Les transformations géométriques Durée suggérée: 2 semaines

Transcription

1 Les transformations géométriques Durée suggérée: 2 semaines Il s agit du premier module portant directement sur les transformations géométriques. Cela dit, comme c est le cas des autres objectifs, la notion pourra être abordée à tout moment de l année.

2 Unit Overview Orientation et contexte Le sujet de la symétrie a été abordé en 4 e année. Prévoyez du temps pour revoir le concept de symétrie des figures à deux dimensions. Les transformations géométriques constituent une nouvelle notion pour les élèves. Il est important de recourir au rétroprojecteur, aux blocs-formes sur transparent et au papier quadrillé. Le sujet se prête également bien au tableau blanc interactif. L objectif du présent module est d amener les élèves à reconnaître trois transformations : la réflexion, la translation et la rotation. Les notions acquises au regard de la symétrie et de la congruence, aspects traités dans le programme de 4 e année, seront utiles aux élèves dans le cadre de ce module. En 5 e année, les élèves apprendront, d une part, à reconnaître les transformations et, d autre part, à les décrire de façon claire. Pourquoi est-ce important? La géométrie est un volet important de l apprentissage des mathématiques. En effet, les activités de ce module aident les élèves à représenter et à décrire la géométrie de même qu à prendre conscience de son importance dans la vie de tous les jours. Être en mesure de visualiser l orientation et le mouvement des figures est une faculté essentielle puisqu elle nous sert au quotidien, par exemple quand on conduit une voiture, quand on déplace des meubles, etc. Il est crucial d avoir une excellente perception de l espace, et les exercices prévus dans ce module, lesquels s appuient sur des objets du quotidien, aideront les élèves à saisir des concepts et des stratégies encore plus complexes. Les transformations géométriques font partie intégrante de nombreux domaines de travail, dont la création, le dessin et le génie. 98 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

3 Processus mathématiques [C] Communication [RP] Résolution de problèmes [L] Liens [R] Raisonnement [CE] Calcul mental et estimation [T] Technologie [V] Visualisation Résultats d apprentissage DOMAINE La forme et l espace (les transformations) La forme et l espace (les transformations) RÉSULTAT D APPRENTISSAGE 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. 5FE8 Identifier et décrire une seule transformation, y compris une translation, une réflexion et une rotation de figures à deux dimensions. PROCESSUS MATHÉMATIQUES [C, L, T, V] [C, T, V] PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 99

4 Domaine: La forme et l espace (les transformations) Résultats d apprentissage L élève pourra 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. [C, L, T, V] Indicateurs de rendement: 5FE7.1 Effectuer une translation horizontale, verticale ou diagonale d une figure à deux dimensions, puis décrire la position et l orientation de l image. 5FE7.4 Dessiner une figure à deux dimensions, y appliquer une translation, et noter cette translation en décrivant sa direction ainsi que l ampleur du déplacement. Stratégies d enseignement et d apprentissage En 4 e année, les élèves n ont pas encore exploré les translations, les réflexions et les rotations. Pour qu ils se familiarisent avec ces transformations, dessinez une figure bidimensionnelle sur un transparent quadrillé et abordez la notion de translation à l aide des blocs-formes. Amorcez une discussion sur des mots clés comme «horizontal», «vertical» et «diagonal» de même que sur la question de l orientation (une translation ne modifie pas l orientation de la figure, autrement dit la figure originale et son image pointent dans la même direction). Il est à noter que les termes «haut», «bas» et «oblique» sont tout aussi acceptables. Propriétés générales d une translation : - La figure à deux dimensions et son image sont congruentes. - La figure à deux dimensions et son image ont la même orientation (autrement dit, si on fait le tour des figures dans le sens des aiguilles d une montre, les sommets de la figure A B C D se présentent dans le même ordre que ceux de la figure ABCD). Prenez soin de bien identifier les sommets de la figure (ex. : A, B, C, D) et les sommets correspondants de l image (A, B, C, D ). A se lit «A prime». 5FE8 Identifier et décrire une seule transformation, y compris une translation, une réflexion et une rotation de figures à deux dimensions. [C, L, T, V] Indicateur de rendement: 5FE8.5 Décrire une transformation donnée en identifiant la direction et l ampleur du déplacement. Rappelez aux élèves comment utiliser adéquatement une règle et insistez sur l importance de bien tailler son crayon. Dessinez des figures à deux dimensions, comme des carrés, des rectangles et des triangles. Demandez aux élèves de dessiner à leur tour des figures à deux dimensions simples et d en effectuer la translation. Rappelez aux élèves que l orientation de l image est la même que celle de la figure originale. La figure a tout simplement été déplacée. Il est important de donner aux élèves de nombreux exemples de chacune des transformations afin qu ils puissent les reconnaître. Maintenant que les élèves sont en mesure d effectuer des translations, expliquez-leur comment les décrire en utilisant un langage mathématique. 100 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

5 Résultat d apprentissage général: Décrire et analyser les positions et les déplacements d objets et de figures Stratégies d évaluation Ressources/Notes Performance Remettre aux élèves une feuille quadrillée sur laquelle une figure à deux dimensions (ex. : un rectangle) est tracée et leur demander d eff e ctuer la translation de la figure selon des directives bien précises (ex. : déplacement de 3 unités vers la gauche et de 2 unités vers le bas). (5FE7.1) Demander aux élèves de dessiner un carré sur du papier quadrillé puis de choisir leur propre règle de translation (p. ex. déplacement de 2 unités vers la droite et de 3 unités vers le bas). Les élèves doivent noter leur règle de translation. (5FE7.4) Remettre aux élèves différentes illustrations comme celle ci-dessous. Leur demander de dégager la règle de translation. Compas Mathématique 5 Premiers pas: La chasse aux fi g ures GE p ME p Il s agit d une bonne façon d introduire la matière. Leçon 1: Effectuer des translations 5FE7 (7.1, 7.4, 7.7) 5FE8 (8.1, 8.2) GE p ME p Pour un bon exemple de résolution de problème, consultez la page 46 du guide de l enseignant. (Réponse : La figure ABC a subi une translation de 6 unités vers la droite et de 4 unités vers le bas.) Journal Demander aux élèves de compléter la phrase suivante : Je sais qu il s agit d une translation parce que (5FE8.5) PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 101

6 Domaine: La forme et l espace (les transformations) Résultats d apprentissage L élève pourra 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. [C, L, T, V] (suite) Indicateur de rendement: 5FE7.3 Effectuer une réfl exion d une figure à deux dimensions par rapport à un axe de réfl exion, puis décrire la position et l orientation de l image. 5FE7.6 Dessiner une figure à deux dimensions, y appliquer une réfl exion, puis en identifier l axe de réfl exion et la distance qui sépare l axe de réfl exion et l image obtenue. 5FE8 Identifier et décrire une seule transformation, y compris une translation, une réflexion et une rotation de figures à deux dimensions. [C, L, T, V] (suite) Indicateur de rendement: 5FE8.4 Décrire une réfl exion donnée en identifiant l axe de réfl exion et la distance de l image réfl échie à l axe de réfl exion. Stratégies d enseignement et d apprentissage Vous pouvez aussi employer le terme «miroir transparent» pour désigner le mira. Les élèves doivent établir un lien entre la notion de symétrie acquise antérieurement et l axe de réflexion. L axe de réflexion crée une symétrie entre un objet et son image tandis qu un axe de symétrie fait référence à la symétrie au sein même d un objet donné. Rappelez aux élèves comment manipuler adéquatement le mira. Les élèves doivent très bien connaître cet outil. Amenez les élèves à bien comprendre que l image produite par le mira est une réflexion. - Tracez une figure à l aide d un mira (indiquez bien où se situe l axe de réflexion). - Sur du papier-calque, dessinez une figure à deux dimensions et son image, puis pliez la feuille et faites remarquer aux élèves que les figures sont congruentes. Propriétés d une réflexion : - La figure à deux dimensions et son image sont congruentes. - La fi g ure à deux dimensions et son image ont des orientations opposées (autrement dit si on fait le tour de l image ABCD dans le sens des aiguilles d une montre, il faudra faire le tour de l image A B C D dans le sens inverse des aiguilles d une montre pour que les sommets se présentent dans le même ordre). Nota : Lorsque vous identifiez les sommets d une figure à deux dimensions et de son image, utilisez la notation «prime» (par exemple: A et A ). Devant la classe, effectuez une réflexion à l aide d un rétroprojecteur ou d un grand tableau de papier quadrillé en indiquant bien l axe de réflexion. Faites remarquer aux élèves que la figure à deux dimensions et son image sont toutes deux à la même distance de l axe de réflexion. Expliquez aux élèves comment décrire une réflexion en utilisant un langage mathématique; par exemple, «l image a subi une réflexion selon un axe vertical ou horizontal». 102 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

7 Résultat d apprentissage général: Décrire et analyser les positions et les déplacements d objets et de figures Stratégies d évaluation Performance Remettre aux élèves des blocs-formes et un mira puis leur demander de bouger un bloc pour voir comment réagit l image reflétée à l aide du mira. (5FE7.3) Réfl exion sur les réfl exions Demander aux élèves de placer trois géoplans côte à côte (voir l illustration ci-dessous). Sur le géoplan du milieu, les élèves doivent construire un quadrilatère et en identifier les sommets. Sur les deux autres géoplans, ils doivent dessiner l image réfléchie du quadrilatère en utilisant les côtés du géoplan central comme axes de réflexion. Demander ensuite aux élèves de reproduire leur fi g ure et ses images sur du papier à points et d identifier les sommets. Leur poser les questions suivantes : Quelles sont les similarités entre la première figure créée et ses images? En quoi les figures sont-elles différentes? Que remarquez-vous lorsque vous comparez les réflexions? (5FE7.3) A B A B B A C D D C C D Demander aux élèves d eff e ctuer la réflexion du triangle ABC en fonction d un axe donné. Leur demander ensuite de décrire la position et l orientation de l image réfléchie et de justifier pourquoi la réflexion est correcte. Papier et crayon (5FE7.6) Réflexion d un triangle : Demander aux élèves de réaliser les étapes suivantes en équipe de deux :» Dessiner un triangle» Identifier les sommets du triangle par les lettres A, B et C» Tracer un axe de réflexion» Effectuer la réflexion du triangle» Relier les sommets correspondants» Décrire la distance qui sépare l image de l axe de réflexion» Décrire l orientation (5FE7.6) Journal Axe de réflexion Remettre aux élèves une feuille sur laquelle figurent une figure et un axe de réflexion. Leur demander de tracer l image issue de la réflexion. (5FE7.6) Demander aux élèves de compléter la phrase suivante : Je sais qu il s agit d une réflexion parce que (5FE8.4) Ressources/Notes Compas Mathématique 5 Leçon 2: Explorer les réflexions à l aide d un miroir 5FE7 (7.3, 7.6) 5FE8 (8.1, 8.2) GE p ME p. 155 Pour un bon exemple de résolution de problème, consultez la page 46 du guide de l enseignant. Cette activité a pour unique objectif d amener les élèves à utiliser adéquatement le mira et à bien comprendre l axe de réfl exion. L activité ne devrait pas s étendre sur une longue période. Leçon 3: Effectuer des réflexions sur une grille 5FE7 (7.3, 7.6, 7.7) 5FE8 (8.2) GE p ME p Prenez le temps de donner des exemples, et choisissez des questions simples. PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 103

8 Domaine: La forme et l espace (les transformations) Résultats d apprentissage L élève pourra 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. [C, L, T, V] (suite) Indicateur de rendement: 5FE7.2 Effectuer une rotation d une figure à deux dimensions autour d un sommet, puis décrire l orientation de la fl èche de rotation (sens des aiguilles) et la fraction du tout (limité à,, ou tour complet) Stratégies d enseignement et d apprentissage Revoyez les expressions «sens des aiguilles d une montre» et «sens inverse des aiguilles d une montre» avec les élèves. Donnez-leur plusieurs exemples de réflexions à l aide de figures variées (carré, rectangle, triangle) avant de leur demander de s exécuter. Les élèves n ont encore jamais exploré les rotations. À ce stade-ci de leur cheminement scolaire, ils apprendront seulement à effectuer la rotation d une figure autour d un de ses sommets. Pour la plupart des élèves, la rotation est la plus complexe des transformations. Les élèves devront effectuer de nombreuses rotations par eux-mêmes et en examiner les résultats avant de pouvoir en reconnaître une. En 5 e année, l accent doit être mis sur la réalisation de rotations d un quart de tour ( 1 ), d un demi-tour ( ) ou de trois quarts ( 3 4 ) de tour autour d un des sommets de la figure, et sur la reconnaissance de telles transformations. La rotation entraîne un déplacement circulaire de la figure. Sur du papier calque, tracez une figure et identifiez-en les sommets. Maintenez le bout d un crayon sur un des sommets et faites pivoter la fi g ure autour de ce sommet. Au début, les élèves décriront les rotations en termes de fraction d un cercle (un quart ( 1 ) de tour, un demi-tour ( 1 )trois quarts ( ) de tour). En plus d être en mesure de décrire l amplitude de la rotation, ils doivent pouvoir préciser la direction (sens des aiguilles d une montre ou sens inverse des aiguilles d une montre). Parfois, les expressions «sens des aiguilles d une montre» et «sens inverse (contraire) des aiguilles d une montre» sont abrégées ainsi : sam et scam. À suivre 104 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

9 Résultat d apprentissage général: Décrire et analyser les positions et les déplacements d objets et de figures Stratégies d évaluation Ressources/Notes Compas Mathématique 5 Leçon 4: Effectuer des rotations 5FE7 (7.1, 7.5, 7.7) 5FE8 (8.1, 8.2, 8.3) GE p ME p Lecture supplémentaire : Small (2008). Making Math Meaningful for Canadian Students, K-8. PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 105

10 Domaine: La forme et l espace (les transformations) Résultats d apprentissage L élève pourra 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. [C, L, T, V] (suite) Indicateurs de rendement: 5FE7.2 Effectuer une rotation d une figure à deux dimensions autour d un sommet, puis décrire l orientation de la fl èche de rotation (sens des aiguilles) et la fraction du tout (limité à,, ou tour complet). (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Tracez une grande croix sur le plancher au moyen de ruban adhésif. Demandez à un élève de se placer au centre de la croix et de tenir une corde. Demandez à un autre élève de se placer sur une des branches de la croix et de tenir l autre bout de la corde en gardant celle-ci bien tendue. Dites à cet élève de marcher dans le sens des aiguilles d une montre (en gardant toujours la corde bien tendue) jusqu à ce qu il atteigne l autre branche de la croix. Demandez à l ensemble de la classe quelle rotation l élève a effectuée et quel en était le centre. Recommencez l expérience en changeant les directives et demandez aux élèves de décrire les rotations. Au moyen d un rétroprojecteur, de blocs-formes et d un transparent quadrillé, faites la démonstration des différentes rotations possibles (par exemple : 3 de tour dans le sens des aiguilles d une montre, de tour dans le sens inverse des aiguilles d une montre). de tour Rotation de la figure ABCD d un quart (¼) de tour de autour du centre autour C du centre C de tour tour 5FE7.5 Dessiner une figure à deux dimensions, y appliquer une rotation autour d un sommet, puis décrire la direction (dans le sens des aiguilles d une montre ou dans le sens inverse des aiguilles des aiguilles d une montre), la fraction de tour parcourue (limité,, ou tour complet) ainsi que le point de rotation à Au rétroprojecteur, faites la démonstration d une rotation de la figure ABCD de 1 de tour autour du point C dans le sens des aiguilles d une 4 montre. À l aide de la même figure, faites la démonstration d une rotation d un demi-tour ( 1 2 ) ou de 3 4 de tour. Laissez suffisamment de temps aux élèves pour qu ils puissent se pratiquer à exécuter diverses rotations. Les élèves devront maintenant dessiner une figure à deux dimensions, en effectuer la rotation puis décrire la transformation. 106 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

11 Résultat d apprentissage général: Décrire et analyser les positions et les déplacements d objets et de figures Stratégies d évaluation Ressources/Notes Dialogue enseignant-élèves Montrer aux élèves le diagramme ci-dessous et leur demander de décrire la transformation. Compas Mathématique 5 Leçon 4 (suite): Effectuer des rotations 5FE7 (7.1, 7.5, 7.7) 5FE8 (8.1, 8.2, 8.3) GE p ME p Papier et crayon Demander aux élèves de remplir un tableau semblable à celui ci-dessous. Leur remettre des cartes sur lesquelles vous aurez préalablement dessiné diverses rotations. Figure Nom de la transformation Description de la transformation (5FE7.2) Carte 1 rotation 180 o dans le sens inverse des aiguilles d une montre autour du point Q Carte 2 Carte 3 Carte 1 Carte 2 (5FE7.2) (5FE7.2) Demander aux élèves de dessiner une figure à deux dimensions sur du papier quadrillé et de déterminer le sommet qui servira de centre de rotation. Les élèves doivent décrire la direction, l amplitude (la fraction) et le centre de la rotation. (5FE7.5) Performance Demander aux élèves de se placer en équipe de deux. Chaque élève doit remettre à son partenaire une figure et lui demander d en faire la rotation et d expliquer son raisonnement. (5FE7.5) PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 107

12 Domaine: La forme et l espace (les transformations) Résultats d apprentissage L élève pourra 5FE7 Effectuer une seule transformation (translation, réflexion ou rotation) d une fi g ure à deux dimensions, de façon concrète et dessiner l image obtenue. [C, L, T, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Indicateur de rendement: 5FE7.7 Prédire le résultat d une transformation simple d une fi gure à deux dimensions et vérifier la prédiction. 5FE8 Identifier et décrire une seule transformation, y compris une translation, une réflexion et une rotation de figures à deux dimensions. [C, L, T, V] (suite) Indicateurs de rendement: 5FE8.1 Fournir un exemple de translation, de rotation et de réfl exion. Dessinez différentes figures sur des transparents quadrillés. Demandez aux élèves de prédire dans quel quadrant et dans quelle position se retrouvera l image une fois la rotation effectuée. Les élèves doivent être en mesure de vérifier la prédiction. Amorcez une discussion sur différents exemples de rotations : un joueur qui pivote sur un terrain de basketball, une bicyclette qu on sort du garage, etc. Expliquez aux élèves que les deux triangles ci-dessous sont le résultat d une réflexion. Leur demander de trouver l axe de réflexion au moyen d une règle puis de vérifier leur réponse à l aide d un mira. 5FE8. 2 Identifier une transformation simple donnée, telle qu une translation, une rotation ou une réfl exion. Préparez d autres activités semblables pour les translations et les rotations. 5FE8.3 Décrire une rotation donné à partir d un sommet en indiquant la direction de la rotation, soit dans le sens des aiguilles d une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d une montre. Les élèves ont exploré toute une gamme de rotations de figures à deux dimensions autour d un sommet. Expliquez-leur maintenant comment décrire des rotations en employant un langage mathématique. 108 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

13 Résultat d apprentissage général: Décrire et analyser les positions et les déplacements d objets et de figures Stratégies d évaluation Journal Demander aux élèves de répondre aux questions suivantes : Où pouvez-vous observer de telles transformations dans votre quotidien? Quand les utilisez-vous? Quelle transformation géométrique préférez-vous? Laquelle vous plaît le moins? Pourquoi? (5FE7.7) Demander aux élèves ce qui différencie les trois transformations (translation, réflexion et rotation). (5FE8.2) Demander aux élèves de dessiner un diagramme de Venn afin de comparer deux transformations de leur choix. (5FE8.2) Demander aux élèves de compléter la phrase suivante : Je sais qu il s agit d une rotation parce que (5FE8.3) Performance Préparer une activité où les élèves auraient l occasion de prédire le quadrant et la position de l image d une rotation. (5FE7.7) Ribambelle de transformations Remettre aux élèves une feuille de 8 ½ po par 14 po et leur dire de se rapporter au modèle ci-dessous pour les manipulations préalables. Les élèves doivent couper là où il y a des lignes pointillées de sorte que la portion supérieure de la feuille sera divisée en sections qui pourront être rabattues pour couvrir les dessins. Dessiner une figure dans la première boîte (dans le coin inférieur gauche de la feuille). Les élèves doivent faire subir une transformation à la figure et la décrire sur la section à rabattre. Les élèves doivent effectuer des transformations jusqu à ce que toutes les boîtes aient été remplies. (5FE8.1) Ribambelle de transformations (exemple) Extérieur du rabat: Réflexion vers la droite selon un axe vertical Extérieur du rabat: Translation vers la droite Ressources/Notes Compas Mathématique 5 Leçon 4 (suite): Effectuer des rotations 5FE7 (7.1, 7.5, 7.7) 5FE8 (8.1, 8.2, 8.3) GE p ME p Leçon 5: Décrire des transformations 5FE7 (7.1, 7.2, 7.3, 7.7) 5FE8 (8.2, 8.3) GE p ME p Jeu de maths : Grille à remplir GE p ME p. 166 Curiosités mathématiques: Le jeu des transformations GE p ME p. 167 Source: Traduction d un exemplaire de Navigating through Geometry in Grades 3-5, NCTM, Papier et crayon Remettre aux élèves différents exemples de transformations et leur demander de déterminer la transformation représentée et de justifier leur réponse. (5FE8.2) Dialogue enseignant-élèves Remettre aux élèves différents exemples de transformations et leur demander de déterminer la transformation représentée et de justifier leur réponse. (5FE8.2) PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 5 e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE Fin de la matière de ce chapitre et évaluation du module - soyez sélectif. 109