Chapitre 5 - Les nombres complexes

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1 Chapitre 5 - Les nombres complexes 1 Le plan complexe 1.1 Notion de nombre complexe Théorème 1 ( Admis ) Il existe un ensemble, noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : C contient l ensemble des nombres réels L addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes Il existe un nombre complexe noté i tel que i 2 = 1 Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = x + iy avec x et y des réels. Définition 1 L écriture z = x + iy avec x et y réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z. x est appelée la partie réelle de z, notée Re(z). y est appelée la partie imaginaire de z, notée Im(z). Exemple 1 z = 2 i 3 on a alors Re(z) = 2 et Im(z) = 3 Remarque 1 Les parties réelle et imaginaire sont des nombres réels Lorsque Im(z) = 0, z est réel Définition 2 Soit z C Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur Propriété 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Remarque 2 Cette propriété vient de l unicité de l écriture algébrique d un nombre complexe. En particulier,x et y étant des réels, x + iy = 0 si et seulement si x = 0 et y = Représentation géométrique N Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, ) Soit z un nombre complexe de forme algébrique x + iy où x et y sont des nombres réels. O u A tout nombre complexe z = x + iy est associé le point M du plan de coordonnées (x;y) appelé image de z et noté M(z) M Par exemple, le point M est l image de z 0 = 3 2i et le point N est l image de z 1 = i Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 1/8 Terminale S - M. Schavsinski

2 Définition 3 A tout nombre complexe z = x + iy est associé le point M du plan de coordonnées (x;y) appelé image de z et noté M(z) A tout point M du plan de coordonnées (x;y) est associé le complexe z = x + iy appelé affixe du point M. Remarque 3 Si z est un imaginaire pur, c est-à-dire Re(z) = 0 alors M(z) (O, ) L axe des ordonnées est donc appelé l axe des imaginaires purs. Si z est un réel, c est-à-dire Im(z) = 0 alors M(z) (O, u ) L axe des abscisses est donc appelé l axe des réels. 2 Opérations sur les nombres complexes 2.1 Calculs dans C Règles de calcul L addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes. Propriété 2 Soient z et z deux nombres complexes de formes algébriques respectives x + iy et x + iy Alors : z + z = (x + x ) + i(y + y ) z z = (x x ) + i(y y ) zz = (xx yy ) + i(xy + x y) Exemple 2 (1 + 3i) + ( 3 + 2i) = 2 + 5i 2 4i ( 1 5i) = 3 + i (4 + i)( 5 + 3i) = i 5i + 3i 2 donc (4 + i)( 5 + 3i) = i Remarque 4 Les identités remarquables valables dans R le sont également dans C Soient z et z des nombres complexes. zz = 0 z = 0 ou z = 0 Propriété 3 Tout nombre complexe non nul admet un inverse noté 1 z Preuve Si z = x + iy avec x 0 et y 0 alors le nombre Z = x iy vérifie zz = x 2 + y 2 Et donc le nombre comple Z x = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 vérifie bien zz = 1 Propriété 4 Soient z et z deux nombres complexes tels que z 0 et z = x + iy Alors pour obtenir la forme algébrique de z z, on mulitplie et on divise par x iy Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 2/8 Terminale S - M. Schavsinski

3 Exemple 3 1 5i 2 + i puis on a 1 5i 2 + i = (1 5i)(2 i) (2 + i)(2 i) = 3 11i donc 1 5i 2 + i = i affixe d un vecteur Définition 4 A tout vecteur u du plan de coordonnées (x,y) est associé le complexe z = x + iy appelé affixe du vecteur u Réciproquement, à tout nombre complexe z = x + iy est associé le vecteur u (x,y) Propriété 5 Pour tous vecteurs a et b d affixes respectives z a et z b : l affixe du vecteur a + b est z a + z b Si k est un réel, l affixe du vecteur k a est kz a a (z a ) a + b (z a + z b ) O u b (z b ) 3 Conjugué d un nombre complexe 3.1 Définition d un conjugué Définition 5 Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy ( où x et y sont des réels ). On appelle conjugué de z, et on note z, le nombre complexe x iy Exemple i = 2 3i 4 = 4 2i = 2i Propriété 6 Soit z C tel que z = x + iy avec x et y des réels z = z z z = x 2 + y 2 z + z = 2Re(z) z z = 2iIm(z) Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 3/8 Terminale S - M. Schavsinski

4 Propriété 7 Conséquences Soit z C z R z = z z est un imaginaire pur z + z = Interprétation géométrique M(z) Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, ) O u Représentons le point M d affixe z Soit le point M d affixe z M ( z) Le point M et le point M sont alors symétriques par rapport à l axe des réels 3.3 Conjugué et opérations Propriété 8 Soient z et z deux nombres complexes et soit n N Alors on a : z + z = z + z z z = z z z n = z n ( ) 1 Si z 0, = 1 ( z ) et si z 0, z z z = z z Preuve Faisons cette preuve pour le produit z z : Soient z = x + iy et z = x + iy On a alors z z = xx yy + i(xy + x y) D où, z z = xx yy i(xy + x y) Or z z = (x iy)(x iy ) C est-à-dire z z = xx yy i(xy + x y) On voit bien qu on a z z = z z Exemple 5 1. (2 + 3i)(4 i) = (2 3i)(4 + i) donc on a (2 + 3i)(4 i) = 11 10i ( ) ( ) ( ) = donc on a = 2 + i 2 i 2 + i 3 + i1 3 Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 4/8 Terminale S - M. Schavsinski

5 4 Module et arguments d un nombre complexe (O, u, ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 4.1 Module d un nombre complexe Définition 6 Soit z un nombre complexe de forme algébrique x + iy ( où x et y sont réels). Le module de z est le nombre réel positif, noté z et défini par x 2 + y 2 interprétation géométrique Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = z M(z) Remarque 5 Si x est un nombre réel, le module de x est égal à la valeur de x. z = 0 équivaut à z = 0 car OM = 0 équivaut à M = O z z = z 2 O u z 4.2 Arguments d un nombre complexe non nul Définition 7 Dans le plan complexe, soit z un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z, et on note arg(z), toute mesure en radian de l angle orienté ( u, OM) M(z) arg(z) O u Remarque 6 Un nombre complexe non nul z a une infinité d arguments. Si θ est l un d entre eux, les autres ont de la forme θ + 2kπ avec k Z On note arg(z) = θ (modulo 2π) ou plus simplement arg(z) = θ 4.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré de 2 façons : soit par ses coordonnées cartésiennes ((x,y) soit par ses coordonnées polaires (r,θ) où r = OM et θ = ( u, { OM). x = rcos(θ) Les calculs classiques de trigonométrie nous donnent donc y = rsin(θ) Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 5/8 Terminale S - M. Schavsinski

6 rsin(θ) M sin(θ) θ u cos(θ) rcos(θ) Définition 8 Soit z un nombre complexe non nul. L écriture z = r(cos(θ) + isin(θ)) avec r = z et θ = arg(z) est appelée forme trigonométrique de z Propriété 9 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument modulo 2π Propriété 10 Si z = ρ(cos(α) + isin(α)) avec ρ > 0 alors ρ = r et α = arg(z) (modulo 2π) 5 Propriétés du module et des arguments 5.1 Propriétés Propriété 11 Pour tout z C,z 0, on a : z = z arg( z) = arg(z) (modulo 2π) z = z arg( z) = arg(z) + π (modulo 2π) Propriété 12 Pour tout z C,z 0, on a : z est un nombre réel équivaut à arg(z) = 0 (modulo 2π) ou à arg(z) = π (modulo 2π) z est un nombre imaginaire pur équivaut à arg(z) = π 2 (modulo 2π) ou à arg(z) = π 2 (modulo 2π) 5.2 Opérations Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 6/8 Terminale S - M. Schavsinski

7 Propriété 13 Pour tout z C,z C, on a : z + z z + z ( inégalité triangulaire ) Et, de plus, pour z et z non nuls, on a : zz = z z arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) Pour tout n N, z n = z n Pour tout n N, arg(z n ) = narg(z) z z = z ( z z ) arg z = arg(z) arg(z ) 5.3 Lien avec le plan complexe Propriété 14 Soient A et B deux points d affixes a et b. Alors : AB = b a Si A et B sont distincts, ( u, AB) = arg(b a) Théorème 2 Conséquence Soient A,B,C et D sont des points deux à deux distincts d affixes respectives a,b,c et d. Alors on a ( ( ) d c AB, CD) = arg b a 6 La notation exponentielle 6.1 La fonction θ cos(θ) + isin(θ) Soit f la fonction définie sur R et à valeurs dans C par f(θ) = cos(θ) + isin(θ) Alors f(θ + θ ) = cos(θ + θ ) + isin(θ + θ ) En utilisant les propriétés sur le cosinus et le sinus, on a donc : f(θ + θ ) = cos(θ)cos(θ ) sin(θ)sin(θ ) + i(sin(θ)cos(θ ) + cos(θ)sin(θ )) Puis, en factorisant, f(θ + θ ) = cos(θ)(cos(θ ) + isin(θ )) sin(θ)( icos(θ ) + sin(θ )) c est-à-dire f(θ + θ ) = cos(θ)(cos(θ ) + isin(θ )) + isin(θ)(cos(θ ) + isin(θ )) D où f(θ + θ ) = (cos(θ) + isin(θ))(cos(θ ) + isin(θ )) Ce qui donne f(θ + θ ) = f(θ)f(θ ) On reconnaît la même équation fonctionnelle que celle trouvée dans le chapitre sur les exponentielles on peut donc adopter une notation exponentielle pour cette fonction f. Notation : Pour tout réel θ, on note e iθ = cos(θ) + isin(θ) Exemple 6 e i0 = 1 e i2π = 1 e iπ = 1 e i π 2 = i e i 2π = 2 + i 2 Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 7/8 Terminale S - M. Schavsinski

8 6.2 Forme exponentielle d un nombre complexe non nul Propriété 15 Pour tous réels θ et θ et tout entier naturel non nul n : e iθ = 1 et arg(e iθ ) = θ e iθ e iθ = e i(θ+θ ) e iθ = e i(θ θ ) e iθ = e iθ e iθ ( e iθ) n = e inθ ( Formule de Moivre ) Remarque 7 Ces formules résultent du fait que e iθ est un complexe de module 1 et d argument θ et des propriétés du module et des arguments La formule de Moivre d écrit également (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ) 7 Equations du second degré à coefficients réels Théorème 3 Soient a,b,c des réels et a 0 L équation az 2 + bz + c = 0 a pour discriminant = b 2 4ac On rencontre alors 3 cas : Si > 0, l équation a deux solutions réelles z 1 = b + Si = 0, l équation a une solution réelle double z 0 = b Si < 0, l équation a deux solutions complexes z 1 = b + i et z 2 = b et z 2 = b i Remarque 8 Si z 1 et z 2 sont les solutions de l équation ( avec éventuellement z 1 = z 2 dans le cas = 0 ) alors pour z C, on a az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ) Si < 0, les deux racines complexes sont conjuguées. Exemple 7 Considèrons l équation z 2 + z + 1 = 0. Elle a pour discriminant = 3. Les solutions sont alors les complexes conjugués ( 2 + i 2 et 1 2 i 2. Et on a donc pour tout z C, z 2 + z + 1 = z + 1 ) ( 3 2 i z + 1 ) i 2 Chapitre 5 - Les nombres complexes Page 8/8 Terminale S - M. Schavsinski