dont la mission est de trouver toutes les composantes sinusoïdales d un signal. On constate bien dans le cas présent, que le signal impulsionnel est composé d une grande quantité de signaux sinusoïdaux. La limitation à 2048 points de Winoscillo masque une partie du contenu qui est vraisemblablement plus riche. Dans l exemple précédent, on peut remarquer qu il reste encore un contenu important situé dans les ultrasons et que l on ne peut percevoir. Il est également intéressant de vérifier, qu en faisant une capture «à la volée» durant une conversation, nous émettons des sons que nous ne pouvons entendre: une partie de leur spectre étant située dans les ultrasons. Je vous invite, à essayer, chez vous, de capturer toutes sortes de sons. Vous pourrez alors constatez, vous-mêmes, qu ils sont toujours composés de signaux sinusoïdaux. Conclusion: La sinusoïde est bien la forme la plus élémentaire d un signal, la plus pure, dirons certains, pour reconstituer tous les sons aussi complexes soient ils. 32