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1 Chapitre I - arithmé La base décimale Quand on représente un nombre entier, positif, on utilise généralement la base 10. Cela signifie que, de la droite vers la gauche, chaque nombre indiqué compte 10 fois plus que le précédent, sachant que l on utilise 10 chiffres allant de 0 à 9 Exemple Le nombre noté 17 vaut +10x7+100x1 Par la suite, un nombre en base 10 sera noté (17) 10 si une ambiguïté est possible Formalisation mathéma : Si a 0,a 1, a,, a n sont n+1 chiffres de 0 à 9, le nombre noté (a n a n-1 a n- a a 1 a 0 ) 10 vaut a 0 +a 1 x10+a x100+ +a n-1 x10 n-1 +a n x10 n BASES La base binaire Quand on représente un nombre en informa on utilise généralement la base. Cela signifie que, de la droite vers la gauche, chaque nombre indiqué compte fois plus que le précédent, sachant que l on utilise chiffres allant de 0 à 1 Exemple Le nombre noté vaut 1+x1+4x1+8x1+16x0+3x0+64x1 Par la suite, un nombre en base sera noté ( ) si une ambiguïté est possible Il ne faudra pas confondre (101) et (101) 10 Formalisation mathéma : Si a 0,a 1, a,, a n sont n+1 chiffres de 0 à 1, le nombre noté (a n a n-1 a n- a a 1 a 0 ) 10 vaut a 0 +a 1 x+a x4+ +a n-1 x n-1 +a n x n 1

2 Chapitre I - arithmé Conversion binaire décimald Conversion de binaire en décimal Pour convertir rapidement un binaire en décimal, il est primordial de connaître PAR CŒUR les premières puissances de, dans l ordre et le désordre Il suffit ensuite de lire le nombre de la DROITE vers la GAUCHE en multipliant le chiffre (bit) donné par la puissance correspondant à sa position et en additionnant les résultats intermédiaires Exemple : si a=( ) =18 6 =64 5 =3 4 =16 3 =8 =4 1 = 0 =1 1x18= 18 0x64=0 1x3=3 0x16=0 0x8=0 1x4=4 1x= 0x1= Le nombre cherché est donc ( ) 10 =(166) 10 Avec un peu d expérience (donc de travail), on peut convertir de tête facilement tout nombre écrit en binaire pas trop long. On s entraînera à reconnaitre rapidement les nombres suivants :

3 Chapitre I - arithmé Conversion décimald cimal-binaire Conversion d entier décimal en binaire Pour cette conversion, la méthode appliquée utilisera la division entière par, c est-à-dire avec reste. Exemple On veut convertir (79) 10 en binaire, on fait des divisions successives En 79 il y a 39 fois, il reste 1 : 79=39x+1 En 39 il y a 19 fois, il reste 1 : 38=19x+1 En 19 il y a 9 fois, il reste 1 : 18=9x+1 En 9 il y a 4 fois, il reste 1 : 9=4x+1 En 4 il y a fois, il reste 0 : 4=x+0 En il y a 1 fois, il reste 0 : =x1+0 En 1 il y a 0 fois, il reste 1 : 1=x0+1 On s arrête une fois le 0 atteint et le nombre binaire cherché se lit en prenant les restes dans l ordre de calcul. (79) 10 = ( ) Preuve En effet, on a calculé, en remontant les calculs : 79=39x+1=(19x+1)x+1=((9x+1)x+1)x+1= =((((((x0+1)x+0)x+0)x+1)x+1)x+1)x+1 =1x 6 +0x 5 +0x 4 +1x 3 +1x +1x 1 +1x 0 =( ) En pra On remarquera qu il suffit de diviser par, sans le reste et de constater si le résultat est pair ou impair. Et on écrit les restes (1 ou 0) de la DROITE vers la GAUCHE. Suivant les exercices ou le cadre du travail, on rajoutera des 0 devant le nombre pour avoir un entier sur 8 bits, 1 bits etc (79) 10 =( ) Exercices 1) Convertir les nombres binaires suivants en décimal : ; ; ; ) En observant les valeurs décimales successives des nombres 1;11;111;1111;11111 devinez la valeur de ( ) (0 chiffres) 3) Convertir les nombres entiers suivants en binaire : 6;7;99;101;1001;513 4) On dispose de 8 bits pour coder un nombre. Quel est le plus petit entier positif et le plus grand entier positif que l'on puisse représenter? En général les machines (les ordinateurs) disposent de mémoires sur 16 bits et les plus récentes sur 3 bits. Dans ces deux cas, quel est le plus grand entier positif représentable? Quelle conclusion en tirez-vous? 3

4 Chapitre I - arithmé Méthode d addition Pour additionner nombres binaires, on les positionne l un au dessus de l autre comme des décimaux (aligné à DROITE) et on fait comme pour une addition classique, sachant que 1+1=0 avec une retenue égale à 1 Et 1+1+1=1 avec une retenue égale à 1 Exemple Pour calculer retenue Nombre Nombre Addition des binaires Exercices 1) Effectuer et vérifier les résultats des additions binaires suivantes : (10111) +(11101) ( ) +( ) (111111) +(1) (111111) +(11) (111111) +(111) ) Effectuer les additions suivantes après avoir converti les nombres en binaire (5) 10 +(15) 10 (17) 10 +(3) 10 (17) 10 +(1) 10 Résultat On peut vérifier : =+4+3= = = = =163=

5 Chapitre I - arithmé Méthode de multiplication La méthode de multiplication utilisée avec les entiers s applique aussi en binaire, encore plus simplement puisque la seule table à retenir est: 0x0=0, 0x1=1, 1x0=0 et 1x1=1 Exemple Multiplions (101) par (1101) : Retenues 1 1 nombre 1 (n 1 ) nombre (n ) er chiffre de n ème chiffre de n Multiplication en binaire Exercices 1) Effectuer et vérifier les résultats des multiplications binaires suivantes : (10111) x(11) ( ) x(1101) (111111) x(10) (111111) x(100) (111111) x(1000) ) Effectuer les multiplication suivantes après avoir converti les nombres en binaire () 10 x(16) 10 (17) 10 x(3) 10 (1) 10 x(7) 10 Addition ème chiffre de n Addition ème chiffre de n Addition La vérification se fait en convertissant : (101) = 1+4=5, (1101) =1+4+8=13 5x13=65 ( ) =1+64=65 5

6 Chapitre I - arithmé Le complément à Dans la suite nous considèrerons des nombres entiers représentés en base sur 8 bits, soit 8 chiffres 0 ou 1 On peut représenter ainsi 8 =56 nombres positifs différents, allant de 0 à 55 Mais on peut également définir une convention qui permettra par exemple de représenter les nombres allant de -18 à +17, c est le complément à, inventé pour que l addition continue à fonctionner sur ces représentations La première condition sur cette représentation est que le bit de poids fort (le plus à gauche) vaut 0 si le nombre est positif, 1 s il est négatif Méthode de détermination Pour représenter le complément à d un nombre positif, et obtenir ainsi son négatif on effectue les opérations suivantes : On inverse tous les chiffres (1 en 0, 0 en 1) On rajoute 1 au résultat On passe le bit de poids fort à 1 Représentation des négatifsn Exemple Soit 15=( ), on veut trouver l écriture de -15 en complément à 1) On inverse : ( ) donne ( ) ) On rajoute 1=( ) = Le nombre -15 se représente donc ( ) en complément à D ailleurs : = = sur 8 bits (15+(-15)=0) Attention, on reste bien sur 8 bits, ainsi le complément à de 0=( ) donne Inverse: = sur 9 bits, mais on ne considère pas le 9 ème bit, donc le résultat est bien =0, soit 0=-0 6

7 Chapitre I - arithmé La base 16 en informa En informa, la représentation binaire est celle utilisée par les ordinateurs, mais elle est peu lisible par les humains qui lui préfère la notation hexadécimale, plus facile à convertir en binaire que la décimale Elle utilise 16 chiffres : 0,1,,,9,A,B,C,D,E,F Ainsi (A) 16 =(10) 10 =(1010) (F) 16 =(15) 10 =(1111) Les chiffres hexadécimaux représentent donc tous les binaires sur 4 bits : Base 16:Hexadécimal Conversions binaire-héxadécimal Cette conversion se fait simplement en découpant le nombre binaire à convertir en paquet de 4, en commençant par la DROITE et en rajoutant éventuellement des 0, puis en utilisant le tableau de gauche. ( ) =( ) =(17B) 16 De même dans l autre sens, le nombre (ABC) 16 devient ( ) A B C D E F

8 Chapitre I - arithmé Exercices sur le complément à 1) Quelle sont les valeurs entières des binaire représentés par ( ) c,( ) c ; ( ) c en complément à deux. ) Codez sur 8 bits les entiers -75, -1 et -13 en appliquant la règle et en vérifiant que la séquence obtenue est correcte. 3) Faire l'addition de -3 et de +10 après avoir représenté ces nombres en complément à sur 8 bits. Vérifiez que le résultat est correct. 4) On dispose de 8 bits pour coder un nombre. Quel est le plus petit entier négatif et le plus grand entier positif que l'on puisse représenter? En général, les machines (les ordinateurs) disposent de mémoires sur 16 bits et les plus récentes sur 3 bits. Dans ces deux cas, quel est le plus petit entier négatif? 5) Soient deux nombres a=+95, b=+76, Codez a et b sur 8 bits en complément à. Calculez à partir du codage a+b. Codez ensuite b et calculez a+(-b). Que constatez vous? Quelle conclusion en tirez vous? Exercices 6) Convertissez en décimal les nombres binaires codés en complément à sur 8 bits: ( )c ; ( )c ; ( )c ; ( )c ; 7) Codez sur 16 bits en complément à le nombre Exercices sur l hexadécimal 1) Convertir les nombres binaires suivants en hexadécimal : ( ), ( ), (111111), ( ), ( ), ( ) ) Convertir les nombres hexadécimaux suivants en binaire puis en décimal : (AA) 16, (BAC) 16, (A) 16, (A) 16, (13) 16 3) Dans un logiciel comme Photoshop, les couleurs sont codées par 6 nombres hexadécimaux représentant les valeurs de Rouge, Vert, Bleu (RVB). Ainsi (FFFFFF) 16 représente le blanc et (000000) 16 le noir. Combien de couleurs différentes peut-on représenter dans ce mode? Combien de bits utilise ce codage? 8

9 Chapitre I - arithmé Nombres décimaux en base 10 Pour représenter les nombres décimaux, la notation 'a virgule' utilise les puissances négatives de 10. Ainsi 0,517 représente 5 dixièmes + 1 centième + 7 millièmes, soit Nombres décimaux en binaire De la même manière, en binaire 0,101 représente , On a : ,5 0,5 0,15 0,065 0,0315 0,01565 Rappel : 1 n n 3 Les nombres décimauxd Méthode de détermination de l'écriture binaire Pour déterminer en binaire l'écriture d'un décimal, on utilise cette méthode multiplier la partie décimale par si la partie entière est supérieur à 0, on rajoute 1 à l'écriture binaire sinon on rajoute 0 On recommence tant qu'il y a des chiffres derrière la virgule Ou que l'on n'a pas atteint le nombre de chiffres binaires souhaités Exemple partie décimale fois N en base 0, ,70315<1 0,0 0, , ,01 0,4065 0,815<1 0,010 0,815 1,65 1 0,0101 0,65 1,5 1 0, ,5 0,5<1 0, , , STOP 0, Ainsi, (0,351565) 10 =(0, ) 9

10 Chapitre I - arithmé Avec une partie entière Avec cette méthode, le nombre (101, ) 10 représente donc (5,351565) Problèmes de la notation binaire Avec cette notation, certains nombres décimaux ont une écriture binaire infinie Exemple : N=(0,) 10 partie décimale fois N en base 0, 0,4<1 0,0 0,4 0,8<1 0,00 0,8 1,6 1 0,001 0,6 1, 1 0,0011 0, 0,4<1 0, ,4 0,8<1 0, ,8 1,6 1 0, ,6 1, 1 0, , 0,4<1 0, ,4 0,8<1 0, ,8 1,6 1 0, aspects pras Conséquences Pour un ordinateur, le nombre 0, n'a pas de représentation finie, il est obligé de l'arrondir. Si on le considère avec 16 'bits' après la virgule, il vaut en fait (0, ) qui est égal à , , Si on fait sur tableur les valeurs de la suite u 0 =0,, u n+1 =6u n -1, on obtient : au lieu d'obtenir une valeur constante égale à 0, Soit (0,) 10 =(0, ) 10

11 Chapitre I - arithmé Conversion du binaire vers le décimal Pour convertir un nombre décimal binaire en décimal de base 10, il suffira de traiter sa partie décimale, puis de la diviser par n où n est le nombre de bits derrières la virgule. Exemple (0,100111) vaut, en base 10 : (100111) =1++4+3=39 Il y a 6 chiffres derrière la virgule 6 =64 Donc , , S'il y a une partie entière (devant la virgule), on la convertit à part Exemple (101,100111) =(5,609375) 10 Les nombres décimauxd Exercices 1) Codez sur 8 bits les nombres décimaux suivants : 0,1345 ; 0,3815 ; 0,99999; 0, ) Parmi les nombres précédents lesquels ont un développement décimal fini? Donnez la valeur approchée décimale des autres. 3) Convertissez en base 10 les décimaux binaires suivants (0, ) ; (0, ) (0, ) ; (0, ) 4) Codez sur 8 bits les nombres décimaux 0,10039 et 0,1004 ; Que constatez-vous? Quelle précision maximale peut-on obtenir sur un binaire décimal avec 8 bits derrière la virgule? Quelle précision aurait-on sur 3 bits? sur 64 bits? 5) Si on pouvait mémoriser les nombres suivants sur une infinité de bits, quelle serait sa valeur en base 10 : (0, )? (0, )? (0, )? 6) Convertissez 1/3 en binaire 11

12 Chapitre I - arithmé En binaire, il existe d'autres opérateurs que l'addition, la soustraction ou la multiplication Division par deux Nous avons vu que le décalage vers la GAUCHE équivaut à une division entière par ( ) = (1) 10 ( ) = (106) 10 =1/ ( ) = (53) 10 =106/ ( ) = (6) 10 =53/ Multiplication par deux De même le décalage vers la DROITE équivaut à une multiplication par ( ) =(19) 10 ( ) =(38) 10 ( ) =(76) 10 Le OU (OR), noté Le OU utilise les règles suivantes 1 0 = 0 1 = 1 1 = = 0 (au moins un 1) Ainsi = Autres opérateurs Le ET (AND), noté && Le ET utilise les règles suivantes : 1 && 0 = 0 && 1 = 0 && 0 = 0 1 && 1 = 1 ( '1' obligatoires) Ainsi && = Le ET est fortement utilisé dans la création de masques pour les réseaux Le OU exclusif (XOR) ou Le utilise les règles suivantes : 1 0 = 0 1 = = 0 0 = 0 (un et un seul 1) Ainsi = Le peut servir à inverser les bits =

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