I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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1 STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Relation fonctionnelle. Nombre e. Connaître les variations, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Résoudre une inéquation d inconnue n entier naturel, de la forme q n a ou q n a avec q et a deu réels strictement positifs. Calculer des dérivées des fonctions de la forme : ï ln u() En s appuyant sur des situations technologiques ou historiques, on justifie la pertinence de la recherche d une solution à l équation fonctionnelle suivante, notée (E) : pour tous réels a et b strictement positifs, f(ab) = f(a) + f(b) On s intéresse au solutions de l équation (E) dérivables sur ]0 ; + [ (eistence admise). On montre que la fonction dérivée d une telle solution est de la forme ï α, où α est un nombre réel. La fonction logarithme népérien est alors présentée comme la seule solution de l équation (E) dérivable sur ]0 ; + [ dont la fonction dérivée est ï, Fonction logarithme en base di ou en base deu, selon les besoins. On s appuie sur des eemples issus des autres disciplines pour introduire ces fonctions. I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN a. Définition : On considère la fonction f par f() = On appelle fonction logarithme népérien (et on note «ln») la fonction définie sur ]0 ; + [ telle que : f'() = f() = 0 Cette fonction f() sera noté ln b. Conséquences immédiates : ln = 0 La fonction ï ln est dérivable et (ln ) = Eemples : Déterminer la dérivée de f() = 3 ln f () = 3 = 3 Déterminer une primitive de g() = = = G() = 2 ln c c. Dérivée de u() On rappelle la formule (v o u) = u v o u ou c'est-à-dire v[u()] = u () v [u()] En particulier, si v() = ln() on a : (ln u) = u u = u u Eemple : Déterminer la dérivée de f() = ln(2 3 + ) f () = II. RELATIONS FONCTIONNELLES a. Relations : Pour tous réels a et b strictement positifs, on a les égalités : ln (ab) = ln a + ln b ln a b = ln a ln b ln a = - ln a ln (an ) = n ln a

2 STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (2/5) Eemples : ln 6 = ln (2 3) = ln 2 + ln 3 ln 2 = ln 2 ln 3 3 ln 2 = - ln 2 ln 32 = ln 2 5 = 5 ln 2 Attention : les epressions suivantes ne peuvent pas être transformées! ln (a + b) = idem ln (a b) = idem ln a ln b = idem ln a ln b = idem b. Le nombre e Il eiste un nombre, noté e, tel que ln e = Ce nombre a pour valeur approchée : e 2,78 28 Conséquence : Pour tout on a : ln e = ln e = ln e = ln e 2 = 2 ln e 3 = 3 c. Applications au équations/inéquations Pour tout ]0 ; + [, > 0 donc la fonction ln est strictement croissante et donc : Théorème : Pour tous réels a et b strictement positifs : a < b ln a < ln b a = b ln a = ln b a > b ln a > ln b Eemples :. On veut résoudre l équation ln (2) = ln 5 ln (2) = ln (e 5 ) 2 = e 5 = e On considère la suite géométrique de premier terme et de raison,5. On a donc pour tout n, u n =,5 n On veut déterminer le rang à partir duquel on a u n > 000. Jusqu ici, on utilisait un algorithme, ce qui est parfois long. Mais désormais : u n > 000,5 n > 000 ln(,5 n )> ln 000 n ln,5 > ln 000 ln 000 n > ln,5 7,036 Donc on prendra n = 8. III. ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN a. Ensemble de définition La fonction ln est définie sur ]0 ; + [

3 STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (3/5) b. Sens de variation On sait que (ln ) =. Or pour tout ]0 ; + [, > 0 donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [ c. Limites On va essayer de déterminer les limites au bornes de l intervalle d étude, donc lim ln et lim ln en 0 (epérimentalement) ln ( ) 0-2,30-4,6-6,9-9,2 -,5-3,8 Chaque fois que est divisé par 0, ln diminue d environ 2,30 (c'est-à-dire ln 0). Il semble donc qu on puisse rendre ln aussi petit qu on veut en prenant suffisamment proche de 0 et donc on admettra le résultat suivant : lim ln = - 0+ en + (epérimentalement) ln ( ) 0 2,30 4,6 6,9 9,2,5 3,8 Chaque fois que est multiplié par 0, ln augmente d environ 2,30. Il semble donc qu on puisse rendre ln aussi grand qu on veut en prenant suffisamment grand et donc on admettra le résultat suivant : lim ln = + + d. Valeurs remarquables Par définition, on sait que : ln = 0 D autre, puisque la fonction ln est dérivable et strictement croissante sur ]0 ; + [, elle prend toutes les valeurs comprises entre - et +. Il eiste donc un unique réel noté e tel que, en particulier : ln e = e. Tableau de variation On résume toutes les informations précédentes dans un tableau : 0 e + f () + f() 0 -

4 STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (4/5) f. Courbe représentative Dans un repère orthonormé, on représente la courbe de f ainsi que sa tangente en 0. 0 e IV. CROISSANCE COMPAREE A L INFINI On admettra les limites suivantes, pour tout n entier strictement positif : ln lim + n = 0 lim n ln = 0 0+ V. LOGARITHME DE BASE DEUX OU DIX Le logarithme néperien est un logarithme de base e. En effet, on a : ln e = ln e 2 = 2 ln e 3 = 3 En physique, on est souvent amené à utiliser le logarithme décimal (ou logarithme de base 0) noté log 0 ou plus simplement log et qui pour tout est égal à ln ln 0. On a alors : log 0 = log 00 = log 0 2 = 2 log 000 = log 0 3 = 3 Ce log est utilisé lorsqu on est amené à mesurer des valeurs on des ordres de grandeur très différents comme par eemple : Les sons (le Bel et le décibel/db)

5 STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (5/5) L échelle de Richter L acidité d une solution (en chimie, le ph) Eemple avec le db : On mesure un premier son qui a une puissance P. On a donc : (log P) B donc (0 log P) db On mesure un autre son 0 fois plus puissant. On a donc : log 0P = log 0 + log P = ( + log P) B = 0 + (0 log P) db Et oui, il n y a que 0 db d écart entre les deu sons! Ainsi : Marteau piqueur (20 db) et Avion a décollage(30 db). L avion fait un bruit 0 fois plus puissant que le marteau piqueur. Aspirateur (70 db) et Moto (90 db). La moto fait un bruit 00 fois plus puissant que l aspirateur. En physique, on est souvent amené à utiliser le logarithme deu (ou logarithme binaire) noté log 2 et qui pour tout est égal à ln ln 2. On a alors : log 2 = log 4 = log 2 2 = 2 log 8 = log 2 3 = 3