Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation

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1 /12/2010J Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation ENONCE : Une entreprise achète un véhicule neuf au prix de V 0 = Elle considère que le véhicule va se déprécier de 20 % par an. On note V 1, V 2,, V n les valeurs en euros du véhicule au bout d un an, de deux ans,., de n années d utilisation. 1) Calculer V 1 et V 2. 2) En admettant que les nombres V 0, V 1, V 2,, V n forment une suite géométrique, vérifier que la raison de cette suite est q = 0,8. 3) En utilisant la formule générale V n = V 0 q n pour une suite géométrique, à l aide d une calculatrice compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir à l unité) : Nombre d années d utilisation : n Valeur du véhicule : V n L entreprise décide de remplacer le véhicule lorsque la valeur du véhicule aura atteint la valeur V = ) On considère la fonction f définie sur l intervalle [1;7] par la formule : f(x) = (0,8) x Le tableau de valeurs de la fonction f est donné dans la question 3) sachant que V n = f(n). Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [1;7] dans un repère orthonormé. 5) A partir de l observation graphique, indiquer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [1;7]. 6) Tracer la droite y = sur l intervalle [1;7] dans le même repère que la fonction f. 7) Résoudre graphiquement sur l intervalle [1;7] l inéquation : f(x) ) En déduire au bout de combien d années l entreprise envisagera de remplacer le véhicule

2 /12/2010J Correction avec la Graph 25 + Pro Pour résoudre les deux premières questions nous allons utiliser la fonctionnalité RUN,c'est-à-dire, le module de calcul de la calculatrice Graph 25 + Pro. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application RUN et faire. Pour effacer l écran, s il y a des données inscrites, appuyer sur la touche 1) Une dépréciation de 20 % sur le prix du véhicule neuf revient à appliquer un coefficient multiplicateur de q = 1-20/100 = 0,8 soit V 1 = x 0,8 En rentrant l opération à l aide de la calculatrice : On obtient le résultat V 1 = et pour obtenir V 2 il suffit de taper : La calculatrice affiche Ans x 0.8 et donne V 2 = La valeur Ans représentant le résultat du dernier calcul

3 /12/2010J ) Pour cette question il suffit de calculer le rapport V 2 / V 1, c est-àdire de taper : La machine affiche Ans / et donne q = 0,8 La raison de la suite géométrique est bien q = 0.8 correspondant au facteur de dépréciation. Pour résoudre les autres questions nous allons utiliser la fonctionnalité TABLE. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application TABLE et faire. Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche (DEL) et puis (Oui), et se déplacer à l aide du bouton directionnel

4 /12/2010J Compte-tenu de la suite de l énoncé, nous allons séparer l écran en deux parties pour faire apparaître d un côté le tableau de valeurs et de l autre côté la représentation graphique. Pour cela, utiliser les touches (SET UP) puis à l aide du bouton directionnel se placer sur la ligne Dual Screen. S il apparaît Off (fonctionnalité non active) alors taper (T+G). Faire alors puis rentrer la fonction f(x) = (0,8)^x Puis. Pour donner la plage de valeurs, sélectionner (SET) puis rentrer pour Start : Puis End : et enfin Step : pour avoir un pas de 1 et terminer par

5 /12/2010J Pour afficher le tableau de valeurs sélectionner (TABL). Les valeurs affichées sont celles de la suite V n et vont permettre de répondre à la question 3) en se déplaçant vers le bas à l aide du bouton directionnel. 3) Le tableau de valeurs, en faisant des arrondis à l unité, est le suivant : Nombre d années d utilisation : n Valeur du véhicule : V n ) Pour afficher l allure de la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [1;7], nous allons utiliser la partie gauche de l écran en adaptant la fenêtre d affichage aux données obtenues dans la partie droite. Utiliser alors les touches (V-Window) pour définir la fenêtre d affichage de la courbe. Saisir Xmin : puis max : et scale : (unité graphique) - 5 -

6 /12/2010J Se déplacer avec pour saisir la valeur minimale de f : Ymin : puis la maximale de f (arrondie), max : et scale : puis terminer par. Utiliser alors à nouveau la touche (TABL) puis (G-CON) pour afficher l allure de la courbe. 5) A partir de la courbe représentant la fonction f, on voit que f est décroissante sur l intervalle [1;7]. La fonction f est une fonction exponentielle de base q = 0,8. 6) Pour tracer la droite horizontale d équation y = faire pour pouvoir saisir sur la deuxième ligne la fonction : Y2 =

7 /12/2010J Appuyer alors sur les touches (TABL) puis (G-CON) pour afficher les deux courbes. 7) Pour résoudre l inéquation f(x) utiliser (Trace). En bas de l écran on peut voir affichés X = 1 et Y = Se déplacer sur la courbe représentative de la fonction f en cliquant à droite avec jusqu à faire apparaître pour Y une valeur inférieure à c est-à-dire en se plaçant en dessous de la droite d équation y = On voit que pour X=6 la valeur est Y=5 243 et le point (6 ; 5243) se situe en dessous de la droite d équation y = Il apparaît donc que si x vérifie : x 6 alors x est solution de l inéquation : f(x) Pour obtenir plus de précision sur les solutions de l inéquation, il faut diminuer le pas (STEP) de calcul lors de la sélection de la plage de valeurs et prendre, par exemple, un pas de 0,1 au lieu de 1. On constate alors que les solutions de l inéquation vérifient (aux arrondies près): x 5,4 8) D après ce qui précède, c est au courant de la 6 e année que la valeur de la voiture va atteindre une valeur inférieure ou égale à et que l entreprise envisagera alors de changer la voiture

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