Chapitre II : Diusion thermique

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1 Spéciale PSI - Cours "hermodynamique" 1 Phénomènes de ranspor Chapire II : Diusion hermique Conens 1 Les diérens modes de ransfer hermique Le rayonnemen La convecion La conducion ou diusion hermique Mise en évidence epérimenale : Epérience de Ingen Housz La diusion hermique Conclusion Noion d équilibre hermodynamique local Veceur densié de couran hermique 3 3 Loi de Fourier 4 4 Analogie 4 5 Equaion de la diusion hermique Conducion pure unidimensionnel Généralisaion Cas à 3 dimensions Résoluion de l équaion de diusion 6 7 Régime saionnaire Cas d une ige isolée Résisance hermique ransfer conduco-convecif : loi de Newon 8 9 Régime sinusoïdal forcé : onde de empéraure 9 10 Cas du régime non permanen 10

2 2 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique Phénomènes de ranspor Chapire II : Diusion hermique Objecifs : Bilan d énergie hermique Lois de la conducion hermique 1 Les diérens modes de ransfer hermique La quanié de chaleur ou ransfer hermique es l énergie de naure microscopique échangée à ravers la surface qui délimie un sysème. Il eise rois modes de ransfer hermique : 1.1 Le rayonnemen Un corps chaud éme un rayonnemen élecromagnéique qui ranspore de l énergie. Ce ransfer hermique par rayonnemen ne nécessien pas la présence d un milieu maériel, il peu se produire dans le vide. Eemple : rayonnemen du soleil 1.2 La convecion La convecion es aribuée à un déplacemen global (macroscopique) de maière e concerne les liquides ou les gaz. Dans les 4uides, une variaion de empéraure modi5e localemen la masse volumique du 4uide, ce qui enraîne un mouvemen d ensemble du 4uide (les paries chaudes, plus légères, on endance à s élever): c es le phénomène de convecion naurelle. Eemple : chauage par un conveceur élecrique ou un radiaeur de chauage cenral. Un 4uide peu aussi êre mis en mouvemen de manière ari5cielle pour accélérer les échanges hermiques : c es le phénomène de convecion forcée. Eemple : échanges hermiques enre la chaudière e les radiaeurs d un chauage cenral. 1.3 La conducion ou diusion hermique Mise en évidence epérimenale : Epérience de Ingen Housz L epérience du physicien hollandais J. Ingen Housz, qui dae de 1789, perme de comparer la diusion hermique dans plusieurs maériau méalliques. On la réalise facilemen en enduisan de cire des iges méalliques (cuivre, aluminium, fer, zinc), géomériquemen ideniques, don une erémié es en conac avec un hermosa, par eemple un bain d eau bouillane : On consae que la empéraure, en des poins homologues sur les iges, augmene au cours du emps, mais plus ou moins rapidemen d une ige à l aure ; à ou insan en cours d epérience, les longueurs de cire fondue permeen de comparer le comporemen hermique de chaque maériau : la plus grande longueur es obenue avec le maériau le plus conduceur de la chaleur, ici le cuivre. Ainsi, lorsqu une diérence de empéraure eise dans un maériau, un u hermique, oriené des zones chaudes vers les zones froides, end à uniformiser la empéraure. Comme, dans le cas considéré, il n y a pas de déplacemen global de maière, pas de variaion de l énergie macroscopique (E c + E po e ) e pas de ravail reçu, ce 4u hermique es un u d énergie inerne non convecif.

3 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique La diusion hermique Elle eise dans ous les corps, solides ou 4uides. La parie la plus froide s échaue au conac de la parie la plus chaude du corps. Cee élévaion de empéraure correspond à un accroissemen de : - l énergie microscopique de vibraion du réseau crisallin pour les solides ; - l énergie cinéique microscopique d agiaion désordonnée des molécules d un 4uide, dû au chocs incessans enre ces molécules. Ce ransfer hermique ne s accompagne pas, à l échelle macroscopique, de mouvemen de maière. C es le seul mécanisme qui inervienne dans les solides homogènes e opaques. Dans les 4uides, la conducion es souven masquée par le phénomène de convecion. Un milieu don la empéraure n es pas homogène es au moins le siège de phénomènes de ransfer hermique par conducion Conclusion Un phénomène de diusion hermique apparaî donc comme une phénomène de ransfer hermique sans mouvemen mascroscopique du suppor. Ce ransfer se produi dans un sysème iniialemen hors équilibre, des régions chaudes vers les régions froides ; il end donc à uniformiser la empéraure. Le phénomène de diusion es irréversible Noion d équilibre hermodynamique local Dans les processus précéden de diusion hermique on ne peu plus parler de LA empéraure du corps : des hermomères placés en divers poins n indiquen pas la même empéraure. On suppose que l on peu dé5nir en chaque poin du sysème, une empéraure locale même s il n es pas en équilibre hermique globalemen: cee hypohèse nécessie un équilibre local. Cela correspond pour les gaz au cas où localemen la disribuion des viesses es bien décrie par une disribuion de Mawell correspondan à une empéraure locale. 2 Veceur densié de couran hermique Soi un milieu (gaz, solide ou liquide), de volume V délimié par une surface S : Soi (r, ) la empéraure dans ce milieu (on suppose donc qu elle es dé5ni localemen). Soi 2 Q(r, ) la quanié d énergie qui raverse par conducion hermique l élémen de surface d S (cenré sur M) enre e + d. Physiquemen 2 Q es d auan plus imporan que ds e d son grands. On adme que l on peu écrire : 2 Q(r, ) = j h (r, ).d Sd= (r, ) d avec (r, ) = 2 Q(r, ) = j h (r, ).d S d Le u hermique es la quanié d énergie qui raverse une surface S par unié de emps. Pendan une durée d, l énergie qui raverse S vau Q = d. es le 4u du veceur densié de couran hermique j h à ravers la surface S = j h.d S ou = j h.d S Uniés : Q es une énergie e s eprime en Joule (symbole J); es une puissance e s eprime en Wa (symbole W); j h s eprime en W. m 2. S

4 4 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 3 Loi de Fourier Cee loi, éablie epérimenalemen par Fourier, es de naure phénoménologique comme le son les lois d Ohm e de Fick. C es donc une loi consiuive e non srucurelle. Elle radui, à l approimaion linéaire, la proporionnalié du couran volumique hermique j h (r, ) e du gradien de la empéraure (r, ), ce que l on écri sous la forme : j h = K grad avec K conducivié hermique (Loi de Fourier ) Remarques : 1. Le signe moins radui l orienaion du couran hermique vers les basses empéraures car le coehcien K es oujours posiif. K s eprime en W. m 1. K 1 dans le sysème inernaional. 2. La loi de Fourier es une loi phénoménologique qui rend compe de la diusion hermique dans de nombreu cas mais elle n es pas universelle. Comme dans de nombreu cas, le modèle linéaire n es plus valable pour des écars de empéraure rop fors ou rop faibles (de l ordre des 4ucuaions). Le ableau ci-dessous donne des valeurs de K pour un cerain nombre de maériau dans des condiions ordinaires de pression e de empéraures: maériau K ( W. m 1. K 1 ) ype de conduceur hermique gaz 0, 006 à 0, 18 mauvais conduceurs air 0, 026 liquides (non méalliques) 0, 1 à 1 conduceurs moyens eau 0, 6 solides méalliques 10 à 400 ecellens conduceurs cuivre 390 acier 16 maériau non méalliques 0, 004 à 4 verre 1, 2 conduceurs moyens béon 0, 92 conduceurs moyens bois 0, 25 conduceurs moyens lainedeverre 0, 04 mauvais conduceurs (isolans hermiques) polysyrène epansé 0, 004 mauvais conduceurs (isolans hermiques) 4 Analogie Le ableau ci-dessous résume les analogies enre les lois de Fourier, Fick e d Ohm, qui raduisen oues les rois des phénomènes de ranspor de paricules, d énergie ou de charge. Elles corresponden à une évoluion sponanée du milieu qui end à esomper son inhomogénéié, conformémen au deuième principe de la hermodynamique. Loi de Fourier Loi de Fick Loi d Ohm veceur densié de couran hermique j veceur densié de paricules j veceur densié de couran élecrique j empéraure densié pariculaire n poeniel V conducivié hermique K coehcien de diusion D conducivié élecrique j = K grad j = D grad n j = grad V 5 Equaion de la diusion hermique On considère un corps homogène de masse volumique, de conducivié hermique K e de capacié hermique c. grandeurs, K e c son supposées consanes dans le domaine de empéraure éudié. Les 5.1 Conducion pure unidimensionnel On éudie un modèle unidimensionnel : la empéraure du maériau ne dépend que de l abscisse e du emps. Soi alors un cylindre élémenaire de secion S compris enre les abscisses e + d.

5 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 5 On eecue un bilan énergéique dans ce cylindre enre e + d. On suppose qu il n y a pas d appor d énergie aure que par conducion : à l abscisse, il enre une énergie Q e = j h (, ) Sd à l abscisse + d, ilsoruneénergie Q s = j h ( + d, ) dsd D après le premier principe de la hermodynamique appliqué au cylindre élémenaire : du = (Sd) cd avec du = Q + W = Q ( W =0car il n y a pas d échange de ravail) = Q e Q s = j h (, ) Sd j h ( + d, ) Sd = j h dsd (Sd) cd = j h dsd d représene la variaion de empéraure du sysème enre e + d donc D après la loi de Fourier : d = d (Sd) c c d = j h dsd = j h j h = K c c = K = K 2 2 Dans le cas où la conducion à une dimension es le seul ransfer hermique, la empéraure (, ) véri5e l équaion de la diusion hermique ou équaion de la chaleur : 2 2 = c K (Equaion de la diusion hermique ou de la chaleur) 5.2 Généralisaion Dans cerains cas il eise d aures appors d énergie (le maériau peu par eemple êre parcouru par un couran élecrique : le volume Sd, de résisance dr, raversé par un couran I = js, reçoi par ee Joule, pendan la durée d, une énergie Q J = dr I 2 d = 1 j2 Sdd). Le bilan énergéique s écri alors : soi Sdcd = j h dsd + Q aures cs dd = K 2 2 Sdd + Q aures

6 6 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 5.3 Cas à 3 dimensions Dans le cas à rois dimensions on raisonne sur un volume V délimié par la surface fermée S. Lepremierprincipedela hermodynamique aplliqué enre e + d s écri : du = cd d = j h.d Sd+ Q aures V S d c d = div j h.d d + Q aures V Dans la plupar des cas, l appor d énergie aure que par conducion peu s eprimer en inroduisan la puissance volumique p aures que reçoi localemen le corps éudié : d c d = V V c c V div j h.d d + p aures.d d V = div j h + p aures = K + p aures Soi p aures la puissance hermique volumique reçue par des mécanismes aures que la conducion. L équaion de la diusion hermique s écri dans le cas général : c = K + p aures (Equaion de la diusion hermique ou de la chaleur) 6 Résoluion de l équaion de diusion L équaion.de la diusion hermique perme de déerminer l évoluion de la empéraure (M,) en foncion des coordonnées du poin M eduemps. La résoluion eace de cee équaion n es possible que dans cerains cas pariculiers ; en général, il es indispensable d uiliser des méhodes numériques. La même équaion es applicable à des problèmes physiques rès diérens : les condiions au limies spaiales e emporelles déermine une soluion unique. Dans ous les cas,le phénomène es irréversible : l équaion de diusion hemique n es pas invariane dans le changemen de variable. 7 Régime saionnaire Dans ce paragraphe nous supposons qu il n y a pas d aures sources de ransfer hermique que la conducion. En régime saionnaire (indépendan du emps) l équaion de la chaleur se simpli5e : =0 (Equaion de la diusion hermique en régime saionnaire) 7.1 Cas d une ige isolée Soi un ige homogène cylindrique (cf. 5gure 1) de secion S, de longueur L, e don les erémiés son mainenues au empéraures 1 e 2 ( 1 > 2 ). Nous supposons de plus qu il n y a aucun échange hermique enre la ige e le milieu eérieur par la surface laérale du cylindre (isolaion hermique) L Figure Figure 2 L

7 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 7 Le régime es saionnaire, la empéraure es donc indépendane du emps. Le problème es unidimensionnel, la empéraure ne dépend donc que de. L équaion de la chaleur s écri alors d 2 d 2 =0 la empéraure es donc une foncion ahne de : () =a + b. Les condiions au limies permeen de déerminer a e b : (0) = 1 e (L) = 2 () = 2 1 L + 1 cf. 5gure 2 Soi K la conducivié hermique du maériau consiuan la ige. Le veceur densié de couran hermique j h à ravers la secion S es j h = K grad = K 1 2 L e j h es consan le 4u hermique qui raverse la ige es = j h.d S = K 1 2 S es consan L S 7.2 Résisance hermique Soi une ige idenique à celle éudiée précédemen en régime permanen. Nous pouvons dé5nir la résisance hermique R h de la ige : R h = 1 2 = 1 L K S par analogie avec la dé5niion de la résisance élecrique d une ige conducrice de mêmes dimensions que la ige précédene, de conducivié élecrique &, soumise à une diérence de poeniel (V 1 V 2 ) e parcourue par une inensié I (c es-à-dire un 4u de charges élecriques) : R = V 1 V 2 = 1 L I & S L inverse de la résisance hermique s appelle la conducance hermique : G h = 1 = = K S R h 1 2 L En régime permanen, les conducions élecrique e hermique son formellemen analogues : la loi d Ohm correspond à la loi de Fourier, e le régime permanen inerdi l accumulaion d énergie (conducion hermique) ou de charge élecrique (conducion élecrique). Cee analogie nous perme de dé5nir la résisance hermique dans un cas plus général. Le 4u hermique eisan en régime permanen enre les faces d enrée e de sorie d un conduceur hermique, qui sui la loi de Fourier, es proporionnel à leur diérence de empéraure. On dé5ni alors la résisance hermique R h = 1 = 1 2 (Résisance hermique) G h Eercice 1 Double virage On ne considère que des régimes permanens, indépendan, du emps. L inérieur d une pièce es séparé de l eérieur par une paroi virée de surface S, orhogonale à l ae (O), e don le verre a une conducivié hermique K. Ses faces inerne e eerne son respecivemen au empéraures i e e avec e < i. Première parie : On ne ien compe que de la conducion. 1. La paroi es une vire simple d épaisseur e. Évaluer le 4u hermique 1 soran de la pièce à ravers cee paroi en foncion de K, S, e, i e e. Calculer la résisance hermique R h de la paroi virée. 2. La paroi es un ensemble de deu vires de même épaisseur e, séparées par une épaisseur e d air, de conducivié hermique K. (a) Évaluer le 4u hermique 2 soran de la pièce, puis 2 / 1. (b) A.N. : e =270K, i =292K, e = e =3mm, K =1, 2W. m 1. K 1, K =0, 025 W. m 1. K 1. Calculer 2 / 1 e les empéraures 1 e 2 des faces en regard des deu vires. Représener graphiquemen les variaions de la empéraure en foncion de dans le double virage.

8 8 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique Eercice 2 : Conducion hermique enre deu sphères concenriques Considérons un maériau homogène compris enre deu sphères concenriques de cenre O, de rayons a e (a < b), de conducivié hermique K, de capacié hermique massique c e de masse volumique. Les parois sphériques de ce maériau son mainenues au empéraures (r = a) = 1 e (r = b) = 2 e on suppose 1 > O b a M 1. Écrire l équaion au dérivées parielles que vérifre la empéraure enunpoinm, àl insan. 2. Déerminer, en régime permanen : (a) la empéraure (r) en ou poin M du maériau (b) la puissance P ransférée enre les deu sphères de rayons a e b ; (c) la résisance hermique R h de ce conduceur 8 ransfer conduco-convecif : loi de Newon On éudie le cas où le maériau éudié es en conac avec un milieu eérieur de empéraure 0. On adme souven que les échanges d énergie à ravers la surface du maériau son régis par une loi linéaire, appelée loi de Newon : Les ransfers hermiques enre un corps e le milieu eérieur suiven la loi de Newon si la densié de 4u hermique soran (algébriquemen) à ravers la surface du maériau es proporionnelle à l écar de empéraure enre de la surface du maériau e 0 du milieu eérieur : j h = h ( 0 ) (Loi de Newon) où h désigne le coe.cien de ransfer hermique de surface qui s eprime en W. m 2. K 1. Remarques : ( 0,) 0 maériau milieu eérieur milieu eérieur 1. On peu relier la loi de Newon à la loi de Fourier. En ee, la empéraure du milieu eérieur n es égale à 0 que «suhsammen loin» de la surface de séparaion, au-delà d une couche limie d épaisseur. En fai, la empéraure es coninue en 0, e sa valeur es ( 0,), y compris dans le milieu eérieur. La loi de Newon donne alors : j h = h ( 0 )=h ( ( 0,) 0 )= ( h) ( 0 +,) ( 0,) j h ( h) on rerouve une epression analogue à la loi de Fourier avec un coehcien K = h homogène à une conducivié hermique.

9 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 9 2. Nous uiliserons souven la loi de Newon pour un conac solide - 4uide où les ransfers hermiques son complees : la conducion an niveau de la paroi du solide es couplée à un phénomène de convecion du 4uide au voisinage de la paroi du solide sur une couche d épaisseur. Eercice 3 Double virage (suie) Deuième parie : En plus de la conducion éudiée dans la première parie, on doi enir compe des échanges hermiques super5ciels enre le verre e l air. Une surface de verre d aire S, à la empéraure S,échangeavec l air, à la empéraure f,le4u hermique = hs ( S f ) avec h>0 1. Quelle valeur implicie donnai-on précédemmen à h lorsqu on confondai S e f? 2. Monrer que ces échanges super5ciels inroduisen une résisance hermique R h. Donner l epression de R h. 3. Dans la première parie les empéraures de l air à l inérieur e à l eérieur de la pièce son i e e. Soi h e le coehcien d échange enre le verre e l air eérieur e h i celui relaif au aures conacs verre-air. Les 4u 1 e 2, des quesions 1) e 2) (première parie) deviennen respecivemen 1 e 2. Eprimer 1 e 2 en foncion de i, e, h i, h e e des paramères e, K, K e S. A.N.: h i =10W. m 2. K 1 e h e =14W. m 2. K 1. Calculer 2 / 1. Conclusion? Eercice 4 : Ailee de refroidissemen 0 L échangeur à 0 Fluide à e Une ige de cuivre, pleine, cylindrique, d ae (O), de longueur L, derayona e de conducivié hermique K, es au conac par une de ses erémiés (en =0) avec un échangeur à la empéraure 0 e par sa surface laérale e son aure erémié ( = L) elleesenconacavecun4uide à la empéraure consane e ( 0 >e). Elle joue le rôle d ailee de refroidissemen. On se place en régime permanen e on suppose qu à l inérieur de la ige, le gradien radial de empéraure es suhsammen faible pour considérer que, dans la secion droie d abscisse, la empéraure () es uniforme. La ige présene, au niveau de sa surface en conac avec le 4uide, des peres hermiques, par unié de emps e de surface, égales à h ( () e ),si () désigne la empéraure du poin de la surface considérée e h un coehcien consan. 1. Déerminer la répariion de empéraure () au sein de la ige. Calculer (L).Données : K =389W. m 1. K 1, h =155W. m 2. K 1, a =1mm, 0 =340K, e =300Ke L =10cm. 2. En supposan que les peres hermiques par convecion son données par la même loi pour l échangeur e pour la ige (même coehcien h), calculer le rappor - des 4u hermiques soran de l échangeur à ravers la surface à la base de l ailee en =0en présence de l ailee, puis sans l ailee. À quelle condiion poran sur a, h, ek, - il es-il plus grand que 1? Cee condiion es-elle véri5ée avec les valeurs numériques ci-dessus? Si oui, calculer la valeur de Calculer la répariion de empéraure () que l on aurai obenue si on avai supposé l ailee de longueur in5nie. Calculer dans ces mêmes condiions le «rendemen» - correspondan. Comparer les valeurs numériques de - e -. Conclure. 9 Régime sinusoïdal forcé : onde de empéraure Le sous-sol es considéré comme un milieu semi-in5ni, homogène, de conducivié hermique K, de masse volumique, de capacié hermique massique c, siué dans le demi-espace >0. On suppose que la empéraure de la surface du sol (plan =0) es soumise à des variaions sinusoïdales S () = cos /

10 10 hermodynamique. Chapire II : Diusion hermique 1. Déerminer la empéraure (, ) d un poin de profondeur, en régime sinusoïdal forcé (on uilisera une noaion complee). 2. Commener le résula obenu. Eprimer la viesse de propagaion v de «l onde hermique» ainsi obenue. 3. Applicaions : (a) On considère des variaions journalières de empéraure, la empéraure varian enre 0 C la nui e 16 C le jour. À parir de quelle profondeur, les variaions de empéraure son inférieures à 1 C? Calculer v. Données : a = m 2.s 1. (b) On considère des variaions annuelles de empéraure, la empéraure varian enre 10 C e 26 C. Répondre au mêmes quesions. 10 Cas du régime non permanen La résoluion analyique de l équaion de la diusion hermique n es que rès raremen possible. Il sera souven nécessaire d eecuer une résoluion numérique. Une éude sommaire de ces diérens problèmes sera realisée en ravau dirigés d informaique. Eercice 5 ransfer hermique enre deu corps. Producion d enropie S 1 S S 2 ' 0 L Deu corps solides S 1 e S 2 de même capacié hermique C, de conduciviés hermiques rès grandes («in5nies»), son reliés par une ige solide de longueur L, de secion S, de capacié hermique négligeable e de conducivié hermique K. On suppose que les conacs enre la ige e les deu corps son parfais, e que le sysème es parfaiemen calorifugé. Les empéraures iniiales des deu solides S 1 e S 2 valen respecivemen 10 e 20 ( 10 > 20 ). À un insan quelconque, S 1 e S 2 on des empéraures égales à 1 e On désigne par P le 4u hermique passan de S 1 vers S 2 par unié de emps. Véri5er que la résisance hermique ne dépend pas du emps e calculer R h. 2. Déerminer les empéraures 1 e 2 des deu solides S 1 e S 2 en foncion du emps. (a) En déduire la variaion d enropie du sysème global consiué par S 1, S 2 e la ige enre l éa iniial e l éa d équilibre 5nal. (b) Que devien cee variaion d enropie si on suppose 10 e 20 voisins? Pour répondre à cee quesion, on posera 10 = 0 e 20 = 0 + (en supposan 0 ) e on eprimera la variaion d enropie S en foncion de 0, e C. Conclusion.

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