GELE2511 Chapitre 1 : Signaux et systèmes
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- Arnaud Goulet
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1 GELE2511 Chapire 1 : Signaux e sysèmes Gabriel Cormier, Ph.D.,ing. Universié de Moncon Hiver 213 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
2 Inroducion Conenu Conenu Révision des conceps de base : période, déphasage Signaux communs Caracérisaion Classificaion Opéraions sur les signaux Sysèmes : définiions e propriéés Convoluion Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
3 Révision des conceps de signaux Signal sinusoïdal Signal sinusoïdal A x() = A cos(ω + φ) Ampliude A Temps (s) La période T : le emps nécessaire pour effecuer un cycle. T = 2π ω T = 1 f Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
4 Révision des conceps de signaux Forme complexe Forme complexe La forme générale pour représener un signal x() = A cos(2πf + φ) es : x() = Ae j(2πf +φ) où on uilise la relaion d Euler pour changer d une forme à l aure. Rappel : la relaion d Euler es : e ±jθ = 1 ± θ = cos(θ) + j sin(θ) avec les équivalences suivanes : cos(θ) =.5(e jθ + e jθ ) sin(θ) = j.5(e jθ e jθ ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
5 Révision des conceps de signaux Forme complexe Forme complexe Représenaion géomérique : j Im 1 θ 1 Re j Exemple : e jπ/2 = j Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
6 Révision des conceps de signaux Combinaison de signaux périodiques Période commune de signaux Pour un signal conenan plusieurs sinusoïdes, La période commune T es le plus pei commun muliple (PPCM) des périodes individuelles. La fréquence fondamenale f = 1/T e es égale au plus grand diviseur commun des fréquences. Le rappor enre les périodes doi êre un nombre raionnel. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
7 Révision des conceps de signaux Combinaison de signaux périodiques Exemple Trouver la période commune du signal x() = 2 sin( 2 3 ) + 4 cos( 1 2 ) + 4 cos( π). On a ω 1 = 2 3. La période es : T 1 = 2π ω 1 = 3π On a ω 2 = 1 2. La période es : T 2 = 2π ω 2 = 4π On a ω 3 = 1 3. La période es : T 3 = 2π ω 3 = 6π Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
8 Révision des conceps de signaux Combinaison de signaux périodiques Exemple Trouver la période commune du signal x() = 2 sin( 2 3 ) + 4 cos( 1 2 ) + 4 cos( π). On a ω 1 = 2 3. La période es : T 1 = 2π ω 1 = 3π On a ω 2 = 1 2. La période es : T 2 = 2π ω 2 = 4π Le PPCM de 3π, 4π e 6π es 12π. On a ω 3 = 1 3. La période es : T 3 = 2π ω 3 = 6π Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
9 Signaux analogiques communs Signaux analogiques communs Foncion échelon Foncion signe Impulsion Foncion recangulaire Foncion riangulaire Sinus cardinal (sinc) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
10 Signaux analogiques communs Échelon u() Foncion échelon u() 1 Ampliude.5 Temps (s) À =, on uilise u() =.5. u() = { si < 1 si > Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
11 Signaux analogiques communs Échelon u() Échelon : uilié L échelon es uile pour modéliser un inerrupeur, par exemple lorsqu on acive une source de ension à un momen donné. = 2 V R V R = V s u( 2) V s + R 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
12 Signaux analogiques communs Échelon u() Échelon : exemple L échelon peu êre uilisé pour créer un pulse : Le pulse es : x() = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
13 Signaux analogiques communs Échelon u() Échelon : exemple L échelon peu êre uilisé pour créer un pulse : u( 1) 1 Le pulse es : x() = u( 1) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
14 Signaux analogiques communs Échelon u() Échelon : exemple L échelon peu êre uilisé pour créer un pulse : 1 3 u( 1) u( 3) Le pulse es : x() = u( 1) u( 3) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
15 Signaux analogiques communs Échelon u() Échelon : exemple L échelon peu êre uilisé pour créer un pulse : 1 3 x() Le pulse es : x() = u( 1) u( 3) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
16 Signaux analogiques communs Échelon u() Exemple : allumer ou éeindre une foncion Écrire la foncion suivane à l aide d échelons. 2 f() Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
17 Signaux analogiques communs Échelon u() Exemple On a rois segmens : 1 À =, on allume la foncion 2, e on l éein à = 1. 2 À = 1, on allume la foncion 2 + 4, e on l éein à = 3. 3 À = 3, on allume la foncion 2 8, e on l éein à = 4. Ce qui donne : f() = 2[u() u( 1)] + ( 2 + 4)[u( 1) u( 3)] + (2 8)[u( 3) u( 4)] Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
18 Signaux analogiques communs Signe sgn() Foncion signe sgn() La foncion signe es semblable à la foncion échelon, mais avec une différence imporane. 1 sgn() 1 Temps (s) sgn() = { 1 si < 1 si > Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
19 Signaux analogiques communs Signe sgn() Foncion signe sgn() On peu écrire la foncion signe en foncion de l échelon selon l équaion suivane : sgn() = u() u( ) Auremen, la foncion échelon peu êre exprimée avec la foncion signe : u() = sgn() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
20 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() 1 La foncion impulsion es uilisée pour représener des pulses ayan une durée rès coure. 2 C es un ouil mahémaique, rès uile pour analyser des sysèmes. 3 On va donc développer une définiion d une impulsion. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
21 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() On approxime l impulsion par une foncion riangulaire. 1 ɛ ɛ ɛ Le riangle es symérique par rappor à l origine. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
22 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() Quelques observaions : La superficie de cee foncion es : A = 1 2 (2ɛ)1 ɛ = 1 Pour obenir une impulsion idéale, il fau que ɛ. E alors : L ampliude end vers. La largeur end vers. La superficie es consane e égale à 1. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
23 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() On uilise la noaion δ() pour représener l impulsion. La définiion es : { δ()d = 1 si = δ() si On appelle aussi ceci la foncion de Dirac. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
24 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() Une propriéé imporane : si f() es coninue au poin a. f()δ( a)d = f() = f(a) =a Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
25 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Exemple Évaluer la foncion 12 (5 + 3)δ( 2) d. On applique la définiion : 12 (5 + 3)δ( 2) d = = 5(2) + 3 = 13 =2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
26 Signaux analogiques communs Foncion impulsion Foncion impulsion δ() : Représenaion graphique On représene graphiquemen une impulsion par une flèche vericale. Exemple : δ( 2) 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
27 Signaux analogiques communs Foncion recangulaire Foncion recangulaire rec() Perme de décrire un pulse recangulaire. T 2 { 1 < T/2 rec(/t ) = = u( + T/2) u( T/2) > T/2 T es la largeur oale du pulse. T 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
28 Signaux analogiques communs Foncion riangulaire Foncion riangulaire ri() Perme de décrire un pulse riangulaire. T ri(/t ) = T { 1 < T > T La largeur es 2T. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
29 Signaux analogiques communs Sinus cardinal Sinus cardinal sinc() 1 sinc().5 Temps (s) T sinc() = sin() ou sinc() = sin(π) π Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
30 Signaux analogiques communs Sinus cardinal Sinus cardinal sinc() 1 sinc().5 Temps (s) T sinc() = sin() Définiion du manuel ou sinc() = sin(π) π Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
31 Caracérisaion des signaux Valeur moyenne Caracérisiques des signaux Quelques méhodes communes pour caracériser des signaux : Valeur moyenne Valeur rms Énergie Puissance Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
32 Caracérisaion des signaux Valeur moyenne Valeur moyenne La valeur moyenne d un signal x() périodique es obenue selon : x = 1 T T x()d On appelle parfois la valeur moyenne la valeur DC. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
33 Caracérisaion des signaux Valeur RMS Valeur RMS La valeur efficace (ou RMS en anglais, Roo Mean Square) es une mesure de l ampliude d un signal variable. La définiion es : 1 T x rms = x() T 2 d C es la racine carrée de la valeur moyenne du signal au carré. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
34 Caracérisaion des signaux Valeur RMS Exemple Calculer la valeur efficace du signal x() = A cos(ω). On applique la définiion : x 2 rms = 1 T La valeur efficace es : = A2 T T T x() 2 d = 1 T T A 2 cos 2 (ω)d 1 A2 (1 + cos(2ω)) d = 2 2 x rms = A 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
35 Caracérisaion des signaux Puissance e énergie Puissance e énergie Pour calculer la puissance, on suppose que le signal x() es une ension appliquée à une résisance : puis l énergie oale du signal es : E = On normalise en uilisan R = 1 : p() = x()2 R p()d = 1 R E = x() 2 d v 2 ()d Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
36 Caracérisaion des signaux Puissance e énergie Puissance e énergie La puissance d un signal es l énergie normalisée sur une période : P = 1 x() 2 T Pour un signal non périodique : P = lim T T T 1 T x() 2 d Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
37 Caracérisaion des signaux Puissance e énergie Puissance e énergie Un signal où es un signal d énergie. E = x() 2 d < Un signal où P = es un signal de puissance. lim 1 T T T x() 2 d < Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
38 Classificaion des signaux Classificaion des signaux On peu classifier les signaux selon ceraines propriéés. Symérie Paire Impaire Demi-onde e quar d onde Causal Déerminise Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
39 Classificaion des signaux Symérie Symérie paire Une foncion es paire si : f() = f( ) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
40 Classificaion des signaux Symérie Symérie paire Une foncion es paire si : f() = f( ) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y. copie miroir auour de y Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
41 Classificaion des signaux Symérie Symérie impaire Une foncion es impaire si : f() = f( ) c es-à-dire qu on peu faire une roaion de 18 auour de l origine e rerouver le signal original. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
42 Classificaion des signaux Symérie Symérie impaire Une foncion es impaire si : f() = f( ) c es-à-dire qu on peu faire une roaion de 18 auour de l origine e rerouver le signal original. roaion auour de l origine Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
43 Classificaion des signaux Symérie Symérie demi onde Une foncion possède de la symérie demi onde si : f() = f( T/2) c es-à-dire qu on peu déplacer d une demi période, puis faire une image miroir auour de l axe x e rerouver le signal original. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
44 Classificaion des signaux Symérie Symérie demi onde Une foncion possède de la symérie demi onde si : f() = f( T/2) c es-à-dire qu on peu déplacer d une demi période, puis faire une image miroir auour de l axe x e rerouver le signal original. déplacer d une demi-période Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
45 Classificaion des signaux Symérie Symérie demi onde Une foncion possède de la symérie demi onde si : f() = f( T/2) c es-à-dire qu on peu déplacer d une demi période, puis faire une image miroir auour de l axe x e rerouver le signal original. image miroir auour de x déplacer d une demi-période Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
46 Classificaion des signaux Symérie Symérie quar d onde Possède de la symérie demi-onde. La demi période es aussi symérique. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
47 Classificaion des signaux Symérie Symérie quar d onde Possède de la symérie demi-onde. La demi période es aussi symérique. Symérie Symérie quar d onde Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
48 Classificaion des signaux Symérie Symérie quar d onde Possède de la symérie demi-onde. La demi période es aussi symérique. Symérie Pas de symérie Symérie quar d onde Pas de symérie quar d onde Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
49 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Décomposiion symérique Tou signal peu êre décomposé en une somme d un signal pair e impair : x() = x e () + x o () Les composanes son calculées selon : x e () =.5(x() + x( )) x o () =.5(x() x( )) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
50 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple Décomposer le signal suivan en ses composanes paires e impaires. 4 x() 1 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
51 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple Décomposer le signal suivan en ses composanes paires e impaires. 4 x() 1 2 On calcule x( ) : 4 x( ) -2-1 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
52 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple Décomposer le signal suivan en ses composanes paires e impaires. 4 x() 1 2 On calcule x( ) : x( ) On uilise x() e x( ) pour calculer les composanes paires e impaires. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
53 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
54 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
55 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() + 4 x( ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
56 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() + 4 x( ) x e () Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
57 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() 4 x() + 4 x( ) x e () Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
58 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() 4 x() + 4 x( ) x( ) x e () Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
59 Classificaion des signaux Décomposiion symérique Exemple (2) 4 x() 4 x() + 4 x( ) x( ) x e () x o () Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
60 Classificaion des signaux Aures classificaions Aures classificaions 1 Un signal es di causal s il es non nul pour > seulemen. Un signal es ani-causal s il es non nul pour < seulemen. 2 Un signal es di déerminise si on peu le décrire à l aide d une équaion mahémaique. Un signal es aléaoire ou sochasique s il exise une inceriude sur sa valeur en foncion du emps. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
61 Opéraions sur les signaux Inversion emporelle Inversion emporelle Faire une image miroir d un signal auour de l axe y. Le nouveau signal x 1 () es : x 1 () = x(τ) = x( ) τ= Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
62 Opéraions sur les signaux Inversion emporelle Inversion emporelle Faire une image miroir d un signal auour de l axe y. Le nouveau signal x 1 () es : x 1 () = x(τ) = x( ) τ= 2 x() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
63 Opéraions sur les signaux Inversion emporelle Inversion emporelle Faire une image miroir d un signal auour de l axe y. Le nouveau signal x 1 () es : x 1 () = x(τ) = x( ) τ= 2 x() 2 x( ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
64 Opéraions sur les signaux Échelonnage Échelonnage emporel Éirer ou comprimer un signal x 1 () = x(τ) = x(a) τ=a a > 1 : compression a < 1 : éiremen Signal original Signal compressé x(2) Signal éiré x(.25) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
65 Opéraions sur les signaux Décalage Décalage emporel Avancer ou rearder un signal x 1 () = x(τ) τ= = x( ) > : rearder < : avancer Signal original x( 2) x( + 1) Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
66 Opéraions sur les signaux Méhode générale Méhode générale Pour un signal : On résou pour isoler : y() = x(a b) τ = a b = τ + b a L axe τ es l axe du signal x(), e l axe devien le nouvel axe pour y(). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
67 Opéraions sur les signaux Méhode générale Exemple Soi le signal x() suivan. Tracer le graphe de y() = x(/3 2). 2 x() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
68 Opéraions sur les signaux Méhode générale Exemple On effecue la ransformaion : /3 2 = τ = 3τ + 6 Le nouvel axe es : 2 x() τ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
69 Opéraions sur les signaux Méhode générale Exemple On effecue la ransformaion : /3 2 = τ = 3τ + 6 Le nouvel axe es : x() Le nouveau graphe : y() τ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
70 Opéraions sur les signaux Transformaion en ampliude Transformaion en ampliude De façon générale, un signal x() peu êre modifié en ampliude à un signal x 1 () selon : x 1 () = Ax() + B où A e B son des consanes réelles. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
71 Sysèmes Sysèmes Bloc mahémaique qui ransforme un signal Enrée x() e sorie y() Caracérisé par une réponse impulsionnelle h() On éudie ici des sysèmes linéaires x() Sysème h() y() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
72 Sysèmes Linéarié Linéarié Un sysème linéaire possède 2 caracérisiques imporanes : 1 Homogénéié 2 Addiivié Aussi, l invariance dans le emps es imporane (pour l analyse de signaux). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
73 Sysèmes Linéarié Homogénéié Une variaion d ampliude à l enrée produi la même variaion d ampliude à la sorie. Si x() Sysème h() y() Alors kx() Sysème h() ky() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
74 Sysèmes Linéarié Addiivié Si on applique deux signaux (ou plus) à un sysème, la sorie es la somme des réponses individuelles. Si x 1 () Sysème h() y 1 () x 2 () Sysème h() y 2 () Alors x 1 () + x 2 () Sysème h() y 1 () + y 2 () Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
75 Sysèmes Linéarié Aures propriéés Invariance dans le emps Linéarié saique Fidélié sinusoïdale Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
76 Sysèmes Propriéés des sysèmes Commuaivié L ordre des sysèmes n es pas imporan. x() Sysème A h 1 () Sysème B h 2 () y() x() Sysème B h 2 () Sysème A h 1 () y() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
77 Sysèmes Propriéés des sysèmes Superposiion On peu décomposer un signal, puis addiionner les sories décomposiion x() x 1 () + x 2 () + x 3 () Sysème h() Sysème h() Sysème h() y 1 () + y 2 () + y 3 () synhèse y() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
78 Sysèmes Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle Perme de calculer la sorie d un sysème pour n impore quelle enrée. x() = δ() Sysème h() y() = h() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
79 Sysèmes Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
80 Convoluion Convoluion Pour calculer la sorie d un sysème, éan donné l enrée e la réponse impulsionnelle, on uilise une opéraion appelée convoluion. y() = La noaion es : h(λ)x( λ)dλ = y() = x() h() C es l opéraion de base de raiemen de signaux. h( λ)x(λ)dλ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
81 Convoluion Explicaion Explicaion de la convoluion À l aide de la superposiion : Si x 1 () = δ() alors y 1 () = h() Si x 2 () = δ( 2) alors y 2 () = h( 2) Si x 3 () = δ( 5) alors y 3 () = h( 5) Le sysème : h() = e. h() Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
82 Convoluion Explicaion Applicaions de pulses x 3 () = δ( 5) x 2 () = δ( 2) x 1 () = δ( ) y 1 () = h( ) y 2 () = h( 2) y 3 () = h( 5) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
83 Convoluion Explicaion Décomposiion de l enrée 1 Enrée x().5 w =.5 w =.25 w =.1 w = Décomposer l enrée en une somme de pulses. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
84 Convoluion Explicaion Décomposiion de l enrée L enrée es décomposée en une somme de pulses : x() = k= où k es l indice du pulse. w es la largeur du pulse u( (k.5)w) u( (k +.5)w) w x(kw) w x(kw) représene l ampliude du pulse On allume à (k.5)w par un échelon On éein à (k +.5)w par un échelon Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
85 Convoluion Explicaion Décomposiion de l enrée 1.5 w =.5.5 w =.1 w = Des pulses de coure durée peuven êre approximés par des impulsions w = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
86 Convoluion Explicaion Décomposiion de l enrée Un pulse es approximé par une impulsion selon la relaion suivane : δ( kw) = du( kw) d = lim w u( (k.5)w) u( (k +.5)w w L enrée x() es donc approximée par une somme d impulsions : x() = w x(kw) δ( kw) k= Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
87 Convoluion Explicaion Convoluion Par invariance dans le emps (si x() = δ(), y() = h()), la sorie es : y() = w x(kw) h( kw) k= Dans la limie où w dλ, la somme devien une inégrale, y() = x(λ)h( λ)dλ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
88 Convoluion Explicaion Résumé Chaque enrée peu êre approximée par une somme de pulses. Les pulses son approximés par des impulsions. Chaque impulsion produi une réponse h(). La sorie oale es la somme des sories. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
89 Convoluion graphique Convoluion graphique La convoluion peu se faire de façon graphique. Perme de mieux idenifier les inervalles e foncions. Méhodologie sandard à suivre. On uilise un exemple pour démonrer. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
90 Convoluion graphique Convoluion graphique Exemple : x() h() h() x() Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
91 Convoluion graphique Convoluion graphique 1. Idenifier les poins criiques. Les poins où il y a une disconinuié dans la foncion. h() : {, 1} x() : {, 2} On addiionne ous les poins ensembles : y() : { +, + 2, 1 +, 1 + 2} : {, 1, 2, 3} Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
92 Convoluion graphique Convoluion graphique 2. Effecuer le changemen de variable λ 2 λ h(λ) = 2λ + 2 x( λ) = 1.5 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
93 Convoluion graphique Convoluion graphique 3. Effecuer l inégrale : y() de à L aire commune sous les deux courbes déermine les bornes e l inégrale. h(λ) = 2λ + 2, x( λ) = 1.5, λ λ 2 1 e donc : y 1 () = = h(λ)x( λ)dλ ( 2λ + 2)(1.5)dλ = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
94 Convoluion graphique Convoluion graphique 3. Effecuer l inégrale : y() de 1 à L aire commune sous les deux courbes déermine les bornes e l inégrale. h(λ) = 2λ + 2, λ 1 x( λ) = 1.5, λ λ e donc : y 1 () = = 1 = 1.5 h(λ)x( λ)dλ ( 2λ + 2)(1.5)dλ Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
95 Convoluion graphique Convoluion graphique 3. Effecuer l inégrale : y() de 2 à λ L aire commune sous les deux courbes déermine les bornes e l inégrale. e donc : h(λ) = 2λ + 2, 2 λ 1 x( λ) = 1.5, 2 λ 1 y 1 () = = 1 2 h(λ)x( λ)dλ ( 2λ + 2)(1.5)dλ = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
96 Convoluion graphique Convoluion graphique 4. Résula oal : , 1 y() = 1.5, , 2 3 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
97 Convoluion graphique Convoluion graphique 5. Graphe de la soluion y() Temps (s) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapire 1 Hiver / 75
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