MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

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1 MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n On considère l mrice A = , 8 ) Donner le form de A ) Donner l vleur de chcun des élémens 4, 3, ) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son form Exercice n Soi l mrice A = ) Compléer l écriure de A de form 4 3 vec : 3 = 5, 3 = 4, = 8 = ) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son form Exercice n 3. ) Donner une mrice don l rnsposée es égle à son opposée. ) Donnez l mrice A elle que pour ou indice i j vec, i 3 j 3, le erme ij soi donné pr l formule = i j ij Exercice n 4. 5 On donne A = 3 B 7 = 3. Clculez A + B, A B, 3A, 4B, 3A 4B Exercice n 5. x 5 On donne A = 0 x y 7 B = 3y. 4 ) Trouver x y pour que A ) Trouver x y pour que A 4B = 4 6 Exercice n 6. On considère les mrices A, B C définies pr Trouver deux réels x y els que xa + yb = C. 3 A = 4, B = C = Pge /

2 Exercice n 7. Effecuer les produis suivns lorsque c es possible. Lorsque c es impossible, dire pourquoi ) b) c) ( 4 5) 4 d) e) f) Exercice n 8. Clculer, puis comprer les produis A B B A 8 ) A = B 4 = 5 8 c) A = 5 3 b) 4 8 A = 3 9 Exercice n 9. Dns chcun des cs, clculer les produis A B B A. Quelle priculrié présene--il? 6 ) A = b) A = B 0 = 0 Exercice n 0. On considère l mrice A définie pr 6 Déerminer x pour que A = x A = où x es un réel. 3 Exercice n. Clculez comprez A AB B + + ( A B) + vec : 4 8 A = 3 9 Exercice n. Soi les deux mrices A = I = 0. b On se propose de rechercher s il exise une mrice c d elle que b A = I. c d ) Trduire ce églié pr un sysème de qure équions à qure inconnues ) Résoudre ce sysème b 3) Pour les vleurs rouvées,b,c, d, on pose A = c d Vérifier que A A = A A = I Pge /

3 Exercice n 3. Définir pour chque sysème l mrice A le veceur colonne C els que le sysème donné soi équivlen à l églié mricielle A X = C 5x 3y ) + =,3x 5,5y = ) x + y = 5 0, x + y = 7 y + z = 7 y = 5 3) 5x + y z = 8 4) y + 7z = x + 3y + 7z = x + y = 5 x + y + z = 5 + 6y = x + z + 3 5) 6) y + z = 7y + z = x y + 7 Exercice n On considère l mrice A = 8 ) A l ide de l clculrice, donner l mrice inverse ) En déduire l résoluion des sysèmes suivns : = 4 =,5 ) b) x = 7 x = 0, 4 A c) (mre les coefficiens sous forme frcionnire) = 5 x = 5 Exercice n 5. x + y+ z = ) On considère le sysèmex + y + 3z = b où x,y,z,,b c son des nombres réels. x y + z = c Exprimer les nombres réels x,y z en foncion de,b c ) On considère l mrice A = 3. Monrer que l mrice A,es inversible donner l expression de Exercice n 6. b On suppose que A = où,b,c d son des réels els que 0 c d d bc x y 0 ) Trouver en foncion de,b,c d les réels x,y, els que : A = z 0 d b ) Vérifier que A dm pour mrice inverse : A = d bc c A d) =, 5 x = 0,5 Pge 3/

4 MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n ) L mrice A es de form 3 4 puisqu elle conien 3 lignes 4 colonnes ) 4 es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l 4 ème colonne, donc 4 = 4 3 es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l 3 ème colonne, donc 3 = 3 33 es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l 3 ème colonne, donc 33 = 0, 3 es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l ème colonne, donc 3 = 7 3) L mrice rnsposée On obien donc A A de A s obien en inerverissn lignes colonnes de A =. L mrice 8 3 0, 4 8 A es donc de dimension 4 3 Exercice n Soi l mrice A = es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l ème colonne ) 3 3 es le nombre figurn à l inersecion de l ème ligne de l 3 ème colonne es le nombre figurn à l inersecion de l ème ligne de l ère colonne es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l ème colonne On complèe insi l mrice A : A = ) L mrice rnsposée A de A s obien en inerverissn lignes colonnes de A On obien donc A = 9 5. L mrice A es donc de dimension Exercice n 3 ) Toue mrice nisymérique possède une rnsposée égle à son opposée. 0 Pr exemple, si on considère l mrice A = 0, on ur 0 A = = A 0 ) L indicion i 3 j 3 nous donne le form de l mrice A : il s gi d une mrice 3 3. De plus on clcule successivemen = =, = = 0, 3 = 3 =, = 4 = 3, = 4 =, 3 = 4 3 =, 3 = 6 = 5, 3 = 6 = 4 33 = 6 3 = 3. L mrice A es donc : 0 A = Pge 4/

5 Exercice n 4 On clcule successivemen : A + B = + = = ( ) + ( 3 ) A B = = = ( ) ( 3 ) A= 3 = = ( ) 9 3 ; 4B = = 4 ( ) 4 ( 3 ) A 4B = = = ( 4) 3 ( ) 3 9 Exercice n 5 x 5 y 7 x + y x + y ) On exprime d une pr A + B = 0 x + = = 3y 0 + ( ) x + 3y x + 3y 4 On ur l églié A + 7 si seulemen si x + y 4 = donc pr idenificion des x + 3y 7 x + y = 4 différens ermes si seulemen si. On résou ce sysème pr subsiuion : x + 3y = 7 x + y = 4 L 4 y = x L y = 4 x L x + 3y = 7 L x 3 + ( 4 x) = 7 L x + 3x = 7 L y = 4 x L y = 4 5 L y = 9 L x = 5 L x = 5 L x = 5 L 4 L églié A + ur donc lieu pour x = 5 y = 9 7 x 0 4y 8 x 4y 8 ) On exprime d une pr A 4B = = 0 4x 4 y 4 4x y 5 8 x 4y On ur l églié A 4B = si seulemen si = donc pr x y 4 6 x 4y = 5 idenificion des différens ermes si seulemen si. On résou ce sysème pr subsiuion : 4x y = 6 x 4y = 5 L x = 4y 5 L x 4y = 5 L 4x y = 6 L x 6y = 8 L y = 3 L L 3 x = 4 5 L x = L x = L 3 3 y = L L 3 y = L L y = L L 5 8 L églié A 4B = ur donc lieu pour 4 6 x = 3 y = Pge 5/

6 Exercice n x y 3x On clcule : xa + yb = x 4 + y = 4x y x + y y 7x + y x y 3x 4 6 On ur l églié xa + yb = C si seulemen si 4x y x + y = 4 7, donc pr idenificion des 8y 7x + y 4 7 x y = 4 3x = 6 4x y = 4 x = ermes, si seulemen si x + y = 7 y = 3 8y = 4 7x + y = 7 Exercice n 7 ) Les mrices én respecivemen de form 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : = = b) Les mrices én respecivemen de form 3, leur produi es impossible à définir. c) Les mrices én respecivemen de form 3 3 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : 0 6 ( 4 5) 4 = ( ( ) ( ) + 5 3) = ( 3 4 ) d) Les mrices én respecivemen de form 3 3 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : = = e) Les mrices én respecivemen de form 3 3, leur produi es impossible à définir. f) Les mrices én respecivemen de form , leur produi es bien défini es une mrice 3 3. On lors : ( ) ( ) ( ) = = Pge 6/

7 Exercice n 8 Pour chque exemple, les mrices én crrées de même form, leur produi dns les deux sens es bien défini 8 4 ) Si A =, lors : A B = = = B A = = = On conse que A B B A 4 8 b) Si A = 3 9, lors : A B = = = B A = = = On conse que A B B A c) Si A = 5 3, lors : A B = = = B A = = = On conse ce fois ci que A B = B A, mis ce n es surou ps une règle générle! Exercice n 9 Dns chque cs, les mrices én crrées de même form, leur produi es bien défini es une mrice 6 ) Si A = , lors : A B = = = On conse que le produi A B es nul sns pour un que A ou B soi l mrice nulle 4 b) Si A = B 0 = 0, lors : ( ) ( ) 0 + ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) A B = = = On conse que le produi A B es nul sns pour un que A ou B soi l mrice nulle Pge 7/

8 Exercice n 0 x x x x + x + 3 x + x On clcule A = 3 3 = x =. Pour voir A = x 6, il x + = 6 x + x suffi d voir = x + 3 =, ce qui se produi si seulemen x = x 6 + x + 6 = Exercice n On clcule : A = = = , puis B = = =, enfin A B = = = On peu insi clculer : A + AB + B = = + + = D ure pr, A + B = + = 3, d ou : A + B = = = A + AB + B A + B On conse que Exercice n + c = b b 0 b + d = 0 ) L équion mricielle A = I se rdui pr le sysème : =. c d 5 6 c d c = 0 5b + 6d = + c = = c = c = ( 5) = 6 ) On résou séprémen deux sysèmes :, 5 + 6c = 0 5( c) + 6c = 0 c = 5 c = 5 b + d = 0 b = d b = d = 5b + 6d = 5( d ) + 6d = d = 6 3) On pose : A = ( ) ( ) 6 0 On clcule, d une pr = = ( 5) 5 ( 5) E d ure pr = = On bien vérifié bien que A A = A A = I Pge 8/

9 Exercice n ) En posn A =, X = C = y 5, le sysème 5x 3y + = es équivlen à x + y = =, c es-à-dire à A X = C y 5, 3 5,5 ) En posn A = 0,, X = y C = 7, le sysème,3x 5,5y = es équivlen à 0, x + y = 7 A X = C 3 7 y + z = 7 3) En posn A = 5, X = y C = 8, le sysème 5x + y z = 8 es équivlen à 3 7 z x + 3y + 7z = A X = C y = 5 y + 0z = 5 4) Le sysème y + 7z = se réécri 0 7 x + y + z = x + y = 5 x + y + 0z = y = 5 En posn A = 0 7, X = y C =, le sysème y + 7z = es équivlen à A X = C 0 z 5 x + y = 5 x + y + z = 5 x + y + z = 5 5) Le sysème se réécri y + z = 0x y + z = En posn A = 0, 5 X = y C = z, le sysème x + y + z = 5 es équivlen à A X = C y + z = + 6y = x + z + 3 x + 6y z = 3 6 6) Le sysème se réécri. En posn A = 7y + z = x y + 7 x + z = 7 8, X = y z 3 C = 7, le sysème + 6y = x + z + 3 es équivlen à A X = C 7y + z = x y + 7 Exercice n 4 ) Grâce à l clculrice, on sisi l mrice A on clcule son inverse Sisie de l mrice A Obenion de l mrice inverse : = 4 4 ) ) Le sysème s écri A X = C vec X = C =. x = 7 y x = = 4 Puisque l mrice A es inversible, on ur X = A C = y y = = Pge 9/

10 Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : 5 9 S = ; 4 =,5 b) Le sysème s écri A X = C vec X = x = 0, 4 y C,5 =. Puisque l mrice A es 0,4 5 5 x =,5 + ( 0, 4) =,5 inversible, on ur X = A C = y 3 0, 4 3 y =,5 + ( 0,4) = 0, { } Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( ;0, 45) c) Le sysème = 5 x = 5 s écri A X = C vec Puisque l mrice A es inversible, on ur Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( 7,5;3, 75) 5 X = C =. y x = 5 + ( 5) = 7, 5 5 X = A C = y y = 5 + ( 5) = 3, { } =, 5 d) Le sysème s écri A X = C vec X = x = 0,5 y, 5 C =. Puisque l mrice A es 0,5 5 5 x =,5 + 0,5 = 3,75,5 inversible, on ur X = A C = y 3 0,5 3 y =,5 + 0,5 = 4 4 { } Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( 3, 75;) Exercice n 5 ) On : x + y+ z = L x + y+ z = L x + y + 3z = b L x y + z = c L renuméroion des lignes x y z c L + = 3 x + y + 3z = b L3 x + y+ z = L x = y z L y + z = c L4 = L L y = c b + L4 L5 y z b L5 L3 L + = = z = b + y L5 x = ( + b c) z L x = ( + b c) ( 3 + b c) L y = + b c L4 L5 y = + b c L4 L z = b + ( + b c) L 5 z = 3 + b c L5 x = 5 3b + c L y = + b c L4 L z = 3 + b c L5 ) Si on noe A = 3 mriciellemen pr AX = B 5, X = y z x + y+ z = B = b, lors le sysème x + y + 3z = b c x y + z = c 5 se rdui Pge 0/

11 x + y+ z = x = 5 3b + c 5 3 Puisque l on x + y + 3z = b y = + b c, lors en non C = on ur x y z c + = z = 3 + b c 3 AX = B X = CB. Or si A es inversible, on l équivlence AX = B X = A B, ce qui nous perm 5 3 d ffirmer que l mrice A es inversible, que A = 3 Exercice n 6 x + bz = L b x y 0 y + b = 0 L ) On résou le sysème c d z = 0 en résolvn séprémen les sysèmes cx + dz = 0 L3 cy + d = L4 x + bz = L y + b = 0 L. cx + dz = 0 L cy + d = L On résou le premier sysème : cx + bcz = c cl x + bz = L cx + bcz = c cl cx bcz c cl + = c (cr cx + dz = 0 L cx + dz = 0 L ( d bc) z = c L cl z = L cl d bc d bc 0 ) d x + bz = L dx + bdz = d dl ( d bc) x = d dl bl x = dl bl d bc (cr cx + dz = 0 L bcx + bdz = 0 bl bcx + bdz = 0 bl bcx + bdz = 0 bl d bc 0 ) On résou le deuxième sysème : cy + bc = 0 cl y + b = 0 L 0 cy + bc = 0 cl cy bc cl + = (cr cy + d = L cy + d = L ( d bc) = L cl = L cl d bc d bc 0 ) b y + b = 0 L dy + bd = 0 dl ( d bc) y = b dl bl y = dl bl d bc (cr cy + d = L bcy + bd = b bl bcy + bd = b bl bcy + bd = b bl d bc 0 ) d x = d bc b y = d bc ) On insi. Si A es inversible, on l équivlence AX = I X = A I = A, ce qui nous c z = d bc = d bc d b d bc d bc d b perm d ffirmer que l mrice A es inversible, que A = =. c d bc c d bc d bc Pge /