Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques.

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1 Lycée Alexis de Tocqueville BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques Durée 3 heures Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ****** Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table. En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée. Les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits (circulaire n du 16 novembre 1999). Ce corrigé comporte 7 pages Page 1/7

2 Exercice 1 : (6 points) On s intéresse à la population d une ville et on étudie plusieurs modèles d évolution de cette population. En 2013, la population de la ville était de habitants. 1. Hypothèse 1 Partie A - Étude de deux modèles d évolution En analysant l évolution récente, on fait d abord l hypothèse que le nombre d habitants augmente de 1000 habitants par an. Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d habitants pour l année n. On a ainsi u 0 = a. Que représente u 1? Calculer u 1 et u 2. u 1 représente le nombre d'habitants en u 1 = u = et u 2 = u = b. Quelle est la nature de la suite (u n )? Justifier. On ajoute 1000 à chaque fois pour passer d'un terme au suivant, il s'agit donc d'une suite arithmétique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. u n = u 0 + nr = n. d. Selon ce modèle, quelle devrait être la population en 2018? La population en 2018 et représentée par le terme u 5, et u 5 = = e. Selon ce modèle, en quelle année la population devrait-elle atteindre habitants? On cherche n pour que u n = soit n = n = n = 15 C'est donc pour n = 15 que la population atteint , soit l'année = Hypothèse 2 On fait à présent l hypothèse que le nombre d habitants augmente de 4,7% par an. Le nombre d habitants pour l année ( n) est modélisé par le terme v n d une suite géométrique. Ainsi v 0 = a. Calculer les valeurs des termes v 1 et v 2 arrondies à l unité. Augmenter de 4,7 % revient à multiplier par 1,047, donc v 1 = v 0 1,047 = b. Déterminer la raison de la suite (v n ). Comme expliqué dans la question précédente, la raison est 1,047. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. v 2 = , v n = v 0 q n = ,047 n. d. Calculer, selon ce modèle, le nombre d habitants de la ville en v 15 = , e. En examinant l évolution de villes comparables à celle que l on étudie ici, des experts ont estimé que sa population allait augmenter de 50% en 15 ans. Le résultat trouvé à la question précédente est-il en accord avec les prévisions des experts? Justifier. Augmenter de 50 % revient à multiplier par 1,5. v 0 1,5 = Le résultat trouvé n'est donc pas en accord avec la prévision des experts car on trouve près de habitants au bout de 15 ans. Page 2/7

3 Partie B - Analyse des résultats sur tableur On utilise un tableur pour comparer l évolution de la population suivant les deux modèles. Les cellules sont au format «nombre à zéro décimale». A B C D E F G H I 1 Année Rang Population selon l'hypothèse 1 Population selon l'hypothèse Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite (u n ) pour n variant de 1 à 7? Par exemple =B ou =B$3+1000*C2. 2. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite (v n ) pour n variant de 1 à 7? Par exemple =B4*1,047 ou =B$4*1,047^C2. Exercice 2 : (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l absence de réponse à une question ne rapportent ni n enlèvent aucun point. Pour chaque question, recopier sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5%. Sa valeur a été multipliée par a. 0,375 b. 1,375 c. 1,625 d. 0, Le prix d une denrée alimentaire a augmenté le premier mois de 2% puis a baissé le second mois de 10%. Le taux d évolution moyen mensuel est (à 0,01% près) a. 4% b. 4,2% c. 4,19% d. 3,83% 3. Le prix d un article est de 87 euros. Ce prix augmente de 2% chaque année. Le prix dépassera 106 euros à partir de la a. 7 ème année b. 9 ème année c. 10 ème année d. 14 ème année Page 3/7

4 4. On considère l algorithme suivant : Variables : i, n, u Entrée : saisir n Traitement : u prend la valeur 5 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur 0,94 u Fin Pour Sortie : Afficher u Si l'on choisit n = 8, l'algorithme affichera (à 0,01 près) a. 3,24 b. 3,05 c. 0,61 d. 0, On considère l'équation suivante : 2x 2 4x + 2 = 0. Le nombre de solutions de cette équation est : a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 Exercice 3 : (5 points) Quatre fonctions f 1, f 2, f 3 et f 4 définies et dérivables sur l intervalle [ 3 ; 2], sont représentées respectivement par les courbes c 1, c 2, c 3 et c 4 ci-dessous. Page 4/7

5 On admet que f 1 ( 5 3) 9, 5, f 2( 5 3 ) = 0, f 3( 5 3) = 0 et f 4( 5 3) 1. Par lecture graphique, sans justifier : a. Donner le tableau de variation de la fonction f 1. 9, 5. x f 1 (x) 0 9,5 0 5 b. Donner le tableau de signes de la fonction f 2. x f 2 (x) f 3 ( 1) < 0. f 4 (2) = 5. c. Donner le signe de f 3 ( 1), f 3 étant la dérivée de la fonction f 3. d. Donner l image de 2 par la fonction f Dans cette question, on considère la fonction g définie sur [ 3 ; 2] par g (x) = (x 1) 2 (x + 3). a. Vérifier que g (x) = x 3 + x 2 5x + 3. Développons la forme factorisée de g (x) qui nous est donnée : g (x) = (x 1) 2 (x + 3) = (x 2 2x + 1)(x + 3) = x 3 2x 2 + x + 3x 2 6x + 3 = x 3 + x 2 5x + 3. b. Calculer g' (x), g étant la dérivée de la fonction g. g (x) = x 3 + x 2 5x + 3 = ax 3 + bx 2 + cx + d avec a = 1, b = 1, c = 5 et d = 3. Donc g' (x) = 3ax 2 + 2bx + c = 3x 2 + 2x 5. c. Résoudre l équation 3x 2 + 2x 5 = 0. = b 2 4ac = = 64 = 8 2. L'équation a donc 2 solution : x 1 = b+ Δ = 2+8 2a 6 Étudier le signe de g sur l intervalle [ 3 ; 2]. =1 et x 2 = b Δ 2a = 2 8 = Un trinôme du second degré est du signe de a entre ses racines. Comme ici a = 3 > 0, on a donc : x g (x) En déduire le tableau de variation de la fonction g. d. Sachant que la fonction g est l une des quatre fonctions f 1, f 2, f 3 ou f 4 représentées ci-dessus, quelle est cette fonction? Justifier la réponse. Page 5/7

6 Exercice 4 : (4 points) Le tableau ci-dessous donne le nombre de voitures neuves (en milliers) vendues en France durant les six premiers mois de l année Mois janvier février mars avril mai juin Rang du mois x i Nombre de vente (en milliers) y i a. Représenter le nuage de points de la série (x i ; y i ) dans le repère fourni en annexe 1 (à rendre avec la copie). b. Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d envisager un ajustement affine. À l'exception d'un, les points sont sensiblement alignés sur le graphique, on peut donc envisager un ajustement affine. 2. Déterminer à l aide de la calculatrice une équation de la droite d d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira au centième les coefficients. À la calculatrice, on calcule une équation de la droite d d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On obtient : y = 2,71x + 152,33, en arrondissant les coefficients à 0,01 près. 3. On décide de modéliser l évolution du nombre y de ventes de voitures neuves en fonction du rang x du mois par l expression y = 2,7x a. Représenter graphiquement dans le repère fourni en annexe, la droite traduisant cette évolution. Calculons les coordonnées de 2 points de cette droite : si x = 0, y = 152 et si x = 10, y = 125. b. Quel nombre de ventes de voitures neuves pouvait-on prévoir pour le mois de décembre 2013 en utilisant ce modèle? Décembre 2013 correspond à x = 12. Nous pouvons lire sur le graphique l ordonnée du point de la droite d abscisses 12 ou remplacer x par 12 dans l équation (plus précis). On obtient y = 2, = 119,6. On peut prévoir une vente de voitures en décembre c. À partir de quel mois pouvait-on prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à véhicules. On résout l inéquation 2,7x < 130. On en déduit 2,7x < 22, d où, en divisant par le nombre négatif 2,7 : x > 22 2,7 8, 1. On prend le premier nombre entier vérifiant cette condition, donc x = 9. On pouvait prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à véhicules à partir de septembre Page 6/7

7 Nom : Prénom : ANNEXE (à rendre avec la copie) Page 7/7