Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

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1 Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison + b Comme la suite P n est géométrique de raison + alors : P n est croissante si + > d où si > 0 ; P n est constante si + = c est à dire = 0 ; P n est décroissante si 0 < + < d où < < 0 c Comme P 0 > 0 et la suite P n est géométrique de raison + alors on a : si + > d où > 0, lim P n = + ; n + si + = d où = 0, lim P n = P 0 ; n si 0 < + < d où < < 0, lim P n = 0 n + d Interpréter les résultats des questions b et c en termes d évolution de population On déduit des questions précédentes que suivant le modèle de althus discret, alors : si > 0, la population croit, que cette croissance ne ralentit jamais et que la population augmente indéfiniment; si = 0, la population n évolue pas ; si < < 0, la population décroît et finit par s éteindre 2 odèle continu a La fonction P est solution de l équation différentielle y = y donc on sait que Pt = Ce t pour tout t [0 ; + [ De plus comme P0 = P 0, on en déduit C = P 0 d où Pt = P 0 e t pour tout t [0;+ [ b Comme pour tout t [0 ; + [, P t = Pt et que Pt 0, alors P t est du signe de Ainsi : si > 0, la fonction P est croissante sur [0 ; + [ ; si = 0, la fonction P est constante égale à P 0 sur [0;+ [ ; si < 0, la fonction P est décroissante sur [0 ; + [

2 c On a λ défini par Pλ = 2P 0 d où P 0 e λ = 2P 0 On obtient donc λ = ln2 d où λ = ln2 La population double en 50 ans donc λ = 50ans ainsi = ln2 50 Par suite l instant t tel que Pt = 3P 0 est solution de l équation P 0 e ln2 50 t = 3P 0 On obtient donc ln2 50 t = ln3 d où t = 50ln3 ln2 79,2ans On peut remarquer que P 0 n intervient pas dans le résultat Ainsi quel que soit le moment, la population aura doublé en 50 ans et triplé en 79,2ans d Soit > 0 On a µ = T T 0 0 P [ 0e t dt d où µ = T et] T 0 = P0 T e T On a λ tel que e λ = 2 et λ = ln2 donc la population moyenne sur [0;λ] est donnée par µ = P0 2 = P0 ln2 ln2,44p 0 3 Comparaison des deux modèles On a montré que pour le modèle discret, P n est une suite géométrique de raison + =, et de premier terme P 0 = 000 donc pour tout entier naturel n, P n = 000, n Par suite P individus et P 00 = individus Pour le modèle continu, on obtientp0 = 278 individus etp00 = individus Le modèle continu augmente plus vite que le modèle discret Pour 0 années écoulées, les 2 résultats obtenus sont presque du même ordre de grandeur mais pour 00 ans le modèle continu donne une population pas loin du double de celle obtenue avec le modèle discret Partie 2 : odèle de Verhulst discret Pour tout entier naturel n, on appelle P n l effectif de la population à l année n exprimé en milliers d individus D après l hypothèse sur l accroissement de la population, il existe une constante > et une constante strictement positive telles que, pour tout entier naturel n, P n+ P n = P n P n Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n P n d où Pn+ = +P n P n 2 = fp n avec fx = +x x2 La fonction f est continue sur R donc si la suite P n converge vers l, on sait que l est solution de l équation fx = x Or l équation fx = x revient à +x x2 = x d où x x = 0 Cette équation admet donc 2 solutions : x = 0 et x = Par conséquent si la suite P n converge, elle converge vers 0 ou vers 2 On pose r = + et pour tout entier naturel n, u n = r P n Soit n N On a u n+ = r P [ n+ = r +Pn P 2] n = P n r ru n r ru n 2 = ru n u n 3a Préliminaires : P 2 n = 2

3 On définit la fonction g,8 par g,8 x =,8x x La fonction g est une fonction du second degré dont les racines sont 0 et et le coefficient des x 2 est,8 < 0 Par suite on sait que la fonction g,8 admet un maximum atteint en x 0 =,8 2,8 = 2 égal à g,8 2 =,8 2 sur [ 0; 2] On raisonne par récurrence sur n N On définit la proposition Qn : 0 u n u n+ 2 On sait que u 0 = 0,8 d où u = 0,288 [ 0; 2] On a alors u 2 = 0, [ 0; 2] et de plus u u 2 2 = 0,45 et que g est croissante La proposition Q : 0 u u 2 2 est donc vraie Soit n un entier naturel non nul On fait l hypothèse de récurrenceqn est vraie On a donc 0 u n u n+ 2 Alors comme par hypothèse de récurrence, u n [ 0; 2], un+ [ 0; 2] et un u n+ et comme la fonction g,8 est croissante sur [ 0; 2], on obtient g,8 0 g,8 u n g,8 u n+ g,8 2 d où 0 u n+ u n+2 2 La proposition Qn+ est vraie, la proposition Qn est donc héréditaire D après le principe de récurrence, la proposition Qn étant vraie pour n = et héréditaire pour n, est vraie pour tout entier naturel n Par suite pour tout entier naturel n, 0 u n u n+ 2 On en déduit que : pour tout entier naturel n, u n 2 donc la suite u nn est majorée par 2 ; pour tout entier naturel n, u n u n+ donc la suite u n est croissante b La suite u n est croissante et majorée Elle est donc convergente Alors comme on sait que pour tout entier naturel n, u n+ = g,8 u n avec g,8 fonction continue sur R, la limite l de la suite u n est solution de l équation x = g,8 x Résolvons cette équation L équation x = g,8 x s écrit x =,8x x d où,8x 2 0,8x = 0 et donc x,8x 0,8 = 0 L équation admet donc deux solutions x = 0 et x = 0,8,8 = 4 9 On en déduit que l = 0 ou l = 4 9 Néanmoins comme u = 0,228 > 0 et que la suite u n n est croissante, pour tout entier naturel n, u n 0,288 d où l 0,288 > 0 Par conséquent l = 4 9 c On a montré que lim u n = 4 n + 9 et pour tout entier naturel n, P n = r u n =,8,8 u n = 9 4 u n Par suite lim P n = 9 n = À long terme, la population a tendance à se stabiliser vers la constante On peut considérer que suivant ce modèle représente la capacité d accueil du milieu dans lequel cette population vit 4 Dans cette question 4, on suppose que r = 3,2 et u 0 = 0,8 3

4 4a On obtient :,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 b La suite semble osciller entre 2 valeurs : 0,8 et 0,5 c On obtient : u 0 u u 2 u 3 u 4 u 5 0, , , , , ,53090 Les résultats montrent que les valeurs obtenus diffèrent légèrement La sous-suite des termes de rang pairs décroît légèrement à partir de 0,8 et la sous-suite des termes de rang impairs croît légèrement à partir de 0,52 Remarque : On peut montrer qu en fait la suite converge vers la solution non nulle de l équation 3, 2x x = x, c est dire 0,687 5 Néanmoins la convergence dans ce cas est très lente 5a Pour tout entier n, on a u n+ = g 5 u n avec g 2 : x5x x 4

5 La fonction g 2 est une fonction du second degré dont le coefficient des x 2 est 5 < 0 Elle est donc strictement décroissante sur [ 2 ; + [ et strictement croissante sur ] ;0] Par suite si u p > > 2, g 5u p < g 5 d où u p+ < 0 Démontrons par récurrence sur n p+ que u n < 0 On a montré que u p+ < 0 : la proposition est vraie au rang p+ Soit alors un entier n p+ On fait l hypothèse de récurrence u n < 0 Alors comme u n ] ; 0[, et commeg 5 est strictement croissante sur] ; 0], on obtient g 5 u n < g 5 0 d où u n+ < 0 La proposition est héréditaire D après l axiome de récurrence, elle est donc vraie pour tout entier n p+ Par suite pour tout entier n p+, u n < 0 b On définit la fonction h par hx = 5x x x pour x appartenant à l intervalle ] ;0] On a donc hx = 5x 2 +4x pour tout réel x 0 Il est clair que pour tout réel x 0, 5x 2 0 et de plus 4x 0 donc hx 0 Remarquons alors que pour tout entier n p +, comme d après la question précédente, u n ] ;0[, alors hu n 0 Or hu n = g 5 u n u n = u n+ u n Par suite pour tout n p+,u n+ u n 0 : la suite u n est donc décroissante c On raisonne par l absurde On suppose la suite minorée Alors elle est décroissante minorée et donc convergente Comme pour tout entier n, u n+ = g 5 u n et que g 5 est continue sur R, on sait donc que la limite l de la suite est une solution de l équation g 5 x = x Donc de l équation 5x 2 4x = 0 c est à dire x5x 4 = 0 Par suite l = 0 ou l = 4 5 Or pour tout entier n p+, u n u p+ < 0 donc l u p+ < 0 : contradiction Par conséquent le suite u n n est pas minorée d La suite u n n p+ est décroissante non minorée donc elle diverge vers En effet, quel que soit le réel, il existe un entier N tel que u N < De plus comme la suite est décroissante, alors pour tout entier n N, u n u N < Donc lim u n = n + e Si u 0 = 0,8, on remarque que u = 0,8 ontrons par récurrence que u n est constante égale à 0,8 La propriété est vraie au rang n = 0 Soit n un entier Supposons que u n = 0,8 Alors u n+ = 5 0,8 0,8 = 5 0,8 0,2 = 0,8 La proposition est donc héréditaire Elle est donc vraie pour tout entier naturel n f Pour u 0 = 0,5, on obtient u = 5 0,5 0,5 =,25 > donc l entier p = convient 5

6 Siu 0 = 0,, alorsu = 5 0, 0,= 0,45 d oùu 2 = 5 0,45 0,45=,2375> donc l entier p = 2 convient En programmant le calcul des termes de la suite à l aide de la calculatrice, démontrer que si u 0 = 0,799999, alors il existe un entier p, dont on donnera la valeur, tel que u p > On obtient u 7,3374> et u 6 0,34755< donc p = 7 convient Un exemple de programme, en langage naturel : Variables : Initialisation u, n 0, >u 0->n Tant que u< faire Traitement 5u-u->u n+->n Fin Tant que Sortie Afficher n Les 3 exemples étudiés montre que la validité du modèle de Verhulst discret dépend fortemment de la valeur de Dans le premier cas, on obtient un modèle raisonnable Dans le deuxième cas, le modèle correspond moins bien à ce que l on pourrait penser La population oscille entre 2 valeurs autour de la capacité d acceuil Dans le dernier cas, ou la population n évolue pas, ou elle disparaît Partie 3 : odèle de Verhulst continu a On suppose que P est solution de E On a donc P t = Pt Pt D autre part comme Pt > 0 pour tout t [0 ; + [ donc la fonction Q = P est dérivable sur [0;+ [ et pour tout t [0 ; + [, Q t = P t Par suite Q t = Pt Pt Pt 2 = Pt + = Qt+ Pt 2 Donc Q est solution de E Réciproquement, soit Q une solution de E : on a donc Q t = Qt+ d où comme Q = P et donc Q = P P, on obtient P t 2 Pt = 2 Pt + d où P t = Pt+ Pt2 = Pt Pt d où P est solution de E b L équation E est une équation différentielle linéaire d ordre à coefficients constants donc on sait que les solutions de l équation E sont les fonctions de la forme Q : tqt = Ce t +,C R 6

7 D autre part on sait que P0 = P 0 d où Q0 = P0 = P 0 et donc la constante C vérifie C + = P 0 d où C = P 0 Ainsi l équation E admet pour unique solution la fonction Q : tqt = P 0 e t + Pour tout t [0;+ [, Qt = P 0 e t + e t Or pour tout t 0, e t d où e t 0 d où comme P 0 e t > 0, Qt > 0 Donc les fonctions obtenues sont strictement positives sur [0 ; + [ quelle que soit la valeur de la population initiale P 0 c On sait que P est solution de E si et seulement si Q = P est solution de E Par suite comme les solutions dee sont les fonctionsq : t P 0 e t + avec Qt > 0 pour tout t [0;+ [, on en déduit que les solutions de l équation E sont les fonctions P définies par Pt = P 0 = e t + + P e t 0 pour tout t [0 ; + [ 2a On a P 0 = +C d où +CP 0 = et donc C = P0 P 0 = P 0 On en déduit donc que C > 0 si P 0 > d où > P 0, C = 0 si = P 0 et C < 0 si < P 0 Le signe de C dépend donc de la position de P 0 par rapport à b Pour tout réel t [0;+ [, Pt = d où P t = Ce t = +Ce t +Ce t 2 C e t +Ce t 2 On sait que e t > 0, +Ce t 2 > 0, > 0, > 0 donc P t est du signe de C Donc : si C > 0, P est strictement croissante sur [0; + [ ; si C = 0, P est constante égale à = P 0 sur [0;+ [ ; si C < 0, P est strictement décroissante sur [0; + [ c On a lim t = car > 0 et on sait que lim t + X ex = 0 d où lim t + e t = 0 Par suite lim t + +Ce t = 0 et ainsi lim Pt = lim t + t + +Ce = t d D après l étude précédente, on déduit donc : si P 0 <, la population croît et se rapproche de ; si P 0 =, la population est constante égale à ; si P 0 >, la population décroît et se rapproche de On peut donc dire que représente la population d équilibre du milieu considéré et que dans tous les cas, la population tend vers cette population d équilibre 3a On a µ T = T T 0 0 Ptdt = T T 0 +Ce dt = T t T 0 T ln e T +C ln+c b Pour tout T [0;+ [, on a µ T = T ln e T +C ln+c = T ln e T +ln +Ce T +ln+c = + ln+ce T +ln+c T 7 e t e t +C dt = T ln e t +C ] T = 0

8 Or lim T + +Ce T = d où lim ln +Ce T +ln+c = ln+c et T + comme Finalement lim T = + alors lim T + lim µ T = T + 4 On se place dans un repère T + O; i; j ln+ce T +ln+c T = 0 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I etc f sa courbe représentative, on appelle point d inflexion de la courbe C f un point où la tangente à la ocurbe C f traverse la courbe C f 4a La tangente à la courbe représentative de la fonction cube au point O a pour équation y = x = 0 De plus pour x < 0, x 3 y = x 3 < 0 et pour x > 0, x 3 y = x 3 > 0 donc la courbe représentative de la fonction cube est en-dessous de sa tangente au point O sur ] ; 0] et au-dessus sur [0 ; + [ La tangente au point O de la courbe représentative de la fonction cube traverse donc cette courbe Le point O est un point d inflexion pour la courbe représentative de la fonction cube b On a montré que P t = Ce t donc +Ce t 2 P t = 2 Ce t +Ce t 2 Ce t 2 Ce t +Ce t +Ce t 4 d ou P t = 2 Ce t +Ce t +Ce t +Ce t +2Ce t = 4 Ce t +Ce t +Ce t Ce t 4 On sait que : e t > 0 +Ce t > 0 Donc Ce t +Ce t > 0 +Ce t 4 Par suite P t = 0 si et seulement si Ce t = 0 Si C < 0, alors Ce t < 0 d où Ce t < < 0 : l équation Ce t = 0 n admet pas de solution Si C = 0, l équation devient = 0 et donc n admet pas de solution Finalement si C > 0, alors e t = C > 0 d où t = ln C et donc t = lnc Par suite l équation P t = 0 admet une unique solution, notée t 0, si et seulement si C > 0 et t 0 = lnc c Comme C > 0, t 0 est bien défini On a alors P t 0 = lnc = = = +Ce +Ce lnc + C 2 C Donc quelles que soient les valeurs des constantes strictement positives, C et, le point At 0 ;P t 0 appartient à la droite d équation y = 2 d L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction P au point A 0 est donnée par y = P t 0 x t 0 +P t 0 lnc lnc +Ce OrP t 0 = 2 question précédente etp t 0 = Ce 4 2 = C C +C C 2 = 8

9 Par suite l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction P au point A 0 est y = 4 x lnc + 2 = 2 x+ 4 2 lnc On a donc gt = 4 t+ 4 2 lnc pour tout t [0;+ [ e étudier la position relative de la courbe représentant la fonction P et de sa tangente au point A 0 Soit la fonction ϕ définie sur [0; + [ par ϕt = Pt gt La fonction ϕ est dérivable et pour tout t [0;+ [, ϕ t = P t g t = P t 2 et ϕ t = P t On a montré quep t = Ce t +Ce t +Ce t Ce t avec Ce t +Ce t 4 0 Donc le signe de P t est donné par celui de Ce t Or Ce t > 0 si e t > C d où si t > ln C et donc si t < t0 défini à la question 4b On en déduit que ϕ est croissante sur [0;t 0 ] et décroissante sur [t 0 ;+ [ Or ϕ t 0 = P t 0 2 = 0 donc on obtient que ϕ t 0 pour tout t [0;+ [ La fonction ϕ est donc décroissante sur [0 ;+ [ Or ϕt 0 = 0 donc pour tout t [0;t 0 ], ϕt 0 et pour tout t [t 0 ;+ [, ϕt 0 On en déduit que la courbe représentative de P est au-dessus de sa tangente sur [0;t 0 ] et en dessous sur [t 0 ;+ [ Par suite la courbe représentative de P traverse sa tangente en A 0 Le point A 0 est donc un point d inflexion 5a L inéquation dt < 0, revient à 0,5e,5t +e,5t 6 +e < 0, d où comme,5t +e,5t > 0, il faut 0,5e,5t 0,5 < 0,+,e,5t On en déduit 0,5e,5t 2 0,6e,5t, e < 0 d où comme e,5t > 0, 0,5 e,5t 2,5t 0,6e,5t, < 0 On pose X = e,5t et l équation revient donc à 0,5X 2 0,6X, < 0 Le discriminant de cette équation du second degré est = 0, ,5, = 2,56 > 0 Donc le trinôme du second degré 0,5X 2,5X admet deux racines : X = 0,6,6 2 0,5 = et X 2 = 2,2 par suite comme de plus le coefficient des X 2 est 0,5 > 0 alors on sait que 0,5X 2 0,6X, < 0 pour X ] ;2,2[ Enfin comme X = e,5t alors il faut t tel que e,5t ] ] [ ;2,2[ d où t ; ln2, 2,5 +Ce t 4 > On a ln2,2,5 0,52 donc d après la résolution précédente, pour tout réel x < 0,52, les points de chaque courbe d abscisse x sont à une distance strictement inférieure à 0, Les deux courbes sont donc presque confondues au voisinage de 0 b On étudie donc l évolution de la population lorsque l effectif est au voisinage de la moitié de la capacité d accueil, c est à dire lorsque l on est au voisinage du point A 0 sur la courbe 9

10 La courbe admet un changement de concavité, le point A 0 étant un point d inflexion La croissance de la population change de rythme On passe d une croissance toujours plus rapide jusqu à t 0 à une croissance qui va être de moins en moins rapide après t 0 La rapidité de croissance de la population atteint son point culminant en t y = 2 2 O t Partie 4 : odèle de Gompertz a Soit P une solution strictement positive de l équation différentielle y = yln y Alors Q = lnp est dérivable et l on a Q = P P Par suite Q = P ln P P = ln lnp = Q+ln Donc Q est solution de l équation différentielle y = y +ln Réciproquement supposons que Q est solution de l équation différentielle y = y+ln Alors comme Q = lnp, Q = P P P d où P = lnp +ln d où comme P > 0, P = Pln lnp = P ln P Partant une fonction P est une solution de l équation différentielley = yln si et seulement si Q est solution de l équation différentielle y = y+ln b L équation différentielle y = y +ln est une équation différentielle linéaire d ordre à coefficients constants donc ses solutions sont les fonctions Q définies par Qt = Ce t ln avec C R y 0

11 c D après la question a, on déduit du résultat précédent que toute solution P de l équation différentielle y = yln y est telle que lnpt = Ce t ln avec C R et t [0;+ [ D où Pt = e Ce t ln = e Ce t 2 Déterminer la limite de la fonction P en + en fonction du signe des constantes C et Si > 0 alors lim t = et donc lim t + t + e t = 0 = Par suite lim ece t t + Si = 0, alors Pt = e C pour tout t [0;+ [ d où lim Si < 0, alors lim t = + donc lim t + t + e t = + Par suite si de plus C > 0, alors lim t + Ce t = + d où lim et si C < 0, alors lim t + Ce t = d où lim ece t = 0 t + si > 0, C R En résumé lim Pt = e C si = 0 t + + si < 0etC > 0 0si < 0etC < 0 3 On a P 0 = P0 d où P 0 = e Ce 0 t + Pt = ec t + ece t = + Par suite e C = P0 P0 d où comme > 0, C = ln P 0 = lnp0 ln Rappelons que lnx < 0 si et seulement si x ]0;[, ln = 0 et lnx > 0 si et seulement si x > Par suite C < 0 si et seulement si P0 < d où P 0 <, C = 0 si P 0 = et C > 0 si P 0 > Le signe de C dépend donc de la position de la population initiale par rapport à la capacité d accueil 4a La population étudiée est donc modélisée par la fonctionpt = 20e ln 20e 20 t 20e ln20e 20 t La fonction te t 20 est strictement croissante sur [0;+ [ donc, comme ln20 < 0, la fonction t ln20e t 20 est strictement décroissante sur [0; + [ et donc par composition, te ln20e 20 t est strictement décroissante sur [0 ; + [ La population diminue De plus d après la question 2, comme < 0 etc < 0, on sait que lim Pt = 0 t + donc la population décroît vers 0 Elle est donc en voie d extinction puisque si elle continue à suivre le modèle de Gompertz, alors au bout d un certain temps son effectif est proche de 0 b On résout l équation Pt 0,0 0 individus correspondent à 0,0 milliers On obtient 20e ln20e 20 t 0,0 d où : e ln20e 20 t ln20e t ln2000 =

12 e t 20 ln2000 ln20 t 20 ln ln2000 ln20 t 20ln ln2000 ln20 ln2000 ln20 8,62, il faudra 9 années pour que la popula- Alors comme 20ln tion devienne inférieure à 0 individus 2