Corrigé Exercice 1 : 3 GLISSEURS PARALLÈLES.

Transcription

1 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 1/14 Corrigé Exercice 1 : 3 GLISSEURS PARALLÈLES. Question 1 : Déterminer B S et C3 S. 1) Isolons {S}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {S}. - Action mécanique de 1 sur S - Action mécanique de sur S - Action mécanique de 3 sur S 3) Modélisables par : A 1 S - 1 S T T P( A, y ) - T S B S P( B, y ) - 3 3S C S P( C, y ) Pour se débarrasser de AM S et donc déterminer C3 S en fonction de du A1 S (complètement connue), il faut appliquer le théorème du moment statique en B : M B, S S MB,1 S MB, S MB,3 S A1 S d1. z C3S d. z (calcul du moment par la méthode du bras de levier) C d 1 4 3S. A1S AN : C3S.4 16 d N 1 donc C3S 16. y Pour déterminer B S, il faut appliquer le théorème de la résultante statique : R S S A B C 1 S S 3S donc B3S. y

2 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page /14 Corrigé Exercice : SERRAGE À LEVIERS. Question 1 : Peut-on faire une résolution graphique? Comme toutes les liaisons pivots sont perpendiculaires au plan de symétrie (donc suivant z ), et que l hypothèse problème plan est vérifiée (symétrie des liaisons et symétrie du chargement), alors toutes les AM transmissibles par ces liaisons pivots sont modélisables par des torseurs glisseurs. X51 LB,5 1 X 5 1 _ Exemple de l AM de 5 1 en B : T 51 Y51 MB,5 1 Y 5 1 _ Z _ P( B, z) 5 1 ( x, y, z) B ( x, y, z) D autre part, l AM transmissible par la liaison sphère-plan de point de contact A, de la pièce 6 sur le levier 1 est modélisable par un torseur glisseur. Deux AM posent problème : - l AM transmissible par la liaison pivot glissant entre le corps du vérin et la tige du vérin, qui n est donc pas modélisable par un torseur glisseur. - l AM transmissible par la liaison entre la pièce 6 et le bâti 5 (dont on ne sait pas grand chose). C est pourquoi ces deux AM ne devront pas être sur la frontière d isolement lors d une résolution graphique Ainsi, comme pratiquement toutes les AM sont modélisables par des torseurs glisseurs, nous pouvons résoudre graphiquement la plupart de nos isolements. Question : Déterminer le graphe de structure (approprié à une résolution graphique). A (connue) 6? 1 Fluide Pivot glissant d axe ( DG) 4 D C 5 B 7 E F G 3 Question 3 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement l action que doit exercer la tige du vérin 7 sur le levier 3 pour assurer le serrage souhaitée. (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Isolements de systèmes soumis à glisseurs : {4, 7, fluide} ( D 4) et ( G3 7) {, 3, 4, 7, fluide} ( C1 ) et ( F5 3) On commence TOUJOURS par les systèmes soumis à deux glisseurs pour obtenir leur droite d action. Isolements de systèmes soumis à 3 glisseurs : {1,, 3, 4, 7, fluide} ( B5 1) puis F5 3 et B5 1 {3} ( E 3) puis G7 3 et E 3

3 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 3/14 Question 4 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette action. (Justifier les différentes étapes de la construction). 1) Isolons {4, 7, fluide}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4, 7, fluide}. - Action mécanique de sur 4 (pivot d axe ( Dz, ) ) - Action mécanique de 3 sur 7 (pivot d axe ( Gz, ) ) D 4 4 G T 3 7 T 3 7 D Si un système est en équilibre sous l action de glisseurs alors ces glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action, passant par les points d application. Ainsi la droite d action de D 4 et G3 7 est la droite (DG). G 1) Isolons {, 3, 4, 7, fluide}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {, 3, 4, 7, fluide}. - Action mécanique de 1 sur (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de 5 sur 3 (pivot d axe ( Fz, )) T C 1 1 F T C F Donc compt e tenu du théorème précédent, la droite d action de C1 et F5 3 est la droite (CF). 1) Isolons {1,, 3, 4, 7, fluide}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {1,, 3, 4, 7, fluide}. - Action mécanique de 6 sur 1 (sphère-plan de point de contact A et de normale u ) - Action mécanique de 5 sur 1 (pivot d axe ( Bz, ) ) - Action mécanique de 5 sur 3 (pivot d axe ( Fz, )) A T 61 P( A, u) T 51 B B T 53 F F (avec (CF) droite d action de F5 3 ) Si un système est en équilibre sous l action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont : coplanaires, concourants ou parallèles, de somme vectorielle nulle. La deuxième propriété nous donne la droite d action de B5 1 et la troisième propriété (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de B5 1 et F5 3.

4 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 4/14 1) Isolons {3}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {3}. - Action mécanique de 5 sur 3 (pivot d axe ( Fz, )) - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Ez, ) ) - Action mécanique de 7 sur 3 (pivot d axe ( Gz, ) ) F T 53 F E T 3 E G T 73 (avec (DG) droite d action de 7 3 G G ) Donc compte tenu du théorème précédent, la deuxième propriété nous donne la droite d action d e E 3 et la troisième propriét é (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de E 3 et G7 3. Question 5 : Sachant que le diamètre extérieur du piston vaut 35 mm et que le diamètre de la tige du piston vaut 1 mm, en déduire la pression nécessaire dans la chambre du piston. 1) Isolons {7}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7}. - Action mécanique de 3 sur 7 (pivot d axe ( Gz, ) ) - Action mécanique du fluide sur 7 (pression du fluide) - Action mécanique de 4 sur 7 (pivot glissant d axe (DG)) G T avec G3 7 suivant l axe de la tige G T avec Rfluide 7 suivant l axe de la tige (car la pression est uniforme) P( DG) R fluide7 fluide T 47 avec P( DG) R R. DG MP,47 MP,47. DG Il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant (DG) : AM4 7 : G. DG R. DG R. DG 37 fluide7 47 G. DG R. DG 37 fluide7 Or G3 7 et Rfluide 7 sont suivant (DG). Donc G37 R fluide 7 avec Rfluide 7 p. S D où p G37 G37 S D d.( ) 4 4 R, pour se débarrasser de

5 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 5/14 Corrigé Exercice 3 : PINCE À MORS PARALLÈLES. Question 1 : Peut-on faire une résolution graphique? Comme toutes les liaisons pivots sont perpendiculaires au plan de symétrie (donc suivant z ), et que l hypothèse problème plan est vérifiée (symétrie des liaisons et symétrie du chargement), alors toutes les AM transmissibles par ces liaisons pivots sont modélisables par des torseurs glisseurs. X61 LE,6 1 X 6 1 _ Exemple de l AM de 6 1 en E : T 61 Y61 ME,6 1 Y 6 1 _ Z _ D autre part l AM de la pièce sur le doigt 5 en I est un glisseur vertical. P( E, z) 6 1 ( x, y, z) E ( x, y, z) Une seule AM pose problème : l AM transmissible par la liaison pivot glissant entre le corps du vérin et la tige du vérin, qui n est donc pas modélisable par un torseur glisseur. C est pourquoi cette AM ne devra pas être à la limite d isolement lors d une résolution graphique. Ainsi, comme pratiquement toutes les AM sont modélisables par des torseurs glisseurs, nous pouvons résoudre graphiquement la plupart de nos isolements. Question : Déterminer le graphe de structure (approprié à une résolution graphique). C E B 6 5 Fluide A 4 D Ipièce 5 (connue) Corps 1 + corps du vérin Pivot glissant d axe ( O,x) Pousseur 3 + tige du vérin F Attention ce graphe de structures ne comporte que la moitié des pièces. Il manque toutes les pièces en (, 4, 5 et 6 ). Question 3 : Donner le cheminement pour déterminer graphiquement l action du fluide sur la tige. (NB : Cette question ne sera jamais demandée aux concours). Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Isolements de systèmes soumis à glisseurs : {} ( A3 ) et ( B6 ) {4} ( D5 4) et ( F1 4) On commence TOUJOURS par les systèmes soumis à deux glisseurs pour obtenir leur droite d action. Isolements de systèmes soumis à 3 glisseurs : {5} ( C6 5) puis D4 5 et C6 5 {, 6} ( E1 6) puis A3 et E1 6 {3, tige} espérons que cela aboutisse

6 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 6/14 Question 4 : Appliquer cette démarche et déterminer graphiquement, dans la position donnée, cette action. (Justifier les différentes étapes de la construction). 1) Isolons {}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {}. - Action mécanique de 3 sur (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de 6 sur (pivot d axe ( Bz, ) ) A 3 3 B 6 T T 6 A B Si un système est en équilibre sous l action de glisseurs alors ces glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action, passant par les points d application. Ainsi la droite d action de A3 et B6 est la droite (AB). 1) Isolons {4}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique de 5 sur 4 (pivot d axe ( Dz, ) ) - Action mécanique de 1 sur 4 (pivot d axe ( Fz, )) D F 1 4 T T 1 4 D F Donc compt e tenu du théorème précédent, la droite d action de D5 4 et F1 4 est la droite (DF). 1) Isolons {5}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {5}. - Action mécanique de 6 sur 5 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de 4 sur 5 (pivot d axe ( Bz, ) ) - Action mécanique de pièce sur 5 (sphère-plan de point de contact I et de normale y ) T 65 C C T 45 D D (avec (DF) droite d action de I T pièce5 P( I, y ) pièce5 - D ) Si un système est en équilibre sous l action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont : coplanaires, concourants ou parallèles, de somme vectorielle nulle. La deuxième propriété nous donne la droite d action de C6 5 et la troisième propriété (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de C6 5 et D4 5.

7 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 7/14 1) Isolons {, 6}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {, 6}. - Action mécanique de 3 sur (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de 1 sur 6 (pivot d axe ( Ez, ) ) - Action mécanique de 5 sur 6 (pivot d axe ( Cz, ) ) A T 3 (avec (AB) droite d action de 3 A E T 1 6 E C T 56 C A ) Donc compte tenu du théorème précédent, la deuxième propriété nous donne la droit e d action de E1 6 et la troisième propriét é (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de A3 et E1 6. 1) Isolons {3, tige}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {3, tige}. - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( A', z ) ) - Action mécanique de fluide sur tige (pression du fluide) - Action mécanique du corps sur tige (pivot glissant d axe ( Ox, ) ) T 3 A A T ' 3 A ' A' ' 3 Rfluidetige T avec Rfluide tige suivant l axe de la tige (car la pression est uniforme) P( O, x) - fluidetige T -, _ Y M Y _ Z N _ N corpstige corpstige O corpstige corpstige, (, ), (, ) corps tige O corps tige O corps tige (,, ) P O x PO x x y z ( x, y, z) (compte tenu de l hy pothèse plan ( O, x, y ) ) D autre part, il existe une autre symétrie (symétrie des liaisons et symétrie du chargement) que celle du plan ( O, x, y ). En effet, la pince est symétrique par rapport au plan ( O, x, z ). Ainsi : _ T corpstige qui est le torseur nul. O ( x, y, z)

8 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 8/14 Ainsi le système {3, tige} est un système de solides en équilibre soumis à l action de trois glisseurs. Donc compte tenu du théorème précédent, la troisième propriété (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de Rfluide tige. Question 5 : La barre 4 est-elle soumise à de la traction ou de la compression? Selon le 1 er dynamique, D4 5 est vers le bas, donc D5 4 est vers le haut et donc la barre 4 est soumise à de la traction.

9 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 9/14 Corrigé Exercice 4 : SYSTÈME DE PESÉE EMBARQUÉE. (Selon le concours École de l Air filière MP) A) Levage du conteneur. Question 1 : Déterminer graphiquement, dans la position donnée, la poussée F4 6 du vérin [3+4]. (Justifier les différentes étapes de la construction). Graphe de structure : Méthode réfléchie (à réaliser au brouillon) : Isolements de systèmes soumis à glisseurs : {3, 4, fluide} ( F6 4) et ( B 3) {5} ( C 5) et ( H7 5) Isolements de systèmes soumis à 3 glisseurs : {7, 8} ( J6 7) puis H5 7 et J6 7 {6} ( D 6) puis D 6 et F4 6 D B C J Pivot glissant d axe (BF) H Gpes 8 (connue) 8 7 Fluide? 4 F 1) Isolons {3, 4, fluide}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {3, 4, fluide}. - Action mécanique de 6 sur 4 (pivot d axe ( Fz, )) - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Bz, ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( O, x, y ) par : F B 3 T T 3 F B Si un système est en équilibre sous l action de glisseurs alors ces glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action, passant par les points d application. Ainsi la droite d action de F6 4 et B 3 est la droite (BF). 1) Isolons {5}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {5}. - Action mécanique de sur 5 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de 7 sur 5 (pivot d axe ( Hz, ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( O, x, y ) par : T C 5 5 H T C H Donc compt e tenu du théorème précédent, la droite d action de C 5 et H7 5 est la droite (CH).

10 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 1/14 1) Isolons {7, 8}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7, 8}. - Action mécanique de 6 sur 7 (pivot d axe ( Jz, ) ) - Action mécanique de 5 sur 7 (pivot d axe ( Hz, ) ) - Action mécanique de la pesanteur sur 8 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( O, x, y ) par : T J J H T 57 (avec (CH) droit e d action de 5 7 H Gpes T pes8 P( G, y ) - 8 H ) Si un système est en équilibre sous l action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont : coplanaires, concourants ou parallèles, de somme vectorielle nulle. La deuxième propriété nous donne la droite d action de J6 7 et la troisième propriété (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de J6 7 et H5 7. Graphiquement nous trouvons : H5 7 = 78 N et J6 7 = 116 N 1) Isolons {6}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6}. - Action mécanique de sur 6 (pivot d axe ( Dz, ) ) - Action mécanique de 4 sur 6 (pivot d axe ( Fz, )) - Action mécanique de 7 sur 6 (pivot d axe ( Jz, ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( O, x, y ) par : T 6 D D T 46 F F (avec (BF) droite d action de F4 6 ) T 76 J J Donc compte tenu du théorème précédent, la deuxième propriété nous donne la dr oite d action de D 6 et la troisième propriét é (dynamiques des actions) nous donne les normes et sens de D 6 et F4 6. Graphiquement nous trouvons : F4 6 = 56 dan

11 TD 8 corrigé - PFS Résolution A graphique Page 11/14 1 B y x 3 O ( ) J6 7 C ( ) D H G ( ) H7 5 D F 7 6 J ( ) F6 4 8 Gpes 8 F4 6 H5 7 D 6 Gpes 8 J6 7 J7 6

12 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 1/14 B) Vidage du conteneur. Question : Compte tenu de la course de la tige du vérin 1, déterminer l angle de basculement du conteneur. L angle de basculement correspond à la rotation totale du pignon. Or celui-ci fait 1 tour = radian quand la crémaillère avance de r. et il fera radian quand la crémaillère aura avancé de sa course. Donc course. course r r La course de la tige étant de 5 mm et le rayon primitif du pignon valant mm, l angle de basculement du conteneur est : =,5 rad = 143 Question 3 : Dans cette position, en déduire l angle de frottement maximal en deçà duquel les déchets pourraient rester à l intérieur du conteneur. Conclure quant au vidage du conteneur. Plaçons-nous à la limite du glissement et utilisons les lois de Coulomb : y Déchets 53 G R Isolons les déchets ; bilan des actions extérieures : - AM de la pesanteur sur les déchets : modélisable par le glisseur P passant par G, - AM du conteneur sur les déchets : modélisable par le glisseur R. P x 143 A la limite du glissement le vecteur R est vertical ascendant (car P R ) et ainsi l angle de frottement maximal vaut 53 (=143-9 ). Cette valeur correspond à un coefficient de frottement de 1,3 (f = tan ) ce qui est très important, voire impossible dans notre contexte. Ainsi tous les déchets seront vidés. Question 4 : Déterminer la vitesse de déplacement du vérin ainsi que le temps nécessaire au basculement. La course de la tige vaut 5 mm et le diamètre du piston vaut 13 mm, ce qui correspond à un volume de 664cm 3. Sachant que le débit vaut 3 cm 3.s -1, le temps nécessaire au basculement est de 664, s. 3,5 1 Soit une vitesse moyenne de déplacement de,3.1 ms..,

13 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 13/14 Corrigé Exercice 5 : SKIP DE CHARGEMENT. Question 1 : Déterminer les actions mécaniques en A, B et C appliquées sur le skip. Si nous avions du isoler les galets, voici les justifications que nous aurions du rédiger : 1) Isolons {le galet 5}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {le galet 5}. - Action mécanique de 3 sur 5 (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de 1 sur 5 (linéaire rectiligne) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( G, x, y ) par : A R 1 5 T T 1 5 A Pt de contact Si un système est en équilibre sous l action de glisseurs alors ces glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action, passant par les points d application. Ainsi la droite d action de A3 5 et R1 5 est la droite passant par A et le point de contact. Même chose pour l'autre galet Même chose pour les extrémités de la chaîne 1) Isolons {le skip 3}. ) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {le skip 3}. - Action mécanique de 5 sur 3 (pivot d axe ( Az, ) ) - Action mécanique de 4 sur 3 (pivot d axe ( Bz, ) ) - Action mécanique de sur 3 (pivot d axe ( Cz, ) ) - Action mécanique de la pesanteur sur 3 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( G, x, y ) par : A B 4 3 T (de droite d action connue) 4 3 A T (de droite d action connue) B C 3 3 Gpes 3 T (de droite d action connue) pes 3 C Groupons à ce s glisseurs qui se rencontrent respectivement en I et en J. On peut donc dire que le skip est soumis à glisseurs : R 1 passant par J et R passant par I. ( ) C 3 T G ( ) A5 3 Donc compte tenu du théorème précédent, la droite d action des glisseurs résultants R 1 et R est la droite (IJ).

14 TD 8 corrigé - PFS Résolution graphique Page 14/14 Cherchons le s actions en J en procédant à la somme vectorielle : R1 B4 3 G pes 3. B4 3 R 1 Gpes 3 On déduit le second glisseur R opposé à R 1. R B4 3 R 1 Gpes 3 Cherchons le s actions en I en procédant à la somme vectorielle : R A5 3 C 3. C 3 B R 4 3 A5 3 R 1 Gpes 3