ESA Concours 2013 d'admission dans les écoles du service de santé des armées. Catégorie baccalauréat - Sections : Médecine - Pharmacie.

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1 Mathématiqus - 1 ESA 1. Concours 13 d'admission dans ls écols du srvic d santé ds armés. Catégori baccalauréat - Sctions : Médcin - Pharmaci. Avrtissmnt : L'utilisation d calculatric, d règl d calcul, d formulair t d papir millimétré n'st pas autorisé. Il n sra pas fait usag d'ncr roug. Il sra tnu compt d la qualité d la présntation ds copis t d l'orthograph. Ls candidats traitront ls trois xrcics. Ls réponss ds xrcics n 1 t n (QCM) sront donnés sur un grill prévu à ct t. L'xrcic n 3 sra traité sur un copi à part. Exrcic 1. points. Pour chacun ds qustions, un sul ds quatr armations A, B, C ou D st xact. On dmand au candidat d'indiqur sans justication la répons qui lui parait xact n cochant sur la grill prévu à ct t. Tout répons just st compté +1point. Tout répons fauss st compté, 5 point. Un absnc d répons st compté point. Si l total st négatif, la not st ramné à. QCM 1 On considèr, dans l plan complx, ls points M t N d'axs rspctivs : z M = 1 + i t z N = 3 + i. L miliu I du sgmnt [MN] a pour imag, par la rotation d cntr O t d'angl π, l point J. L'ax d J st : 3 A. z J = i π. B. z J = i π 3. C. z J = i 1. D. z J = i 3π 4. ESSA 1-1

2 Mathématiqus - Répons C. Ax d I miliu d [MN] : z I = z M +z N = 1 + i. Puisqu J st l'imag d I par la rotation d cntr O t d'angl π 3 : i π 3 = z J z O z I z O Donc : z J = z I i π 3. Or : z I = 1 + i = i π 4, donc : zj = i ( π 3 + ) π 4 = i 1. QCM Un élèv s présnt à dux concours C 1 t C. Cs dux concours sont indépndants. Il a un chanc sur trois d réussir au concours C 1 t un chanc sur trois d réussir au concours C. La probabilité P pour qu l'élèv réussiss au moins un concours st : A. B. C. D Répons A. La probabilité qu'il réussiss au moins l'un ds concours st : P (C 1 C ). Or : P (C 1 C ) = P (C 1 ) + p(c ) P (C 1 C ) t comm ls probabilités sont indépndants : P (C 1 C ) = P (C 1 )P (C ), donc P (C 1 C ) = = 5 9. QCM 3 On considèr l'intégral : I = A. I = 1. B. I =. C. I = 1. D. I =. Répons C. x +x+1 = (x+1) x + x + 1 dx. Et un primitiv d ctt fonction st : x x+1, donc : ESSA 1 -

3 Mathématiqus - 3 I = x + x + 1 dx [ ] 1 = x + 1 = 1 QCM 4 L domain d dénition d la fonction f déni par f(x) = x 1 ln(x 1) st : A. ] ; + [. B. ]1 ; [ ] ; + [. C. ]1 ; + [. D. ] ; 1[ ]1 ; + [. Répons B. Il faut qu ln(x 1) soit déni donc : x 1 > c'st-à-dir x > 1. Et d plus il faut qu l dénominatur ln(x 1) soit non nul t donc x. D'où l'nsmbl d dénition : ]1 ; [ ] ; + [. QCM 5 Tout suit (u n ) avc n > tll qu : A. croissant. B. borné. C. convrgnt. D. divrgnt. Répons B. ( n ) n N décroît vrs. ( 1 n + 1) n N décroît t pour n = 1 ll vaut. Donc : n N, u n. n u n n st : QCM Un solution d l'équation diérntill y = 3y + 4 x st : A. 3x x. B. 4 3x 1. ESSA 1-3

4 Mathématiqus - 4 C. 4 3x 1 3. D. 4 x. Répons D. L'approch la plus simpl consist à tstr touts ls réponss proposés. Exrcic. points On considèr l nombr complx z = i ( ). 1. Écrir z sous form algébriqu. Rchrchons l'xprssion algébriqu d z. z = [ (1 3) + i(1 + ] 3) = (1 3) + i(1 3)(1 + 3) + i (1 + 3) = ( ) + i(1 3 ) 1( ) = 4 3 4i. Détrminr l modul t un argumnt d z. Calcul du modul d z. z = Détrminons un argumnt d z. Notons θ 1 un argumnt d z. ( 4 3) + ( 4) = 4 = 8 { cos θ1 = = 3 (1) sin θ 1 = 4 8 = 1 () D (1) nous déduisons qu'il xist k Z tl qu θ 1 = 5π + kπ ou θ 1 = + kπ t n tnant compt d () nécssairmnt θ 1 = + kπ ESSA 1-4

5 Mathématiqus En utilisant ls propriétés du modul t d l'argumnt d'un produit détrminr la form trigonométriqu d z. Arg(z ) = Arg(z) mod π donc Arg(z) = 1 mod π = mod π 1 z = z t comm z : z = z = 8 =. La form trigonométriqu d z st donc z = ( ( cos 4. En déduir la valur xact d cos ( 1 ) + i sin ) ( t sin ) 1 ( )] Par idntication ds partis rélls t imaginairs ds xprssions algébriqu t trigonométriqu d z { ( 1 3 = cos ) = sin ( ) D'où cos ( ) = 1 3 sin ( ) = 1+ 3 = (1 3) 4 = (1+ 3) 4 Exrcic 3. 8 points Soit f la fonction déni sur R par : f(x) = ( x 3 4x ) x. On désign par C f la courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthonormal (, I, J). (Unité graphiqu : cm). Vous justirz chacun d vos réponss. 1. Donnr l domain d dénition d la fonction f. f(x) = x3 4x x or x > donc f st déni sur R. ESSA 1-5

6 Mathématiqus -. Calculr f (x) n fonction d x. f st un produit d'un fonction polynomial t d l'invrs d la fonction xponntill touts dux dérivabls sur R, donc st dérivabl sur R. D plus pour tout x R : f (x) = ( 3x 4 x) x + (x 3 4x )( x ) = (x 8x) x (x 3 4x) x = [x 8x (x 3 4x )] x = ( x 3 + 1x 8x) x = x( x + 5x 4) x 3. Donnr l sign d la fonction g déni sur R par g(x) = x + 5x 4. Rchrchons ls racins d g. = b 4ac = 5 4 ( 1) ( 4) = 9 > donc g admt dux zéros distincts : x 1 = b a = 5 9 ( 1) = 4 Tablau d sign d g. L cocint dominant d g st 1 < : x = b + a = ( 1) = 1 x g (x) En déduir l sign d la fonction f. Tablau d sign d f. x x g(x) x f (x) ESSA 1 -

7 Mathématiqus Détrminr ls limits d la fonction f n + t n n justiant soignusmnt. Limit n +. Par comparaison d fonction polynomial t fonction xponntill : Limit n. x 3 4x lim x + x =. lim x x 3 4x = lim x + x 3 = t lim x x = + donc lim x f(x) =. Détrminr ls variations d f t drssr l tablau d variation complt d la fonction f. Tablau d variation d f. x f (x) f(x) Pour tout ntir naturl n, on pos I n = 7. Montrr qu I 1 = 1 1. Calculons I 1. x n x dx. I 1 = x x dx = [ (x + 1) x] 1 = 1 ( 1 ) = 1 Avc l'intégration par partis. ESSA 1-7

8 Mathématiqus - 8 Notons Donc : u(x) = x u (x) = 1 v (x) = x v(x) = x I 1 = uv = [uv] 1 u v = [ x x] 1 = [ x] 1 = + 1 ( 1) = 1 x On admt qu pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, I n = ni n Détrminr la valur xact d I t I 3. La suit (I n ) n N st déni par récurrnc. Donc I = I 1 1 = (1 1 ) 1 = 4 1 = 5 D mêm I 3 = 3I ( = 3 5 ) 1 = 1 ESSA 1-8

9 Mathématiqus Détrminr l'air, xprimé n cm, du domain délimité par l'ax ds abscisss, la courb C f t ls droits d'équation x = t x = 1. Puisqu f st positiv sur [; 1], l'air du domain délimité par l'ax ds abscisss, la courb C f t ls droits d'équation x = t x = 1 st l'intégral f(x) dx Calcul d l'intégral. f(x) dx = = = = (x 3 4x ) x dx x 3 x 4x x dx x 3 x dx x 3 x dx 4 4x x dx = I 3 4I ( = 1 ) ( 4 5 ) = 4 1 x x dx ESSA 1-9