Planification de mouvements pour un robot mobile autonome tout-terrain : une approche par utilisation des modèles physiques

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1 Planification de mouvements pour un robot mobile autonome tout-terrain : une approche par utilisation des modèles physiques Moez Cherif To cite this version: Moez Cherif. Planification de mouvements pour un robot mobile autonome tout-terrain : une approche par utilisation des modèles physiques. Human-Computer Interaction. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG, French. <tel > HAL Id: tel Submitted on 24 Feb 2004 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 THESE prçesentçee ça l'institut NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE pour obtenir le grade de DOCTEUR spçecialitçe INFORMATIQUE Arr^etçe ministçeriel du 30 Mars 1992 PLANIFICATION DE MOUVEMENTS POUR UN ROBOT MOBILE AUTONOME TOUT-TERRAIN : UNE APPROCHE PAR UTILISATION DES MOD ç ELES PHYSIQUES Moíez CHERIF Thçese soutenue le 16 Octobre 1995 Composition du jury : Prçesident: Rapporteurs : Examinateurs : M. Bernard Espiau M. Jean-Paul Laumond M. Alain Liçegeois M. Christophe Coutelle M. Christian Laugier M. Thierry Simçeon Laboratoire d'informatique Fondamentale et d'intelligence Artiæcielle 46, av. Fçelix Viallet Grenoble Cedex

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4 Remerciements Ce mçemoire de thçese prçesente le travail de recherche que j'ai eæectuçe au sein du Laboratoire d'informatique Fondamentale et d'intelligence Artiæcielle. J'adresse mes premiers remerciements ça M. Philippe Jorrand, Directeur de ce Laboratoire, pour m'y avoir accueilli. Je remercie les membres du jury qui ont acceptçe de juger ce travail et d'y apporter leur caution : í M. Bernard Espiau, Directeur de Recherche Inria èinria Rh^one-Alpes, Grenobleè. í M. Jean-Paul Laumond, Directeur de Recherche Cnrs èlaas, Toulouseè. í M. Alain Liçegeois, Professeur ça l'universitçe des Sciences et Techniques du Languedoc èmontpellier 2è. í M. Christophe Coutelle du Service de Recherches, Direction Gçençerale des Armçees èdga-dretè. í M. Thierry Simçeon, Chargçe de Recherche Cnrs èlaas, Toulouseè. Parmi les membres du jury, je tiens ça remercier tout spçecialement les rapporteurs, MM. Jean-Paul Laumond et Alain Liçegeois, dont les commentaires ont permis l'amçelioration substantielle du manuscrit original. Je remercie tout particuliçerement M. Christian Laugier, Directeur de Recherche Inria, pour son encadrement scientiæque et sa disponibilitçe tout au long de ma thçese. Je tiens ça remercier les membres du Lifia èpersonnel administratif, chercheurs et doctorantsè qui, ça titres divers, ont participçe au bon dçeroulement de cette thçese. Je pense en particulier ça Mme Daniçele Herzog et ça Messieurs Juan Manuel Ahuactzin, Gçerard Baille, Christian Bard, Fernando De la Rosa, Thierry Fraichard, Philippe Garnier, Ambarish Goswami, Leszek Lisowski, Nicolas Mouly, Cyril Novales et Alexis Scheuer. Enæn, j'adresse mes vifs remerciements ça Cçeline Richard pour sa patience et son soutien pendant une grande partie de cette thçese, et particuliçerement pendant les moments diæciles. iii

5 A la mçemoire de mes grands-parents èm. M. E. N.è A mes parents èm. F. Z.è iv

6 Table des matiçeres Introduction 1 1 Synthçese des principaux travaux en planiæcation de mouvements La problçematique gçençerale :::::::::::::::::::::: Planiæcation de chemins ::::::::::::::::::::::: Introduction :::::::::::::::::::::::::: Mçethodes par dçecomposition cellulaire ::::::::::: Mçethodes de rçesolution de type rçetraction : : : : : : : : : Autres mçethodes de planiæcation :::::::::::::: Planiæcation de chemins et non-holonomie ::::::::::::: Cinçematique et notion de non-holonomie :::::::::: Planiæcation de chemins non-holonomes :::::::::: Existence de chemins non-holonomes en prçesence d'obstacles ::::::::::::::::::::: Les principales approches de planiæcation :::: Planiæcation de trajectoires ::::::::::::::::::::: Robotique mobile tout-terrain :::::::::::::::::::: Le problçeme gçençeral ::::::::::::::::::::: Planiæcation d'itinçeraires ::::::::::::::::::: Planiæcation de mouvement contraints ::::::::::: Planiæcation de chemins non-holonomes : : : : : Planiæcation de trajectoires :::::::::::: Simulation de mouvement sur terrains accidentçes : : : : : 22 2 Notre approche pour la planiæcation de mouvements contraints Introduction :::::::::::::::::::::::::::::: Prçesentation du problçeme :::::::::::::::::::::: L'espace de travail :::::::::::::::::::::: Le vçehicule :::::::::::::::::::::::::: Description du systçeme mçecanique du robot : : : Conæguration complçete du vçehicule :::::::: Contr^ole du systçeme de locomotion :::::::: Les contraintes :::::::::::::::::::::::: 29 v

7 2.2.4 Formulation du problçeme abordçe :::::::::::::: Gçeomçetrie et dçeplacements contraints :::::::::::::::: L'approche proposçee ::::::::::::::::::::::::: Le principe gçençeral de l'approche :::::::::::::: La gçençeration des sous-buts ::::::::::::::::: La gçençeration locale des mouvements exçecutables : : : : : Illustration de l'approche et discussion ::::::::::: 36 3 Gçençeration de sous-buts Prçesentation gçençerale ::::::::::::::::::::::::: Les modçeles :::::::::::::::::::::::::::::: Reprçesentation en sphçeres du relief de W :::::::::: Approximation en disques des obstacles ::::::::::: Modçele cinçematique du vçehicule ::::::::::::::: L'algorithme de planiæcation ::::::::::::::::::::: L'espace C search et le graphe de recherche G : : : : : : : : : Le graphe G ::::::::::::::::::::: Approximation de C search par des voisinages cylindriques :::::::::::::::::::::: L'algorithme de recherche :::::::::::::::::: Dçeveloppement des nçuds du graphe G ::::::::::: Non-collision aux obstacles :::::::::::::::::: La fonction de co^ut :::::::::::::::::::::::::: Formulation de la fonction de co^ut ::::::::::::: L'heuristique ::::::::::::::::::::::::: Utilisation d'une distance gçeodçesique : : : : : : : Prise en compte du relief du terrain :::::::: Convergence vers un voisinage de q final ::::::::::::::: Conclusion ::::::::::::::::::::::::::::::: 61 4 Modçelisation dynamique La modçelisation dynamique adoptçee ::::::::::::::::: Analyse du problçeme de modçelisation considçerçe :::::: Approche choisie ::::::::::::::::::::::: Le vçehicule ::::::::::::::::::::: L'environnement :::::::::::::::::: Le modçele dynamique æèaè duvçehicule :::::::::::::: Dynamique d'un objet rigide ::::::::::::::::: Modçelisation d'un essieu ça roues ::::::::::::::: Modçelisation du systçeme articulçe duch^assis :::::::: Le modçele dynamique discret des segments :::: Modçelisation de la cha^çne du ch^assis : : : : : : : Dçeænition d'un çetat de æèaè ::::::::::::::::: 76 vi

8 4.3 Modçelisation physique de l'environnement ::::::::::::: Modçelisation des rçegions ça surfaces dçeformables :::::: Modçelisation des çelçements mobiles :::::::::::::: Calcul des interactions de contact :::::::::::::::::: Frottement et glissement ::::::::::::::::::: Modçelisation des contacts :::::::::::::::::: Calcul des interactions de contact :::::::::::::: Conclusion ::::::::::::::::::::::::::::::: 85 5 La gçençeration des mouvements exçecutables Introduction :::::::::::::::::::::::::::::: La solution locale, i recherchçee ::::::::::::::::::: Les çetats admissibles de A :::::::::::::::::: Conditions aux extrçemitçes :::::::::::::::::: La planiæcation locale de mouvement :::::::::::::::: L'algorithme de planiæcation locale ::::::::::::::::: Reprçesentation de RS A :::::::::::::::::::: Le graphe de recherche G i ::::::::::::: Considçeration d'un espace de travail local :::: Exploration de G i ::::::::::::::::::::::: Dçeveloppement des nçuds de G i ::::::::::::::: La gçençeration de mouvement ::::::::::::::::::::: La dçetermination des accçelçerations nominales : : : : : : : Application des accçelçerations nominales ::::::::::: Dçetermination des paramçetres de U::::::::::::: La simulation de mouvement ::::::::::::::::: Discussion ::::::::::::::::::::::::::::::: Illustration de l'approche de planiæcation et rçesultats : : : : : : : Paramçetres considçerçes pour la simulation :::::::::: Dçeplacements en environnement contraint : : : : : : : : : Conclusion ::::::::::::::::::::::::::: 116 Conclusion 117 A Evitement des oscillations des sous-buts 121 Bibliographie 125 Table des ægures 133 vii

9 Introduction Contexte gçençeral Depuis quelques annçees, un intçer^et croissant est portçe au sein de la communautçe robotique au dçeveloppement de systçemes intelligents autonomes et de plates-formes expçerimentales dans le cadre de la robotique d'intervention. Un tel intçer^et peut ^etre perçcu comme une consçequence logique ça l'apparition d'applications potentielles et au dçesir de mettre les robots sur des t^aches nouvelles telles que les opçerations d'intervention sur sites accidentçes, la manipulation sur sites sensibles en l'occurrence nuclçeaires, ou l'exploration de sites maritimes ou plançetaires. Dans de tels contextes, et tout comme dans le cas des applications traditionnelles de robotique mobile ou de manipulation, munir les systçemes robotiques d'une capacitçe de dçecision et plus particuliçerement de planiæcation de leurs mouvements reste l'un des çelçements clçe dans la mise en çuvre de leur autonomie. A cet eæet, les techniques de dçecision existantes doivent ^etre adaptçees pour une meilleure prise en compte des problçemes posçes par ce nouveau type de t^ache, et enrichies quand des concepts et raisonnements sont nçecessaires. C'est dans cette perspective que s'inscrit l'objectif du travail prçesentçe dans cette thçese, au cours de laquelle nous nous sommes intçeressçes au problçeme de la planiæcation de mouvements pour des robots mobiles autonomes destinçes ça çevoluer dans des sites naturels. Au premier abord de la littçerature, on peut constater que la planiæcation de mouvement est l'un des domaines qui ont attirçe le plus de chercheurs en robotique et qu'un grand nombre de rçesultats ont çetçe obtenus dans le cadre de sa rçesolution aussi bien en modçelisation qu'en algorithmique. Il en ressort aussi que les premiers travaux proposçes ça cet eæet ont abordçe le problçeme de la planiæcation de mouvement sous une formulation et des hypothçeses purement gçeomçetriques et se sont concentrçes sur le problçeme de l'çevitement d'obstacles pour des robots manipulateurs ou mobiles çevoluant dans des environnements intçerieurs bien structurçes. Ainsi que nous le verrons dans le premier chapitre de cette thçese, ces travaux ont conduit ça un large çeventail de mçethodes de rçesolution et surtout ça montrer que la planiæcation de mouvement est un problçeme trçes complexe. Plus rçecemment, 1

10 2 INTRODUCTION d'autres approches sont venus s'y ajouter en abordant le problçeme de la planiæcation pour des robots soumis ça des contraintes cinçematiques etèou dynamiques. Lça aussi, les rçesultats obtenus conærment que le problçeme de la planiæcation demeure complexe particuliçerementenprçesence de contraintes dynamiques et ce en dçepit d'hypothçeses simpliæcatrices sur les modçeles des robots et des espaces de travail considçerçes. Le problçeme abordçe Pour un robot mobile se dçeplaçcant dans un environnement naturel, la planiæcation de mouvement devient un problçeme encore plus diæcile ça rçesoudre que dans le cas oçu le robot çevolue sur un sol plat encombrçe d'obstacles. Cette diæcultçe est due au fait qu'en plus des contraintes traditionnellement considçerçees en planiæcation, le robot est soumis ça de nouvelles contraintes engendrçees par son interaction de contact avec son environnement et ne pouvant ^etre nçegligçees dans un processus de gçençeration de mouvement. Intuitivement, ces nouvelles contraintes dçependent de la combinaison de plusieurs facteurs dont essentiellement la gçeomçetrie du site considçerçe, la dynamique et les caractçeristiques du systçeme mçecanique du robot, et les propriçetçes physiques des zones de contact et des interactions mises en jeu entre le vçehicule et son environnement. Aussi, la considçeration de phçenomçenes sur le frottement entre les objets en contact et leur rigiditçeèdçeformation, et la prçesence çeventuelle d'çelçements naturels mobiles ça franchir peuvent ^etre pertinents pour le choix d'un dçeplacement ou d'un autre pour le robot. Le problçeme abordçe dans la suite concerne la prise en compte de ces facteurs lors de la planiæcation de mouvement pour un robot mobile articulçe ça plusieurs essieux. Chacun de ces essieux est muni de deux roues contr^olçees sçeparçement par l'application de couples moteurs bornçes. De plus, le robot considçerçe est soumis ça une liaison cinçematique non-holonome et contraint ça avoir des vitesses et accçelçerations bornçees tout au long de ses dçeplacements. L'environnement du robot est essentiellement constituçe d'un terrain tridimensionnel encombrçe de zones dçetectçees initialement comme des obstacles ça çeviter et de zones susceptibles d'^etre franchies comportant des çelçements naturels mobiles tels que des cailloux ou des pierres de la taille des roues du robot. De plus, nous considçerons que certaines de ces rçegions sont ça surfaces dçeformables. Pour simpliæer la prise en compte de la mobilitçe de telles surfaces, nous nous limiterons ça des dçeformations de type çelastique.

11 INTRODUCTION 3 Notre approche La planiæcation de mouvement pour des robots mobiles tout-terrain a eu peu d'intçer^et jusqu'ça il y a quelques annçees. Les rares travaux dans ce domaine ont traitçe essentiellement de la planiæcation d'itinçeraires quand le robot est rçeduit ça un point ou de la planiæcation de chemins sous contraintes cinçematiques quand l'interaction entre le robot et son environnement est rçeduite ça une analyse purementgçeomçetrique. Toutefois, ces travaux ont conduit ça la formulation de certains problçemes rencontrçes en planiæcation de mouvement en environnement naturel et ça la mise çuvre de premiçeres mçethodes de rçesolution pertinentes pour la problçematique que nous abordons. En eæectuant une premiçere analyse de cette problçematique, on peut constater que la prise en compte de certains paramçetres tels que la dçeformation du terrain, la prçesence d'çelçements mobiles ou encore les propriçetçes mçecaniques de la cha^çne articulçee du robot peut s'avçerer ^etre complexe si on demeure sur des modçeles gçeomçetriques et dynamiques classiques. Aæn d'y remçedier, notre dçemarche consiste ça introduire des reprçesentations simples et spçeciæques ça chacun des facteurs ça traiter et ça les intçegrer dans une algorithmique appropriçee aæn de prendre en compte chacune des contraintes qu'elles induisent. La solution que nous proposons est basçee sur un principe simple consistant ça aborder le problçeme de planiæcation de mouvements contraints par l'intçegration de deux niveaux de raisonnement complçementaires. L'algorithme gçençeral consiste ça construire d'une maniçere incrçementale une trajectoire solution en alternantitçerativement une phase de gçençeration globale de sous-buts intermçediaires ça atteindre par le robot, et une phase de validation locale de l'atteignabilitçe de ces sous-buts basçee sur un gçençerateur de mouvements exçecutables continus. æ La gçençeration des sous-buts Aæn de rçeduire la complexitçe delarçesolu- tion, le premier niveau considçere une formulation gçeomçetrique du problçeme de la planiæcation et consiste en une recherche discrçete d'une approximation de la solution dans un sous-espace de l'espace des conægurations du robot. Plus prçecisçement, le but de cette approximation est de dçeterminer ça chaque itçeration de l'algorithme gçençeral un certain nombre de conægurations sous-buts ça franchir par le robot en prenant en compte les contraintes d'çevitement d'obstacles et cinçematiques du vçehicule. Notre dçemarche au cours de la mise en çuvre de ce premier niveau de raisonnement s'inspire des travaux en planiæcation de chemins proposçes dans ë6, 77ë. æ La gçençeration locale des mouvements exçecutables Aæn d'introduire les contraintes dynamiques, cette recherche est complçetçee par un second niveau qui

12 4 INTRODUCTION a pour objet de calculer les sous-trajectoires eæectives ça exçecuter par le robot ça chaque fois qu'une conæguration intermçediaire est dçesignçee ça ^etre franchie. A cet eæet, nous introduirons des reprçesentations spçeciæques basçees sur le concept de modçeles physiques aæn d'exprimer d'une maniçere simple et explicite les aspects liçes ça la dynamique de mouvement du robot et ça ses interactions avec l'environnement et de conduire ça la formulation des contraintes correspondantes. La recherche des portions de trajectoires est alors re-formulçee dans l'espace des çetats du robot et rçesolu localement entre deux conægurations intermçediaires successives. Pour ce faire, une mçethode basçee sur la recherche locale de mouvements contraints est dçeveloppçee. Organisation de la thçese Dans le premier chapitre de ce mçemoire, nous passons en revue les principaux travaux mençes dans le cadre de la planiæcation de mouvement et les grandes approches dçeveloppçees pour sa rçesolution. Cette prçesentation inclura çegalement les travaux existants en robotique mobile tout-terrain. Dans le second chapitre, nous rçeexaminons la problçematique abordçee et nous introduisons l'approche dçeveloppçee pour la planiæcation de mouvement en milieu naturel. Le chapitre 3 prçesente le premier niveau de raisonnement de l'algorithme gçençeral concernant la gçençeration de sous-buts ça atteindre par le robot. Le chapitre 4 traite la modçelisation physique adoptçee du robot, de l'environnement et de leurs interactions. Enæn, dans le chapitre 5, nous prçesentons l'algorithme de gçençeration locale des mouvements contraints pour la validitçe de l'accessibilitçe des sous-buts et le calcul de la solution du problçeme global. Nous prçesenterons çegalement dans ce chapitre quelques rçesultats obtenus en simulation pour l'illustration du fonctionnementde l'approche de planiæcation pour un robot mobile articulçe.

13 Chapitre 1 Synthçese des principaux travaux en planiæcation de mouvements Dans ce chapitre, nous prçesentons le problçeme gçençeral de planiæcation et nous passons en revue les grandes approches et mçethodes de rçesolution proposçees dans la littçerature et pertinentes pour le problçeme abordçe dans cette thçese. Cela comprendra en plus des techniques purement gçeomçetriques, une synthçese des travaux majeurs en planiæcation de mouvements en prçesence de contraintes cinçematiques non-holonomes et de contraintes dynamiques. Enæn, nous prçesentons la problçematique posçee en planiæcation de mouvement pour les robots tout-terrain ainsi que les principaux travaux proposçes dans ce domaine. 1.1 La problçematique gçençerale Pour un robot A çevoluant dans un environnement W donnçe, le problçeme gçençeral de planiæcation consiste ça dçeterminer pour A un mouvement lui permettant de se dçeplacer entre deux conægurations donnçees tout en respectant un certain nombre de contraintes et de critçeres. Ceux-ci dçecoulent de plusieurs facteurs de natures diverses et dçependentgçençeralement des caractçeristiques du robot, de l'environnement et du type de t^ache ça exçecuter. En l'occurrence, les contraintes relatives au robot concernent sa gçeomçetrie, sa cinçematique et sa dynamique et leur prise en compte peut ^etre complexe selon l'architecture initiale considçerçee. Cette architecture pouvant correspondre ça un systçeme articulçe d'objets rigides tel qu'un bras manipulateur, une main ça plusieurs doigts ou un vçehicule tractant des remorques, ou encore ça plusieurs systçemes de robots ça coordonner tels que des bras manipulateurs ou des robots mobiles de type voiture çevoluant dans un rçeseau routier. Les contraintes çemanant de l'environnement concernent essentiellement la non-collision aux obstacles æxes 5

14 6 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE encombrant W et la prise en compte d'interactions de contact avec le robot. Si l'çevitement d'obstacles dçepend de la gçeomçetrie de l'environnement et est commun ça toutes les t^aches robotiques, le second point dçepend en gçençeral de caractçeristiques physiques de W telles que l'inertie, les frottements ou les forces appliquçees et constitue un paramçetre important pour une t^ache de manipulation ou de saisie par une main articulçee. Enæn, d'autres aspects liçes ça la prçesence d'çeventuels obstacles mobiles ça çeviter et ça la connaissance partielle de W sont aussi importants et requiçerent dans les deux cas des techniques de modçelisation et de rçesolution diæçerentes. Les critçeres ça satisfaire pendant la rçesolution du problçeme de planiæcation concernent le fait qu'une solution doit optimiser une fonction de co^ut exprimçee en terme de la distance parcourue par le robot entre les deux conægurations extrçemitçes, de la durçee ou de l'çenergie nçecessaires ça l'exçecution de son mouvement. D'autres critçeres peuvent ^etre çegalement considçerçes tels que la prise en compte de distance de sçecuritçe aux obstacles pour un robot mobile ou manipulateur ou encore la "qualitçe" et la stabilitçe des prises pour une main articulçee. Face ça la nature aussi diverse de ces aspects et aux diæcultçes qu'elle peut induire sur un processus de rçesolution, la plupart des travaux proposçes dans le domaine de la planiæcation de mouvement ont portçe sur la considçeration de certaines instances du problçeme gçençeral. Nous prçesentons dans la suite de ce chapitre les principaux concepts et approches dçeveloppçes ça cet eæet. Vu le type de problçematique abordçe dans cette thçese, nous nous intçeresserons plus particuliçerement aux instances et travaux abordant l'çevitement d'obstacles et la prise en compte de contraintes cinçematiques et dynamiques. 1.2 Planiæcation de chemins Introduction Historiquement, le problçeme de planiæcation a çetçe initialement abordçe dans le cadre d'un systçeme de robots se dçeplaçcant dans un environnement contenant des obstacles æxes et soumis ça la seule contrainte de non-collision. Cette instance du problçeme gçençeral de planiæcation est connue sous le nom du paradigme du dçemçenageur de piano et sa rçesolution a fait l'objet de plusieurs travaux dont nous prçesentons une brçeve synthçese dans la suite de cette section. La plupart de ces travaux sont basçes sur le concept d'espace des conægurations du robot introduit par Lozano-Perez ë53ë. Par conæguration est dçesignçee tout n-uplet de paramçetres indçependants de positionèorientation caractçerisant d'une maniçere unique le robot dans son environnement ou espace de travail. Par ce concept, le problçeme de planiæcation est formulçe dans un espace CS A de di-

15 Planiæcation de chemins 7 mension n, l'espace des conægurations, oçu le robot est assimilçe ça un point et les obstacles ça des sous-ensembles çegalement de dimension n. Ainsi, un mouvement solution est donnçe par une courbe dans CS A et correspond ça une sçequence continue de conægurations sans collision reliant les conægurations initiale et ænale considçerçees. Selon les cas, la solution ça gçençerer est contrainte ça rester entiçerement ou partiellement sans contact avec les obstacles. On parlera alors d'un mouvement dans l'espace des conægurations libres ou au contact. De par sa gçençeralitçe, le concept d'espace des conægurations a permis d'apporter une rçeponse quant ça l'existence ou non de chemins solutions au problçeme de planiæcation et de caractçeriser cela par l'existence d'une composante connexe dans CS A Mçethodes par dçecomposition cellulaire Une premiçere approche pour la planiæcation de chemin est connue sous le nom d'approche par dçecomposition cellulaire. Elle consiste ça partitionner l'espace des conægurations èou de travailè libres du robot en un ensemble de rçegions connexes adjacentes. La description de la dçecomposition obtenue est alors capturçee dans un graphe de connectivitçe dont les nçuds correspondent aux diæçerentes rçegions èou cellulesè et les arcs aux relations d'adjacence entre elles. Le problçeme de planiæer un mouvement entre deux conægurations situçees initialement dans deux cellules diæçerentes est rçesolu en deux çetapes : a. exploration du graphe de connectivitçe et dçetermination d'un chemin reliant les cellules contenant les deux conægurations initiales du graphe, b. recherche de la solution au problçeme de planiæcation ça partir de l'enveloppe dçeænie par la liste de cellules adjacentes trouvçee en a. De par sa gçençeralitçe, l'approche par dçecomposition a çetçe adoptçee dans plusieurs travaux et a conduit ça la mise en çuvre de nombreuses mçethodes. Celles-ci sont gçençeralement classçees en deux catçegories et se distinguent par les modçeles de dçecomposition qu'elles utilisent et leur complçetude quant ça la rçesolution du problçeme de planiæcation. Mçethodes exactes La premiçere catçegorie regroupe les mçethodes de rçesolution dites exactes en ce sens que la dçecomposition eæectuçee se base sur un recouvrement exact de l'espace libre du robot de ses contacts en cellules convexes ë68, 3, 43ë. La complçetude et la capacitçe decetype de mçethode ça apporter une rçeponse quant çalarçesolution du problçeme gçençeral de planiæcation ont çetçe dçemontrçees par Schwartz et Sharir ë67ë. Le problçeme de planiæcation est formulçe sous forme algçebrique en considçerant une dçecomposition de l'espace libre du robot sous forme de composantes cylindriques semi-algçebriques ècellules de Collinsè. Par cette formulation, les auteurs aboutissent ça l'un des rçesultats importants sur la complexitçede la planiæcation, ça savoir qu'elle est polynomiale en la complexitçe de l'environnement et doublement exponentielle en la dimension de l'espace des conægurations.

16 8 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE La complexitçe de l'environnement est mesurçee dans la formulation algçebrique donnçee dans ë67ë par le nombre et le degrçe des polyn^omes utilisçes pour la description semi-algçebrique de l'espace libre. Mçethodes approchçees Aæn de remçedier ça cette complexitçe, des mçethodes dites approchçees sont gçençeralement appliquçees. Elles se distinguent des prçecçedentes par la simplicitçe de la structure des cellules utilisçees pour la dçecomposition et l'approximation faite de l'espace libre du robot. La structure de celui-ci est gçençeralement capturçee dans une reprçesentation hiçerarchique en cellules çelçementaires identiques et permettant l'adaptation de la taille de celles-ci ça lagçeomçetrie des zones ça recouvrir. Plusieurs types de cellularisation de l'espace du robot sont gçençeralement utilisçes en pratique : reprçesentation en octrees ë24ë, dçecoupage en tranches ë11, 44ë, ou encore en polyçedres ë75ë. En comparant les deux approches de dçecomposition, il ressort que les mçethodes exactes sont plus complçetes en thçeorie que les mçethodes approchçees. Toutefois, la complexitçe de leur mise en çuvre, comme en tçemoigne la solution donnçee dans ë67ë, les rend moins appropriçees en pratique que les techniques approchçees m^eme si celles-ci restent parfois limitçees ça des espaces de dimension rçeduite. Cette constatation n'est pas gçençerale puisqu'il appara^çt dans ë3ë qu'une mçethode exacte peut conduire dans le cas plan et pour une modçelisation polygonale du robot et de son environnement ça une implantation eæcace Mçethodes de rçesolution de type rçetraction Une seconde grande approche pour la rçesolution du problçeme de planiæcation consiste ça ramener la recherche du mouvement du robot dans un espace de plus faible dimension que celle de l'espace admissible. Cela consiste ça reprçesenter la connectivitçe de l'espace libre du robot par un rçeseau de courbes uni-dimensionnelles pouvant ^etre entiçerement dans l'espace libre ou des contacts du robot. La planiæcation de mouvement entre deux conægurations donnçees est alors rçesolue en trois çetapes : dçetermination d'un chemin ramenant le robot de sa conæguration initiale ça un point situçe sur l'une des courbes du rçeseau de connectivitçe, dçetermination d'un chemin entre la conæguration ænale et le rçeseau, et enæn exploration de celui-ci aæn d'en extraire un chemin reliant les deux points connectçes aux conægurations initiale et ænale. Une premiçere mçethode basçee sur ce concept a çetçe proposçee par Nilsson pour un espace de travail bi-dimensionnel encombrçe d'obstacles polygonaux ë58ë. Dans cette mçethode, le rçeseau est dçecrit par un graphe, dit graphe de visibilitçe, oçu les nçuds correspondent aux sommets des obstacles et les ar^etes ça des segments

17 Planiæcation de chemins 9 de droite reliant ces sommets dans l'espace libre. L'inconvçenient de cette mçethode est que les solutions obtenues conduisent le robot ça ^etre en contact avec les obstacles en certains de leurs points èles sommetsè m^eme en prçesence d'une solution entiçerement contenue dans l'espace libre. Aæn d'y remçedier, une seconde mçethode, connue sous le nom de rçetraction et dçeveloppçee par ç O'Dçunlaing et Yap ë59ë, consiste ça utiliser un diagramme de Voronoi pour capturer la connectivitçe de l'espace libre et gçençerer des solutions çeloignçees le plus des obstacles. Une telle mçethode, bien qu'elle soit gçençerale en thçeorie, reste limitçee ça des espaces de dimension pas trçes çelevçee. Une autre variante de cette mçethode est dçeveloppçee par Brooks pour des espaces de travail polygonaux et se base sur la reprçesentation de ceux-ci par des cylindres gçençeralisçes ë10ë. Les chemins ça suivre par le robot sont alors dçeterminçes en considçerant la connectivitçe entre les axes de ces cylindres. Enæn, une derniçere mçethode de type rçetraction a çetçe prçesentçee par Canny dans le cadre de la rçesolution du problçeme gçençeral de la planiæcation ë12ë. L'algorithme proposçe est exponentiel en la dimension de l'espace des conægurations, et constitue l'un des rçesultats les plus importants sur la complexitçe du problçeme de planiæcation de mouvement Autres mçethodes de planiæcation Les mçethodes exposçees dans les paragraphes prçecçedents sont gçençeralement dites globales sachant qu'elles se basent toutes sur la structuration de l'espace des conægurations et la modçelisation a priori de sa connectivitçe. Aæn d'çeviter la complexitçe d'une telle çetape de structuration, d'autres mçethodes dites locales sont gçençeralement utilisçees. Leur principe consiste ça dçeterminer les dçeplacements du robot en ne considçerant qu'une reprçesentation locale de l'environnement et ça percevoir la planiæcation de mouvement comme un problçeme d'optimisation. Mçethode du potentiel Une premiçere mçethode, largement utilisçee dans la littçerature, consiste ça assimiler le robot ça une particule contrainte ça sedçeplacer dans un champ de potentiel æctif obtenu par la composition d'un premier champ attractif au but et d'un ensemble de champs rçepulsifs modçelisant laprçesence d'obstacles dans l'espace du robot. Les dçeplacements de celui-ci sont alors calculçes itçerativement par un algorithme de descente du gradient du potentiel obtenu. Un tel concept a çetçe initialementintroduit par Khatib et utilisçe pour la commande et l'çevitement d'obstacles pour un bras manipulateur ë41ë, et çetendu par la suite pour la planiæcation de mouvement. Si une mçethode de type potentiel peut ^etre facilement implantçee et appliquçee en temps rçeel pour des t^aches de manipulation ou de navigation d'un robot mobile, elle reste sensible ça l'occurrence de minima locaux engendrant des conægurations de blocage ou d'oscillation. Ces minima sont gçençeralement liçes ça lagçeomçetrie et ça larçepartition des obstacles

18 10 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE dans l'espace de travail du robot et surtout aux coeæcients de pçenalitçes qui leur sont associçes pendant la construction du champs de potentiel. Aæn de remçedier ça ces problçemes, Barraquand et Latombe proposent dans ë7, 43ë d'intçegrer ça la minimisation du potentiel appliquçe au robot l'exploration d'une reprçesentation hiçerarchique en bitmap de l'espace des conægurations. L'çevitement ou plut^ot la sortie d'un minimum local est eæectuçee par l'application de mouvements alçeatoires, dits browniens. Dans le cadre d'une approche par champs de potentiel, un autre type de mçethode se base sur le calcul variationnel pour la minimisation d'une fonctionnelle en considçerant l'ensemble des chemins admissibles. Contrairement ça la premiçere mçethode oçu le robot est rçeduit ça un point, les mçethodes basçees sur le calcul variationnel considçerent que la variable de base est donnçee par une courbe dçeformable reliant les deux conægurations extrçemitçes. L'çevolution de la courbe est donnçee par la rçesolution d'un systçeme de n çequations correspondant ça la discrçetisation spatiale de la courbe en n points. La fonctionnelle ça minimiser est gçençeralement composçee de divers termes dont un potentiel de non-collision aux obstacles et des critçeres de continuitçe et de diæçerentiabilitçe de la courbe. Enæn, la mçethode peut fournir des solutions locales au problçeme de minimisation de la fonctionnelle considçerçee et est sensible ça la position de la courbe choisie initialement avant le dçebut de la recherche. Ce problçeme est abordçe dans ë78ë qui prçesente une mçethode combinant le calcul variationnel et une technique de programmation dynamique pour la recherche de chemins maintenant une distance de sçecuritçe par rapport aux obstacles. Mçethode des contraintes Dans le cadre d'une approche locale, Faverjon et Tournassoud proposent une mçethode, dite des contraintes, qui aborde le problçeme de l'çevitement d'obstacles en modçelisant localement chacun de ceux-ci par l'ensemble de ses plans tangents ë25ë. La gçençeration des mouvements du robot est obtenue par la minimisation d'un critçere quadratique sur la t^ache ça eæectuer en prçesence de contraintes linçeaires associçees aux çequations des plans tangents aux obstacles. ça la diæçerence de la mçethode du potentiel, les obstacles n'agissent sur le robot pendant le processus de minimisation que quand il en est trçes proche et a tendance ça ypçençetrer. Toutefois, la mçethode reste sensible ça laprçesence de minima locaux. Ce problçeme est abordçe dans ë26ë en combinantlamçethode locale avec une technique d'apprentissage. Pour plus de dçetails sur cette approche, nous renvoyons le lecteur ça ë81ë.

19 Planiæcation de chemins et non-holonomie Planiæcation de chemins et non-holonomie Dans la problçematique exposçee prçecçedemment, la recherche d'une solution est formulçee dans un espace èespace des conægurations ou espace de travail du robotè dçeæni sur un ensemble de paramçetres dçecrivant le mouvement du robot et indçependants les uns des autres. En considçerant des systçemes rçeels tels que des robots de type bras manipulateurs, cette propriçetçe d'indçependance demeure çegalement entre les dçerivçees de ces paramçetres par rapport au temps. Ceci conduit ça penser que tout mouvement planiæçe par l'une des mçethodes prçesentçees dans les sections prçecçedentes est exçecutable par le robot. Ainsi, la faisabilitçe d'une trajectoire devient une notion çequivalente ça l'existence d'un chemin dans une composante connexe. Pour certains systçemes tels qu'une voiture par exemple, cette çequivalence n'est plus aussi immçediate et le problçeme de leur planiæer un mouvement faisable ne peut ^etre abordçe sous les m^emes aspects considçerçes jusqu'ici. Ceci est d^u ça l'existence d'une liaison particuliçere entre certains des paramçetres de conæguration et de vitesse du robot rendant encore plus diæcile la gçençeration de ses dçeplacements. Dans la suite de cette section, nous prçesentons l'impact de telles liaisons cinçematiques sur la problçematique de la planiæcation de mouvement et les principaux rçesultats et mçethodes de rçesolution existantes dans ce domaine Cinçematique et notion de non-holonomie En toute gçençeralitçe, un mobile est dit soumis ça une contrainte cinçematique si son mouvement est contraint par une liaison G, i.e. une çequation, exprimçee au premier ordre en fonction du temps t, des paramçetres de sa conæguration q et çeventuellement de leurs dçerivçees par rapport ça t. Holonomie Dans le cas oçu G est une liaison d'çegalitçe de la forme Gèq;tè = 0 èi.e. ne dçepend que de q et de tè et qu'elle est diæçerentiable et de dçerivçee non nulle, il est possible de substituer l'un des paramçetres, soit q k, par un terme dçependant det et du reste des paramçetres de q. G dçecrit alors une variçetçe de dimension n,1, oçu n est la dimension de CS A, et permet ainsi de rçeduire l'espace des conægurations admissibles de A. Dans le cas oçu G est une liaison d'inçegalitçe, elle permet de limiter l'espace des conægurations admissibles ça un sous-ensemble de CS A sans toutefois diminuer sa dimension. Dans le cas oçu G dçepend en plus de _q et sous les m^emes hypothçeses de diffçerentiabilitçe, le problçeme consiste ça ramener G sous la forme G 0 èq;tè =0.Si

20 12 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE G est intçegrable, une telle transformation est possible et les m^emes remarques concernant l'espace des conægurations admissibles restent valides dans les deux cas d'çegalitçe et d'inçegalitçe. Une liaison telle que G est dite contrainte holonome d'çegalitçe. Enæn, en prçesence de m liaisons d'çegalitçe holonomes indçependantes, l'espace des conægurations est rçeduit ça une variçetçe de dimension èn, mè. Non-holonomie Dans le cas oçu G est de la forme Gèq; _q; tè = 0 et qu'elle est non intçegrable, on parle de liaison non-holonome. Une telle liaison relie les paramçetres de conægurations q et de ceux de _q sans pour autant qu'aucun çelçement q k de q ne soit substituable. G restreint alors l'espace des vitesses admissibles de A en gardant l'espace des conægurations CS A invariant. Enæn, nous appellerons un robot non-holonome tout systçeme mçecanique soumis ça une ou plusieurs contraintes non-holonomes. Dans le cas oçu le mobile est un robot de type voiture, la conæguration de A est donnçee par le triplet èx; y; çè. Quand les roues de A roulent sans glisser sur le sol, les mouvements des centres des essieux sont ça tout moment perpendiculaires ça leurs axes. Par rapport au comportement du robot, une telle hypothçese se traduit par le fait que celui-ci çevolue ça tout instant avec une vitesse latçerale nulle. En exprimant une telle contrainte en fonction des paramçetres de la conæguration q et de ceux de _q, on remarque que ceux-ci sont ça chaque instant inter-dçependants et s'çecrivent sous la forme : _x sinèçè, _y cosèçè = 0 è1.1è Une telle liaison a çetçe montrçee dans ë46, 6ë comme çetant non intçegrable. Cette propriçetçe a pour principale consçequence de restreindre, ça tout instant t, le champ des vitesses de A ça un sous-espace bi-dimensionnel de l'espace tangentça CS A, sans pour autant diminuer la dimension de celui-ci. Contrairement au cas holonome et partant d'une conæguration q donnçee, le robot est contraint çasedçeplacer dans un espace de conægurations de dimension 3 selon deux degrçes de libertçe uniquement. Ceci conduit ça penser que la rçeponse au problçeme de planiæcation ne peut plus se limiter ça l'existence d'une composante connexe dans l'espace admissible du robot et ça la dçetermination d'un chemin dans cette composante. Cette nouvelle problçematique a çetçe introduite par Laumond ë46ë depuis prçes d'une dizaine d'annçees. Depuis, de nombreux travaux sont venus conærmer l'importance et la diæcultçe de la prise en compte de la non-holonomie de certains systçemes de robots aussi bien en planiæcation de mouvement que dans le domaine du contr^ole.

21 Planiæcation de chemins et non-holonomie Planiæcation de chemins non-holonomes Existence de chemins non-holonomes en prçesence d'obstacles L'un des premiers rçesultats concernant l'impact des contraintes non-holonomes sur la gçençeration de mouvement porte sur la contr^olabilitçe d'un robot de type voiture. Ce rçesultat, d^u ça Laumond ë46ë, rçepond au problçeme de dçecision concernant l'existence de chemin faisable pour un tel robot en prçesence d'obstacles. Il est çetabli que dans le cas oçu le robot peut eæectuer des mançuvres èchangement du sens de dçeplacementè, cette existence est caractçerisçee par l'existence d'une composante connexe de l'espace des conægurations libres. D'une maniçere plus gçençerale, le robot peut atteindre toutes les conægurations appartenant ça la m^eme composante connexe que sa conæguration courante. Dans la cas oçu les mançuvres ne sont pas permises, l'existence d'un chemin reliant deux conægurations donnçees dans un environnement encombrçe d'obstacles est intuitivement plus diæcile ça caractçeriser que dans le cas avec mançuvres. Cette diæcultçe est d'autant plus importante quand la courbure des chemins ça suivre par le robot est majorçee. Un premier çelçement de rçeponse ça ce problçeme a çetçe donnçe par Fortune et Wilfong ë27ë. Les auteurs montrent que si une solution sans mançuvre et ça rayon de courbure minorçe existe, elle peut ^etre calculçee ça partir de la concatçenation de courbes canoniques constituçees d'arcs de cercles et de segments de droite et pouvant ^etre en contact en certains points avec les obstacles. La preuve de ce rçesultat est eæectuçee gr^ace un algorithme complexe qui est exponentiel en la complexitçe de l'environnement du robot Les principales approches de planiæcation Nous prçesentons dans cette section certaines des principales approches existantes pour la planiæcation de mouvement dans le cas oçu le robot peut eæectuer des rebroussements de chemins ou non. Cas avec mançuvres Dans le cas oçu les mançuvres sont permises, une premiçere approche dçecrite par Laumond et al. dans ë49, 48ë aborde la rçesolution du problçeme par l'application d'un algorithme en trois phases. La premiçere phase consiste ça gçençerer pour le robot un chemin holonome sans collision aux obstacles. Une fois dçeterminçe, ce chemin est transformçe en un chemin faisable par le biais d'un processus itçeratif consistant ça subdiviser la solution initiale en chemins de longueur optimale sans collision et vçeriæant les contraintes de non-holonomie et de courbure. Cette seconde phase ne garantissant pas la minimalitçe en nombre de mançuvres,

22 14 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE la derniçere phase est appliquçee aæn d'çeliminer d'une maniçere alçeatoire certaines mançuvres "inutiles". Dans la seconde phase, les auteurs utilisent les courbes de Reeds et Shepp ë64ë pour la gçençeration des plus courts chemins entre deux conægurations quelconques dans un plan dçemuni de tout obstacle. Ces courbes ont la particularitçe de ne contenir que deux points de rebroussement au maximum et pas plus de cinq composantes de type segment de droite ou arc de cercle. Se basant sur l'optimalitçe de ces courbes, ë50ë introduit la notion de mçetrique basçee sur les plus courts chemins et dçecrit son utilisation pour l'çevitement d'obstacles. Cette notion a çetçe reprise par la suite par Mirtich et Canny ë57ë qui proposent çegalement une mçethode de planiæcation basçee sur la transformation de solutions holonomes, dites squelettes, en solutions non-holonomes. Une seconde approche proposçee par Barraquand et Latombe ë6ë dans le cadre de la minimisation du nombre de mançuvres, se base sur la recherche dans un graphe correspondant ça une discrçetisation rçeguliçere de l'espace des conægurations en cellules tri-dimensionnelles. Le graphe de recherche est gçençerçe incrçementalement ça partir de la conæguration initiale en appliquant des mouvements nonholonomes simples de type dçeplacement longitudinal ou giration. L'obtention de ces chemins est eæectuçee par application de contr^oles maximaux en translation et en rotation sur le robot. L'çevitement des obstacles est abordçe par un test de collision au niveau de chaque cellule atteinte. Ce test est eæectuçe directement dans l'espace de travail du robot gr^ace ça une reprçesentation en bitmap. Enæn, notons que l'optimalitçe des solutions gçençerçees par un tel planiæcateur est sensible ça la taille des cellules, et qu'une discrçetisation æne de la grille conduit la mçethode ça n'^etre applicable eæcacement que pour des environnements de taille rçeduite. Cas sans mançuvres Le problçeme de planiæer un chemin sans mançuvres dans le plan çetçe abordçe pour la premiçere fois par Dubins ë23ë dans le cas oçu l'environnement ne contient aucun obstacle. L'auteur montre qu'une solution de longueur minimale et de courbure majorçee est dçeterminçee parmi deux familles de courbes, chacune composçee de la concatçenation d'au plus trois portions çelçementaires de type arc de cercle ou segment de droite. Plus exactement, la premiçere famille est dçeænie par une sçequence de trois arcs de cercles tangents en leur points d'intersection et chacun de rayon çegal ça l'inverse de la borne sur la courbure. La seconde famille quant ça elle, est constituçee d'un arc de cercle tangent ça la conæguration de dçepart, suivi d'un segment de ligne de droite qui ça son tour est connectçe ça un arc de cercle tangent ça la conæguration ænale. Si les courbes de Dubins sont assez simples ça gçençerer, elles ne peuvent ^etre utilisçees comme telles quand l'environnement est encombrçe d'obstacles. La prise en compte des obstacles dans un processus de planiæcation de chemins sans ma-

23 Planiæcation de trajectoires 15 nçuvre a çetçe abordçee pour la premiçere fois par Laumond ë47ë pour un robot circulaire se dçeplaçcant dans un environnement dçecrit par des polygones gçençeralisçes. L'auteur prçesente un algorithme basçe sur la construction de l'espace des centres de girations du robot et le calcul des solutions ça partir de la concatçenation de segments de droite et d'arcs de cercle de rayon minimum. Dans ë35ë, Jacobs et Canny prçesentent une mçethode approchçee de planiæcation de chemins sans mançuvres pour un mobile ponctuel en prçesence d'obstacles polygonaux. L'idçee principale de l'algorithme s'appuie sur le rçesultat çetabli par Fortune et Wilfong dans ë27ë, et consiste ça explorer un graphe dont les nçuds correspondent ça des points de discrçetisation de l'espace des contacts du robot et les arcs ça des chemins canoniques basçes sur les courbes de Dubins. 1.4 Planiæcation de trajectoires Dans les sections prçecçedentes, uniquement les aspects liçes ça la planiæcation de chemins en prçesence d'obstacles æxes et ça d'çeventuelles contraintes cinçematiques holonomes ou non-holonomes ont çetçe abordçes. Ainsi que nous l'avons vu, les chemins constituant des solutions ça ce problçeme sont gçençeralement dçecrits par des sçequences continues de conægurations ou de positions du robot reliant ses deux conægurations initiale et ænale. Aucune information quant ça l'indexage ou l'exçecution de cette sçequence par rapport au temps n'a çetçe fournie. La paramçetrisation par rapport au temps d'un chemin donnçe constitue en elle m^eme un problçeme de planiæcation oçu les solutions sont dçecrites en terme de trajectoires, i.e. courbes continues en fonction du temps. Aussi, l'introduction d'un paramçetre temporel dans la description des mouvements d'un robot permet de traiter de maniçere naturelle la prçesence de certaines contraintes çemanant de la dynamique du robot ou encore de son environnement èi.e. quand celui-ci comporte des obstacles mobiles par exempleè. Pour le problçeme de planiæcation en prçesence d'obstacles mobiles, nous renvoyons le lecteur ça ë43ë ou ça ë28ë pour une synthçese des travaux dans ce domaine. Nous prçesentons dans la suite les principales mçethodes de planiæcation de trajectoires sous contraintes dynamiques du robot. Ces mçethodes peuvent ^etre classçees en deux catçegories selon qu'elles s'intçeressent ça la planiæcation le long d'un chemin connu a priori ou non. La plupart de ces mçethodes ont çetçe proposçees pour le contr^ole de robots de type manipulateurs quand les trajectoires solutions recherchçees sont optimales èou sous-optimalesè par rapport au temps, et que les contraintes dynamiques correspondent aux valeurs limites des paramçetres de forcesècouples de contr^ole des diæçerents actionneurs ou des vitesses et accçelçerations du robot.

24 16 PLANIFICATION DE MOUVEMENT : SYNTH ç ESE Planiæcation de trajectoire le long d'un chemin donnçe Dans ce premier contexte, Bobrow et al. proposent dans ë9ë une mçethode d'optimisation consistant ça reformuler le problçeme de planiæcation dans un espace de phases bi-dimensionnel dçeæni sur la distance parcourue par le point de rçefçerence de la pince sur le chemin initial dçecrit dans l'espace cartçesien èabscisse curviligneè et la vitesse correspondante. Les çequations de mouvement du manipulateur sont exprimçees en fonction des diæçerentes phases et les bornes des forcesècouples ça appliquer sur les actionneurs sont utilisçees pour construire une courbe critique dans l'espace des phases constituant une limite sur la vitesse de la pince. La planiæcation d'une trajectoire optimale est transformçee en la recherche d'un ensemble de points de transition permettant de permuter entre l'application d'accçelçerations maximales et de dçecçelçerations maximales de maniçere ça fournir ça l'extrçemitçe du manipulateur une vitesse maximale bornçee par la courbe critique des vitesses. Cette recherche est basçee sur un processus itçeratif combinant des intçegrations en avant et en arriçere des çequations de mouvement du robot en considçerant comme extrçemitçes initiales les diæçerents points de permutation et les çetats initial et ænal considçerçes. Dans l'algorithme original dçecrit dans ë9ë, les accçelçerationsèdçecçelçerations appliquçees sont dçeterminçees ça chaque instant par la saturation de l'un des actionneurs du manipulateur èi.e. application d'une valeur limite de la force ou du couple correspondantè et l'ajustement des autres paramçetres du vecteur de contr^ole par rapport ça cette valeur. D'autres variantes de cet algorithme ont çetçe proposçees par ailleurs telles que dans ë74ë oçu Shin et McKay utilisent une paramçetrisation du chemin initial dans l'espace articulaire du robot et non plus dans l'espace cartçesien, ou dans ë73ë oçu Shiller et Lu reformulent le choix des accçelçerations ça appliquer de maniçere ça prendre en compte l'existence d'çeventuels points critiques de la courbe limite des vitesses. Ceux-ci correspondant soit ça des points oçu plusieurs accçelçerations peuvent ^etre considçerçes, soit ça des points tels que le choix d'une accçelçeration ou dçecçelçeration maximale n'est plus valide èviolation de la courbe limiteè. Approches directes La dçecomposition du problçeme de planiæcation en deux phases : recherche de chemin et recherche de trajectoire telle que l'on vient de dçecrire, peut conduire ça un schçema de rçesolution de la planiæcation eæcace dans le sens oçu chaque çetape aborde une variçetçe de contraintes diæçerentes èçevitement d'obstacles et contraintes cinçematiques pour la premiçere, et contraintes dynamiques pour la deuxiçemeè. Toutefois, certains facteurs liçes ça une prise en compte sçeparçee des contraintes peuvent ^etre pçenalisants dans certains cas. Un facteur important concerne le fait que contraindre a priori la gçeomçetrie de la solution recherchçee peut rendre diæcile, voire impossible, la vçeriæcation des contraintes dynamiques. Aussi, l'optimalitçedu