Un outil regroupe les caractéristiques d'une translation qui transforme A en B :...

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1 Chapitre 3 Seconde Vecteurs et coordonnées Introduction: Une transformation du plan est un "mécanisme" qui à un point M associe un unique point M ' appelé image de M. ( Tous les points ont une image et une image ne peut être obtenue qu'à partir d'un seul point ) 1. A quelle notion une transformation vous fait-elle penser? 2. Quelles transformations avez-vous rencontrées au collège? Transformation Propriété géométrique associée I. Translation et vecteur 1. Une nouvelle transformation: la translation ; vecteur associé. Définition A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [ BC ] et [ AD] ont le même milieu. Remarques : Pour définir une translation, deux points sont nécessaires. Une translation est assimilable à un Un outil regroupe les caractéristiques d'une translation qui transforme A en B :... Transformation Propriété géométrique associée conséquence: C a pour image D par la translation de vecteur AB My Maths Space Vecteurs & coordonnées Page 1

2 2. Vecteurs égaux Définition Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B, associe le point D au point C. On note : AB= CD Propriété résultant de la conséquence: AB= CD... Exercice: Construire les vecteurs égaux à AB ayant C, E comme origine et H comme extrémité. Représentant Vecteur nul (notation) Vecteurs opposés (notation) Exercice: A, B, O et O ' sont quatre points distincts. C et D sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O. E et F sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à O '. Démontrer que DCEF est un parallélogramme. II. Addition de vecteurs. 2. Composition de deux translations Construire ci-contre le point M', image du point M par la translation de vecteur u puis l'image M'' de M' par la translation de vecteur v. En enchaînant ces 2 translations, on dit qu'on les a composées. Pour passer directement de M à M'', on peut faire directement 2009 My Maths Space Vecteurs & coordonnées Page 2

3 une seule translation de vecteur w : on dit que w est le «vecteur somme» de u et v et on écrit : w= u v 2. Additionner deux vecteurs : technique La 2 ème «lettre» d un des vecteurs est la 1 ère de l'autre : La «première lettre» des 2 vecteurs est la même : Les 2 vecteurs n'ont aucun point en commun : Remarque: Dans la relation de Chasles, ne pas confondre AB BC= AC (vecteurs) et AB BC =AC (longueurs) La première est..., la seconde... III. Soustraction de deux vecteurs Remarques: u + u = 0 Définition : Soustraire un vecteur v, c'est ajouter son opposé v. On pose u v = u + v Ainsi, u v est appelé vecteur différence entre u et v. Exemple: Choisir deux vecteurs u et v et construire la différence u v. IV. Multiplication d'un vecteur par un réel 1.Définition: Soit u= AB un vecteur et k un réel non nul, si C est tel que AC = k u alors: C appartient à [AB) si k 0 et C est aligné avec A et B mais C [AB) si k 0 ; La longueur AC est égale à la longueur AB multipliée par le nombre positif obtenu à partir de k exemples : v=3 u k= My Maths Space Vecteurs & coordonnées Page 3

4 remarque : On a également dans ce cas : u= 1 3 v. v= 1 2 u k= 1 2 remarque : on a alors aussi : u= 2 v cas où k=0 : on convient que 0 u= 0 («zéro fois un vecteur quelconque donne le vecteur nul») 2. Colinéarité de deux vecteurs. Propriété et Définition : Soit u et v 2 vecteurs. u et v sont colinéaires L'un est le produit de l'autre par un nombre réel k. Il existe un réel k tel que u= kv ou v= ku Comme 0 u= 0, par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Parallélisme et alignement Point méthode N 1: Démontrer que deux droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles revient à prouver que les vecteurs AB et CD sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel non nul k tel que AB= kcd. Point méthode N 2: Démontrer que trois points A, B, C sont alignés revient à prouver que les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel non nul k tel que AB= kac. Illustration par des exemples: 1. Soit ABCD un parallélogramme non aplati. Soit P le point tel que BP= 1 2 AB et Q tel que AQ=3 AD Construire P et Q puis établir les relations vectorielles : CP= 1 2 AB CB et QC=2 CB AB. 2. Soit ABC un triangle et soit I le point tel que AI = 1 3 AB et J tel que AJ =3 AC. Prouver que IC et BJ sont parallèles. 3. Vecteurs et milieu d'un segment : propriété : I est le milieu d'un segment [AB] AI BI = 0 AI= IB AI = 1 2 AB 2009 My Maths Space Vecteurs & coordonnées Page 4

5 V. Vecteurs et coordonnées 1.Repère : Deux vecteurs non colinéaires et un point du plan définissent un repère. Si les vecteurs sont orthogonaux, le repère est dit orthogonal; si de plus les longueurs (normes) des vecteurs valent 1, le repère est dit orthonormal. Notation O, i, j. 2. Coordonnées d'un vecteur: Dans un repère O, i, j, on a la définition suivante : M a pour coordonnées x; y OM =x i y j et u a pour coordonnées a b Propriétés :(A connaître) u=a i b j. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Dans un repère O, i, j, u a b et u ' a ' b' et k un nombre réel : les coordonnées de u u ' sont a a ' b b' et les coordonnées de k u sont ka Dans un repère O, i, j, si A x A ; y A et B x B ; y B : le vecteur AB a pour coordonnées x B x A y B y A le milieu I de [ AB ] a pour coordonnées x x A B ; y y A B 2 2. Dans un repère O, i, j orthonormal, la longueur AB est donnée par la formule : AB= x B x A 2 y B y A 2 3. Condition de colinéarité de deux vecteurs : Dans un repère O, i, j, u a b et u ' a ' b' u et v sont colinéaires leurs coordonnées sont proportionnelles ab' =a' b Exercices : 1. Le plan est muni d'un repère. On considère les points A 2 ; 3, B 4 ; 1 et C 1 ; 4. Déterminer le point D 4 ; y tel que ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD]. 2. On considère le parallélogramme ABCD. P est le milieu de [AD], R est le symétrique de B kb. par rapport à D et le point Q vérifie AQ= 1 3 AB. En se plaçant dans le repère A ; AQ ; AP, montrer que les points P, Q et R sont alignés My Maths Space Vecteurs & coordonnées Page 5