CI-4 PRÉVOIR ET SUPPRIMER LES

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1 CI-4 LES CONTRAINTES DE MONTAGE D UN SYSTÈME. Objectifs ANALYSER - OPTIMISER A la fin de la séquence de révision, l élève doit être capable de B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement Déterminer les conditions géométriques associées à l hyperstatisme C2 Procéder à la mise en oeuvre dšune démarche de résolution analytique Résoudre le système associé à la fermeture cinématique et en déduire le degré de mobilité et dšhyperstatisme Table des matières 1 Graphe de structure d un mécanisme Rappel Nombre cyclomatique Différents types de chaînes de solides Approche cinématique Fermetures cinématiques Mobilité cinématique Approche statique Application du PFS Degré d hyperstatisme Liaisons équivalentes : Liaisons en parallèle Liaison en série Dualité entre les relations cinématiques et statiques Cinématique/hyperstatisme Analyse globale du degré d hyperstatisme Influence de l hyperstatisme au montage Utilisation pratique de la théorie des mécanismes Ce qu il faut retenir (fondamental) Quelle démarche choisir? Comment rendre un mécanisme isostatique? Cas des problèmes plans 12 GERMAIN GONDOR

2 1. GRAPHE DE STRUCTURE D UN MÉCANISME 2/12 Nomenclature p : Nombre de sommets ou de pièces (ensembles cinématiquement équivalents) N L : Nombre d arcs ou de liaisons ν : Nombre cyclomatique m c : Mobilité cinématique m u : Mobilité cinématique utile du système m i : Mobilité cinématique interne I c(i) : Nombre d inconnues cinématiques de la liaison i I s(i) : Nombre d inconnues statiques de la liaison i I c : Nombre d inconnues cinématiques I s : Nombre d inconnues statiques r c : Rang du système d équations cinématiques r s : Rang du système d équations statiques h : degré d hyperstatisme HYPOTHÈSES : Dans toute cette séquence, nous considérerons que : Les pièces sont indéformables, Les liaisons mécaniques entre les solides sont considérées comme parfaites (sans jeu et sans frottement). Les contacts sont maintenus, Les effets dynamiques sur l ensemble des pièces sont négligés, de telle sorte que le principe fondamental de la statique puisse s appliquer. 1 Graphe de structure d un mécanisme 1.1 Rappel A toute pièce (ou classe d équivalence cinématique), on associe un sommet : p est le nombre de sommets A toute liaison, on associe un arc : N L est le nombre d arcs EXELE : Robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm) FIGURE 1 Robot de manutention de type SCARA utilisé pour déplacer des pièces ou des outils d un poste de travail T1 vers le poste de travail T2 FIGURE 2 Schéma cinématique d un robot de manutention de type SCARA 1 p=5 n=6 FIGURE 3 Graphe de structure d un robot de manutention de type SCARA

3 1. GRAPHE DE STRUCTURE D UN MÉCANISME 3/ Nombre cyclomatique A partir d un graphe de structure, il est possible de dégager différentes boucles utiles pour une étude géométrique et cinématique. Le nombre de boucles indépendantes à prendre en considération est déterminé par le nombre cyclomatique ν. On peut montrer que ce nombre cyclomatique vaut : EXELE : Robot SCARA : ν= N L }{{} nombre de liaisons p +1 }{{} nombre de pièces ν=6 5+1=2 Le mécanisme comporte donc 2 boucles indépendantes. Par exemple : FIGURE 4 Boucle 1 FIGURE 5 Boucle 2 FIGURE 6 Combinaison des deux autres boucles 1.3 Différents types de chaînes de solides Mécanisme en chaîne ouverte DÉFINITION: Chaîne ouverte On appelle chaîne ouverte une chaîne de n+1 solides assemblés par n liaisons en série. REMARQUE: Il n y a pas de cycle :ν=n L p+1=n (n+1)+1= L 1 : Pivot (O 1, #» z ) L 21 : Pivot (O 1, #» z ) L 32 : Pivot (O 2, #» z ) L 43 : Pivot (O 3, #» z ) L 54 : Pivot (O 3, #» z ) p=6 N L =5 ν= Mécanisme en chaîne fermée simple DÉFINITION: Chaîne fermée On appelle chaîne fermée une chaîne ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux. Les n+1 solides sont donc reliés par n+1 liaisons.

4 1. GRAPHE DE STRUCTURE D UN MÉCANISME 4/12 REMARQUE: Une chaîne fermée forme 1 cycle :ν=n L p+1=n+1 (n+1)+1=1 Le schéma cinématique ci-après représente une ponceuse vibrante électro-portative. Elle est animée par un moteur électrique dont le rotor entraîne en rotation l arbre d entrée 2 du mécanisme de transformation de mouvement. La rotation continue du moteur est ensuite transformée en rotation alternative de faible débattement par l ensemble constitué de la noix 3 et du balancier 4. Ce dernier est lié par frettage à l arbre de sortie de la ponceuse, guidé par un roulement à billes radial et une douille à aiguilles. La feuille abrasive est fixée sur le patin souple lié à l arbre de sortie. La partie arrière du carter contient le système de commande et d alimentation du moteur électrique. L 21 : Pivot (K, #» x 1 ) L 32 : Pivot glissant (B, #» x 1 ) L 43 : Pivot glissant (B, #» x 1 ) L 41 : Pivot (C, #» z 1 ) p=4 N L =4 ν=1 L L 32 3 L 43 L Mécanisme en chaîne complexe DÉFINITION: Chaîne fermée complexe Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes fermées imbriquées L 1 : Pivot (O 1, #» z ) L 21 : Hélicoïdale (O 2, #» z ) L 3 : Hélicoïdale (O 3, #» z ) L 2 : Pivot glissant (N 2, #» z ) L 32 : Pivot (O 1, #» z ) L 43 : Ponctuelle de normale (I, #» z ) L 54 : Hélicoïdale (O 5, #» z ) L 52 : Pivot glissant (N 5, #» z ) L 42 : Pivot (O 4, #» z ) p=6 N L =9 ν=4 L 3 3 L 43 4 L 1 L 2 L 32 L 42 1 L 21 2 L 52 5 L 54 REMARQUE: Dans la suite de ce cours, les mécanismes étudiés seront en chaîne fermée simple ou complexe.

5 2. APPROCHE CINÉMATIQUE 5/12 2 Approche cinématique But : Dégager le nombre de paramètres cinématiques à imposer afin de déterminer toute la cinématique et déduire les lois entrées-sorties. 2.1 Fermetures cinématiques Considérons un mécanisme comportant : p solides I c inconnues cinématiques de liaisons ν boucles indépendantes N L I c = i=1 I c(i) I c(i) nombre d inconnues cinématiques de la liaison i La fermeture cinématique associée à chaque boucle indépendante fournit au maximum 6 équations par boucle : } } } } { } {V /p 1 + {V p 1/p {V 2/1 + {V 1/ = En écrivant lesνfermetures cinématiques, on obtient un système linéaire homogène comportant 6.ν équations à I c inconnues tel que : I c inconnues { }} { 6.ν équations = }{{} I c inconnues 2.2 Mobilité cinématique Définition DÉFINITION: Mobilité cinématique m c La mobilité cinématique correspond au nombre de paramètres cinématiques à imposer afin d obtenir une solution unique : m c = I c r c La mobilité cinématique = nombre d inconnues cinématiques - rang du système d équations 2 Cas : m c = : la seule solution au système d équations est la solution triviale, toutes les inconnues cinématiques sont nulles et la chaîne est immobile. Elle ne transmet aucun mouvement. m c > : Il existe alors m c inconnues principales qui peuvent prendre des valeurs arbitraires, on dit que le mécanisme est à m c degrés de liberté. C est-à-dire qu il faut fixer les valeurs de m c paramètres pour connaître à tout instant la configuration complète du système.

6 2. APPROCHE CINÉMATIQUE 6/12 C est le seul cas intéressant du point de vue de l étude des mécanismes. Le système linéaire peut se mettre sous la forme ci contre. I c { }} { r c inconnues m { }} { c { }} { Le rang du système d équations cinématiques r c correspond au nombre d équations indépendantes permettant de déterminer les inconnues cinématiques de liaisons. Afin de le déterminer, il est nécessaire d entamer une résolution partielle du système en mettant en évidence les inconnues cinématiques à imposer pour résoudre complètement ce système. r c équations = Loi(s) " entrée-sortie " L analyse du mécanisme dans son environnement industriel permet de choisir les paramètres d entrées dont la valeur est imposée ainsi que les paramètres de sortie. DÉFINITION: loi(s) entrée-sortie On appelle " loi(s) entrée-sortie ", la (ou les) relation(s) implicite(s) liant les paramètres cinématiques d entrée e i, les paramètres cinématiques de sortie s i et les données géométriques G i. Paramètre d entrée m c paramètres au maximum Mécanisme F(e i, s i, G i )= Paramètre de sortie A choisir parmi les r c = I c m c inconnues restantes Mobilité cinématique utile DÉFINITION: Mobilité cinématique utile m u La mobilité cinématique utile m u d un mécanisme est égale au nombre de paramètres cinématiques nécessaires à la détermination des lois entrée-sortie. C est aussi égal au nombre de paramètres d entrée Mobilité cinématique interne Les pièces internes à un mécanisme peuvent présenter des mouvements qui n ont aucune influence sur les lois entrée-sortie. DÉFINITION: Mobilité cinématique interne m i La mobilité cinématique interne m i est égale au nombre d inconnues cinématiques à imposer afin que toutes les pièces internes au mécanisme soient dans une position parfaitement définie Synthèse La mobilité cinématique se compose donc des mobilités cinématiques utiles et internes. m c = m u + m i mobilité cinématique = mobilité cinématique utile + mobilité cinématique interne

7 3. APPROCHE STATIQUE 7/12 3 Approche statique But : Savoir si les efforts extérieurs étant connus, on est capable de déterminer toutes les actions mécaniques de liaisons. Si tel n est pas le cas, alors le mécanisme est dit " hyperstatique ". 3.1 Application du PFS On se place dans une position d équilibre du mécanisme avec des liaisons parfaites. Une étude dynamique serait décrite de la même manière. Considérons un mécanisme comportant : p solides I s inconnues d actions mécaniques de liaisons des efforts extérieurs connus I s(i) nombre d inconnues d actions mécaniques de la liaison i N L I s = i=1 I s(i) REMARQUE: Dans le cas d une liaison parfaite i I c(i) + I s(i) = 6 Grâce au PFS : (p 1) isolements peuvent être effectués en ôtant le bâti. 6.(p 1) équations sont obtenues au maximum. Le système linéaire peut se mettre sous la forme : Second membre non nul contenant I s inconnues les efforts extérieurs { }} { {}}{ 6.(p 1) équations = }{{} I s inconnues 3.2 Degré d hyperstatisme DÉFINITION: Degré d hyperstatisme Le degré d hyperstatisme caractérise le nombre d inconnues d actions mécaniques à imposer afin de résoudre le système linéaire. h=i s r s Degré d hyperstatisme = nombre d inconnues d AM - rang du système d équations 2 cas : h= : Le système est dit isostatique. La seule connaissance des actions mécaniques extérieures suffit à déterminer les actions mécaniques de liaisons en appliquant le PFS. h> : Le système est dit hyperstatique de degré h. Certaines actions mécaniques de liaisons ne peuvent pas être déterminées. L analyse de ces systèmes sera développée plus tard.

8 4. LIAISONS ÉQUIVALENTES : 8/12 I s { }} { r s inconnues h { }} { { }} { r s équations = 4 Liaisons équivalentes : On parle de liaison équivalente si la liaison obtenue appartient aux liaisons normalisées. 4.1 Liaisons en parallèle L associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d hyperstatisme dit " interne " s effectue de la même manière que précédemment. L 1 L 2 P 1 P 2 L i L n L eq P 1 P Approche cinématique Pour que la liaison équivalentel eq entre P 1 et P 2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que son torseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle : { { { } V L eq P 2 /P 1 }= V L 1 P 2 /P 1 }=...= V L n P 2 /P Approche statique Isoler P 1 permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique) appliqué à P 1 nous permet d écrire que : { { { } F L eq P 2 P 1 }= F L 1 P 2 P 1 }+...+ F L n P 2 P 1

9 5. DUALITÉ ENTRE LES RELATIONS CINÉMATIQUES ET STATIQUES 9/ Liaison en série P 1 L 1 P 2 P n 1 L n P n P 1 L eq P n Approche cinématique Par composition des vecteurs vitesses : { { { } V L eq P n /P 1 }= V L n 1 P n /P n 1 }+...+ V L 1 P 2 /P Approche statique Par application du successives du PFS à n 1 solide i : } } { } {F Pi 1 Pi + {F Pi+1 Pi = } } {F Pi+1 Pi = {F Pi Pi 1 On en déduit donc que : { { { } F L eq P n P 1 }= F L 1 P n P n 1 }=...= F L n P 2 P 1 5 Dualité entre les relations cinématiques et statiques 5.1 Cinématique/hyperstatisme Cinématique hyperstatisme m u équations lient exclusivement les efforts d entrée-sortie (efforts extérieurs) m i équations sont du type = (équations issues du PFS). D autre part l application du PFS conduit à r s équations permettant de déterminer les inconnues de liaisons (équations principales). On admet : m c = m u + m i = 6.(p 1) r s La diminution du rang statique r s provient uniquement des mobilités cinématiques Hyperstatisme cinématique h (degré d hyperstatisme) équations de cinématique sont dégénérées. On admet : h=6.ν r c

10 5. DUALITÉ ENTRE LES RELATIONS CINÉMATIQUES ET STATIQUES 1/12 La diminution du rang cinématique r c provient uniquement de l hyperstatisme. 5.2 Analyse globale du degré d hyperstatisme Les relations déterminées jusqu à présent permettent de trouver le degré de mobilité cinématique ou le degré d hyperstatisme à partir d une étude analytique aboutissant aux équations cinématiques ou statiques du système. Souvent, on recherche uniquement le caractère isostatique ou hyperstatique d un mécanisme. L écriture des systèmes d équations est alors superflue. Une méthode de détermination globale du degré d hyperstatisme est préférée. En reprenant les équations précédentes, on obtient : h=6.ν r c = 6.ν+m c I c h=6.ν+m c I c et h=i s r s = I s (6.(p 1) m c ) h=m c 6.(p 1)+ I s Ces formules permettent d éviter de devoir écrire le système d équation cinématique ou statique et de déterminer le rang du système d équations. Méthode de détermination du degré d hyperstatisme par une analyse globale : La mobilité cinématique est déterminée par une analyse qualitative du mécanisme (à partir du schéma cinématique). C est la principale difficulté de cette méthode (intuition). Le bilan du nombre total de solides, d inconnues cinématiques et d actions mécaniques de liaisons se fait à partir du graphe de structure (des liaisons). Le degré d hyperstatisme h du mécanisme est alors déterminé avec la formule ci-dessus. REMARQUE: Cette méthode ne permet pas d identifier les inconnues indéterminables, juste de les dénombrer. 5.3 Influence de l hyperstatisme au montage La connaissance du degré d hyperstatisme est importante dans l étude des mécanismes. En effet, un hyperstatisme induit des contraintes géométriques lors du montage des différentes pièces. Il s agit d être capable de fermer la (ou les) boucle(s). Pour illustrer ce propos sur une chaîne fermée simple, la démarche consiste à briser artificiellement un solide, puis à essayer de repositionner les 2 parties en face l une de l autre afin de réaliser la liaison encastrement. Ceci consiste à positionner le solide 2 sur le solide 1 via la liaisonl 1, puis le solide 3 sur le solide 2 via la liaisonl 2... et on arrive au solide positionné sur le solide N via la liaison L N. 2 cas peuvent alors se produire :

11 6. UTILISATION PRATIQUE DE LA THÉORIE DES MÉCANISMES 11/12 soit le nombre de mobilité des liaisons en série vaut 6 (m c = 6), et alors, il est possible de bouger comme on le souhaite le solide dans l espace, et donc de le positionner parfaitement par rapport au solide 1 (on peut recoller sans problème les deux morceaux même si les pièces intermédiaires ont des défauts ce qui est le cas dans la " vraie vie " après l opération de fabrication) soit le nombre de mobilité de la liaison en série est inférieur strictement à (m c < 6). Dans ce cas, à cause des défauts de fabrication des pièces intermédiaires, le solide ne peut pas se retrouver dans la bonne position par rapport au solide 1. Technologiquement : soit on réalise des liaisons avec jeu, ce qui permet de retrouver un peu de mobilité et donc de compenser les défauts de fabrication afin de monter l ensemble des pièces (attention, les jeux ne sont pas mis au hasard, ils sont déterminés analytiquement en fonction des défauts de fabrication et réduit le plus possible afin de conserver une " qualité acceptable " du produit), soit on déforme les pièces lors du montage, ce qui a pour effet de rigidifier le mécanisme (il se déformera moins en utilisation) et d augmenter les efforts de contact dans les liaisons (les calculs sont faits en modélisant les pièces par des solides déformables et nécessitent la connaissance des défauts de fabrication). 6 Utilisation pratique de la théorie des mécanismes 6.1 Ce qu il faut retenir (fondamental) Point de vue Cinématique Statique Inconnues I c = N L i=1 I c(i) I s = N L i=1 I s(i) Nombre d équations E c = 6.ν E s = 6.(p 1) Équations indépendantes ou rang du système. r c 6.ν r s 6.(p 1) Degré de mobilité / de statisme m c = I c r c h=i s r s Indice de mobilité I c E c E s I s Dégradation du système d équations h=e c r c = 6.ν r c m c = E s r s = 6.(p 1) r s Calcul de h par les formules globales Dualité cinématique/statique h=m c + 6.ν I c h=m c 6.(p 1)+ I s I s + I c = 6.N L 6.2 Quelle démarche choisir? A priori 2 possibilités : l approche globale en utilisant directement les équations reliant mobilités, hyperstatisme et nombres d inconnues. La seule difficulté consiste à déterminer les mobilités du mécanisme (m c = m u + m i ) avec : m u, le nombre de mobilités dites utiles du modèle (paramètres de mouvements que l on retrouve dans les relations E/S, et qui sont directement liés à la fonction principale du système) ; elles sont, généralement, clairement identifiées dans le sujet m i, le nombre de mobilités internes, mobilités qui correspondent à des mouvements possibles de pièces à l intérieur du mécanisme même lorsque les mobilités utiles sont bloquées. Si elles sont souvent faciles à identifier, il existe de nombreux cas où il est nécessaire d avoir une certaine expérience pour les détecter (il faut les " voir " à partir du schéma cinématique)

12 7. CAS DES PROBLÈMES PLANS 12/12 Donc par cette méthode, le risque est de sous évaluer les mobilités internes, ce qui revient à sous évaluer le degré d hyperstaticité. Par contre elle est extrêmement rapide, mais elle ne permet que de déterminer m c et h. l approche analytique en écrivant le système d équations cinématiques ou statiques. L écriture des équations de cinématique se fait bien plus rapidement que l écriture des équations de statique. A partir de l analyse cinématique, on identifie clairement les mobilités (internes et utiles) du modèle, mais on ne fait que déterminer le degré d hyperstaticité (la modification du modèle afin de baisser le degré d hyperstaticité n est pas réellement possible). Par contre, l approche statique permet d identifier clairement les inconnues des torseurs statiques en relation avec l hyperstatisme ce qui donne la possibilité de modifier le modèle pour abaisser h, mais les mobilités ne sont pas clairement identifiées. Stratégie au concours Le choix d une ou autre méthode dépend fortement de ce que l on cherche, du temps imparti pour trouver le résultat, et de ce qui est imposé dans le sujet. La méthode la plus rapide reste la méthode globale, mais les résultats à obtenir sont dépendants de vos facultés (" innées et acquises ") à comprendre le fonctionnement du modèle à partir du schéma cinématique. Les approches analytiques sont probablement plus sûres quant à la détermination de m c et h (à condition qu il n y ait pas de fautes de calculs), mais elles sont également beaucoup plus lentes et fastidieuses. L approche analytique cinématique est plus courte que l approche analytique statique. Elle permet d identifier clairement les mobilités, mais ne permet pas de " jouer " avec l hyperstatisme, contrairement à l approche statique. Si dans le sujet, il est demandé de dimensionner les liaisons, l approche statique est obligatoire (et il est indispensable de faire intervenir les efforts extérieurs, voire même de se placer en dynamique si les quantités d inertie peuvent influer sur les inter-efforts de liaisons, pour déterminer les inconnues des torseurs des inter-efforts du système en fonctionnement). Dans ce cas, comme toutes les équations sont déjà écrites, il ne reste plus qu à analyser le système d équations pour déterminer l hyperstatisme et les mobilités. 6.3 Comment rendre un mécanisme isostatique? La méthode la plus classique consiste à supprimer les inconnues hyperstatiques, donc à rajouter des degrés de liberté dans une ou plusieurs liaisons. 7 Cas des problèmes plans Dans le cas d une modélisation plane, les développements précédents restent valables, mais on ne peut écrire que trois équations à partir des fermetures torsorielles. On obtient donc les relations : par l approche cinématique : h=m c + 3.ν I c par l approche statique : h=m c 3.(p 1)+ I s Attention, I c et I s correspondent aux inconnues cinématiques et statiques des " torseurs plans ". REMARQUE: le degré d hyperstatisme avec une modélisation plane et avec une modélisation spatiale peuvent diverger. Il est nécessaire de préciser votre point de vue (plan ou spatial). Sauf indication contraire explicite, on calcule un degré spatial.