Modèles ARIMA et SARIMA Estimation dans R 1 et SAS 2 Novembre 2007 Yves Aragon aragon@cict.fr

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1 Modèles ARIMA et SARIMA Estimation dans R 1 et SAS 2 Novembre 2007 Yves Aragon aragon@cict.fr Cette note examine les différences entre R et SAS dans l estimation des modèles ARIMA et SARIMA. Elle illustre également l emploi du package dse pour simuler un modèle ARIMA. 1 Estimation d un ARIMA Pour comprendre comment on lit les résultats d estimation dans les deux logiciels, prenons l exemple suivant. On veut estimer un ARIMA(1,1,2) sur une série d observations y t, t = 1,, T, simulées suivant un tel modèle. Autrement dit on veut estimer le modèle : Y t = µ + 1 θ 1B θ 2 B 2 Z t, Z t BBN(0, σ 2 1 φ 1 B Z), (1) où Y t = (1 B)Y t Dans cette expression, µ est bien la moyenne de (1 B)Y t. Le modèle peut encore s écrire : (1 B)(1 φ 1 B)Y t = c + (1 θ 1 B θ 2 B 2 )Z t (2) et c = µ(1 φ). Les observations sont dans le fichier y_112_data.txt, elles sont tirées suivant le modèle (1 B)( B)Y t = 5 + ( B + 0.2B 2 )Z t, Z t BBN(0, 16), la série est appelée y2 dans le code ci-dessous. Estimation d un tel modèle dans SAS Le code 10 data a; infile D:\Serie_T\TP_R_ST\Simulation ST R\y2_112b.txt ; input run; proc print data=a (obs=20); run; 15 proc arima data=a; i var=y2(1); run; e p=1 q=2 method = ml; run; f out= pred_y2 lead= 5; run; 20 quit; donne les résultats suivants. 10 The ARIMA Procedure Name of Variable = y2 15 Period(s) of Differencing 1 Mean of Working Series Standard Deviation Number of Observations 199 Observation(s) eliminated by differencing 1 20 Maximum Likelihood Estimation Erreur Pr. 1 http ://

2 Paramètre Estimation standard Valeur du test t Approx. > t Retard 25 MU < MA1, MA1, AR1, < Constant Estimate Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals 199 Correlations of Parameter Estimates 40 Parameter MU MA1,1 MA1,2 AR1,1 MU MA1, MA1, AR1, Model for variable y2 Estimated Mean Period(s) of Differencing 1 Autoregressive Factors 55 Factor 1: Factor 1: B**(1) Moving Average Factors B**(1) B**(2) On peut voir que SAS fournit les estimations de µ et c (MU et constant estimate) de (1) et (2). MU et Mean of Working Series sont deux estimations (Maximum de vraisemblance et méthode des moments) de µ. Estimation dans R Utilisation de la fonction arima() du package stats. La variable y2 doit être une série temporelle, ceci est obtenu par exemple par y2 = ts(y2). > xmat0 =1:length(y2) > (est.y2 = arima(y2, order = c(1,1,2),xreg= xmat0, method = "ML")) Call: arima(x = y2, order = c(1, 1, 2), xreg = xmat0, method = "ML") Coefficients: ar1 ma1 ma2 xmat s.e sigmaˆ2 estimated as 14.6: log likelihood = , aic = Notons dans ces sorties que 2.871*1.691 = simulations , estimation de la constante 5 donnée pour les Explication de la syntaxe. Dans 2

3 est.y2 =arima(y2,order= c(1,1,2),xreg= xmat0, method = "ML"), par xreg= xmat0, R comprend le modèle ARIMA(p,1,q) comme un modèle de Y t de la forme Y t = b + c t + e t où après différenciation à l ordre 1, e t est ARMA(p,q) centré. Cette différenciation donne Y t = c + e t, c est le coefficient de t, la variable indiquée dans xreg =. c est aussi la dérive de Y t. Compléments. 1. Observons que R note la partie MA : 1 + θ 1 B + θ 2 B Pour l estimation, on peut alternativement différencier y puis ajuster un ARMA(1,2) à la série différenciée. On obtient des estimations très proches des précédentes mais le calcul des prévisions sur y demande un peu de réflexion. 3. Egalement, on estime correctement le modèle par le code : require(forecast) (est.d = arima(y2, order = c(1,1,2), include.drift=true, method = "ML")) Attention! Il existe deux versions de arima() l une dans le package stats chargé quand on lance R, l autre dans le package forecast. Il faut éviter de revenir à la version de stats après avoir utilisé celle de forecast. La solution : sauver la session de R par save.image(), quitter R puis le relancer. Prévision dans R Suivant l avertissement au paragraphe précédent, on a sauvé une image de la session, fermé R et rechargé l image de la session sans charger forecast. > (pred.y2= predict(est.y2, n.ahead=5,newxreg =((length(y2)+1):(length(y2)+5)))) $pred Time Series: Start = 201 End = 205 Frequency = 1 [1] $se Time Series: Start = 201 End = 205 Frequency = 1 [1] Prévision dans SAS Elle est faite par l étape f ou forecast du code SAS précédent. On obtient The ARIMA Procedure Prévisions pour la variable y2 Obs Forecast Std Error 95Limites de confiance % 3

4 On peut observer des différences avec R, notamment dans l estimation de l écart-type de l erreur de prédiction. Elles peuvent être dues à des choix différents dans l initialisation des récurrences. 2 Estimation d un SARIMA ou Considérons l estimation d un SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0) 4. Le modèle est (1 B)(1 B 4 )Y t = µ + 1 θ 1 B (1 φ 1 B)(1 Φ 1 B 4 ) Z t, (3) (1 B)(1 B 4 )(1 φ 1 B)(1 Φ 1 B 4 )Y t = g + (1 θ 1 B)Z t. (3+) Dans (3), µ est la moyenne de la série différenciée (1 B)(1 B 4 g )Y t, et on a : µ = (1 φ 1 )(1 Φ 1 ). On veut estimer un SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0) 4 sur une série d observations y t, t = 1,, T, simulées suivant un tel modèle. Les observations sont dans le fichier y3_111_110.txt, la série est appelée y3 dans le code ci-dessous et le modèle simulé est : Estimation dans R (1 B)(1 B 4 )(1 0.7B)( B 4 )Y t = 2 + ( B)Z t,, Z t BBN(0, 1) R comprend le modèle SARIMA(p, 1, q)(p, 1, Q) 4 comme un modèle de Y t de la forme Y t = a + b t + c t 2 + e t (4) où après différenciation aux ordres 1 et 4, (1 B)(1 B 4 )e t est ARMA(p,q) centré. Cette différenciation donne (1 B)(1 B 4 )Y t = 8c + (1 B)(1 B 4 )e t, c est le coefficient de t 2, alors que 8c est la moyenne de la série deux fois différenciée. > xmat1 = matrix(1:length(y3)) > xmat2 = matrix((1:length(y3))ˆ2) > xmat = cbind(xmat1,xmat2) > (est.3=arima(y3,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1, 1, 0),period = 4), + xreg=xmat2, method = "ML")) Call: arima(x = y3,order = c(1, 1, 1), seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 4), xreg = xmat2, method = "ML") Coefficients: ar1 ma1 sar1 xmat s.e sigmaˆ2 estimated as 0.962: log likelihood = , aic =

5 Notons que -.758/((1-.765)*(1+.54)) = , alors que la constante fournie pour la simulation est -2. Le coefficient de xmat2 est donc l estimation de c tandis que l estimation de la moyenne de Y t est * 8 = (Ce qu on peut comparer à ce que donne SAS, p.5 ligne 15 du Verbatim Mean of Working Series et ligne 39 Estimated Mean ) Il est clair que b n est pas identifiable. On peut s en convaincre en mettant les deux régresseurs t et t 2 par xreg= xmat. Le logiciel fournit alors notamment ar1 ma1 sar1 xmat1 xmat s.e qui montre que t dans (4) n est pas significative. Estimation dans SAS Le code, y compris une étape de prévision à l horizon 5, est : data a; infile D:/Serie_T/DESS_ST/ /SARIMA_R_SAS/Simulation_ST_R/y3_111_110.txt ; input run; proc print data=a (obs=20); run; proc arima data=a; i var=y3(1,4); run; e p=(1)(4) q=1 method = ml; run; /* prevision à l horizon 5 */ f out= pred_y2 lead= 5; run; quit; La sortie est de l étape e ou estimate est 10 The ARIMA Procedure Name of Variable = y3 Period(s) of Differencing 1,4 15 Mean of Working Series Standard Deviation Number of Observations 195 Observation(s) eliminated by differencing 5 20 Maximum Likelihood Estimation Erreur Pr. Paramètre Estimation standard Valeur du test t Approx. > t Retard 25 MU < MA1, < AR1, < AR2, < Constant Estimate

6 Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals 195 Model for variable y3 Estimated Mean Period(s) of Differencing 1,4 Autoregressive Factors Factor 1: B**(1) 45 Factor 2: B**(4) Moving Average Factors 50 Factor 1: B**(1) Prévision dans R Il faut fournir les valeurs prise par la variable explicative pour chaque date de l horizon de prédiction, 5 dans cet exemple. La commande est de la forme : (pred.4c = predict(est.3, n.ahead = 5, newxreg = ((length(y2)+1):(length(y2)+5))ˆ2)) 3 Simulation Simulation d un ARIMA dans R Supposons qu on veuille simuler un ARIMA(2,1,1). Le principe est toujours le même : il faut expliciter l équation de récurrence que suit la série et fournir le bruit blanc. S il n existe pas de fonction adaptée dans le logiciel, on programme ensuite la récurrence en utilisant des boucles. Exemple. Simulation de 200 observations de Y t vérifiant (1 B)(1 +.7B)Y t = 2 + (1 +.4B +.2B 2 )Z t où Z t BBN(0, σ 2 Z = 4). Notons que (1 B)Y t est stationnaire de moyenne 2/(1+0.7) = Y t n étant pas stationnaire, la simulation dépend des valeurs initiales choisies. 1 Préalablement, on peut s assurer que la partie MA est inversible en calculant les modules des racines de son polynôme : require(polynom) > Mod(polyroot(c(1,.4,.2))) [1] le processus est donc bien inversible. 2 On simule un bruit blanc gaussien de longueur supérieure à la longueur de la série à simuler. Les valeurs en trop nous fourniront les valeurs initiales. 6

7 set.seed(1) # cette commande permet d avoir constamment la même # suite de simulations # c est nécessaire quand on veut comparer des résultats long.sim = 200 n.init = 30 bb = rnorm(long.sim+n.init,0,2) # BB N(0,4) 3 Pour la simulation, nous n avons pas de boucle à programmer car plusieurs fonctions sont proposées dans R. Nous utilisons simulate() du package dse. Il faut fournir les polynômes d autorégression et de moyenne mobile sous forme développée. Le polynôme d autorégression étant un produit de deux polynômes, on effectue d abord ce produit. > autopol = polynomial(c(1,0.7))*polynomial(c(1,-1)) > # les coeff du poly du deg 0 au deg max > vecauto = as.vector(autopol) > vecauto [1] Il faut maintenant écrire le modèle ARIMA à simuler. (Utiliser l aide en ligne (help(simulate))pour comprendre le détail de ce qui suit.) > AR =array( vecauto,c(length(vecauto),1,1)) > AR,, 1 [,1] [1,] 1.0 [2,] -0.3 [3,] -0.7 > MA=array(c(1,.4,.2),c(3,1,1)) > MA,, 1 [,1] [1,] 1.0 [2,] 0.4 [3,] 0.2 > constant=2 > mod4b <- ARMA(A=AR,B=MA, C=NULL, TREND=constant) > mod4b TREND= 2 A(L) = 1-0.3L1-0.7L2 B(L) = 1+0.4L1+0.2L2 Maintenant on simule, en choisissant les valeurs initiales de la série dans le bruit blanc simulé. Observons que l opérateur retard est noté L et non B dans ce package. asim4b =simulate(mod4b, y0=bb[1:n.init],input=as.matrix(rep(constant,long.sim)), input0=null,noise=as.matrix(bb[(n.init+1):(n.init+long.sim)]),samplet=long.sim) 7

8 asim4b est un objet assez complexe. On examine sa structure : str(asim4b) et on voit que la série simulée est la composante asim4b$output. Référence. 8

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