Jackknife et bootstrap comparés

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1 Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X n ) = c + n 1 n 1 α(x i) c constante, α fonction Exemples : X, 1 + n 1 Xi /n

2 Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X n ) = c + n 1 n 1 α(x i) c constante, α fonction Exemples : X, 1 + n 1 Xi /n Estimation de la variance d une statistique : pour toute statistique linéaire le jackknife et le bootstrap sont égaux à la constante multiplicative (n 1)/n près.

3 Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X n ) = c + n 1 n 1 α(x i) c constante, α fonction Exemples : X, 1 + n 1 Xi /n Estimation de la variance d une statistique : pour toute statistique linéaire le jackknife et le bootstrap sont égaux à la constante multiplicative (n 1)/n près. Pour une statistique non linéaire: les deux estimateurs de la variance peuvent être très différents. Pour des statistiques très éloignées de la linéarité, le jackknife est en général plus imprécis que le bootstrap.

4 Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X n ) = c + n 1 n 1 α(x i) c constante, α fonction Exemples : X, 1 + n 1 Xi /n Estimation de la variance d une statistique : pour toute statistique linéaire le jackknife et le bootstrap sont égaux à la constante multiplicative (n 1)/n près. Pour une statistique non linéaire: les deux estimateurs de la variance peuvent être très différents. Pour des statistiques très éloignées de la linéarité, le jackknife est en général plus imprécis que le bootstrap. Exemples : le coeff. de corrélation de Pearson r X,Y est une statistique non linéaire

5 Jackknife et bootstrap comparés Exemple: X et coefficient de corrélation r X,Y pour normale bivariée moyennes 0, variances 1, corr. 0.7

6 Jackknife et bootstrap comparés Exemple: X et coefficient de corrélation r X,Y pour normale bivariée moyennes 0, variances 1, corr. 0.7 > library(mass) #package pour simuler la normale bivariée > mu = c(0,0) # vecteur des moyennes > sigma = matrix(c(1,.7,.7,1),ncol=2) # matrice de covariance

7 Jackknife et bootstrap comparés Exemple: X et coefficient de corrélation r X,Y pour normale bivariée moyennes 0, variances 1, corr. 0.7 > library(mass) #package pour simuler la normale bivariée > mu = c(0,0) # vecteur des moyennes > sigma = matrix(c(1,.7,.7,1),ncol=2) # matrice de covariance Simulation de 2000 vecteurs normaux bivariés > set.seed(601) > a = mvrnorm(2000,mu,sigma) #matrice , lignes (X i,y i )

8 Estimation de σ(x) = 1/ n 200 estimations v Jack de X sur 200 échantillons de taille 10 (colonne X de la matrice a) > ja = numeric(200) #vecteur à 200 composantes 0 > for (i in 1:200) ja[i] = jackknife(a[(10*i-9):(10*i),1],mean)[[1]] #moyennes calculées sur la colonne X

9 Estimation de σ(x) = 1/ n 200 estimations v Jack de X sur 200 échantillons de taille 10 (colonne X de la matrice a) > ja = numeric(200) #vecteur à 200 composantes 0 > for (i in 1:200) ja[i] = jackknife(a[(10*i-9):(10*i),1],mean)[[1]] #moyennes calculées sur la colonne X Idem pour le bootstrap et v Boot > bo = numeric(200) > for (i in 1:200) + bo[i] = bootstrap(a[(10*i-9):(10*i),1],200,mean, func=sd)[[2]] #B = 200 réplications

10 Estimation de σ(x) (suite) 200 estimations selon le jackknife et le bootstrap. Echantillons de taille 10 d une normale N(0, 1).

11 Estimation de σ(x) (suite) 200 estimations selon le jackknife et le bootstrap. Echantillons de taille 10 d une normale N(0, 1). > boxplot(ja,bo,names=c( jackknife, bootstrap ), main= Ecart type de la moyenne ) > abline(h=1/sqrt(10)) # Var[X] = 1/ 10 = #Rappel: v Boot = 9v Jack /10

12 Estimation de σ(r X,Y ) Création de 2 vecteurs de 200 composantes > rja = numeric(200) > rbo = numeric(200)

13 Estimation de σ(r X,Y ) Création de 2 vecteurs de 200 composantes > rja = numeric(200) > rbo = numeric(200) Définition de la corrélation de Pearson > theta = function(x,donnees) cor(donnees[x,1],donnees[x,2]) # x: nos des obs.

14 Estimation de σ(r X,Y ) Création de 2 vecteurs de 200 composantes > rja = numeric(200) > rbo = numeric(200) Définition de la corrélation de Pearson > theta = function(x,donnees) cor(donnees[x,1],donnees[x,2]) # x: nos des obs. Jackknife et bootstrap bivariés > for (i in 1:200) rja[i] = jackknife(1:10,theta, a[(10*i-9):(10*i),])[[1]] > for (i in 1:200) rbo[i] = bootstrap(1:10,200,theta, a[(10*i-9):(10*i),],func=sd)[[2]]

15 Estimation de σ(r X,Y ) (suite) 200 estimations selon le jackknife et le bootstrap. Echantillons de taille 10 normale bivariée.

16 Estimation de σ(r X,Y ) (suite) 200 estimations selon le jackknife et le bootstrap. Echantillons de taille 10 normale bivariée. > boxplot(rja,rbo,names=c("jackknife","bootstrap"), main="ecart type de rxy",ylab="200 estimations") > abline(h=(1-0.7ˆ2)/sqrt(10-3)) # σ(r) théorique 0.19

17 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane

18 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane Selon la théorie de l estimation par le maximum de vraisemblance, la médiane θ est asymptotiquement N(m, 1/(4nf 2 (m))), où m = médiane théorique, f = densité.

19 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane Selon la théorie de l estimation par le maximum de vraisemblance, la médiane θ est asymptotiquement N(m, 1/(4nf 2 (m))), où m = médiane théorique, f = densité. Estimateur possible: Var( θ) = 1/(4n f 2 (m)).

20 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane Selon la théorie de l estimation par le maximum de vraisemblance, la médiane θ est asymptotiquement N(m, 1/(4nf 2 (m))), où m = médiane théorique, f = densité. Estimateur possible: Var( θ) = 1/(4n f 2 (m)). Problème : estimer la densité f en m (vu plus loin).

21 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane Selon la théorie de l estimation par le maximum de vraisemblance, la médiane θ est asymptotiquement N(m, 1/(4nf 2 (m))), où m = médiane théorique, f = densité. Estimateur possible: Var( θ) = 1/(4n f 2 (m)). Problème : estimer la densité f en m (vu plus loin). Package boot, contient la fonction boot plus sophistiquée que la fonction bootstrap. > library(boot)

22 LE BOOTSTRAP (suite) Estimation de la variance d une médiane Selon la théorie de l estimation par le maximum de vraisemblance, la médiane θ est asymptotiquement N(m, 1/(4nf 2 (m))), où m = médiane théorique, f = densité. Estimateur possible: Var( θ) = 1/(4n f 2 (m)). Problème : estimer la densité f en m (vu plus loin). Package boot, contient la fonction boot plus sophistiquée que la fonction bootstrap. > library(boot) Jeu de données galaxies > library(mass)

23 Jeu galaxies > galaxies #vitesses d éloignement en km/s [1] [13] [25] [37] [49]

24 Jeu galaxies > galaxies #vitesses d éloignement en km/s [1] [13] [25] [37] [49] > length(galaxies) # n [1] 82

25 Jeu galaxies (suite) Histogramme #données non normales > hist(galaxies/1000,xlab= Vitesse en 1000 km/s,ylab=,main= Histogramme,col= blue,nclass=14) Histogramme J.-C. Massé

26 Fonction boot Forme générale boot(data, statistic, R, sim="ordinary", stype="i", strata=rep(1,n), L=NULL, m=0, weights=null, ran.gen=function(d, p) d, mle=null,...)

27 Fonction boot Forme générale boot(data, statistic, R, sim="ordinary", stype="i", strata=rep(1,n), L=NULL, m=0, weights=null, ran.gen=function(d, p) d, mle=null,...) Arguments les plus importants: 4 premiers. data: données sous forme de vecteur, matrice ou tableau. Pour les deux derniers, une ligne est une observation multivariée. statistic: statistique exprimée comme fonction de 2 arguments: données data et le vecteur des indices des observations. R: n. échantillons bootstrap sim="ordinary": bootstrap non paramétrique (par défaut). Ce paramètre contrôle le type de simulation.

28 Fonction boot (suite) Résultats: liste de longueur 11

29 Fonction boot (suite) Résultats: liste de longueur 11 Noms des composantes: [1] "t0" "t" "R" "data" "seed" "statistic" [7] "sim" "call" "stype" "strata" "weights"

30 Fonction boot (suite) Résultats: liste de longueur 11 Noms des composantes: [1] "t0" "t" "R" "data" "seed" "statistic" [7] "sim" "call" "stype" "strata" "weights" Plus importantes en bootstrap non paramétrique: 2 premières. t0: valeur de la statistique sur les données t: vecteur (matrice) des réplications bootstrap de la statistique

31 Fonction boot (suite) Résultats: liste de longueur 11 Noms des composantes: [1] "t0" "t" "R" "data" "seed" "statistic" [7] "sim" "call" "stype" "strata" "weights" Plus importantes en bootstrap non paramétrique: 2 premières. t0: valeur de la statistique sur les données t: vecteur (matrice) des réplications bootstrap de la statistique La fonction boot estime automatiquement le biais et l écart type de la statistique

32 Fonction boot (suite) Résultats: liste de longueur 11 Noms des composantes: [1] "t0" "t" "R" "data" "seed" "statistic" [7] "sim" "call" "stype" "strata" "weights" Plus importantes en bootstrap non paramétrique: 2 premières. t0: valeur de la statistique sur les données t: vecteur (matrice) des réplications bootstrap de la statistique La fonction boot estime automatiquement le biais et l écart type de la statistique À la différence de la fonction bootstrap, boot a la même forme en univarié qu en multivarié.

33 Application de la fonction boot Avec boot, toute statistique doit être définie avec au moins 2 arguments.

34 Application de la fonction boot Avec boot, toute statistique doit être définie avec au moins 2 arguments. Exemple : θ = médiane échantillonnale > gal = galaxies/1000 #vitesse en milliers de km/s > set.seed(439) > gal.boot = boot(gal,function(x,i) {median(x[i])}, 1000) > gal.boot Bootstrap Statistics : original bias std. error t1* Dans l ordre: la médiane, le biais estimé, l écart type estimé de la médiane échantillonnale.

35 Application de la fonction boot J.-C. Massé Avec boot, toute statistique doit être définie avec au moins 2 arguments. Exemple : θ = médiane échantillonnale > gal = galaxies/1000 #vitesse en milliers de km/s > set.seed(439) > gal.boot = boot(gal,function(x,i) {median(x[i])}, 1000) > gal.boot Bootstrap Statistics : original bias std. error t1* Dans l ordre: la médiane, le biais estimé, l écart type estimé de la médiane échantillonnale. Histogramme + droite de Henry (= QQ-plot) sur les réplications bootstrap (composante $t) > plot(gal.boot)

36 Estimation de la loi par le bootstrap Non normalité de la médiane pour cette loi F Histogram of t Density t* J.-C. Massé t* Quantiles of Standard Normal

37 Influence de B sur v Boot Jeu de données law du package bootstrap > law # tableau LSAT GPA

38 Influence de B sur v Boot Jeu de données law du package bootstrap > law # tableau LSAT GPA > cor(law[,1],law[,2]) #corrélation de Pearson r 15 [1]

39 Influence de B sur v Boot Jeu de données law du package bootstrap > law # tableau LSAT GPA > cor(law[,1],law[,2]) #corrélation de Pearson r 15 [1] Estimation bootstrap de σ(r 15 ) = Var(r 15 )

40 Influence de B sur v Boot Jeu de données law du package bootstrap > law # tableau LSAT GPA > cor(law[,1],law[,2]) #corrélation de Pearson r 15 [1] Estimation bootstrap de σ(r 15 ) = Var(r 15 ) Echantillons bootstrap bivariés

41 Estimation non paramétrique de σ(r 15 ) > theta = function(x,donnees) cor(donnees[x,1],donnees[x,2]) #x: nos des obs.

42 Estimation non paramétrique de σ(r 15 ) > theta = function(x,donnees) cor(donnees[x,1],donnees[x,2]) #x: nos des obs. Estimation bootstrap de σ(r 15 ): v (B) Boot B = 20, 50, 100, 200, 1000, 2000, 5000

43 Estimation non paramétrique de σ(r 15 ) > theta = function(x,donnees) cor(donnees[x,1],donnees[x,2]) #x: nos des obs. Estimation bootstrap de σ(r 15 ): v (B) Boot B = 20, 50, 100, 200, 1000, 2000, 5000 > set.seed(4756) > for (i in c(20,50,100,200,1000,2000,5000)) {print(bootstrap(1:15,i,theta,law,func=sd)$func.thetastar)} [1] B = 20 [1] [1] B = 100 [1] [1] B = 1000 [1] [1] B = 5000

44 Estimation non paramétrique de σ(r 15 ) Estimation de la précision de v (B) Boot

45 Estimation non paramétrique de σ(r 15 ) Estimation de la précision de v (B) Boot > set.seed(4756) for (i in c(20,50,100,200,1000,2000,5000)) print(bootstrap(x = 1:15, nboot = i,theta, law, func = sd)$jack.boot.se) [1] B = 20 [1] [1] B = 100 [1] [1] B = 1000 [1] [1] B = 5000

46 La statistique r 15 est-elle normale? Estimation par 3200 réplications bootstrap de r 15 > x = bootstrap(1:15,3200,theta,law)[[1]]

47 La statistique r 15 est-elle normale? Estimation par 3200 réplications bootstrap de r 15 > x = bootstrap(1:15,3200,theta,law)[[1]] > hist(x) (estimation de densité par bootstrap non paramétrique)

48 Loi de r 15 : autre approche Le jeu law est un échantillon de taille 15 sans remise des var. 2 (LSAT) et 3 (GPA) du tableau 82 3 law82. Population de ( 82 15) échantillons possibles

49 Loi de r 15 : autre approche Le jeu law est un échantillon de taille 15 sans remise des var. 2 (LSAT) et 3 (GPA) du tableau 82 3 law82. Population de ( 82 15) échantillons possibles Simulation de la loi échantillonnale de r 15 : 3200 échant. de taille 15 sans remise 3200 valeurs de r 15.

50 Loi de r 15 : autre approche Le jeu law est un échantillon de taille 15 sans remise des var. 2 (LSAT) et 3 (GPA) du tableau 82 3 law82. Population de ( 82 15) échantillons possibles Simulation de la loi échantillonnale de r 15 : 3200 échant. de taille 15 sans remise 3200 valeurs de r choix de 15 numéros d observations > a = matrix(0,nrow=3200,ncol=15); set.seed(51) > for (i in 1:3200) {a[i,] = sample(82,15)}#sur chaque ligne 15 indices différents parmi 82.

51 Loi de r 15 : autre approche Le jeu law est un échantillon de taille 15 sans remise des var. 2 (LSAT) et 3 (GPA) du tableau 82 3 law82. Population de ( 82 15) échantillons possibles Simulation de la loi échantillonnale de r 15 : 3200 échant. de taille 15 sans remise 3200 valeurs de r choix de 15 numéros d observations > a = matrix(0,nrow=3200,ncol=15); set.seed(51) > for (i in 1:3200) {a[i,] = sample(82,15)}#sur chaque ligne 15 indices différents parmi 82. Calcul de 3200 valeurs indépendantes de r 15 > b = numeric(3200) > for (i in 1:3200) b[i] = cor(law82[a[i,],2],law82[a[i,],3]) # [a[i,],2]: extraction de 15 val. de la variable LSAT

52 Loi de r 15 : autre approche Histogramme des 3200 valeurs de r 15 > hist(b,xlab= r,ylab= Fréquence, main= Histogramme estimant la loi de r_15, col= orange )

53 Loi de r 15 : autre approche Histogramme des 3200 valeurs de r 15 > hist(b,xlab= r,ylab= Fréquence, main= Histogramme estimant la loi de r_15, col= orange )

54 Le bootstrap paramétrique X 1,...,X n iid Fψ, ψ paramètre inconnu

55 Le bootstrap paramétrique X 1,...,X n iid Fψ, ψ paramètre inconnu ψ : estimateur de ψ vraisemblance) (par exemple, max. de

56 Le bootstrap paramétrique X 1,...,X n iid Fψ, ψ paramètre inconnu ψ : estimateur de ψ vraisemblance) (par exemple, max. de F bψ estimateur de la loi inconnue F ψ

57 Le bootstrap paramétrique X 1,...,X n iid Fψ, ψ paramètre inconnu ψ : estimateur de ψ vraisemblance) (par exemple, max. de F bψ estimateur de la loi inconnue F ψ X 1,...,X n iid F bψ : échantillon bootstrap de F bψ

58 Le bootstrap paramétrique X 1,...,X n iid Fψ, ψ paramètre inconnu ψ : estimateur de ψ vraisemblance) (par exemple, max. de F bψ estimateur de la loi inconnue F ψ X 1,...,X n iid F bψ : échantillon bootstrap de F bψ Jeu de données law #échant. de taille 15 > mx = mean(law[,1]) > my = mean(law[,2]) > mx [1] # score moyen au test LSAT > my [1] # moyenne des moyennes cumulatives

59 Le bootstrap paramétrique (suite) > sx = sd(law[,1]) > sy = sd(law[,2]) > sx [1] > sy [1] > covxy = cov(law[,1],law[,2]) > covxy [1]

60 Le bootstrap paramétrique (suite) > sx = sd(law[,1]) > sy = sd(law[,2]) > sx [1] > sy [1] > covxy = cov(law[,1],law[,2]) > covxy [1] On veut estimer la loi de r 15 à partir du modèle normal bivarié et du bootstrap paramétrique. > library(mass) #package pour simuler la normale multivariée > mu = c(mx,my) > sigma = matrix(c(sxˆ2,covxy,covxy,syˆ2),ncol=2)

61 Le bootstrap paramétrique (suite) Simulation de 3200 échantillons normaux de taille 15 > a = mvrnorm(3200*15,mu,sigma) #matrice

62 Le bootstrap paramétrique (suite) Simulation de 3200 échantillons normaux de taille 15 > a = mvrnorm(3200*15,mu,sigma) #matrice réplications bootstrap de r 15 > r = numeric(3200) #vecteur à 3200 composantes > for (i in 1:3200) {r[i] = cor(a[(15*i-14):(15*i),1],a[(15*i-14):(15*i),2])} #calcul des 3200 valeurs de r 15 sur les 3200 échantillons bootstrap

63 Le bootstrap paramétrique (suite) Simulation de 3200 échantillons normaux de taille 15 > a = mvrnorm(3200*15,mu,sigma) #matrice réplications bootstrap de r 15 > r = numeric(3200) #vecteur à 3200 composantes > for (i in 1:3200) {r[i] = cor(a[(15*i-14):(15*i),1],a[(15*i-14):(15*i),2])} #calcul des 3200 valeurs de r 15 sur les 3200 échantillons bootstrap Les réplications bootstrap de r 15 sont les valeurs de r 15 calculées sur les 3200 échantillons simulés.

64 Le bootstrap paramétrique (suite) Simulation de 3200 échantillons normaux de taille 15 > a = mvrnorm(3200*15,mu,sigma) #matrice réplications bootstrap de r 15 > r = numeric(3200) #vecteur à 3200 composantes > for (i in 1:3200) {r[i] = cor(a[(15*i-14):(15*i),1],a[(15*i-14):(15*i),2])} #calcul des 3200 valeurs de r 15 sur les 3200 échantillons bootstrap Les réplications bootstrap de r 15 sont les valeurs de r 15 calculées sur les 3200 échantillons simulés. L histogramme permet de se faire une bonne idée de la loi de r 15 lorsque (X,Y ) est supposé normal bivarié.

65 Le bootstrap paramétrique (suite) Histogramme des 3200 réplications bootstrap de r 15

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