Fonction logarithme népérien

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1 Fonction logrithm népérin. L fonction logrithm népérin. Lin vc l fonction ponntill On sit qu l fonction ponntill st strictmnt croissnt sur t à vlurs dns 0 ;. Ainsi pour tout nombr rél 0, il ist un uniqu nombr rél b tl qu b y b y b Définition : L fonction logrithm népérin, noté, st l fonction défini sur 0 ;, qui à tout nombr rél 0 ssoci l uniqu solution d l éqution y d inconnu. L écritur d n d sns qu lorsqu.. Conséquncs Ls propriétés suivnts décout dirctmnt d l définition ci-dssus. ()Pour tous nombrs réls 0 t y, y = équivut à y =. ()Pour tout nombr rél 0, (3)Pour tout nombr rél, En fft, d près l définition, st l uniqu solution d l éqution d inconnu y, c st-à-dir qu y. (4) 0 (cr = 0 ) (cr = ) y (cr Cours Trminl ES E. Poulin O. Lguy Pg

2 ). Courb rprésnttiv d y = Propriété : (dmis) Dns un rpèr orthonormé, ls courbs rprésnttivs ds fonctions ponntills t logrithm népérin sont symétriqus pr rpport à l droit d éqution y y = y= Propriété : (dmis) L fonction logrithm népérin st continu t dérivbl sur 0;.. Rltions fonctionnlls. Logrithm d un produit Propriété 3 : Pour tout nombrs réls t b strictmnt positifs : b b Démonstrtion : A B On sit qu A B équivut à. Prnons 0 t b 0. Posons A b t B b. On b b b b t b. b b Comm, on donc b b. Logrithm d un invrs Propriété 4 : Pour tout nombr rél strictmnt positif : Démonstrtion : idé : On 0 t d utr prt Cours Trminl ES E. Poulin O. Lguy Pg

3 3. Logrithm d un quotint b Propriété 5 : Pour tout nombr rél t b strictmnt positif : b Démonstrtion Soit t b du réls strictmnt positifs : On d près l propriété 3. b b b Mis b b b d près l propriété 4. D où b 4. Logrithm d un puissnc Propriété 6 : Pour tout nombr rél strictmnt positif t pour tout ntir rltif n, on : n n Démonstrtion Pour n 0, Pour n 0, d près l propriété pour tout nombr strictmnt positif, on : 3 D mêm, 3 n d proch n proch, on n n Pour n 0, on not p l ntir tl qu p n n p p p p On : n Propriété 7 : 5. Logrithm d un rcin crré. Pour tout nombr rél strictmnt positif : Démonstrtion Ainsi, mis donc 3. Etud d l fonction Propriété :. Dérivé Pour tout nombr rél 0, Cours Trminl ES E. Poulin O. Lguy Pg 3

4 Démonstrtion : On not f l fonction défini sur 0 ; pr f. u Ctt fonction st d l form vc u. u S dérivé st donc f u' Comm f, donc f Ainsi, donc. Etud ds vritions Courb rprésnttiv. Propriété : L fonction logrithm népérin st strictmnt croissnt sur Pruv : Pour tout nombr rél 0, Comm 0, 0. Donc st strictmnt croissnt sur. 0; 0; 0 + A B Du tngnts prticulièrs L éqution d l tngnt T à l courb C u point A d bsciss st : y On n fft 0 t y. Donc T pour éqution y 0 soit Cours Trminl ES E. Poulin O. Lguy Pg 4

5 L éqution d l tngnt T à l courb C u point B d bsciss st : y On n fft t y y soit. Donc T pour éqution.3. Résolution d équtions t sign d Propriété : (démontrbl à prtir du théorèm vu dns l chpitr ds fonctions ponntills) Pour tout réls t b strictmnt positif : b ssi = b. b ssi b b ssi 0 b Conséqunc : Pour tout rél >0, 0 si, t sulmnt si 0 si, t sulmnt si 0 0 si, t sulmnt si D où l tblu d sign ci-dssous : Applictions : Résoudr dns ls équtions t inéqutions suivnts : , Cours Trminl ES E. Poulin O. Lguy Pg 5