Dossier de candidature. Bruno VALLETTE

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1 Dossier de candidature Professeur des universités, Section 25 (2015) Bruno VALLETTE math.unice.fr/ brunov/ TABLE DES MATIÈRES I. Curriculum Vitae 2 II. Activités d enseignement 6 III. Liste des travaux et publications 8 IV. Résumé des travaux de recherche 10 Références 17

2 ID.pdf Bruno VALLETTE Dossier de candidature PR 25 I. Curriculum Vitae Bruno VALLETTE math.unice.fr/ brunov/ État civil Né le 6 janvier 1976 à Gérardmer (Vosges), France. Situation Professionnelle Maître de conférences (depuis février 2005, classe normale, échelon 6), affecté au Laboratoire J.A. Dieudonné de l université Nice Sophia Antipolis. Titulaire de la PEDR pour la période et de la PES (évalué AAAAA). Chercheur invité à l institut Max Planck (Bonn) pour les années universitaires ADRESSE PROFESSIONNELLE : Laboratoire de Mathématiques J.A. Dieudonné Université Nice Sophia Antipolis Parc Valrose Nice Cedex 02, France ADRESSE ÉLECTRONIQUE : brunov@unice.fr TÉLÉPHONE : (+33) Cursus universitaire Juin 2009 : Habilitation à diriger des recherches (université Nice Sophia Antipolis). Décembre 2003 : Thèse de doctorat en Mathématiques (université de Strasbourg) : Doctorat de Mathématiques (sous la direction de Jean-Louis Loday), Allocataire de recherche et moniteur (université de Strasbourg) : DEA de Mathématiques (université de Strasbourg). Juillet 2000 : Agrégation de Mathématiques (8 e place) : Magistère de l ENS de Lyon. Thèse et Habilitation à diriger des recherches Propérades en Algèbre, Géométrie, Topologie et Physique Mathématique, Habilitation à diriger des recherches (juin 2009), prépublication Laboratoire J.A. Dieudonné. Dualité de Koszul des props, Thèse de doctorat (décembre 2003), prépublication IRMA. Domaines de recherche Algèbre, Géométrie, Topologie et Physique Mathématique. 2

3 Organisation et responsabilités ENCADREMENT DOCTORAL : 2 thèses soutenues : Joan Millès (2010, maître de conférences) et Olivia Bellier (2012, professeur en classe préparatoire). 1 thèse en cours (Brice Le Grignou, bourse ENS Paris). 1 rapport de thèse et participation à 2 jurys de thèse. RESPONSABILITÉS ADMINISTRATIVES : Membre élu au conseil d administration de l université Nice Sophia Antipolis et membre de la commission des finances (depuis 2012). Membre élu au Conseil Scientifique de l INSMI CNRS (depuis 2014). Membre élu à la commission permanente des ressources humaines, laboratoire J.A. Dieudonné (depuis 2012). Membre élu au conseil du laboratoire de mathématiques J.A. Dieudonné ( ). JURY : Membre du jury de l agrégation externe de mathématiques (depuis janvier 2013). ÉDITEUR : Actes de la conférence Opérades 2009, 295 pages, 10 articles, coéditeur avec J.-L. Loday, Séminaires et Congrès 26 (SMF) PROGRAMME : Grothendieck Teichmüller groups, Deformation and Operads (GDO), organisateur principal, janvier avril 2013, institut Newton de Cambridge (budget euros). CONFERENCES : Homotopical Algebra, Operads and GT groups, 9 12 septembre 2014 (Nice). Higher Structures in Topology and Number Theory, avril 2013 (Oxford). Grothendieck Teichmüller Theory and Multiple Zeta Values, 8 12 avril 2013, Higher Structure 2013 : Operads and Deformation Theory, 2 5 avril 2013, Introductory Workshop, 8 10 janvier 2013, Institut Newton (université de Cambridge), programme GDO. Operads and homotopy theory, août 2010 (Université de Lille). Opérades 2009, avril 2009, CIRM (Luminy). K-Théorie, Homologie Cyclique et Opérades, 5 7 janvier 2006 (Strasbourg), Conférence à l occasion du 60ème anniversaire de Jean-Louis Loday. WORKSHOP : Rencontre de l ANR SAT, 9 12 mars 2015 (CIRM, Luminy). Opérades En différentielles graduées, novembre 2008 (Copenhague). ÉCOLES : École thématique : Opérades, avril 2009, CIRM (Luminy). SÉMINAIRES : Operads, deformation quantization and higher structures, Séminaire de l institut Max Planck de Bonn (automne 2010). Passe-Partout, Séminaire-Colloquim de l équipe Algèbre-Géométrie-Topologie (Laboratoire J.A. Dieudonné, Université Nice Sophia Antipolis). GROUPES DE TRAVAIL : Algèbres de factorisation ( ), Algèbre supérieure (2013), Associateurs de Drinfeld, Multizêtas et Groupes de Grothendieck Teichmüller (2012), Opérades En ( ), Groupes de Coxeter, arrangements d hyperplans et algèbres de Hopf ( ), Catégories de modèles, (co)homologie d André Quillen, Gamma-modules et homologie des espaces espaces d Eilenberg Mac Lane ( ), Cohomologie des groupes finis et profinis ( ), Topologie des Cordes ( ), 3

4 Conférences Workshop on Homotopical Algebra and Geometry (Lancaster, 2015) Winter school in Mathematical Physics 2015 (Diablerets, 2015) Algebra, Deformation and Quantum Groups (CIRM Luminy, 2014). Homological Methods in Quantum Field Theory (Simons Center, 2014). Homotopical Algebra Summer Days (Barcelona, 2014). BV-algebras, Operads and Hopf algebroids (Oberwolfach, 2014). Algebraic Homotopy, Operads and GT-groups (Lille, 2014). Symposium in honour of Pierre-Louis Curien (Venice, 2013). Facets of Geometry (Stockholm, 2013). British Mathematical Colloquium 2013 (Sheffield, 2013). Virginia Conference on Algebraic Topology (Charlottesville, 2012). Higher structures in Mathematics and Physics V (Göttingen, 2011). Operads and Rewriting (Lyon, 2011). Barcelona Topology Workshop (Barcelona, 2010). Bonn-Luxembourg-Strasbourg Days : Operads (Luxembourg, 2010). Operads and Universal Algebra (Tianjin, 2010). Symplectic Geometry, Noncommutative Geometry and Physics (MSRI, 2010). Higher structures in Mathematics and Physics III (Zürich, 2009). Journées d algèbre (Clermont-Ferrand, 2009). Journée groupes quantiques et géométrie de Poisson (IHP Paris, 2009). Workshop Strings, Fields and Topology (Berkeley, 2009). Higher structures in Mathematics and Physics II (EPFL Lausanne, 2008). Rencontre annuelle du GDR Topologie Algébrique et Applications (Paris 13, 2008). K-Theory and Homotopy Theory (Santiago de Compostela, 2008). Workshop on Algebraic and Geometric Deformation Spaces (MPI Bonn, 2008). Second Congrès Canada-France (Montréal, 2008). Conférence sur l Algèbre combinatoire et les Arbres (Lyon, 2008). Groupe de travail sur les opérades et les props (Montpellier, 2008). Workshop on Higher Operads (CRM Barcelona, 2008). Moduli Spaces Conference (MPI Bonn 2008). Non Commutative Geometry Conference (Chicago, 2007). Workshop on Hopf Algebras and Props (Boston, 2007). Operads 2006 (Strasbourg, 2006). Alpine Operad Workshop (Villard-sur-Olon, 2006). Coloquio de Àlgebra (Buenos Aires, 2005). XVI Coloquio Latino-Americano de Àlgebra (Colonia del Sacramento, 2005). Operads 2005 (CIRM Luminy, 2005). Congrès du GDR de Topologie Algébrique (Louvain-La-Neuve, 2004). Séminaires 2014 Stony Brook, Amsterdam, Paris 7, Colloquium POSTECH, Toulouse, Amiens ETH Zürich, Paris 13, Luxembourg Strasbourg, Lyon, Paris 7, Rome I Paris 6, Bochum, Max Planck Institute (Bonn), Paris 7, Copenhague, ETH Zürich, Glasgow, Nice Stony Brook, Colloquium Dublin, Bonn, Colloquium Göttingen, Max Planck Institute Einstein Chair Seminar (CUNY), Max Planck Institute (Bonn), Lyon, Paris CRM (Université autonome de Barcelone), Lyon, EPFL (Lausanne) University of Chicago, Northwestern University, Einstein Chair Seminar (CUNY), Séminaire d algèbre IHP (Paris), Strasbourg, Lille IHES, Max Planck Institute (Bonn), Bochum Stockholm, Texas A&M, Rutgers University, UPenn, Strasbourg, Paris 13, IHP Nice, Freiburg, Montpellier, Saint-Etienne, Strasbourg, Lyon, Paris 13, Clermont -Ferrand Lille, Strasbourg. 4

5 Cours avancés 2014 Givental action and trivialization of the circle action (8 heures) Center for Geometry and Physics, Pohang, Corée du Sud, Algebraic Operads (12 heures) Programme GDO, Institut Newton, Cambridge, Homotopical algebra with Operads (5 heures) Algebra, Topology and Fjords, Summer School, Nordfjordeid, Norvège, Operads, Koszul duality theory and homotopical algebra (6 heures) Séminaire Opérades-Déformations-Structures supérieures, MPIM, Operads and Koszul duality theory (6 heures) École thématique, CIRM Luminy, Deformation theory of algebraic structures (8 heures) ETH Zürich, Koszul duality of properads and applications to deformation theory (6 heures) Université de Barcelone, juillet Séjours Hausdorff Research Institute for Mathematics (Bonn), mai juin Simons Center (Stony Brook University), octobre Center for Geometry and Physics (Corée du Sud), mars Newton Institute (University of Cambridge), janvier avril 2013, programme GDO. Simons Center (Stony Brook University), juin juillet Max Planck Institute (Bonn), août 2009 août Simons Center (Stony Brook University), mars CUNY (New York), janvier Université de Valparaiso, décembre Institut de Mathématique de l Université de Barcelone, juillet ETH Zürich, mai Université de Barcelone, juillet Université de Stockholm, juin Northwestern University (Evanston, Chicago), mars juin Stony Brook University (New York), mars Max Planck Institute (Bonn), mai juin IHES, mars Université de Stockholm, juin et octobre Texas A&M, College Station, avril Rutgers University, Newark-New Brunswick, avril Institut Mittag Leffler Stockholm, avril Bourse et Réseau ANR Jeunes Chercheur-se-s : Structures supérieures en Algèbre et Topologie (SAT), porteur du projet, ANR Programme Blanc : Homotopie algébrique, Opérades et groupes de Grothendieck Teichmüller (HOGT), ANR Jeunes Chercheurs : Opérades, Bigèbres et Théories homotopiques (OBTH), responsable local, ECOS-Sud : Coopération avec M. Ronco (Valparaiso) et J.-L. Loday (Strasbourg). GDR du CNRS : Topologie Algébrique et Applications, membre depuis Langues FRANÇAIS : langue maternelle. ANGLAIS : courant. ALLEMAND : notions avancées. ESPAGNOL : notions. 5

6 II. Activités d enseignement Depuis mon recrutement à l université de Nice Sophia Antipolis en septembre 2004, j ai enseigné à tous les niveaux, de la licence au master, et dans divers cursus : mathématiques, biologie et sciences économiques. J ai pu donner toutes les formes de cours possibles : cours magistral, cours integrés, séances de travaux dirigés et colles. Lors d un semestre passé à la Northwestern University (USA) au printemps 2007, j ai pu enseigner un cours en anglais. UNIVERSITÉ NICE SOPHIA ANTIPOLIS (période ). Préparation à l agrégation externe de Mathématiques, Master II. Thèmes : algèbre, arithmétique et géométrie. ( et ) math.unice.fr/ brunov/cours-agregation html Cours et travaux dirigés d Algèbre et Arithmétique, Licence III. Thèmes : groupes, anneaux, idéaux, quotient, arithmétique. ( ) math.unice.fr/ brunov/cours-maths-l3-algebrearithmetique-( ).html Cours et travaux dirigés d Algèbre Linéaire, Licence MASS II. Thèmes : espaces vectoriels, applications linéaires, réduction d endomorphisme, espaces euclidiens, formes quadratiques. ( ) math.unice.fr/ brunov/cours-maths-l2mass html Cours intégrés de Mathématiques Appliquées en Biologie, Licence I. Thèmes : chaînes de Markov, statistiques, équations différentielles. ( et ) math.unice.fr/ brunov/cours-biologie-l1( ).html Travaux dirigés du cours d Algèbre, Licence II. Thèmes : Groupes, anneaux et corps. ( ) math.unice.fr/ brunov/cours-maths-l2-algbreiii-( ).html Travaux dirigés du cours de Mathématiques en Sciences Économiques, Licence I. Thèmes : Injectivité-surjectivité-bijectivité, ouvert-fermé, calcul différentiel. ( ) math.unice.fr/ brunov/cours-sciences-eco.html Colles en Mathématiques, Licence II. Thèmes : espaces vectoriels, applications linéaires, réduction d endomorphisme, espaces euclidiens, formes quadratiques. ( ) Encadrement de stage en Mathématiques, Master I. Thèmes : topologie algébrique. ( ) NORTHWESTERN UNIVERSITY [CHICAGO-EVANSTON, USA] (2007). Multiple Integration and Vector Calculus, Undergraduate. Theme : Multiple integrals, Vector calculus, gradient, divergence, Stokes, and Green Theorem. (Spring 2007) math.unice.fr/ brunov/cours/mathematics234.html 6

7 JURY DE L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES. Depuis la session de 2013, je fais partie du jury de l agrégation externe de mathématiques. SUPPORT INTERNET. Pour tous les cours que j enseigne, je crée une page internet. L exemple le plus récent est : math.unice.fr/ brunov/cours-maths-l2mass html. LIVRE DE COURS. J ai rédigé un livre de cours d algèbre linéaire pour tous (économistes, physicien-ne-s, ingénieur-e-s et mathématicien-ne-s), [270 pages, 100 exercices corrigés et 80 figures] : math.unice.fr/ brunov/download/algèbre linéaire pour tous.pdf 7

8 III. Liste des travaux et publications LIVRE (1) Algebraic Operads, avec Jean-Louis Loday, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 346, Springer-Verlag (2012), [654 pages]. ARTICLES (2) De Rham cohomology and homotopy Frobenius manifolds, avec Vladimir Dotsenko et Sergey Shadrin, Journal of the European Mathematical Society, Volume 17, Issue 2, (2015), [13 pages]. (3) Higher Koszul duality for associative algebras, avec Vladimir Dotsenko, Glasgow Mathematical Journal, 55 (2013), [20 pages]. (4) The minimal model for the Batalin Vilkovisky operad, avec Gabriel Drummond-Cole, Selecta Mathematica, Volume 19, Issue 1, (2013), 1 47 [47 pages]. (5) Givental group action on Topological Field Theories and homotopy Batalin Vilkovisky algebras, avec Vladimir Dotsenko et Sergey Shadrin, Advances in Mathematics, Volume 236, (2013), [33 pages]. (6) Homotopy Batalin Vilkovisky algebras, avec Imma Gálvez-Carrillo et Andy Tonks, Journal of Noncommutative Geometry, Volume 6, Issue 3, (2012), [64 pages]. (7) Deformation theory of representations of prop(erad)s II, avec Sergei Merkulov, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 636 (2009), [50 pages]. (8) Deformation theory of representations of prop(erad)s I, avec Sergei Merkulov, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 634 (2009), [56 pages]. (9) Free monoids in monoidal abelian categories, Applied Categorical Structures, Volume 17, Issue 1 (2009), [21 pages]. (10) Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 620, (2008), [60 pages]. (11) A Koszul duality for props, Transactions of the Americain Mathematical Society, 359, (2007), [79 pages]. (12) Homology of generalized partition posets, Journal of Pure and Applied Algebra, 208 (2007), no. 2, [27 pages]. (13) Pointed and multi-pointed partitions of type A and B, avec Frédéric Chapoton, Journal of Algebraic Combinatorics, 23 (2006), no. 4, [22 pages]. (14) Koszul duality for PROPs, Comptes Rendus mathématiques de l Académie des Sciences de Paris, 338 (2004), no. 12, [6 pages]. 8

9 ARTICLE DE SURVOL (15) Algebra+Homotopy=Operad, in Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry, MSRI Publications 62 (2014), [62 pages]. PRÉPUBLICATIONS (16) Givental Action and Trivialisation of Circle Action, avec Vladimir Dotsenko et Sergey Shadrin, soumis au Journal de l École polytechnique [26 pages], arxiv.org/abs/ (17) Homotopy theory of homotopy algebras, soumis à Commentarii Mathematici Helvetici [30 pages], arxiv.org/abs/ (18) Pre-Lie deformation theory, avec Vladimir Dotsenko et Sergey Shadrin, soumis à Selecta Mathematica [29 pages], arxiv.org/abs/ (19) Symmetric homotopy theory for operads, avec Malte Dehling, soumis à Journal of Topology [40 pages], arxiv.org/abs/ EDITEUR (20) Opérades 2009, actes de conférence, éditeur avec Jean-Louis Loday, Séminaires et Congrès, no. 26 (SMF) 2013, [295 pages]. LIVRE DE COURS (21) Algèbre linéaire pour tous, cours de niveau licence [270 pages, 100 exercices corrigés et 80 figures], brunov/download/algèbre linéaire pour tous.pdf. EN COURS DE RÉDACTION Rewriting method in Koszul duality, avec Samuel Mimram et Sinan Yalin. Brown s moduli spaces and operads, avec Vladimir Dotsenko et Clément Dupont. Algebraic structures of noncommutative two-dimensional topological field theories, avec Vladimir Dotsenko et Sergey Shadrin. Higher Koszul duality for operads and E -operads, avec Malte Dehling. 9

10 IV. Résumé des travaux de recherche INTRODUCTION. Les résultats mathématiques décrits ci-dessous portent sur des questions transverses à l algèbre, la topologie, la géométrie et la physique mathématique. Leur point commun est la notion d opérade qui permet de décrire et de gérer les opérations à plusieurs entrées agissant sur les types d algèbres, les espaces topologiques ou les variétés géométriques. Les opérades servent à organiser et à étudier les structures supérieures apparaissant notamment en algèbre homotopique et en théorie de la déformation et à définir des invariants supérieurs en géométrie et topologie. Dans ce compte-rendu non exhaustif, j ai essayé de mettre ces résultats en perspective, notamment en citant les applications ultérieures données par d autres chercheur-se-s. RÉSUMÉ En théorie de la déformation, j ai généralisé, dans plusieurs directions, la dualité de Koszul des algèbres et des opérades. Ceci m a permis d obtenir dans ce domaine de nouvelles résolutions libres. J ai développé l étude géométrique générale à la Quillen de la déformation des morphismes d opérades ainsi que ses applications aux espaces de modules de structures algébriques. En algèbre, j ai défini conceptuellement la notion de produits de Manin en toute généralité. Ceci m a permis de démontrer que la conjecture de Deligne s applique en fait à des familles infinies de types d algèbres. Dans le contexte des opérades algébriques, j ai étendu l étude de la réécriture et du lemme du diamant, qui apparaissent notamment en informatique théorique. En algèbre homotopique, j ai démontré le coeur du fondamental théorème de transfert homotopique pour toute opérade de Koszul, et ce, avec des formules explicites pour permettre des calculs de formalité comme ceux de Deligne Griffiths Morgan Sullivan pour les variétés de Kähler compactes ou ceux de Kontsevich pour les variétés de Poisson. J ai résolu, de deux manières différentes, le problème ouvert de la résolution homologique de l opérade BV codant les algèbres de Batalin Vilkovisky. Comme applications en géométrie et topologie, j ai utilisé ce dernier résultat pour définir des invariants supérieurs pour les espaces de lacets doubles, les théories de champs conformes, les variétés de Poisson et pour donner une réponse à la conjecture de Deligne cyclique. En donnant le modèle minimal de l opérade BV, j ai pu expliquer conceptuellement et étendre en une version optimale un résultat de Barannikov Kontsevich Manin sur les variétés de Frobenius, que j ai réussi à appliquer aux variétés de Poisson. En physique mathématique, j ai démontré la conjecture de Lian Zuckerman sur les algèbres vertex d opérateurs. Enfin, j ai récemment démontré deux conjectures de Kontsevich. La première affirme que le quotient homotopique de l opérade des petits disques à bord par l action du cercle est donné par l espace des modules de courbes algébriques stables de genre 0. La seconde affirme que l action du groupe de Givental sur les théories cohomologiques de champs provenant de la théorie de l intersection des espaces de modules de courbes correspond à une action des trivialisations de l action du cercle. Au final, l expertise acquise dans ce domaine m a permis d écrire, en collaboration avec Jean- Louis Loday, une monographie sur les opérades (650 pages), publiée dans la collection des Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 10

11 Bruno VALLETTE Dossier de candidature PR 25 Voici un choix de trois résultats prépondérants. Théorème 3 (Conjecture de Deligne généralisée) Soit P une opérade non-symétrique binaire de Koszul et de type fini et soit A une P-algèbre. Le complexe de déformation de A est une algèbre sur une opérade équivalente à l opérade des chaînes singulières de l opérade des petits disques. Théorème 7 (Conjecture de Kontsevich I) Le quotient homotopique de l opérade des petits disques à bord par l action du cercle est donné par l opérade M 0,n+1 des espaces de modules de courbes stables de genre 0. Théorème 9 (Conjecture de Kontsevich II) L action du groupe de Givental sur les théories cohomologiques de champs de genre 0 est égale à une action des trivialisations de l action du cercle. ÉTAT DE L ART Opérades. Le thème central de mes recherches est la notion d opérade. Il s agit d un objet mathématique qui permet de coder les opérations à plusieurs entrées. Cette notion est apparue pour répondre au besoin de gérer conceptuellement les structures algébriques de plus en plus riches et complexes apparaissant dans tous les domaines des mathématiques. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 µ 1 µ 2 µ 3 ν ν ( µ 1 (x 1, x 2, x 3 ), µ 2 (x 4, x 5 ), µ 3 (x 6, x 7, x 8 ) ) FIGURE 1. Exemple de composition opéradique Sa définition est assez simple : quel est le point commun entre toutes les algèbres d un certain type (algèbres associatives ou algèbres de Lie par exemple)? Les opérations multilinéaires qui agissent dessus : elles sont toutes du même type. Lorsque l on essaie de rendre cette phrase rigoureuse mathématiquement, on en vient à coder ces opérations, grâce à des représentations du groupe symétrique, pour prendre en compte leurs symétries. On définit ensuite, à ce niveau, l analogue de la composition usuelle des opérations. L objet ainsi obtenu est ce que l on appelle une opérade. Naissance et renaissance. La notion d opérade est universelle et sa définition s applique à tous les domaines des mathématiques (à toute catégorie monoïdale symétrique). On peut donc faire des opérades algébriques, topologiques, géométriques, etc. Il existe par exemple une opérade algébrique qui gouverne les algèbres associatives, une opérade topologique qui caractérise les espaces de lacets itérés et une opérade géométrique qui code les invariants de Gromov Witten. Les opérades sont d abord apparues en topologie algébrique pour étudier les espaces de lacets itérés au début des années Elles ont ensuite connu une renaissance dans les années 1990 grâce à la géométrie (espaces de modules de courbes), à l algèbre (dualité de Koszul) et à la physique mathématique (théorie quantique des champs) sous l impulsion de M. Kontsevich et Y.I. Manin, entre autres. Cette notion traverse maintenant l ensemble des mathématiques ; elle est utilisée en topologie algébrique, géométrie différentielle, géométrie algébrique, géométrie non-commutative, physique mathématique, probabilités, combinatoire algébrique, catégories supérieures et en logique. 11

12 Bruno VALLETTE Dossier de candidature PR 25 Propérades. Les opérades permettent de modéliser les opérations à plusieurs entrées mais avec une seule sortie. J ai introduit une notion, appelée propérade qui permet de coder les opérations à plusieurs entrées et à plusieurs sorties et dont j ai pu montrer qu elle possédait de bonnes propriétés homologiques (dualité de Koszul). Un lien précis entre la notion de propérades et les clones de l information théorique a été établi par P.-L. Curien dans [Cur12]. FIGURE 2. Exemple d opération géométrique codée par une propérade. Dualité de Koszul. La dualité de Koszul est une théorie homologique, développée à l origine par S. Priddy [Pri70] au niveau des algèbres associatives. Elle admet de nombreuses applications : en topologie algébrique (algèbre de Steenrod) et en géométrie algébrique (correspondence BGG), par exemple. Cette théorie a ensuite été étendue aux opérades par Ginzburg Kapranov et Getzler Jones [GK94, GJ94]. Cette dernière permet, entre autres, d expliquer conceptuellement les constructions de D. Quillen [Qui69] et D. Sullivan [Sul77] en homotopie rationnelle. Elle permet aussi de décrire l homologie des espaces de modules de courbes M 0,n et M 0,n et les structures algébriques de la cohomologie quantique [KM94, Get95, Man99]. THÉORIE DE LA DÉFORMATION Syzygies opéradiques. Afin de pouvoir calculer effectivement des foncteurs dérivés, il faut pouvoir fournir explicitement de bonnes résolutions (projectives, cofibrantes) des objets en question, voir [(1), Chapitre 12] par exemple. J ai entamé un programme de recherche dans ce sens, prolongé par la thèse de mon premier étudiant [Mil12, HM12]. Le problème des syzygies opéradiques est similaire au problème classique des syzygies, à savoir chercher une résolution libre d un module sur un anneau, à la différence près que l on cherche ici une résolution libre P d une opérade P. L intérêt réside dans le fait que la catégorie des algèbres sur cette résolution P possède de bonnes propriétés homotopiques ; on les appelle les P-algèbres à homotopie près. Elles sont définies par une infinité d opérations multilinéaires qui sont des homotopies relâchant les relations vérifiées par les P-algèbres. opérade P P : résolution libre catégorie des P -algèbres catégorie des P -algèbres à homotopie près Dualités de Koszul généralisées. La dualité de Koszul originelle [Pri70, GK94] permet de fournir de telles résolutions mais ne s applique qu à des algèbres et à des opérades quadratiques, c est-à-dire qui admettent une présentation par générateurs et relations de degré 2. Le tableau suivant recense les différentes généralisations que j ai données de cette théorie en fonction du type de présentation. À noter que, dans les deux derniers cas, un phénomène nouveau apparait : la présentation explicite de la duale de Koszul s exprime comme une A -algèbre. PRÉSENTATION DUALITÉ DE KOSZUL 2 [Pri70, GK94, (11)] 1+2 [Pri70, (5)] [HM12] 2+3+ [(7), (8)] N [(3)] 12

13 J ai aussi développé dans la récente prépublication (19) les outils nécessaires pour faire de la dualité de Koszul des opérades en caractéristique positive. Ceci fournit de nouveaux outils pour étudier les E -opérades qui sont un object fondamental en topologie algébrique. Théorie géométrique de la déformation. La théorie de déformation des morphismes entre algèbres commutatives a été étudiée par D. Quillen dans [Qui70], voir aussi [And67] ; elle a été étendue aux topos et aux schémas par L. Illusie [Ill71, Ill72] en géométrie algébrique. Cette théorie requiert l introduction de la notion de catégorie de modèles [Qui67, BM03] (ou des méthodes simpliciales) pour faire de l homotopie dans un cadre abstrait. Comme une structure d algèbre sur une opérade est un morphisme d opérades, j ai défini et étudié la théorie de déformation des morphismes d opérades (et de de propérades) dans (7-8). Ceci permet d avoir un contrôle géométrique des structures algébriques, par exemple celles à homotopie près. Cette démarche est une généralisation stricte de la théorie de Quillen à un cadre non-commutatif et non-linéaire. Théorème 1 (Espaces de modules). Il existe une bijection naturelle entre l ensemble des structures de P-algèbre à homotopie près sur un complexe de chaînes A et les champs de vecteurs homologiques (ou éléments de Maurer Cartan) d une variété formelle (ou L -algèbre) g P,A. Ce théorème répond positivement à la philosophie de la théorie de déformation qui remonte à Grothendieck et Deligne, entre autres, et qui veut qu en caractéristique nulle tout espace de modules de structures soit codé par une algèbre de Lie différentielle graduée, voire une algèbre de Lie à homotopie près. Complexe de déformation des morphismes. J ai ensuite défini le complexe de déformation g ϕ P,Q d un morphisme de propérades ϕ : P Q. Pour cela, il a fallu étendre les notions classiques des algèbres commutatives au cadre des opérades et des propérades : module de Kähler des formes différentielles Ω 1 P et complexe cotangent L P, par exemple. APPLICATIONS. Cette théorie générale a beaucoup d applications dans la littérature. Pour beaucoup d opérades P agissant sur un complexe de chaînes A, on retrouve ainsi des algèbres de Lie différentielles graduées classiques g P,A : complexe de Hochschild [Ger63], complexe de Chevalley Eilenberg [NR66], complexe de Lecomte Roger [LR90, KS91], etc. Le complexe de déformation du morphisme As Poisson est quant à lui relié aux invariants des noeuds de Vassiliev, voir [Tou04]. Enfin, T. Willwacher [Wil10], voir aussi B. Fresse [Fre11], a montré que les complexes de déformation de certains morphismes des opérades Lie et Gerst vers les opérades de graphes de M. Kontsevich fournissent l algèbre de Lie de Grothendieck Teichmüller. Complexe de Gerstenhaber Schack. Rappelons que le complexe de Gerstenhaber Schack [GS90] est l analogue pour les bigèbres associatives du complexe de Hochschild pour les algèbres associatives. La théorie susmentionnée permet de démontrer le théorème suivant qui résout une conjecture en théorie des groupes quantiques. Théorème 2 (Déformation des bigèbres associatives). Pour toute bigèbre associative, le complexe de Gerstenhaber-Schack est muni d une structure de variété formelle qui code ses déformations. OPÉRADES, CATÉGORIES MONOÏDALES ET TRANSFERT HOMOTOPIQUE Produits de Manin. Dans ses travaux sur les groupes quantiques et la géométrie non-commutative, Y.I. Manin [Man87, Man88] a introduit deux produits et dans la catégorie des algèbres associatives quadratiques, appelés respectivement noir et blanc. Ces produits possèdent de bonnes propriétés vis-à-vis de la dualité de Koszul ; par exemple A A! est une algèbre de Hopf. V. Ginzburg and M.M. Kapranov ont étendu ces produits blanc et noir aux opérades binaires quadratiques dans [GK94, GK95]. 13

14 Catégorie 2-monoïdale. Pour comprendre conceptuellement ces définitions et les étendre à toute paire d opérades et à d autres exemples de monoïdes, comme les propérades, j ai introduit dans (10) la notion de catégorie 2-monoïdale qui est une catégorie munie de deux produits monoïdaux compatibles. Dans ce cadre, il existe deux foncteurs universels qui permettent de définir le produit blanc et noir respectivement pour toute paire de monoïdes présentés par générateurs et relations. APPLICATIONS. Ce travail a permis à K. Uchino [Uch10] de montrer que le produit noir avec l opérade Perm créait des produits dérivés comme les crochets dérivés qui apparaissent en géométrie de Poisson, cf Y. Kosmann-Schwarzbach [KS96, KS04]. Conjecture de Deligne. L adjonction existante entre produits noir et blanc permet de définir des opérations naturelles sur le complexe de déformation décrit à la section précédente. Grâce à cela, j ai montré que la conjecture de Deligne n est pas seulement vraie pour les algèbres associatives, mais elle est vérifiée par une infinité de types d algèbres. Théorème 3 (Conjecture de Deligne généralisée). Soit P une opérade non-symétrique binaire de Koszul et de type fini et soit A une P-algèbre. Le complexe de déformation de A est une algèbre sur une opérade équivalente à l opérade des chaînes singulières de l opérade des petits disques. Opérades algébriques et réécriture. Avec Jean-Louis Loday, nous avons rédigé un livre (1) sur les opérades algébriques. Le but est d offrir aux lecteurs une synthèse complète de ce domaine de recherche. Même si la majorité des résultats décrits dans (1) existaient déjà dans la littérature, parfois sous une forme différente, la présentation globale et conceptuelle utilisée ici est souvent nouvelle. Elle permet notamment d unifier le traitement des algèbres et des opérades. Réécriture. Ce livre contient néanmoins plusieurs résultats nouveaux. Par exemple, les chapitres 4 et 8 contiennent une méthode de réduction par filtration basée sur la réécriture et le lemme du diamant, qui permet de démontrer qu une algèbre ou qu une opérade est de Koszul. Ceci généralise et englobe les notions de bases de Poincaré Birkhoff Witt et de bases de Gröbner après [Pri70, Ber78, Hof10, DK10]. FIGURE 3. Diamant de réécriture pour l opérade Lie 14

15 APPLICATIONS. Cette méthode de réécriture opéradique est reliée à l information théorique et à catégorification des types d algèbres, voir par exemple le cas des algèbres de Lie et de l équation de Zamolodchikov chez Baez Crans, voir [BC04, Section 4] et [(1), Section 8.3]. Théorème de transfert homotopique. En algèbre, si on se donne deux espaces vectoriels isomorphes et une structure algébrique sur l un d eux, on peut alors transporter fidèlement cette structure sur le second. En algèbre homotopique, la situation est plus subtile : toute structure algébrique se transfère à travers des équivalences d homotopie mais en une structure à homotopie près. Les relations pour les produits transférés ne sont en effet plus vérifiées strictement. Il apparait naturellement des opérations multilinéaires supérieures qui sont des homotopies pour ces relations. J ai apporté une réponse générale à ce phénomène grâce au théorème suivant. Théorème 4 (Théorème de transfert homotopique). Soit P une opérade de Koszul, soit A une P-algèbre et soit un quasi-isomorphisme i : A W de complexes de chaînes. On peut munir W d une structure de P -algèbre qui permette d étendre l application i en un -quasiisomorphisme. L existence de la structure transférée dans ce type de résultat peut se montrer avec des arguments de catégorie de modèles [BM03]. J ai donné une démonstration conceptuelle de ce théorème (et avec des formule explicites) qui permet de comprendre le coeur de ce théorème. Tout d abord, j ai montré comment on pouvait généraliser l intégration des algèbres de Lie aux algèbres pré-lie. Ceci m a permis de décrire le groupe de jauge sous-jacent à l algèbre de Lie différentielle graduée qui code les structures de P -algèbres. Enfin, j ai exhibé, dans (18), deux éléments du groupe de jauge dont les actions sur la structure initiale sur A la restreignent respectivement en entrée et en sortie à l espace d arrivée V. APPLICATIONS. Ce théorème est fondamental en algèbre homotopique. Il généralise, à toute opérade de Koszul [(1), Chapitre 10], les propriétés homotopiques démontrées par M. Kontsevich dans [Kon03] au niveau des algèbres de Lie et qui sont nécessaires à sa démonstration de la formalité et de la quantification par déformation des variétés de Poisson. Il permet aussi d expliquer conceptuellement les suites spectrales [(1), Chapitre 10], les produits de Massey [(1), Chapitre 9], les différentes définitions équivalentes en homologie cyclique [Lod98, Kas90] ainsi que les diagrammes de Feynman [Mer08] de la physique mathématique, par exemple. ALGÈBRE HOMOTOPIQUE EN GÉOMÉTRIE, TOPOLOGIE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE Algèbre de Batalin-Vilkovisky à homotopie près. Une algèbre de Batalin Vilkovisky est une algèbre commutative différentielle graduée A munie de d un opérateur : A A de carré nul 2 = 0 et d ordre 2 : (abc) (ab)c (bc)a (ca)b + (a)bc + (b)ca + (c)ab = 0. Cette notion est apparue en théorie physique de la renormalisation ; elle intervient en théorie topologique des champs conformes, dans la conjecture de Deligne cyclique, dans les algèbres vertex et la conjecture miroir. J ai commencé par donner dans (6) une résolution (cofibrante) libre explicite de l opérade BV qui code ces algèbres. La méthode consiste à étendre la dualité de Koszul, comme expliqué à la première section. J ai pu démontrer qu elle possédait les bonnes propriétés homotopiques suivantes. Théorème 5 (Lacets doubles, TCFT et Conjecture de Deligne cyclique). Pour tout espace topologique X muni d une action du cercle S 1, le complexe des chaînes singulières de l espace de lacets doubles C sing (Ω 2 X) possède une structure d algèbre de Batalin Vilkovisky à homotopie près qui étend le produit de Pontryagin et le crochet de Browder en homologie. Toute théorie topologique de champs conformes (TCFT) est munie d une structure d algèbre de Batalin-Vilkovisky à homotopie près qui relève la structure d algèbre de Batalin Vilkovisky sur son homologie définie par E. Getzler [Get94]. 15

16 Soit A une algèbre de Frobenius. Il existe une structure d algèbre de Batalin Vilkovisky à homotopie près sur le complexe des cochaînes de Hochschild de A qui relève la structure d algèbre de Batalin Vilkovisky sur la cohomologie. Algèbres vertex d opérateurs. B.H. Lian et G.J. Zuckerman ont muni la cohomologie BRST d une algèbre vertex d opérateurs d une structure d algèbre de Batalin Vilkovisky. Ils ont conjecturé que cette structure se relevait de manière cohérente sur l algèbre elle-même en une structure à homotopie près [LZ93], conjecture que j ai démontrée. Théorème 6 (Conjecture de Lian Zuckerman). Toute algèbre vertex d opérateurs de poids conforme N-gradué admet une structure explicite d algèbre de Batalin Vilkovisky à homotopie près qui étend les opérations définies par Lian Zuckerman et qui relève la structure d algèbre de Batalin Vilkovisky de sa cohomologie BRST. Modèle minimal et espaces de modules de courbes. Le premier but de l article (4) est de décrire le modèle minimal au sens de l homotopie rationnelle, qui est la résolution la plus canonique, de l opérade BV. Il affirme que l espace de ses générateurs, c est-à-dire l espace des syzygies opéradiques, est donné par la somme directe de la résolution du cercle S 1 avec la cohomologie H +1 (M 0,n+1 ) de l espaces de modules de courbes de genre 0. Ceci résout rationnellement la conjecture suivante de Kontsevich. Théorème 7 (Conjecture de Kontsevich I). Le quotient homotopique de l opérade des petits disques à bord par l action du cercle est donné par l opérade M 0,n+1 des espaces de modules de courbes stables de genre 0. Variétés de Frobenius. Rappellons qu une variété de Frobenius (formelle) est une algèbre sur l opérade H (M 0,n+1 ). Comme la duale de Koszul de cette opérade est la coopérade H +1 (M 0,n+1 ) [Get95], une action de cette dernière définit la notion de variété de Frobenius à homotopie près. Tout ceci m a permis de montrer le théorème suivant dans (4). Théorème 8 (Variété de Frobenius à homotopie près). Soit A une algèbre de Batalin Vilkovisky vérifiant la condition de Hodge de Rham. Son homologie sous-jacente possède une structure de variété de Frobenius à homotopie près qui étend la structure de variété de Frobenuis de Barannikov Kontsevich Manin [BK98, Man99] et dont la rectification a le même type d homotopie que l algèbre de Batalin Vilkovisky A. Exemple : le complexe de de Rham des formes différentielles sur une variété de Poisson. Ce théorème repose sur une nouvelle condition, dite de Hodge de Rham, de trivialisation de l action du cercle, voir (2) ; il s agit en fait de la version optimale du lemme dd c de l homotopie rationnelle dû à Deligne Griffiths Morgan Sullivan [DGMS75]. Ce résultat montre que la structure décrite par Barannikov Kontsevich Manin n est que la première strate d une structure homotopique supérieure. Cette dernière est nécessaire pour retrouver le type d homotopie de l algèbre de Batalin Vilkovisky de départ. Groupe de Givental et trivialisation de l action du cercle. En affinant les résultats précédents, j ai décrit dans (16) l action du groupe de Givental sur les théories cohomologiques des champs, autre nom des variétés de Frobenius, comme une action des trivialisations de l action du cercle, autre conjecture formulée par Kontsevich il y a plus de 10 ans. La méthode repose sur une formule explicite qui relie l action infinitésimale de Givental à l action infinitésimal des algèbres de Batalin Vilkovisky à homotopie près. Ceci fournit un lien explicite et nouveau entre la théorie de l intersection des espaces de module de courbes algébriques et l algèbre homotopique. Théorème 9 (Conjecture de Kontsevich II). L action du groupe de Givental sur les théories cohomologiques de champs de genre 0 est égale à une action des trivialisations de l action du cercle. 16

17 [And67] RÉFÉRENCES Michel André, Méthode simpliciale en algèbre homologique et algèbre commutative, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 32, Springer-Verlag, Berlin, [BC04] John C. Baez and Alissa S. Crans, Higher-dimensional algebra. VI. Lie 2-algebras, Theory Appl. Categ. 12 (2004), (electronic). 15 [Ber78] George M. Bergman, The diamond lemma for ring theory, Adv. in Math. 29 (1978), no. 2, [BK98] S. Barannikov and M. Kontsevich, Frobenius manifolds and formality of Lie algebras of polyvector fields, Internat. Math. Res. Notices (1998), no. 4, [BM03] C. Berger and I. Moerdijk, Axiomatic homotopy theory for operads, Comment. Math. Helv. 78 (2003), no. 4, , 15 [Cur12] P.-L. Curien, Operads, clones and distributive laws, Operads and Universal Algebra (Proceedings of the China-France Summer Institute) (2012). 12 [DGMS75] Pierre Deligne, Phillip Griffiths, John Morgan, and Dennis Sullivan, Real homotopy theory of Kähler manifolds, Invent. Math. 29 (1975), no. 3, [DK10] Vladimir Dotsenko and Anton Khoroshkin, Gröbner bases for operads, Duke Math. J. 153 (2010), no. 2, [Fre11] Benoit Fresse, Rational homotopy automorphisms of E 2 -operads and the Grothendieck-Teichmüller group, annonce de résultats (2011), no. fresse/e2rationalautomorphisms.pdf. 13 [Ger63] M. Gerstenhaber, The cohomology structure of an associative ring, Ann. of Math. (2) 78 (1963), [Get94] E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories, Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, [Get95] [GJ94], Operads and moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces, The moduli space of curves (Texel Island, 1994), Progr. Math., vol. 129, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995, pp , 16 E. Getzler and J. D. S. Jones, Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces, hep-th/ (1994). 12 [GK94] V. Ginzburg and M. Kapranov, Koszul duality for operads, Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, , 13 [GK95], Erratum to : Koszul duality for operads, Duke Math. J. 80 (1995), no. 1, [GS90] M. Gerstenhaber and S.D. Schack, Bialgebra cohomology, deformations, and quantum groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 87 (1990), [HM12] Joseph Hirsh and Joan Millès, Curved Koszul duality theory, Math. Ann. 354 (2012), no. 4, [Hof10] Eric Hoffbeck, A Poincaré-Birkhoff-Witt criterion for Koszul operads, Manuscripta Math. 131 (2010), no. 1-2, [Ill71] [Ill72] [Kas90] [KM94] Luc Illusie, Complexe cotangent et déformations. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239, Springer-Verlag, Berlin, , Complexe cotangent et déformations. II, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283, Springer-Verlag, Berlin, Christian Kassel, Homologie cyclique, caractère de Chern et lemme de perturbation, J. Reine Angew. Math. 408 (1990), M. Kontsevich and Yu. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys. 164 (1994), no. 3, [Kon03] Maxim Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys. 66 (2003), no. 3, [KS91] Yvette Kosmann-Schwarzbach, Grand crochet, crochets de Schouten et cohomologies d algèbres de Lie, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 312 (1991), no. 1, [KS96], From Poisson algebras to Gerstenhaber algebras, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996), no. 5, [KS04], Derived brackets, Lett. Math. Phys. 69 (2004), [Lod98] [LR90] [LZ93] J.-L. Loday, Cyclic homology, second ed., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 301, Springer-Verlag, Berlin, 1998, Appendix E by María O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. 15 Pierre B. A. Lecomte and Claude Roger, Modules et cohomologies des bigèbres de Lie, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 310 (1990), no. 6, Bong H. Lian and Gregg J. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory, Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, [Man87] Yu. I. Manin, Some remarks on Koszul algebras and quantum groups, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 37 (1987), no. 4,

18 [Man88] [Man99], Quantum groups and noncommutative geometry, Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, Montreal, QC, Yuri I. Manin, Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 47, American Mathematical Society, Providence, RI, , 16 [Mer08] S. A. Merkulov, Exotic automorphisms of the Schouten algebra of polyvector fields, arxiv: (2008). 15 [Mil12] Joan Millès, The Koszul complex is the cotangent complex, Int. Math. Res. Not. IMRN (2012), no. 3, [NR66] Albert Nijenhuis and R. W. Richardson, Jr., Cohomology and deformations in graded Lie algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), [Pri70] S.B. Priddy, Koszul resolutions, Trans. Amer. Math. Soc. 152 (1970), , 14 [Qui67] Daniel G. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43, Springer-Verlag, Berlin, [Qui69] D. Quillen, Rational homotopy theory, Ann. of Math. (2) 90 (1969), [Qui70], On the (co-) homology of commutative rings, Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970, pp [Sul77] D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1977), no. 47, (1978). 12 [Tou04] V. Tourtchine, On the homology of the spaces of long knots, Advances in topological quantum field theory, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 179, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, pp [Uch10] Kyousuke Uchino, Derived bracket construction and Manin products, Lett. Math. Phys. 93 (2010), no. 1, [Wil10] T. Willwacher, M. Kontsevich s graph complex and the Grothendieck-Teichmueller Lie algebra, arxiv.org: (2010), à paraître dans Invent. Math