Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
|
|
- Rémy Noël
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y) admettant 2 solutions distinctes pour une même donnée initiale, l existence et l unicité de solutions de l équation de Malthus et de l équation logistique y = ay by 2 ; la résolution explicite de l équation logistique. le théorème général d existence et d unicité pour une équation différentielle y = f(t,y), lorsque f est assez régulière. l étude qualitative des solutions de l équation autonome y = f(y). les isoclines. 1 Le problème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l équation différentielle : y = 3 ( y 2) 1/3 a 2 solutions différentes ȳ : t 0 et ỹ : t t 3 correspondant à la même donnée initiale ȳ(0) = ỹ(0) = 0. Faire une représentation graphique de ces deux solutions. Y-a-t-il une unique solution y de donnée initiale y(0) = 0? 1.2 Unicité dans la loi de Malthus : Etant donnée une constante non nulle a, considérons l équation différentielle : y = ay (1) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette équation différentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = ay(t). a) Soit t y(t) une solution de cette équation. Fixons-nous un instant initial de référence t 0 et posons z(t) = y(t)e a(t t 0). (i) Montrer que y est une solution de l équation différentielle (1) si et seulement si z est une solution de l équation différentielle z = 0 et que y(t) est définie au point t dès que z(t) est définie au même point. 1
2 (ii) En déduire que z et y sont définies sur R tout entier. Calculer z(t) et y(t) pout tout t en fonction de la valeur y(t 0 ). b) Montrer que 2 solutions ȳ et ỹ de l équation différentielle (1) qui se croisent (i. e. telles qu il existe une valeur t 1 telle que ȳ(t 1 ) = ỹ(t 1 )) coïncident pour tout t. 1.3 Existence et unicité dans la loi logistique : Etant données des constantes strictement positives a et b, considérons l équation différentielle : y = ay by 2 (2) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette équation différentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = ay(t) by(t) 2. Une expression agréable de l équation est y = ay(1 b a y) = ay(1 y K ) (3) où on pose K = a b. On appelle K la capacité d accueil, et on verra pourquoi dans la suite. Problème 1) Montrer que les fonctions constantes ȳ et ỹ, définies par ȳ(t) = K et ỹ(t) = 0 pour tout t, sont les seules solutions constantes de l équation différentielle (2) définies sur R tout entier. Dans la suite nous les appelerons solutions stationnaires de l équation différentielle (2). Cherchons d autres solutions de (2), i.e. non constantes. Commençons par chercher les solutions y(t) satisfaisant y(t) 0,K, pour tout t D y où D y R est un intervalle sur lequel y(t) est défini. Nous verrons à la fin que les solutions non constantes sont nécessairement de cette forme, i.e. qu elles ne peuvent pas prendre la valeur 0 ou K. Pour simplifier les calculs, on pose x(t) = y(t) N. 2) Montrer que y(t) est solution de (3) sur un intervalle D si et seulement si x(t) est solution de x = ax(1 x). (4) 3) On suppose que x(t) 0,1 sur D. Montrer que (4) équivaut à x x + x 1 x = a. 4) Fixons un instant initial quelconque t 0 D et notons x 0 = x(t 0 ). Déduire de c) par intégration que x(t) est solution de (4) si et seulement si x(t) 1 x(t) = x 0 1 x 0 e a(t t 0 ) puis que ceci équivaut à x(t) = (x 0 1 1)e a(t t 0) 2
3 Indication : On rappelle que (ln u ) = u u. Attention, il y a un passage délicat lorsqu on veut enlever les valeurs absolues. 5) Pour x 0 0,1 et t 0 R, posons X(t) := (x 0 1 1)e a(t t 0) (5) (i) Calculer l intervalle de définition 1 D X de X(t) contenant t 0, en fonction de x 0 et t 0 (il y aura à considérer les cas x 0 < 0, x 0 (0,1), x 0 > 1). (ii) Montrer que X(t) est une solution de (4), satisfait X(t 0 ) = x 0 et X(t) 0,1 pour tout t D X. (iii) Faire les tableaux de variation de X selon les cas x 0 < 0, x 0 (0,1), x 0 > 1. (iv) Dessiner le graphe de X(t) selon diverses valeurs de x 0. On va voir maintenant que cette solution est maximale, au sens suivant : 6) Soit x(t) une solution de (4), définie sur un intervalle D et satisfaisant x(t) 0,1 sur D. On prend t 0 D et on pose x(t 0 ) = x 0. Montrer que D D X et que x(t) = X(t) sur D, où X est définie par (5). Indication : On pourra raisonner par contradiction, en supposant D D X, et ne traiter que le x 0 > 1, le cas x 0 < 1 étant similaire et sans pertinence biologique. Il reste à traiter le cas des solutions x(t) non constantes quelconques, i.e. où on ne suppose pas a priori que x(t) 0,1. Comme déjà dit, ce sont en fait les mêmes que ci-dessus. 7) Soit x(t) une solution non constante de (4), définie sur un intervalle D. (i) Montrer qu il existe t 0 D tel que x(t 0 ) 0,1. Indication : on pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. On pose x 0 = x(t 0 ). Il s agit de montrer que, comme précédement, D D X et que x(t) = X(t) sur D, où X est définie par (5). On peut supposer qu il existe t 1 D tel que x(t 1 ) {0,1} (sinon on a la conclusion par la question 6)). (ii) Montrer qu il existe un intervalle ]α,β[ D, contenant t 0, tel que x(t) 0,1 sur ]α,β[, mais tel que (1) α est fini et x(α) {0,1}, ou (2) β est fini et x(β) {0,1} (il n est pas exclu que α et β soient finis) (iii) Montrer que ]α,β[ D X et déduire de l expression de X(t) une contradiction. 8) Déduire des questions précédentes que pour toute donnée initiale y 0 R, il existe une unique solution maximale y(t) de (2), d intervalle de définition D et que - si y 0 {0,K}, alors D = R et y(t) = y 0 pour tout t. 1 le plus grand intervalle surquel X(t) est définie et dérivable 3
4 - si y 0 / {0,K}, avec K y(t) = 1 + ( K y 0 1)e a(t t 0) D = ],t 0 + ln(1 K y 0 )[, si y 0 < 0 D = R, si y 0 ]0,K[ D = ]t 0 + ln(1 K y 0 ),+ [, si y 0 > K. Tracer le graphe des solutions, selon x 0. Il ressort de l étude précédente que deux solutions maximales qui se croisent (i.e. y 1 (t) et y 2 (t) telles qu il existe t 1 avec y(t 1 ) = y(t 2 )) coincident (i.e y 1 (t) = y 2 (t) pour tout t). En particulier une solution stationnaire et une solution non stationnaire ne se croisent jamais. On note aussi que, si y 0 0, alors y(t) tend vers K lorsque t vers +. 2 Un peu de cours : comment généraliser cette démarche à d autres équations différentielles? A quoi sert un théorème d unicité? Définition 2.1 Soit f(t,x) une fonction de R R dans R; considérons l équation différentielle 2 : y = f(t,y) (6) Comme dans les exercices précédents, on cherche à prouver l existence et l unicité de la solution d une équation différentielle lorsqu on fixe sa condition initiale. Théorème 2.2 (Cauchy-Lipschitz) Soit f(t, x) une fonction de R R dans R; considérons l équation différentielle : y = f(t,y) (7) Si f est continues, et si les dérivées partielles f x existent3 sur R R et sont continues, alors, à chaque choix de l instant initial t 0 R et de la valeur initiale y 0 R, correspond une unique solution t y(t) de l équation différentielle (7) qui vérifie la condition initiale y(t 0 ) = y 0 ; l intervalle maximal sur lequel cette solution est définie (et dérivable) est de la forme I y0 = ]α, β [, où α et β dépendent 4 de t 0 et de y 0. t et f 2 Ceci signifie qu une fonction y est solution de l équation différentielle (6) ou (7) si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = f(t, y(t)). 3 On rappelle que f (t0, x0) est la dérivée partielle de f par rapport à t en (t0, x0), c est-à-dire la dérivée usuelle en t0 t de la fonction d une variable t f(t, x 0), où x 0 est fixé. De même, f (t0, x0) est la dérivée usuelle en x0 de x f(t0, x) x où t 0 est fixée 4 Ici α peut éventuellement prendre la valeur (quand la solution est définie sur l intervalle ], β [) et β peut éventuellement prendre la valeur + (quand la solution est définie sur l intervalle ] α, + [). Lorsque la solution est définie sur R entier, on a α = et β = +. 4
5 Il n existe pas de méthode pour trouver une solution explicite de (2.2) en toute généralité. C est pourquoi nous allons nous intéresser à la situation plus simple où l équation différentielle est de la forme y = f(y) (8) c est-à-dire lorsque la fonction f(t, x) ne dépend en fait pas de t, et qu on peut écrire f(t, x) = f(x). Une telle équation différentielle est dite autonome. En effet, on peut avoir dans ce cas une très bonne idée du comportement des solutions, même sans formule explicite pour y(t). Une étape clé est d identifier les solutions stationnaires et les positions d équilibre. Définition 2.3 Une solution stationnaire est une solution constante de (8). La valeur de cette constante est la position d équilibre correspondante. Ainsi, les différentes positions d équilibre de l équation différentielle (8) sont les zéros de la fonction f, c est-à-dire les valeurs b i telles que f(b i ) = 0. On utilise le théorème 2.2 pour démontrer les corollaires suivants : Corollaire 2.4 (Des solutions différentes ne se croisent pas) Si f est dérivable en tout point de R et de dérivée continue, deux solutions différentes de l équation différentielle : y = f(y) (9) ne se croisent jamais 5 ; d autre part une solution ne rencontre jamais une position d équilibre (sauf s il s agit d une solution stationnaire) ; enfin deux solutions qui prennent la même valeur diffèrent par une translation du facteur temps 6. Notons que dans le dernier cas, les graphes de t x(t) et t y(t) différent par une translation sur l axe (Ot). Ils sont disjoints, ou coincident si T = 0. Corollaire 2.5 (Stricte monotonie et convergence des solutions non stationnaires) Soit f dérivable en tout point de R et de dérivée continue, et y(t) une solution de l équation différentielle y = f(y), (10) définie sur un intervalle maximal ]α, β[. On suppose que y n est pas une solution stationnaire. Alors y est strictement monotone, y(]α,β[) =]a,b[, avec a pouvant être égal à, et b égal à +, et on a de plus : (i) Si y strictement croissante, ce qui équivaut à f > 0 sur ]α, β[ : si a est fini, alors c est une position d équilibre, α = et a = lim t y(t), si b est fini, alors c est une position d équilibre, β = + et b = lim t y(t). (ii) Si y strictement décroissante, ce qui équivaut à f < 0 sur ]α, β[ : si a est fini, alors c est une position d équilibre, β = + et a = lim t + y(t). si b est fini, alors c est une position d équilibre, α = et b = lim t y(t). Remarque : Le corollaire 2.5 dit essentiellement que y(t) converge aux bords de l intervalle, mais ne peut converger vers une limite finie en temps fini. Exercice 1. Démontrer le corollaire : 5 Précisément, si x et y sont deux solutions de l équation différentielle (10) telles qu il existe un point t 1 tel que x(t 1) y(t 1), alors x(t) y(t) pour tout t 6 Précisément, si x(t) et y(t) sont deux solutions de (10) telles qu il existe t 1 et t 2 pour lesquels x(t 1) = y(t 2), alors x(t) = y(t + T) pour T = t 2 t 1 5
6 a) Montrer que si y(t) n est pas stationnaire, alors y (t) 0 pour tout t. b) En déduire que y(t) est strictement monotone et que y(]α,β[) =]a,b[. On traite le cas où y est strictement croissante et on considère a, les autres cas étant semblables. c) Supposons a fini et α >. Montrer qu on peut prolonger la solution y(t) en α et en déduire une contradiction. d) Supposons a fini et α =. Montrer que f(a) = 0. Indication : Considérer une suite t i et appliquer le théorème des accroissements finis sur chaque intervalle [t i,t i+1 ]. Les deux corollaires précédents peuvent être illustrés par le dessin suivant : x(t),y(t),z(t), t L axe de droite représente la ligne de phase. Pouvez-vous identifier positions d équilibre, solutions stationnaires, et à quels énoncés des corollaires correspondent chaque courbe? Exercice 2 : Si les théorème et corollaires précédents sont vrais, comment se fait-il que l équation différentielle y = 3 ( y 2) 1/3 admette (d après l exemple 1.1) deux solutions différentes ȳ et ỹ de même donnée initiale : ȳ(0) = ỹ(0) = 0? Pour conclure, on résume dans le corollaire suivant les propriétés vues précédement : Corollaire 2.6 Considérons l équation différentielle : y = f(y), (11) où f est une fonction dérivable en tout point de R et de dérivée continue; si les zéros de f sont en nombre fini et ordonnés par ordre croissant (i. e si les zéros sont notés b 1, b 2,..., b k où b 1 < b 2 <... < b k ), alors 6
7 (i) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie b i < y 0 < b i+1 (où 1 i k 1), alors son intervalle maximal de définition est ], + [, on a b i < y(t) < b i+1 pour tout t, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ]b i, b i+1 [, et alors t y(t) est croissante et vérifie : lim y(t) = b i, lim y(t) = b i+1, t t + soit f(x) < 0 pour tout x ]b i, b i+1 [, et alors t y(t) est décroissante et vérifie : lim y(t) = b i+1, lim y(t) = b i, t t + (ii) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie y 0 > b k, alors on a y(t) > b k pour tout t situé dans l intervalle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ]b k, + [, et alors t y(t) est croissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égal à + ), et on a : lim y(t) = b k, lim y(t) = +, t t β soit f(x) < 0 pour tout x ]b k, + [, et alors t y(t) est décroissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ]α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égal à ), et on a : lim y(t) = +, lim y(t) = b k, t α t + (iii) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie y 0 < b 1, alors on a y(t) < b 1 pour tout t situé dans l intervalle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ], b 1 [, et alors t y(t) est croissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ]α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égal à ), et on a : lim y(t) =, lim y(t) = b 1, t α t + soit f(x) < 0 pour tout x ], b 1 [, et alors t y(t) est décroissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égal à + ), et on a : 3 Autres méthodes qualitatives lim y(t) = b 1, lim y(t) =. t t β Nous allons voir comment tracer l allure des solutions d une équation différentielle (E) u = f(t,u) sans chercher à la résoudre. Nous supposerons dans la suite que l équation (E) a une unique solution si on se donne une donnée initiale (t 0,u 0 ) (comme dans le théorème de Cauchy-Lipschitz). 7
8 3.1 Champs des directions En un point (t 0,u 0 ) du plan, il passe une unique solution de (E). La tangente en ce point (t 0,u 0 ) au graphe de cette unique solution a pour pente u (t 0 ) = f(t 0,u 0 ) d aprés (E). Petit rappel : Si F est une fonction dérivable en x 0, la tangente au graphe de F en (x 0,F(x 0 )) a pour équation y = F (x 0 )(x x 0 ) F(x 0 ). On peut donc associer à tout (t 0,u 0 ) la pente m 0 de l unique solution de (E) qui passe par ce point. De façon équivalente, on peut associer à tout point (t 0,u 0 ) le vecteur u 0 de norme 1, de pente m 0 passant par ce point (vecteur unitaire de la tangente au graphe de l unique solution de (E) passant par (t 0,u 0 )). L application (t 0,u 0 ) u 0 est le champs de directions (ou champs des tangentes) de l équation (E). Remarque : Ceci est un exemple de champs de vecteurs, qui est une application qui à tout point M du plan associe un vecteur v(m) du plan. Un exmple typique est un champs de forces, par exemple le champs de gravitation. 3.2 Méthode de la grille On suppose que l on travaille sur une partie du plan, par exemple le rectangle R = [a,b] [c,d] du théorème de Cauchy-Lipschitz. On le découpe ena carrés ou rectangles de taille uniforme. En tout point de cette grille, on trace le champs des directions. Le but est alors de tracer l allure des solutions sachant que par hypothèse : (a) En tout point de la grille, il passe une solution qui doit être tangente au vecteur du champs de direction (Existence). (b) Deux solutions ne peuvent se croiser, ou encore par un point donné de la grille il ne passe qu une seule solution (Unicité). Exemple : On considère l équation u = tu (c est à dire f(x,y) = xy). On commence par des observations. (i) Sur l axe de t et des u, f(t,u) = 0 et donc le champs des directions est horizontale. (ii) Le champs des directions est symétrique par rapport aux axes et donc par rapport à l origine : f( t,u) = f(t, u) = f(t,u). (iii) Pour t 0, les pentes (négatives) sont de plus en plus raides quand u (positif) augmente. (iv) Pour u positif fixé, les pentes négatives sont de plus en plus raides à mesure que t (positif) augmente. 8
9 On en déduit la figure suivante : 3.3 Méthode des isoclines Les isoclines I c sont des courbes sur lesquelles le champs des directions a une pente donnée : I c = {(t,u);f(t,u) = c}, où c est une constante fixée. Exemple : On reprend le cas de u = tu. Alors, l isocline I 0 est la réunion des droites t = 0 et u = 0 et si c 0, I c est une hyperbole. En chaque point d une isocline I c, la solution passant par ce point croise cette isocline avec la pente c : Attention, les isoclines ne sont pas des graphes de solutions de (E)! De manière pratique, on trace les isoclines I c pour les valeurs c = 0,+/ 1,+/ 2,+/. On essaye ensuite de tracer des solutions sachant qu une solution coupe par exemple l isocline I 1 avec une pente c = 1 et doit avoir une pente comprise entre 1 et 2 entre les isoclines I 1 et I 2. Reprenons l exemple u = tu : 9
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Continuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Leçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Commun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Complément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Rappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Correction de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
I. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Les équations différentielles
Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre
Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Etude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Développements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Optimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Chapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Dérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Cours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Fonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
F411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Développement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Équations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Lecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
O, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Logique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Capes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Cours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Moments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Sur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Le modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe