Enoncé n 1. Enoncé n 2. Enoncé n 3. Enoncé n 4. LES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES TS.

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1 LES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES TS. Enoncé n 1. Mettre sous forme algébrque les nombres complexes c-dessous : 5 ; ; 1 ; ; 7 ; 8 ; 9 ; ; x y x y avec x et y deux nombres reéls. Enoncé n. Sot le nombre complexe : Calculer Comparer j, 1+j+ j, 1 j et 3 1 j, j et 1 Enoncé n 3. j. 1 3 j 00 Calculer 1 pus en dédure 1 Enoncé n 4. Sot j P un polynôme a coeffcents réels de varable et de degré n 0;1 1 ) Montrer que P P.. ) En dédure que s le complexe est une racne du polynôme P alors l est auss. 3 ) Applcaton : Les exercces du n 47 à 5 page 4 du lvre. Enoncé n 5. Sot A le pont d affxe 3. On appelle f l applcaton qu, à tout pont M d affxe, dstnct de A, assoce le pont M d affxe ' par 3 7 ' ) a) Développer b) Montrer que f admet deux ponts nvarants B et C dont on précsera les affxes et qu on placera sur un dessn. ) On appelle le cercle de damètre [BC]. Sot M un pont quelconque de ce cercle, dstnct de B et de C, et sot M son mage par l applcaton f. a) En utlsant un logcel de géométre dynamque, réalser une conjecture concernant le leu de M lorsque M parcourt le cercle prvé des ponts B et C. b) Justfer que l affxe du pont M vérfe 3 4e, où est un nombre réel. c) Exprmer l affxe ' du pont M en foncton de et en dédure que le pont M appartent auss au cercle. d) Démontrer que ' et en dédure, en la justfant, une constructon géométrque du pont M. 1

2 Enoncé n 6. L exercce comporte quatre questons. Pour chacune d elles, on propose tros affrmatons. Pour chacune de ces tros affrmatons, ndquer s elle est vrae ou fausse en justfant votre réponse. 1 ) L nverse de est égal à : a) b) 1 c) 1. ) La parte magnare du nombre complexe est égal à : a) b) c). 3 ) Sot un nombre complexe tel que x y, avec x et y deux nombres réels. S est un magnare pur alors est égal à : a) y b) y c) 4 ) S A, B et C sont tros ponts d affxes respectves a, b et c alors le pont M d affxe tel que a b est un pont : a) Du cercle de damètre [AB]. b) Du segment [AB]. c) De la médatrce du segment [AB].. Enoncé n ) Pour tout nombre complexe on pose f ( ) a) Calculer f ( 1). b) En dédure une factorsaton de f ( ). c) Résoudre alors dans l ensemble des nombres complexes l équaton f ( ) 0. O; u, v d unté cm, et on consdère dans ce ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé drect repère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : A 1, B 3, C 3 et D 3. a) Fare une fgure précse. b) Quelle est la nature du trangle ABC. Justfer votre réponse. c) Détermner les affxes des vecteurs CA et CD. d) Calculer le produt salare CA CD. e) Quelle est la nature du trangle ADC. 3 ) Détermner l affxe du pont G pour que la quadrlatère OCBG sot un parallélogramme. Enoncé n 8. On consdère deux nombres complexes a b et ' a ' b', avec a, b, a ' et b ' des nombres réels. Ecrre un algorthme qu demande les valeurs de a, b, a ' et b ' et affche les partes réelles et magnares du nombre complexe ' pus son module. Enoncé n ) Placer les ponts A 1, B, C et D 1 complexe. ) Sot I le mleu du segment [AC] et J le mleu du segment [BD]. a) Détermner les affxes I et J des deux ponts I et J. b) Qu en dédut-on géométrquement?. dans un repère O; u, v du plan

3 LES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES TS. CORRECTIONS. Correctons Enoncé n 1. Mettre sous forme algébrque les nombres complexes c-dessous : = =169 1 = = = = = x y x y = 8x y 8 xy. Correctons Enoncé n Sot le nombre complexe : j j = = 1+j+ j =0 3 1 j = et = j Comparer j =, j= et =, concluson j = 1 = 1 3 j j j Correctons Enoncé n Calculer 1 = pus en dédure 1 1 3

4 Correctons Enoncé n 4. Sot P un polynôme a coeffcents réels de varable et de degré n 0;1 1 ) Montrer que P P.. P est un polynôme a coeffcents réels de varable et de degré n 0;1 n n1 n P a a a... a a a avec a avec k 0;1;;3;...; n 1; n Donc : n n1 n 1 0 k, l s écrt donc P a a a... a a a a a a... a a a P n n 1 n n n 1 n n n1 n 1 0 n n1 n 1 0 Car les a avec k 0;1;;3;...; n 1; n k et donc ak ak, concluson P P ) En dédure que s le complexe est une racne du polynôme P alors l est auss. est une racne du polynôme P donc P 0 P 0 P 0 racne de P. 3 ) Applcaton : N 47 page S ; S 1 3 ; S S ; 7 etc Correctons Enoncé n ) a) b) et donc est également une ' 6 7 0, donc deux ponts nvarants, d affxes 7 et. ) a) Avec le logcel geogebra (vor le fcher CO 6 ex 77 jont.), procéder de la manère suvante : C 0,7. (1) Dans la barre de sase, taper () Dans la barre de sase, taper B 0, 1. (3) Avec le cône, mleu centre, taper I mleu de [CB]. (4) Avec le 6 cône, cercle centre pont, taper cercle (C) de centre I et passant par B, (5) Pus pont M (renommer) sur ce cercle (C). (6) Taper dans la barre de sase le pont M qu dépend évdemment du pont M : M ' ( (16) x( M ) /( x( M ) ( y( M ) 3) ),(3 x( M ) y( M ) 3 3 y( M ) 7 ) /( x( M ) ( y( M ) 3) )). (7) Pus trace actvée sur le pont M, en fasant bouger le pont M On conjecture alors que le leu du pont M est le cercle. b) Une équaton paramétrque du cercle est 3 4e, car le mleu du segment [BC] a pour affxe 3 et le rayon du cercle vaut 4. c) ' 4e 3, avec, donc M ' d) 3 4e, donc ', M est donc le symétrque par rapport à O du symétrque de M par rapport à l axe O; u 4

5 Correctons Enoncé n 6. 1 ) a) V b) V c) F ) a) F b) V c) F 3 ) a) V b) F c) F 4 ) a) F b) F c) V JUSTFICATION. 1 ) L nverse de est égal à : a) 1 1 est vra car Inv( ) 1 1 ( ) 1 b) 1 est vra car Inv( ) 1 1 c) 1 est Faux car Inv( ) 1 1 Donc les bonnes réponses sont a) et b). ) x y et x y donc y y, Donc la bonne réponse est la b). 3 ) S est un magnare pur alors y donc y y, Donc la bonne réponse est la a). 4 ) S A, B et C sont tros ponts d affxes respectves a, b et c alors le pont M d affxe tel que a b est un pont : a b AM BM, donc le pont M est équdstant de A et de B donc M appartent à la médatrce du segment [AB]. a) Du cercle de damètre [AB] est Faux b) Du segment [AB]. est Faux c) De la médatrce du segment [AB] est Vra. Concluson la bonne réponse est la c). Correctons Enoncé n 7. 1 ) Pour tout nombre complexe on pose a) Calculer f ( 1). 3 f ( ) f ( 1) Donc f ( 1) 0 Donc 1 est une racne de ce polynôme. b) En dédure une factorsaton de f ( ). 5

6 Donc f ( ) a b, on développe, ce qu donne 3 3 f ( ) a b a b ( a 1) ( b a) b, pus par dentfcaton avec 3 f ( ) on obtent le système suvant : a 1 3 a 4 b a Vra b 7 b 7 Donc f ( ) c) Résoudre alors dans l ensemble des nombres complexes l équaton f ( ) ou 4 7 0, donc 1 1, donc deux solutons complexes conjugués, valant 1 ou sot 1 3 ou 3 Donc S 1; 3 ; 3 ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé drect O; u, v d unté cm, et on consdère dans ce repère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : A 1, B 3, C 3 et D 3. a) Fare une fgure précse. Avec Geogebra on obtent la fgure c-dessous. b) Quelle est la nature du trangle ABC. Justfer votre réponse. S on calcule les tros longueurs de ce trangle, on obtent : 6

7 AB B A AC C A BC C B Donc le trangle ABC est équlatéral de côté 3. c) Détermner les affxes des vecteurs CA et CD CA A C et CD D C Donc 3 3 et 1 3 CA CD. d) Calculer le produt salare CA CD. CA CD , car le repère est orthonormé, donc CA CD 0 e) Quelle est la nature du trangle ADC. Les deux vecteurs CA et CD sont donc orthogonaux, on en dédut que le trangle ADC est rectangle en C. 3 ) Détermner l affxe du pont G pour que le quadrlatère OCBG sot un parallélogramme. Il faut donc que OC=GB donc avec les affxes ce qu donne OC GB C O B G G B C O Donc 3. Correctons Enoncé n 8. G G On consdère deux nombres complexes a b et ' a ' b', avec a, b, a ' et b ' des nombres réels. On écrt un algorthme qu demande les valeurs de a, b, a ' et b ' et affche les partes réelles et magnares du nombre complexe ' pus son module. Varables en entrée : Les nombres réels a, b, a ' et b ' pus R (pour la parte réelle du produt ' ) I (Pour la parte magnare du produt ' ) Et enfn M (pour le module du produt ' ). Tratement : Fn : Lre les quatre réels a, b, a ' et b ' R prend la valeur aa ' b b'. Affcher R I prend la valeur ab' a ' b. Affcher I M prend la valeur a a ' b b ' a b ' a ' b Affcher M. 7

8 Correctons Enoncé n 9. 1 ) On place les ponts 1 A 1, B, 1 C et D 1 dans un repère O; u, v du plan complexe. ) Sot I le mleu du segment [AC] et J le mleu du segment [BD]. a) On détermne les affxes et des deux ponts I et J. I J Ce qu donne 1 1 A C B D I = = et J = = b) Les dagonales du quadrlatère ABCD se coupent en leur mleu (car I J ), donc ABCD est un parallélogramme. 8