9 2 Polynômes et Complexes

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1 BCPST Polynômes et Complexes I Ensemble des nombres complexes A) Partie réelle et imaginaire, conjugué Dénition : Im(z) z 0 Re(z) Im(z) z z C,!(x, y) R, z = x + iy. Par dénition : x = Re(z) et y = Im(z). On dénit alors le conjugué de z par : z = x iy z C, Re(z) = (z + z) Im(z) = (z z) i z C, z = z z = z Im(z) = 0 z R z = z Re(z) = 0 z ir z, z C, Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ) z + z = z + z z, z C, zz = z.z z 0, = z z = z z B) Module Dénition : Module Soit z C, on dénit le module de z par : où x = Re(z), y = Im(z) z = x + y = zz z C, z = z z, z C, zz = z z z 0 = z z = z z z, z C, z + z z + z Inégalité triangulaire z + z = z + z z = 0 ou α R +, z = αz z z z z Inégalité triangulaire renversée C. Courant page

2 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc C) Notation exponentielle Proposition et dénition : Notation exponentielle Soit z C Notons x = Re(z), y = Im(z). z = x + y = { x = cos θ!θ R[π], y = sin θ On obtient donc z = cos θ + i sin θ que l'on note exp(iθ) ou e iθ. Dénition : Argument Im(z) z z C,!(ρ, θ) R + R[π], z = ρe iθ z O Arg(z) Re(z) On a alors : z = ρ et θ est appelé argument de z et est noté Arg(z). z C, Arg(z) = Arg(z)[π] z, z C, Arg(zz ) = Arg(z) + Arg(z )[π] z, z C, Arg( z z ) = Arg(z) Arg(z )[π] z C, n N, Arg(z n ) = n Arg(z)[π] Formules de d'euler cos(θ) = eiθ + e iθ sin(θ) = eiθ e iθ i θ, θ R, e i(θ+θ ) = e iθ e iθ Formule de Moivre : θ R, n N, (e iθ ) n = e inθ soit cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) n θ R, (e iθ ) = e iθ = e iθ θ R, e iθ = θ πz θ, θ R, e iθ = e iθ θ = θ [π] D) Exponentielle complexe Dénition : Soit z C. On écrit z = a = ib avec (a, b) R. On dénit exp(z) = exp(a). exp(ib) = exp(a)(cos(b) + i sin(b)) C. Courant page

3 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc Soit (z, z ) C. On a : exp(z + z ) exp(z ) exp(z ) II Rappels de trigonométrie A) Relations élémentaires Remarque: sin α α - O cos α - tan α { cos( θ) = cos θ sin( θ) = sin θ { cos(θ + π) = cos θ sin(θ + π) = sin θ { cos(θ + π ) = sin θ sin(θ + π { ) = cos θ cos( π θ) = sin θ sin( π θ) = cos θ cos θ + sin θ = B) Quelques formules à connaître cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Remarque: En combinant ces formules, on peut obtenir : cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = (cos(a b) cos(a + b)) sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a b)) Remarque: Puis en posant : { p = a + b q = a b { a = p+q b = p q cos p + cos q = cos p + q cos p q cos p cos q = sin p + q sin p q sin p + sin q = sin p + q cos p q sin p sin q = sin p q cos p + q, C. Courant page 3

4 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc On obtient : Pour a, b, a + b π [π], tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b sin(θ) = sin θ cos θ cos(θ) = cos θ sin θ cos θ = + cos(θ) sin θ = cos(θ) C) Fonctions trigonométriques inverses Arccos θ = Arccos(x) x Soit x [, ]. L'équation cos(θ) = x admet une innité de solutions. Il en existe une unique dans l'intervalle [0, π], notée Arccos(x). Les autres solutions sont alors : {Arccos(x) + kπ, Arccos(x) + kπ, k Z} Arcsin x θ = Arcsin(x) Soit x [, ]. L'équation sin(θ) = x admet une innité de solutions. [ Il en existe une unique dans l'intervalle π, π ], notée Arcsin(x). Les autres solutions sont alors : {Arcsin(x) + kπ, π Arcsin(x) + kπ, k Z} Arctan θ = Arctan(x) x Soit x R. L'équation tan(θ) = x admet une innité de solutions. ] Il en existe une unique dans l'intervalle π, π [, notée Arctan(x). Les autres solutions sont alors : {Arctan(x) + kπ, k Z} C. Courant page 4

5 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc D) Résolution d'équation Soit a, b, c R. On cherche à résoudre l'équation en θ : a cos θ + b sin θ = c Méthode On pose r = a + b. { cos φ = a On déterminer φ tel que r sin φ = b. r On est alors ramené à : r cos(θ φ) = c On résout en discutant suivant les valeurs de c r. E) Linéarisation Méthode Soit p, q N. On cherche à écrire une expression de la forme cos p θ sin q θ sous la forme d'une combinaison linéaire de cos et sin. Remplacer cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i Développer l'expression en utilisant entre autre le binôme de Newton. Regrouper les termes pour obtenir cos(kθ) et sin(kθ) pour k N C. Courant page 5

6 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc III Révisions sur les polynômes On note K = R ou C. K[X] est l'ensemble des polynômes. A) Dénition Dénition : Un polynôme est déni par P = a k X k où (a 0,..., a n ) K n+. Les coecients (a 0, a..., a n ) sont appelés coecients du polynôme. Si a n 0, n est le degré du polynôme et a n son coecient dominant. Dénition : Polynôme nul Soit P = a k X k K[X]. On dit que P est le polnôme nul (P = 0) si et seulement si tous ses coecients sont nuls. On convient que dans ce cas, deg(p ) =. Dénition : Polynômes pairs et impairs Un polynôme est dit pair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre impair sont nuls. Il s'écrit : P = a k X k. P est pair si et seulement si P (X) = P ( X) Un polynôme est dit impair si et seulement si tous ses coecicents d'ordre pair sont nuls. Il s'écrit : P = a k+ X k+. P est impair si et seulement si P (X) = P ( X) B) Degré Soient P, Q K[X]. deg(p + Q) max(deg(p ), deg(q)) De plus, si deg(p ) deg(q) alors deg(p + Q) = max(deg(p ), deg(q)) deg(p Q) = deg(p ) + deg(q) Si deg(p ), deg(p ) = deg(p ) C) Racines Soit P K[X] et a K. P (a) = 0 Q K[X], P = (X a)q. On dit que a est racine de P. P (a) = P (a) = = P (k ) (a) = 0 Q K[X], P = (X a) k Q On dit que a est racine d'ordre au moins k C. Courant page 6

7 BCPST 95 Polynômes et Complexes Lycée du Parc Théorème : Soit P K[X]. Si P est non nul et admet au moins n racines distinctes alors deg(p ) n. Si deg(p ) n et P admet au moins n + racines distinctes alors P = 0. Si P admet un nombre inni de racines alors P = 0. D) Décomposition d'un polynôme Soit P C[X]. n N, λ K, (α,..., α n ) K n, Dans cette écriture : n est le degré de P λ est son coecent dominant. P = λ n (X α i ) i= (α,... α n ) sont les racines de P comptées avec ordre de multiplicité (et donc non nécessairement distinctes). Remarque: Soit P = On remarque : i= n i= a k X k = a n α k = a n a n n i= (X α i ). α k = ( ) n a 0 a n = ( ) n P (0) a n C. Courant page 7

8 BCPST Polynômes et complexes Que dit un mathématicien imaginaire à une femme réelle? Viens danser. Exercice : Déterminer les racines carrées de + i 3 + 4i Exercice : Soit n un entier non nul. ) Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation z n = est { exp(i kπ } ), k 0, n n ) Déterminer l'ensemble des solution de l'équation n z k = 0 3 ) Soit a un complexe non nul de module ρ et d'argument θ et n un entier non nul. Résoudre l'équation z n = a Exercice 3: Soit C n = D n = cos kx S n = k cos kx T n = sin kx k sin kx Calculer C n, S n, D n et T n. (indication : on pourra s'intéresser à C n + is n ; on pourra ensuite essayer de dériver C n et S n par rapport à x). Exercice 4: Le but de cet exercice est de prouver la relation : cos π 7 cos π 7 + cos 3π 7 = C. Courant Exercices : I

9 BCPST 95 Exercices : Polynômes et complexes Lycée du parc On pose z = e iπ 7. ) Calculer z 6 z 5 + z 4 z 3 + z z +. ) En déduire : z 3 z + z = z 3 ( 3 ) Soit u un complexe de module, diérent de, montrer : Re u 4 ) Conclure. ) = Exercice 5: Soit θ ]0, π[. On dénit la suite complexe (z n ) n N par : { z0 = ) Expliciter z n en fonction de n et θ. ) Pour n 0, on dénit Montrer : n N, z n+ = e iθ z n + ( eiθ ) S n (θ) = z 0 + z + + z n = S n (θ) = n + + ein θ z k sin ( n+ θ) sin ( ) θ 3 ) On pose, pour n 0, Montrer lim n T n (θ) = S n(θ) n + T n(θ) = 0 Exercice 6: On considère l'équation : ( ) ( + iz) 5 = ( iz) 5. ) Résoudre ( ) en donnant les solutions à l'aide de fonctions trigonométriques. Vérier que toutes les solutions sont réelles. ) Une autre méthode de résolution. a) Développer, réduire et ordonner ( ). b) Résoudre ( ) ( π ) ( ) π 3 ) En déduire une expression de tan et tan à l'aide de C. Courant Exercices : II

10 BCPST 95 Exercices : Polynômes et complexes Lycée du parc Exercice 7: ) Linéariser :cos 3 θ sin θ ) Exprimer tan 5θ en fonction de tan θ. 3 ) Résoudre cos(x) + 3 sin(x) =. 4 ) Résoudre l'équation : cos(x) + cos(3x) = 5 ) Résoudre l'équation : sin x + sin x cos x = 6 ) Résoudre l'équation : 3 sin(5x) = cos(x) cos(x) Exercice 8: Montrer : n N, ( ) n 3 k ( X) 3n k X k = ( X 3 ) n. k Exercice 9: Trouver tous les polynômes P C[X] tels que : (X + )P 6P = 0. Exercice 0: Soient a R, P R[X], Q = (X a)(p + P (a)) P + P (a). Montrer que a est zéro au moins triple de Q. Exercice : Soit a N. Soit le polynôme P a = X 3 (a + a)x +. On cherche a tel que P a admette trois racines dans Z (éventuellement confondues ). On suppose qu'un tel entier a existe. Soient alors t, t, t 3 les trois racines entières de P a avec t t t 3. ) Que valent t t t 3 et t + t + t 3? ) En déduire t < 0 < t t 3 < t. 3 ) Montrer que t = puis en déduire t et t 3. 4 ) Justier que P a(t ) = 0. En déduire a. 5 ) Réciproquement, montrer que a convient C. Courant Exercices : III

11 BCPST 95 Exercices : Polynômes et complexes Lycée du parc Exercice : On dénit une suite de polynômes (S n ) n N de R[X] en posant : { S0 = 0, S = ) a) Calculer S et S 3. n N, S n+ = XS n+ S n b) Montrer que S n est de degré n pour tout n. c) Déterminer le coecient dominant de S n pour n. d) Etudier la parité de S n. ) a) Montrer : n N, θ R, S n (cos θ) sin θ = sin(nθ). En déduire S n (0). b) Soit n N. Montrer que S n est le seul polynôme P de R[X] vériant : c) Soit n N. Montrer : θ R, P (cos θ) sin θ = sin(nθ) θ R \ πz, (cos θ )S n(cos θ) + 3 cos θs n(cos θ) (n )S n (cos θ) = 0 En déduire une relation entre S n, S n et S n. 3 ) a) Déterminer les racines de S n qui sont éléments de ], [. b) En déduire la factorisation de S n dans R[X]. c) Montrer que la somme des racines de S n est nulle et calculer leur produit C. Courant Exercices : IV