MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe

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1 MATHÉMATIQUES I On dit qu une suite réelle a = ( a n ) n IN est ultimement périodique lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe n 0 IN et p IN tels que : ( R) n IN, n n 0 a n+ p = a n (L entier p est une période de la suite ( a n ) n ) n0 On note UP l ensemble des suites ultimement périodiques de réels L objet du problème est d étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples Partie I - IA - Montrer que UP est un sous espace vectoriel de l espace des suites réelles Est-il de dimension finie? IB - Soit a = ( a n ) n IN un élément de UP et P( a) l ensemble des entiers p 1 tels que la suite a admette p pour période à partir d un certain rang IB1) Montrer qu il existe un entier T 1 (que l on appellera la période de a ) tel que : P( a) = IN T = { kt, k IN } Que peut-on dire de la suite lorsque T = 1? IB2) Montrer qu il existe un plus petit entier n 0 tel que : n IN, n n 0 a n+ T = a n Montrer que, pour tout p P( a), n 0 est le plus petit entier à partir duquel la suite ( a n ) n IN devient p -périodique Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement a? IC - Soit a = ( a n ) n IN un élément de UP IC1) Montrer que a est bornée et que le rayon de convergence R a de la série entière a n x n est strictement positif À quelle condition nécessaire et suffisante R a est-il égal à +? Que vaut-il sinon? IC2) Montrer que la somme de cette série est une fraction rationnelle Dans quel cas est-ce un polynôme? IR IN Concours Centrale-Supélec /5

2 ID - Soit a n x n une série entière de rayon de convergence R > 0, dont la somme est la restriction à ] R, R[ d une fraction rationnelle La suite ( a n ) n IN est-elle ultimement périodique? Partie II - IIA - Exemple 1 On définit la suite ( F n ) n IN F 0 = 0, F 1 = 1 et n IN, F n + 2 = F n F n et la suite ( a n ) n IN par a n = 0 si F n est pair et a n = 1 sinon La suite ( a n ) n IN est-elle ultimement périodique? Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière a n x n IIB - Exemple 2 On définit maintenant la suite ( a n ) n IN a 0 = 1 et n IN, a 2n = a n et a 2n + 1 = a n IIB1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière a n x n On note S sa somme IIB2) Trouver une relation liant Sx ( ) et Sx ( 2 ) En déduire que, pour tout x, x ] 1, 1[, n ( Sx ( ) 1 x 2k ) = lim ( ) n + k = 0 IIB3) Étudier, pour n donné dans IN, Sx ( ) lim ( 1 x) n x 1 et en déduire que ( a n ) n IN n est pas ultimement périodique IIC - Exemple 3 Soit x = a b un rationnel strictement positif, donné sous forme irréductible On définit deux suites d entiers ( r n ) n IN et ( d n ) n IN Concours Centrale-Supélec /5

3 d 0 = Ex ( ) (partie entière) et r 0 est le reste de la division euclidienne de a par b pour tout n 1, r n (resp d n ) est le reste (resp le quotient) de la division euclidienne de 10 rn 1 par b IIC1) Dans cette question (uniquement), x = 22 7 Déterminer d 0, d 1,, d 10 IIC2) Montrer que la suite ( r n ) n IN est ultimement périodique Qu en est-il de ( d n ) n IN? IIC3) Montrer que, pour tout n IN, 0 d n 9 IIC4) Établir l égalité : + x = E( x) + d n 10 n n = 1 Partie III - Le but de cette partie est de montrer que le réel π n est pas un élément de emb E = C ( IR, IR) est l espace des fonctions de classe C de IR dans lui-même Pour tout élément f de E, on note F l application de IR dans IR définie x IR, Fx ( ) = tf() t dt x 0 IIIA - L application de E qui à tout élément f associe F est notée L Vérifier que L est une application linéaire de E dans E IIIB - On considère dans cette question un élément f de E supposé borné sur IR et on note M = f, IR = sup x IR f( x) IIIB1) Montrer que, pour tout x de IR, Fx ( ) M---- x2 2 IIIB2) On définit une suite d éléments de E par f 0 = f et, pour tout n de IN, f n + 1 = Lf ( n ) Montrer que, pour tout n de IN et tout x de IR, f n ( x) x 2n M 24 2n IIIB3) Soit I un segment quelconque de IR Montrer que pour tout n, f n est bornée sur I et lim ( sup f x I n ( x) ) = 0 n + Concours Centrale-Supélec /5

4 IIIC - On prend maintenant dans cette question et dans les suivantes f = sin, et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente IIIC1) Déterminer les fonctions f 1 et f 2 IIIC2) Montrer que, pour tout n de IN et tout x de IR, f n + 1 ( x) = ( 2n + 1)f n ( x) x 2 f n 1 ( x) IIID - Pour p IN, on note F p le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynômes de degré au plus p IIID1) On définit : H : F p F p F p F p ( PQ, ) a ( P Q, P+ Q ) Vérifier que H est un automorphisme de F p F p IIID2) On désigne par S l ensemble des fonctions paires de F p, par A celui des fonctions impaires Montrer que H( S A) = A S IIID3) On considère la suite de fonctions ( f n ) n IN définie dans la question IIIC Montrer que pour tout n de IN, il existe un couple unique de fonctions P n et Q n de F n, P n paire et Q n impaire, telles que : x IR, f n ( x) = P n ( x) sin x + Q n ( x) cos x P n Déterminer P n et Q n pour n = 012,, IIID4) Montrer que, pour tout n IN P n + 1 ( x) = ( 2n + 1)P n ( x) x 2 P n 1 ( x) et tout x IR, En déduire que les fonctions sont des polynômes à coefficients entiers IIIE - On suppose ici que le réel π est élément de emb, ensemble des nombres rationnels Soit donc p élément de ZZ et q élément de IN tels que π = p q IIIE1) Montrer que la suite ( 2q) n π P n (-- ) 2 n IN est une suite d entiers Quelle est sa limite? IIIE2) En déduire que π n est pas rationnel Concours Centrale-Supélec /5

5 Partie IV - Soit ( a n ) n IN la suite définie par, pour tout n de IN, a n = 1 si sinn > 0, a n = 0 sinon Le but de cette partie est d étudier si cette suite à valeurs entières est élément de UP IVA - On suppose que cette suite est ultimement périodique IVA1) Montrer qu il existe un entier N et un entier strictement positif T tels que, pour tout entier k supérieur ou égal à N, le signe de sin( kt) soit constant IVA2) En déduire que la suite ( cos( kt) ) k IN est composée de réels strictement positifs à partir d un certain rang IVB - Soit G = ZZT + 2πZZ = { nt + 2kπ, ( nk, ) ZZ 2 } IVB1) Montrer que G est un sous-groupe additif de IR Existe-t-il a IR tel que G = azz? IVB2) On pose G + G IR + * = (ensemble des éléments strictement positifs de G) Montrer que G + possède une borne inférieure a IVB3) On suppose a G + Montrer que G = azz IVB4) a n est donc pas élément de G + Supposant a > 0, montrer que l on peut trouver deux éléments g et g de G + tels que a< g < g < 2a En déduire a = 0 IVC - IVC1) Montrer que, pour tout n IN, il existe g n G tel que 0 < g n < 10 n IVC2) Soit x un réel Construire une suite d éléments de G convergeant vers x IVD - IVD1) Montrer l existence d une suite d entiers positifs ( k n ) n IN telle que la suite ( cos( k n T) ) n IN converge vers -1 ( 2) Montrer que l ensemble { cos( k n T), n IN} des termes de cette suite n est pas de cardinal fini IVD2) Construire alors une suite strictement croissante ( y n ) n IN extraite de ( k n ) n IN telle que la limite de ( cos( y n T) ) n IN soit -1 ( 2) IVD3) La suite ( a n ) n IN est-elle ultimement périodique? FIN Concours Centrale-Supélec /5

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