2 TABLE DES MATIÈRES. I.8.2 Exemple... 38

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1 Table des matières I Séries chronologiques 3 I.1 Introduction I.1.1 Motivations et objectifs I.1.2 Exemples de séries temporelles I.1.3 Repères historiques I.1.4 Principaux modèles statistiques pour l étude des séries temporelles. 7 I.2 Processus univariés à temps discret I.2.1 Processus stochastique du second ordre I.2.2 Processus stationnaire I.2.3 Autocovariance et autocorrélations I.2.4 Estimation des moments pour les processus stationnaires I.2.5 Tests de blancheur I.2.6 Densité spectrale I.3 Décomposition saisonnière I.3.1 Principe de la décomposition saisonnière I.3.2 Décomposition saisonnière à l aide de la régression linéaire I.4 Prévision et processus des innovations I.5 Étude des processus AR I.5.1 Définition I.5.2 Processus AR canonique et écriture MA( I.5.3 Autocorrélations simples d un processus AR I.5.4 Autocorrélations partielle d un processus AR I.5.5 Exemples I.6 Processus MA I.6.1 Processus MA canonique et écriture AR ( I.6.2 Autocorrélations simples d un processus MA I.6.3 Autocorrélations partielles d un processus MA I.7 Processus ARMA I.7.1 Processus ARMA canonique et écritures MA( et AR( I.7.2 Autocorrélations d un processus ARMA I.7.3 Densité spectrale d un processus ARMA I.7.4 Estimation des processus ARMA I.7.5 Choix de modèle I.8 Pratique des modèles SARIMA I.8.1 Méthodologie

2 2 TABLE DES MATIÈRES I.8.2 Exemple

3 Chapitre I Séries chronologiques I.1 Introduction I.1.1 Motivations et objectifs Une série temporelle, ou série chronologique, est un ensemble d observations qui se distinguent par le rôle important que joue l ordre dans lequel elles ont été recueillies. Les objectifs du cours sont les suivants : 1. Comprendre les problématiques posées par le lien temporel. 2. Etre capable de mettre en oeuvre des techniques de base (statistiques sur des séries temporelles. L importance de ce domaine est illustrée par les nombreux domaines d application : Economie : prévision d indices économiques... Finance : évolution des cours de la bourse... Démographie : analyse de l évolution d une population... Météorologie : analyse de données climatiques... Médecine : analyse d electrocardiogrammes... Géophysique : analyse de données sismiques... Théorie du signal : transmission de signaux bruités... Traitement d images : analyse d images satellites, médicales... Energie : prévision de la consommation d éléctricité... Les buts poursuivis sont multiples : Description : détermination de composantes... Filtrage : transformation de la série dans le but d éliminer certaines caractéristiques ou des valeurs aberrantes... Modélisation : recherche de causalité... Prévision. Il existe évidemment des interactions entre ces différents objectifs. Afin de mener l étude pratique d une série temporelle, on ne doit pas négliger la phase descriptive, pour envisager éventuellement un filtrage de la série. La modélisation, qui s avère souvent plus facile sur une série filtrée, fournit les outils pour effectuer des prévisions. 3

4 4 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES I.1.2 Exemples de séries temporelles Dans ce document, les exemples, les traitements et donc les graphiques sont obtenus à l aide du logiciel SAS. 1. La partition de musique est un exemple de série temporelle, même s il est rare de la modéliser mathématiquement (si on excepte la musique sérielle : Cf. Arnold Schönberg : modifier l emplacement d une note a des conséquences musicales évidentes. 2. Un bruit blanc fort est constitué de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d., d espérance nulle. Voici un exemple simulé à partir d une loi normale N (0, La série suivante représente la population des Etats Unis de 1790 à On peut observer une tendance de type exponentiel puis linéaire, ainsi qu un point d inflexion dont il faudrait déterminer la cause si on veut modéliser le plus correctement possible cette série.

5 I.1. INTRODUCTION 5 4. Le graphique ci-dessous représente le nombre mensuel de passagers aériens de janvier 1949 à décembre C est une des séries les plus utilisées comme exemple d application et elle figurera abondamment dans ce document sous la dénomination Nombre de passagers aériens. On observe une tendance de type exponentiel ainsi qu une saisonnalité de période 12 (saisonnalité annuelle qui s accentue avec le temps. Si on effectue une transformation logarithmique de cette série, on se ramène à une tendance linéaire et à une saisonnalité non volatile :

6 6 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES I.1.3 Repères historiques On peut distinguer trois phases dans l histoire de l analyse des séries temporelles : 1. Les séries temporelles apparaissent avec l utilisation de la représentation graphique, en astronomie. Le plus ancien diagramme connu figure ci-dessous ; il représente l inclinaison des planètes en fonction du temps (illustration d un commentaire du Songe de Scipion de Cicéron, extrait des Saturnales de Macrobius, en 395 après J.C. 2. A partir des 18ème et 19ème siècles, on passe de la visualisation graphique aux premières techniques temporelles (déterministes. Citons deux voies très importantes : les travaux de Schuster (1898, 1906 à partir de ceux de Fourier (1807 et Stokes (1879, sur l analyse fréquentielle d une série temporelle (un signal est approché par une somme de sinusoïdales ; les travaux de Pearson (1916 sur la décomposition d une série temporelle en termes de composantes tendantielle, cyclique, saisonnière et accidentelle.

7 I.1. INTRODUCTION 7 3. A partir du 20ème siècle, l aléatoire est pris en compte, notamment à l aide des travaux de Yule (1927. Ces travaux sont issus de l observation du mouvement oscillatoire d un pendule bombardé de petits pois lancés par un enfant! Il y a ensuite de nombreux contributeurs aux méthodes aléatoires : Cramer (1937, 1951, Wold (1938, Kolmogorov ( I.1.4 Principaux modèles statistiques pour l étude des séries temporelles On présente ici les principales familles de modèles utilisés pour traiter les séries temporelles. Modèles autorégressifs ( Auto-Regressive Ils ont été introduits par Yule en On prend en compte une dépendance linéaire du processus à son propre passé : AR(p : X t = ϕ 1 X t ϕ p X t p + ε t, où p N est l ordre du processus, ϕ 1,...,ϕ p sont des constantes réelles et (ε t t Z est un bruit blanc (cf. définition I.3. Modèles moyennes mobiles ( Moving Average Ils ont également été introduits en 1927, par Slutsky. Un processus moyenne mobile est la somme d un bruit blanc et des ses retards : MA(q : X t = ε t + θ 1 ε t θ q ε t q, où q N est fixé et θ 1,...,θ q sont des constantes réelles. Modèles ARMA ( Auto-Regressive Moving Average Développés par Box & Jenkins en 1970, les modèles ARMA sont une combinaison des modèles autorégressif et moyenne mobile : ARMA(p,q : X t ϕ 1 X t 1... ϕ p X t p = ε t + θ 1 ε t θ q ε t q. Les modèles ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average et SARIMA (Seasonnal AutoRegressive Integrated Moving Average (un processus SARIMA est un processus ARMA intégré avec une composante saisonnière ont ensuite été développés afin de pouvoir modéliser un grand nombre de phénomènes réels qui présentent des tendances et/ou des saisonnalités. On applique en fait des modèles ARMA à des séries dites différenciées ; par exemple, pour un ARIMA d ordre 1, on suppose que X t X t 1 est un ARMA (on note en général X t = X t X t 1 ou encore (I BX t en utilisant les opérateurs identité I et rétrograde ( backward BX t = X t 1.

8 8 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES Modèles ARCH ( Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity En 1982, Engle a proposé des modèles autorégressifs prenant en compte une volatilité stochastique : ARCH(p : X t = ε t ht avec h t = α 0 + α 1 X 2 t α p X 2 t p, où p 1 est fixé et α 0,...,α p sont des constantes positives. Modèles à mémoire longue Les modèles envisagés la plupart du temps sont des modèles dits à mémoire courte : deux instants éloignés du processus n ont que très peu d interaction entre eux. Il existe d autres modélisations pour les processus à mémoire longue, tels que les processus FARIMA (fractional ARIMA introduits en 1980 par Granger. Modèles multivariés ( Vector Auto-Regressive On est parfois contraints de modéliser un phénomène multiple, ou plusieurs séries ayant de fortes relations entre elles. Les modèles autorégressifs vectoriels sont un exemple d une modélisation multivariée : V AR : X t = AX t 1 + E t où X t = ( Xt 1,Xt 2, où A est une matrice carrée constante et (E t t Z est un bruit blanc multidimensionnel. Modèles non-paramétriques Tous les modèles envisagés précédemment sont paramétriques : l estimation d un ou plusieurs paramètres suffit pour déterminer les relations temporelles d un processus. On peut cependant considérer que la fonction de lien n est pas paramétrée ; on cherche alors à déterminer une fonction f dans des classes de fonctions adaptées traduisant la relation temporelle, par exemple : X t = f (X t 1,...,X t p + ε t. La fonction f peut être estimée à l aide de la méthode des noyaux, des séries de Fourier, des ondelettes... Modèles semi-paramétriques Les modèles non-paramétriques souffrent du fléau de la dimension. On utilise alors une modélisation non-paramétrique sur une ou plusieurs combinaison de variables, par exemple X t = f (θ 1 X t θ p X t p + ε t, où p 1 est fixé et θ 1,...,θ p sont des constantes.

9 I.2. PROCESSUS UNIVARIÉS À TEMPS DISCRET 9 I.2 Processus univariés à temps discret Cette section pose les bases de la modélisation probabiliste des séries temporelles. Il définit les notions de processus stochastique et de stationnarité, ainsi que des outils d analyse comme les autocorrélogrammes et le périodogramme. Soit (x t t T une famille d observations d un phénomène qui peut être physique, économique, biologique... Chaque observation x t R d a été enregistrée à un temps spécifique t T et on appelle série temporelle cet ensemble d observations. Si T est dénombrable (en général T Z, on parle de série temporelle à temps discret. Si T n est pas dénombrable (en général un intervalle de R, on parle de série temporelle à temps continu. On considère des séries temporelles à valeur dans R d. Si d = 1, on parle de série univariée. Si d > 1, on parle de série multivariée. On désignera dans la suite par série temporelle une série temporelle univariée à temps discret. On considère en Statistique que l observation x est la réalisation d une variable aléatoire X. De manière analogue, une série temporelle (x t t T est considérée comme la réalisation d un processus stochastique (d une suite de variables aléatoires (X t t T. I.2.1 Processus stochastique du second ordre Définition I.1. Soit X := (X t t T un processus stochastique (i.e. une suite de variables aléatoires. Le processus X est dit du second ordre si pour tout t T, X t est une variable aléatoire de carré intégrable i.e. E( X t 2 < +. Voici deux exemples de processus du second ordre qui sont fondamentaux dans la suite. Définition I.2. (ε t t Z est un bruit blanc fort si : (ε t t Z est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d., t Z : E (ε t = 0 et E ( ε 2 t = σ 2. Définition I.3. (ε t t Z est un bruit blanc faible si : (ε t t Z est une suite de variables aléatoires réelles identiquement distribuées, (t,t Z 2,t t : Cov (ε t,ε t = 0, t Z : E (ε t = 0 et E ( ε 2 t = σ 2. On rappelle maintenant un résultat important pour l étude de processus du second ordre. Proposition I.4. Soient (X n n Z et (Y n n Z deux processus tels que lim E n + [ ( + i=n 2 ( n X i + i= X i 2 ] = 0 et lim n + E [ ( i=n 2 ( n Y i + i= Y i 2 ] = 0. Alors, on a Cov X i, Y j = i= j= i= j= Cov (X i,y j

10 10 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES I.2.2 Processus stationnaire Dans de très nombreux cas, on ne peut pas renouveler la suite de mesures dans des conditions identiques (par exemple le taux de chômage mensuel. Alors pour que le modèle déduit à partir d une suite d observations ait un sens, il faut que toute portion de la trajectoire observée fournisse des informations sur la loi du processus et que des portions différentes, mais de même longueur, fournissent les mêmes indications. D où la notion de stationnarité. Définition I.5. Un processus (X t t T est fortement stationnaire ou strictement stationnaire si, pour tous k 1, (t 1,...,t k T k, h tel que (t 1 + h,...,t k + h T k, les vecteurs (X t1,...,x tk et (X t1 +h,...,x tk +h ont même loi. Cette propriété très forte est très difficile à vérifier, d où la notion de stationnarité faible. Définition I.6. Un processus (X t t T du second ordre est faiblement stationnaire ou stationnaire à l ordre 2, si son espérance E (X t et ses autocovariances Cov (X s,x t sont invariantes par translation dans le temps : t T, E (X t = E (X 0, (s,t T 2, h / (s + h,t + h T 2, Cov (X s,x t = Cov (X s+h,x t+h. Dans la suite, on notera µ X = E (X 0 et γ X (h = Cov (X 0,X h. Remarque I.7. La stationnarité faible est bien plus facile à étudier et à vérifier que la stationnarité stricte. Un processus stationnaire n est pas obligatoirement borné ou sympathique (par exemple, un bruit blanc. Pour un processus du second ordre, la stationnarité stricte implique la stationnarité faible. La réciproque est fausse (elle n est vraie que pour les processus gaussiens. Exemple I Un bruit blanc fort est fortement stationnaire. 2. Un bruit blanc faible est faiblement stationnaire. 3. Un processus présentant une tendance et/ou une saisonnalité n est pas faiblement stationnaire. On désignera dans la suite par processus stationnaire, un processus faiblement stationnaire (donc du second ordre. De plus, on supposera que le processus est à temps discret et plus précisément que T = Z. Proposition I.9. Soit (X t t Z un processus stationnaire (au sens faible. Soit une suite (a i i Z telle que a i < +. Le processus (Y t t Z où Y t = i X t i, est stationnaire et i Z i Za µ Y = µ X a i où µ X = E (X, i Z γ Y (h = a i a j γ X (h + j i. i Zj Z Cela implique notamment qu une somme de v.a.r d un processus stationnaire est stationnaire. Notons que la somme de deux processus stationnaires n est pas forcément stationnaire. Il existe des non-stationnarités particulières dont :

11 I.2. PROCESSUS UNIVARIÉS À TEMPS DISCRET 11 (X t t Z est un processus non-stationnaire TS (Trend Stationary s il peut s écrire sous la forme :X t = f (t+y t, où f est une fonction déterministe et (Y t t Z un processus stationnaire. (X t t Z est un processus non-stationnaire DS (Difference Stationary s il est stationnaire après d différenciations : d X t = (I B d X t où BX t = X t 1. Si d = 2, cela signifie que le processus défini pour tout t Z par 2 X t = X t 2X t 1 + X t 2 est stationnaire. Ces processus peuvent néanmoins être rendus stationnaires par une suite de transformations usuelles (désaisonnalisation, différenciation, transformation non linéaire... Une méthodologie classique est celle de Box-Jenkins que nous étudierons par la suite et en TP. I.2.3 Autocovariance et autocorrélations L autocovariance (resp. l autocorrélation d un processus stochastique est la covariance (resp. la corrélation de ce processus avec une version décalé dans le temps de lui même. Ces fonctions sont bien définies pour un processus stationnaire. Dans la suite on considère un processus stationnaire (X t t Z. Fonction d autocovariance Définition I.10. On appelle fonction d autocovariance du processus X la fonction γ suivante : h Z : γ (h = Cov (X t,x t h Proposition I.11. La fonction d autocovariance vérifie les propriétés suivantes : γ (0 0, γ (h γ (0, γ est une fonction symétrique : pour tout h N, γ ( h = γ (h, γ est une fonction semi-définie positive : n N, (a i i {1,...,n} R n : n n a i a j γ (i j 0. j=1 Comme la fonction γ est symétrique, on calculera la fonction d autocovariance pour h N. Réciproquement, si une fonction γ vérifie : γ ( h = γ (h, h N, n n n N, (a i i {1,...,n} R n : a i a j γ (i j 0, j=1 alors c est une fonction d autocovariance. Autocorrélogramme simple Définition I.12. On appelle autocorrélogramme simple du processus X la fonction ρ suivante : h Z : ρ(h = Corr (X t,x t h = γ (h γ (0

12 12 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES L autocorrélogramme simple est donc la fonction d autocovariance renormalisée. Il vérifie des propriétés similaires. Proposition I.13. On a : ρ(0 = 1, ρ(h 1, ρ est une fonction symétrique : h N : ρ( h = ρ(h, ρ est une fonction définie positive : n 0, (a i i {1,...,n} : n n a i a j ρ(i j 0. j=1 Définition I.14. On appelle matrice d autocorrélation de (X t,...,x t h+1 avec h N la matrice suivante : 1 ρ(1... ρ(h 1 R h = ρ( ρ(1 (I.1 ρ(h 1... ρ(1 1 Proposition I.15. La fonction ρ est une fonction définie positive si et seulement si h N : detr h 0. La seconde condition fixe de nombreuses contraintes aux corrélations, par exemple : Autocorrélogramme partiel detr 3 0 [1 ρ(2] [ 1 + ρ(2 2ρ 2 (1 ] 0. Une seconde façon de mesurer l influence entre le processus et son décalé dans le temps est de calculer la corrélation entre deux instants en enlevant une partie de l information contenue entre ces deux instants. Plus précisement, on calcule la corrélation entre le terme X t EL (X t X t 1,...,X t h+1 et le terme X t h EL (X t h X t 1,...,X t h+1, où la quantité EL (X t X t 1,...,X t h+1 (resp. EL (X t h X t 1,...,X t h+1 désigne la régression linéaire de X t (resp. X t h sur X t 1,...,X t h+1. On rappelle que la régression linéaire d une variable aléatoire Z sur n variables aléatoires Y 1,...,Y n est la variable aléatoire, notée EL (Z Y 1,...,Y n, est la combinaison linéaire des Y 1,...,Y n qui minimise Z Var(Z Z. Plus précisément, on a EL (Z Y 1,...,Y n = n a i Y i avec (a 1,...,a n = argmin (x 1,...,x n R n Var ( Z n x i Y i. Définition I.16. On appelle autocorrélogramme partiel du processus X la fonction r suivante : r (1 = ρ(1 et pour tout h N, r (h = Corr (X t,x t h X t 1,...,X t h+1 = Cov (X t EL(X t X t 1,...,X t h+1,x t h EL (X t h X t 1,...,X t h+1. Var (X t EL(X t X t 1,...,X t h+1

13 I.2. PROCESSUS UNIVARIÉS À TEMPS DISCRET 13 Théorème I.17. Soit (X t t Z un processus stationnaire. On considère la régression linéaire de X t sur X t 1,...,X t h : EL(X t X t 1,...,X t h = h a i (h X t i, et ε t = X t EL(X t X t 1,...,X t h. Alors on a E (ε t = 0 et il existe σ > 0 tel que pour tout t Z, E ( ε 2 t = σ 2 i {1,...,h} : E (ε t X t i = 0 Et on a a h (h = r (h ainsi que ρ(1 ρ(2... ρ(h = R h a 1 (h a 2 (h... a h (h D après cette proposition, si on a une estimation de (ρ(1,...,ρ(h et donc de la matrice d autocorrélation R h définie par (I.1, alors on est capable d estimer (a 1 (h,...,a h (h (en inversant la matrice R h. On obtient aussi, d après le théorème précédent, une estimation de l autocorrélogramme partiel r(h. Une façon moins coûteuse d inverser la matrice R h pour déterminer les autocorrélations partielles est d utiliser l algorithme de Durbin-Levinson. Algorithme I.18. Algorithme de Durbin-Levinson : a 1 (1 = ρ(1 h 2, i {1,...,h 1} : a i (h = a i (h 1 a h (h a h i (h 1, ρ(h h 1 ρ(h i a i (h 1 h 2 : a h (h =. 1 h 1 ρ(i a i (h 1 I.2.4 Estimation des moments pour les processus stationnaires Soit (X t t Z un processus stationnaire. Espérance L estimateur naturel (sans biais de E (X = µ à partir de (X 1,...,X T est la moyenne empirique X T :X T = 1 T X i. C est un estimateur convergent vers µ lorsque T tend vers T l infini. Autocovariance et autocorrélation Si on dispose de (X 1,...,X T alors on peut considérer les deux estimateurs suivants de la fonction d autocorrélation γ(h : pour tout h {1,...,T 1} γ (h = 1 T T t=h+1. ( Xt X T ( Xt h X T,

14 14 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES et γ (h = 1 T h T t=h+1 ( Xt X T ( Xt h X T. Ils sont tous les deux convergents et asymptotiquement sans biais mais le biais de γ (h est plus petit que celui de γ (h. Par contre le premier est défini positif tandis que le second ne l est pas en général. On en déduit l estimateur suivant de l autocorrélogramme simple ρ(h : h {1,...,T 1} : ρ (h = T t=h+1 ( Xt X T ( Xt h X T T ( 2 Xt X T t=1 Remarque I.19. On peut noter que : Appliquer ces estimateurs avec h = T 1 pose problème. On peut faire les calculs même lorsque le processus n est pas stationnaire! Les estimations des autocorrélations partielles se déduisent des estimations des autocorrélations simples grâce à l algorithme de Durbin-Levinson. I.2.5 Tests de blancheur Il existe différents tests de blancheur nécessaires notamment pour valider les modélisations SARIMA (Seasonal ARIMA, notamment le test de Portmanteau. On considère le test suivant (de Portmanteau ou de Ljung-Box : { H0 : (X t t Z est un bruit blanc H 1 : (X t t Z n est pas un bruit blanc Si on dispose de (X 1,...,X T, on considère la statistique suivante (calculée sur les k premières estimations des autocorrélations : Q k = T k ρ 2 (h h=1 Une trop grande valeur de Q k indique que les autocorrélations sont trop importantes pour être celles d un bruit blanc. On peut également considérer la statistique (qui converge plus vite : k ρ 2 (h Q k = T (T + 2 T h Sous H 1, Q k diverge vers l infini quand T tend vers l infini. Asymptotiquement, sous H 0, Q k suit une loi du χ 2 à k degrés de liberté. On rejette donc l hypothèse H 0 au niveau α si : h=1 Q k > χ 2 k (1 α

15 I.2. PROCESSUS UNIVARIÉS À TEMPS DISCRET 15 où χ 2 k (1 α désigne le quantile d ordre 1 α d une loi du χ2 à k degrés de liberté. En général on préfère travailler sur la p-valeur : p-valeur = P ( χ 2 k Q k On rejette l hypothèse H 0 au niveau α si : p-valeur < α. Exemple I.20. Le logiciel SAS permet d effectuer le test de blancheur. La sortie suivante correspond au test de blancheur appliquée à un bruit blanc simulé : Dans cet exemple, on a choisit k = 6,12,18 et 24. On peut lire par exemple : q 18 = où q 18 est la réalisation de Q 18, p-valeur = On ne rejette donc pas (fort heureusement l hypothèse de blancheur de cette série. I.2.6 Densité spectrale Définition I.21. Soit (X t t Z un processus stationnaire de fonction d autocovariance γ. On appelle densité spectrale de X la transformée de Fourier discrète, f, de la suite des autocovariances (lorsqu elle existe : f (ω = 1 2π Cette densité spectrale existe lorsque : + h= + h= γ (h e ihω γ (h < + Si elle existe elle est continue, positive, paire et 2π-périodique (ce qui permet de l étudier uniquement sur [0,π]. Théorème I.22 (Théorème spectral. Si f est la densité spectrale de X alors : γ (h = +π π f (ω e ihω dω. Exemple I.23. Soit (ε t t Z un bruit blanc faible de variance σ 2. On a : γ (h = σ 2 si h = 0 et γ(h = 0 sinon. On en déduit donc : f (ω = σ2 2π Réciproquement, si la densité spectrale est constante, alors le processus correspondant est un bruit blanc faible.

16 16 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES Définition I.24. Soit (X t t Z un processus stationnaire. Si on dispose de (X 1,...,X T, on appelle périodogramme la fonction I T suivante : I T (ω = 1 T T 2 X t e itω t=1 1 Si le processus (X t t Z admet une densité spectrale, alors 2π I T (ω est un estimateur sans biais de la densité spectrale (mais non-convergent!. On peut résoudre le problème de convergence en lissant le périodogramme et en considérant l estimateur suivant : ˆf(ω = 1 2π j m T W T (ji T ( g(t,ω + 2πj, T où g(t,ω est le multiple de 2π/T le plus proche de ω, m T + et m T T 0 quand T +, j Z,W T (j 0,W T ( j = W t (j, j m T W T (j = 1 et j m T WT 2 (j 0. Par exemple les poids constants W T (j = 1/(2m T + 1 conviennent, mais il existe d autres choix avec de meilleures propriétés. Une grande valeur du périodogramme suggère que la série a une composante saisonnière à la fréquence correspondante. Exemple I.25. Le graphique ci-dessous représente le périodogramme lissé du nombre de passagers aériens, dans le domaine fréquentiel : Le graphique ci-dessous représente le périodogramme du nombre de passagers aériens, dans le domaine temporel 1 : 1 On passe du domaine fréquentiel au domaine temporel à l aide de la relation : T = 2π.

17 I.3. DÉCOMPOSITION SAISONNIÈRE 17 I.3 Décomposition saisonnière Cette partie présente la décomposition saisonnière, à l aide de la régression et des moyennes mobiles. I.3.1 Principe de la décomposition saisonnière Il est courant de décomposer un processus (X t t {1,...,T } en différents termes : Une tendance : T t Une composante saisonnière : S t (de période p Un résidu aléatoire : ε t Et éventuellement une composante cyclique (de long terme : C t Il existe différentes modèles possibles dont : Le modèle additif : X t = T t + S t + ε t, où E (ε t = 0 et V (ε t = σ 2. Le modèle multiplicatif : X t = T t S t (1 + ε t, où E (ε t = 0 et V (ε t = σ 2. I.3.2 Décomposition saisonnière à l aide de la régression linéaire Principe On suppose que les composantes tendantielles et saisonnières sont des combinaisons linéaires de fonctions connues dans le temps : T t = n α i Tt i, S t = β j S j t, j=1 où : { S j 1 si t = j [p], t = 0 sinon.

18 18 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES Exemple I.26. On peut considérer les tendances suivantes : 1. Tendance linéaire : T t = α 0 + α 1 t 2. Tendance quadratique : T t = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 3. Tendance exponentielle : T t = cα t 4. Tendance de Gomperz : T t = exp ( c 1 α t + c 2 Les deux premiers cas peuvent se résoudre à l aide de la régression linéaire. Les deux suivants se résolvent par optimisation (en minimisant par exemple l erreur quadratique. Estimation dans le cas d un modèle additif Le modèle considéré est le suivant : t {1,...,T } : X t = n α i Tt i + β j S j t + ε t, j=1 où (ε t t Z est un bruit blanc. On cherche à minimiser l erreur quadratique T (X t t=1 n α i Tt i β j S j t 2 en les paramètre α 1,...,α n et β 1,...,β p, où n et p sont fixés. On utilise les notations suivantes : T T n 1 S S p 1 D = S = TT 1... TT n ST 1... S p T Avec ces notations, le système s écrit sous la forme vectorielle suivante : j=1 X = Dα + Sβ + ε = Y b + ε, où : X = X 1... X T ;ε = ε 1... ε T ;α = α 1... α n ;β = β 1... β p ;Y = [D,S];b = ( α β. Un estimateur de b dans X = Y b + ε par les moindres carrés ordinaires (MCO est : b = ( Y Y 1 Y X. Ainsi on obtient les estimateurs de α et β : ( [ D = α β D D S S D S S ] 1 ( D X S X De plus, ce sont des estimateurs sans biais ( E α β = ( α β,

19 I.3. DÉCOMPOSITION SAISONNIÈRE 19 et de variance ( V α β [ = s 2 D D D S S D S S ] 1 où s 2 1 T = ε 2 t est un estimateur convergent (lorsque T tend vers l infini et sans T n p t=1 biais de la variance de ε t. Résultats Une fois les estimations effectuées, on peut obtenir la série ajustée X t et la série corrigée des variations saisonnières Xt CV S : X t = n α i Tt i + p β j S j t j=1 Xt CV S = X t X t Prévision Si on désire prévoir X T+h, on peut supposer que le modèle est toujours valable à cet horizon, ce qui donne : X T+h = n α i TT+h i + β j S j T+h + ε T+h. La meilleure prévision au sens de l erreur quadratique moyenne est l espérance de X T+h notée X T (h avec n X T (h = E(X T+h = α i TT+h i + β j S j T+h, dont l estimateur X T (h est X T (h = X T+h = j=1 j=1 n α i TT+h i + β j S j T+h. La notation X T (h est utilisé pour signifier que l on prédit à l horizon h connaissant les données jusqu à T. On peut également estimer des intervalles de confiance (asymptotiques. j=1 Exemple Considérons le nombre de passagers aériens. La croissance du nombre de passagers aérien est exponentielle. On effectue donc une transformation logarithmique sur les données. Et on considère le modèle suivant : t {1,...,144} : X t = at + b + 12 j=1 c j S j t + ε t

20 20 CHAPITRE I. SÉRIES CHRONOLOGIQUES où on a tenu compte d une saisonalité annuelle : S j t = { 1 si t = j [12], 0 sinon. Ce modèle est l analogue du premier modèle historique de Buys-Ballot (1847. Comme 12 = 1, le modèle indéterminé. Pour résoudre ce problème on peut soit poser S j t j=1 c 12 = 0 soit contraindre 12 c j = 0. j=1 Le graphique suivant représente les résultats obtenus : série brute et série corrigée des variations saisonnières (on a effectué une transformation logarithmique aux données avant traitement, puis une transformation exponentielle aprés traitement. Remarque I.27. Il est aussi possible d utiliser des moyennes mobiles (ou glissantes pour effectuer les décompositions saisonnières. Une moyenne mobile est une combinaison linéaire d opérateurs retard : M = m 2 i= m 1 θ i B i où (m 1,m 2 N 2, (θ m1,θ m2 R 2 et B est l opérateur retard : BX t = X t 1 et plus généralement B i X t = X t i. Un algorithme classique de desaisonnalisation utilisant les moyennes mobiles est l algorithme X11 mis au point par le Bureau of Census. I.4 Prévision et processus des innovations On considère un processus stationnaire (X t t Z. Soit t fixé. La prévision linéaire optimale de X t sachant son passé est définie comme la régression linéaire de X t sur l espace fermé engendré par les combinaisons linéaires des (X i i t 1. On la note X t, X t = c 0 + t 1 i= a i X i, (I.2

21 I.5. ÉTUDE DES PROCESSUS AR 21 où (c 0,(a i 1 i t 1 = argmin c 0,(a i 1 i t 1 E[(X t c 0 + t 1 i= a i X i 2 ]. Les erreurs de prévision successives ε t = X t X t forment un processus appelé processus des innovations. Proposition I.28. Le processus des innovations, ou plus simplement innovations, est un bruit blanc. Remarque I.29. On utilise souvent des algorithmes itératifs afin de déterminer les prévisions basées sur (X 1,...,X T+1, à partir de celles basées sur (X 1,...,X T. L algorithme de Durbin- Levinson et l algorithme des innovations sont couramment utilisés. I.5 Étude des processus AR Cette partie ainsi que les suivantes présentent les modèles proposés par Box et Jenkins. Ils sont utilisés pour traiter de nombreuses séries temporelles. Sauf mention contraire, on considère dans ce chapitre des processus centrés. Si le processus (X t t Z n est pas centré, on obtient les mêmes résultats mais sur le processus (Y t t Z tel que Y t = X t µ X. I.5.1 Définition Définition I.30. Soit (ε t t Z un bruit blanc (faible de variance σ 2 et p 1. On dit qu un processus (X t t Z est un processus autorégressif ou encore processus AR (AutoRegressive d ordre p, noté AR (p, si : (X t t Z est stationnaire, t Z : X t = ϕ i X t i + ε t où (ϕ 1,...,ϕ p R p sont des constantes et ϕ p 0. On utilise généralement la notation suivante : où Φ (B = I ϕ i B i. Φ (BX t = ε t, Exemple I.31. Soit (ε t t Z un bruit blanc faible de variance σ 2. Soit le processus (X t t Z suivant : X t = X t 1 + ε t. On a, pour h N : X t X t h = ε t ε t h+1, d où : [ E (X t X t h 2] = hσ 2 Si le processus (X t t Z était stationnaire, on aurait : [ E (X t X t h 2] = E ( Xt 2 ( + E X 2 t h 2E (Xt X t h = E ( Xt 2 ( ( ( + E X 2 t h + E X 2 t + E X 2 t h E [(X t + X t h 2] = 4V (X t E [(X t + X t h 2] 4V (X t. (I.3