Terminale STG Chapitre 10 : fonctions exponentielles. Page n
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- Frédéric Chagnon
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1 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n En économi, n démographi t dans d'autrs scincs, on parl souvnt d croissanc xponntill pour évoqur un croissanc rapid. C'st dir l'importanc primordial d cs fonctions dans ls applications t pour la cultur général! L'économist anglais Thomas Robrt Malthus ( ) constat un accroissmnt d la population mondial slon un suit géométriqu alors qu ls subsistancs augmntnt slon un suit arithmétiqu. Mais qui a invnté l nombr? C'st Léonhard Eulr mathématicin d géni né n Suiss n 707 t mort à Saint-Pétrsbourg n 783. E Activité d'approch. N. Complétr l tablau d valurs suivant : x 2 0 0,5,5 2 2,5 3 x 2. Tracr la courb d la fonction qui à x associ x. Définitions. Définition La fonction xponntill, noté xp, st la fonction qui, à tout nombr rél x, associ l nombr rél strictmnt positif x, où st l nombr tl qu ln ( ) =. Notation : xp ( x ) = x. Propriétés Soit x t soit y un nombr rél strictmnt positif Alors y = x ln ( y ) = x Si x > 0 alors ln(x) = x Dérivé t sns d variation La fonction xponntill st dérivabl sur t pour tout nombr rél x, xp ' ( x ) = xp ( x ). La fonction xponntill st donc strictmnt croissant sur. Autrmnt dit a t b sont rangés dans l mêm ordr qu a t b. C'st à dir a = b a = b t a < b a < b.
2 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n 2 Courb rprésntativ Dans l plan rapporté à un rpèr orthonormé, ls courbs rprésntativs ds fonctions ln t xp sont symétriqus par rapport à la droit d'équation y = x. Voir fuill annx. E2 Savoir dérivr ds fonctions xponntills. N 2 Calculr ls dérivés ds fonctions suivants. f ( x ) = 0,2 x 3 x g ( x ) = x x² h ( x ) = ( x 3 3x² + 4 ) x i ( x ) = x + 2 x j ( x ) = x x k ( x ) = x² x 2x+ E3 Savoir simplifir ds écriturs. N 3 Soit x, simplifir ls écriturs ds nombrs suivants 2,5x+ A = 3x -x B = 0,5x C = 4x 2 x D = ( x ) 3 E4 Résolutions d'équations t d'inéquations. N 4 Résoudr dans chacun ds équations suivants. Donnr la valur xact puis la valur approché à 0-2 près. A ) x = 3,7 B ) x = 7 6 C ) x = 0 D ) x = 3 E ) x = 00 F ) x = 0,003 N 5 Résoudr dans chacun ds équations suivants. Donnr la valur xact puis la valur approché à 0-2 près. A ) 3x-2 = B ) -5x+2 = 3 C ) 4x-3 = 2 D ) 6x = 2 E ) 3x = 3 x F ) 4 -x+3 = 2 x-
3 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n 3 N 6 Résoudr dans chacun ds inéquations suivants. A ) x > 6 B ) x < 0,8 C ) x > 5,3 D ) x < 0,07 E ) x > F ) x-2,5 G ) 4x Fonction du typ f ( x ) = ax+b. Définition Soint a t b dux réls tls qu a 0. Soit u la fonction affin défini sur par u ( x ) = ax + b. Soit f la fonction composé d u suivi d la fonction xponntill. Alors f st défini sur par f ( x ) = ax + b. Dérivabilité f st dérivabl sur t f ' ( x ) = a ax+b. Sns d variation Si a > 0 alors f st strictmnt croissant sur. Si a < 0 alors f st strictmnt décroissant sur. E5 Savoir étudir ds fonctions du typ f ( x ) = ax+b. N 7 Soit f la fonction défini sur par f ( x ) = 3x+2. ) Calculr f ' ( x ). 2 ) Détrminr l sns d variation d la fonction f. 3 ) Drssr l tablau d variation d la fonction f. 4 ) Tracr un allur d la courb d f. N 8 Soit f la fonction défini sur par f ( x ) = -2x+3. ) Calculr f ' ( x ). 2 ) Détrminr l sns d variation d la fonction f. 3 ) Drssr l tablau d variation d la fonction f. 4 ) Tracr un allur d la courb d f.
4 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n 4 3 Fonctions xponntill d bas a avc a > 0. Définition Soit a un nombr rél strictmnt positif. Alors la fonction xponntill d bas a st la fonction qui, à tout nombr rél x, associ l nombr rél strictmnt positif a x. Notation f ( x ) = a x Propriété Pour tout x rél, a x = xln(a) Dérivé La fonction xponntill d bas a st dérivabl sur t pour tout x rél f ' ( x ) = ln ( a ) a x. Sns d variation Si 0 < a < alors f st strictmnt décroissant sur. Si a > alors f st strictmnt croissant sur. Exmpls d courbs : voir fuills annxs. E6 Savoir travaillr avc ds fonctions xponntills d bas a. N 9 Soit f la fonction défini sur * par f ( x ) = 0,75x x. ) Calculr f ' ( x ). En déduir l sns d variation d la fonction f t drssr son tablau d variation. 2 ) Démontrr qu l'équation f ( x ) = admt un uniqu solution dans l'intrvall [ 0,5 ; 2 ]. N 0 Soit f la fonction défini sur par f ( x ) = 0,5x² 2 x + 3 ) Calculr f ' ( x ). En déduir l sns d variation d la fonction f t drssr son tablau d variation. 2 ) Démontrr qu l'équation f ( x ) = 4 admt un uniqu solution dans l'intrvall [ 0,5 ; 2 ]. Détrminr si possibl sa valur.
5 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n 5 E7 Exrcic typ Bac. N 7 points h 05 min Parti A utilisation d'un tablur. Pour un fonction f, défini sur [ 2 ; 6 ], on a obtnu à l'aid d'un tablur l tablau d valurs pag n 6. Eliminr parmi ls trois graphiqus proposés cux qui n puvnt pas rprésntr la fonction, n justifiant votr décision. 2. La fonction précédnt st la fonction f défini sur [ 2 ; 6 ] par : f ( x ) = 0,75 x + - 0,75 x + 0,5. Pour obtnir un tablau d valurs à l'aid d'un tablur, on a rmpli ls clluls A2 à A8 comm indiqué sur la pag suivant. a. Indiqur un méthod qui prmt d'obtnir ls 7 valurs numériqus d x dans la plag A2 : A8 sans avoir à ls saisir un à un. b. On vut obtnir dans la colonn B ls imags par f ds nombrs figurant dans la colonn A. On saisit n B2 un formul à rcopir vrs l bas. Parmi ls formuls proposés pag n 6, choisir la formul qui prmt d'obtnir cs imags ( aucun justification n'st dmandé ). Parti B étud mathématiqu d'un problèm économiqu. Un ntrpris fabriqu t vnd x cntains d'objts, pour ds valurs d x compriss dans l'intrvall [ 2 ; 6 ]. On admt qu f ( x ) xprim, n millions d'uros, l coût d fabrication n fonction du nombr x. Chaqu objt fabriqué st vndu uros. On not g ( x ) l montant, n millions d'uros, du produit d la vnt d x cntains d'objts. On a donc : g ( x ) = 0,8 x. On suppos dans la suit qu tout la production st écoulé, c'st à dir qu chaqu objt fabriqué st vndu.. L'ntrpris réalis-t-ll un profit lorsqu'll fabriqu ( t vnd ) dux cnts objts? Six cnts objts? 2. On not B ( x ) l profit, n millions d'uros, réalisé par l'ntrpris pour la production t la vnt d x cntains d'objts. a. Démontrr qu B ( x ) = 0,05x 0,75 x + 0,5. b. Calculr B ' ( x ). Montrr qu, pour tout nombr rél x d l'intrvall [ 2 ; 6 ] : B ' ( x ) > 0. c. Rproduir t complétr l tablau ci-dssous puis utilisr l pour répondr aux qustions suivants : Qul st l nombr d'objts minimum ( à l'objt près ) qu l'ntrpris doit produir pour êtr rntabl? Justifir. L'ntrpris put-ll spérr réalisr un bénéfic d uros? Justifir.
6 Trminal STG Chapitr 0 : fonctions xponntills. Pag n 6 x 2 6 sign d B ' ( x ) variations d B Formul : =0,75*( 2)+EXP( 0,75 * ( 2 ) + 0,5 ) Formul 2 : =0,75*A+EXP( 0,75 * A + 0,5 ) Formul 3 : =0,75*A2+EXP( 0,75 * A2 + 0,5 ) Formul 4 : =0,75*$A$2 + EXP( 0,75 * $A$2 + 0,5 ) A B x f(x) x f(x) Graphiqu A Graphiqu B Graphiqu C
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