Dérivation Primitives

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1 Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives

2 Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique II fonction dérivée, formules de calcul 4 II. définition II.2 dérivées des fonctions usuelles II.3 opérations sur les fonctions dérivables II.4 composée et dérivée II.4. théorème initial (non exigible) II.4.2 conséquences : d autres formules de dérivation à connaître II.4.3 exemples de calculs III applications de la dérivation et compléments 6 III. étude des variations III.2 compléments III.2. écriture différentielle III.2.2 dérivées successives III.2.3 notion d équation différentielle II Les primitives 6 IV Définition et propriétés 7 IV. définition IV.2 primitive passant par un point donné IV.3 illustration graphique V Méthodes de calculs 8 V. primitives des fonctions usuelles V.2 règles de calculs

3 I RAPPELS Première partie La dérivation I Rappels f (a) s appelle le nombre dérivé d une fonction f en un point A d abscisse a (ou nombre dérivé ena). Il correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse a, c est à dire de la droite qui approxime au mieux la fonction autour dea 2 O 2 est représentée ici la tangente à la courbe en Sa pente vaut+2, doncf () = 2 Nous avons donc :f() = et f () = 2 On rappelle par ailleurs que l équation réduite de la tangente en a à la courbe représentative d une fonction f dérivable enaest donnée par y = f (a)(x a)+f(a) I. exemple graphique 2 O 2 3 Giorgio

4 II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL On a représenté ci-dessus la fonction f définie sur [.5;3] par : f(x) = 3 x3 2 x2 x Déterminer par le calcul les images de,, et2, puis vérifier la cohérence sur le graphique. 2. Résoudre graphiquement les équations f(x) = et f(x) = 0 3. Donner le tableau de signe de f(x) sur[.5; 3] 4. Complèter alors le tableau suivant : x + +2 f(x) f (x) 5. Donner une équation des tangentes T, T, T et T 2, aux points de la courbe d abscisses respectives :,,et2. 6. Résoudre graphiquement l équation f (x) = 0 7. Donner le signe de f (x) sur [.5;3]., puis faire un tableau commun où apparaissent les variations def et le signe def (x) II II. fonction dérivée, formules de calcul définition On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu elle est dérivable en tout point de I. L ensemble D où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité def On défini ensuite sur I la fonction dérivée def notée f. II.2 dérivées des fonctions usuelles fonction f domaine D f fonction dérivée f domaine D f f(x) = a R f (x) = 0 R f(x) = ax+b R f (x) = a R f(x) = x n, où n est un entier relatif R ou R f (x) = nx n R ou R f(x) = x R x 2 R f(x) = x n, où n est un entier naturel non nul R f (x) = n x n+ f(x) = x [0;+ [ f (x) = 2 x R ]0; + [ f(x) = sinx R f (x) = cosx R f(x) = cosx R f (x) = sinx R 4 Giorgio

5 II.3 opérations sur les fonctions dérivables II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL II.3 opérations sur les fonctions dérivables Soient u etv deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel quelconque on a : formules de dérivation ensembles de validité (u+v) = u +v ; (ku) = ku sur I (uv) = u v +v u sur I ( ) = v v v 2 ; ( u v ) = u v v u v 2 sur tout intervalle dei où v II.4 II.4. composée et dérivée théorème initial (non exigible) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J, telle que g(j) I, alors la fonction h = f g est dérivable sur J et pour tout x de J on a : h (x) = (f g) (x) = g (x) f g(x) en gros (f g) = g f g II.4.2 conséquences : d autres formules de dérivation à connaître SOIT u UNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, POUR TOUT ENTIER RELATIF n ON A : (u n ) = nu u n...(avec comme condition suplémentaire que u ne s annule jamais suri quand n est négatif) SOIT u UNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, ET TELLE QUE u > 0 SUR I, ON A ALORS : ( u) = u 2 u SOIT u UNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, ON A ALORS (sinu) = u cosu et(cosu) = u sinu II.4.3 exemples de calculs Calculer la dérivée des fonctions suivantes dérivée. f(x) = sin ( x 2 +3x+ ) 2. g(t) = 3t 4 +2t h(x) = (2x 2 +3x) 5 4. i(x) = (sin(3x+5)) 6 5 Giorgio

6 III APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION ET COMPLÉMENTS III applications de la dérivation et compléments III. étude des variations Soit f définie et dérivable sur un intervallei Si pour tout x de I on af (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I Si pour tout x de I on af (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I Si pour tout x de I on af (x) = 0, alorsf est constante sur I. III.2 compléments III.2. écriture différentielle la notation df dx est l écriture différentielle def (x)... par exemple si l on pose x(t) = 2t 3 +3t, où la variable est ici t et la fonction est x, on aura x (t) = 6t avec l écriture différentielle on note dx dt = 6t2 +3. écrire la dérivée des fonctions suivantes en utilisant l écriture différentielle :. f(t) = 3t+ 2t 2. x(t) = sint cost 3. f(x) = xsinx 4. g(v) = v 3 4v 2 +7v 5 III.2.2 dérivées successives La dérivée seconde d une fonction f est la dérivée de sa dérivée...on la note f La dérivée troisième def est la dérivée de sa dérivée seconde...on la note f etc... Pour n entier naturel,on note alors f (n), la dérivéen-ème de la fonction f III.2.3 notion d équation différentielle Nous allons ici évoquer une des notions essentielles de l année en analyse : la notion d équation différentielle. On note f(t) = cost; g(t) = sint; et h(t) = cos(t+ π 4 ).. calculer les dérivées secondes de f, g et h. 2. donner une relation entre chaque fonction et leur dérivée seconde 3. trouver une autre fonction vérifiant cette propriété 4. existe-t il une fonction k définie par k(t) = A cos t, où A est une constante réelle, telle que k(0) = 2? 5. trouver une fonction égale à sa dérivée 6 Giorgio

7 IV DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS Deuxième partie Les primitives IV Définition et propriétés Soit f la fonction définie surrpar : f(x) = +x 2. On notef une fonction définie surrvérifiant la propriété différentielle suivante : F (x) = +x 2. On ne connait pas explicitement F, mais on peut tracer sa courbe à l aide de la méthode d euler par exemple. Cette fonction est donc telle que F (x) = f(x) : On dit alors que F est une primitive def sur R. Un autre exemple : on pose F(x) = x 3 +x+ etg(x) = x 3 +x On pose par ailleursf(x) = 3x 2 +. Vous constatez aisément que x R, F (x) = G (x) = f(x). F et G sont alors des primitives def sur R. IV. définition soit f une fonction définie sur un intervalled f. On appelle PRIMITIVE de la fonction f,une fonction F définie sur D f, et qui a pour dérivée la fonction f..., ainsi x D f,f (x) = f(x). Sur l exemple précédent, F est alors une primitive de f,...oui mais G aussi en est une! Ainsi, une fonction admet non pas une primitive, mais des primitives, en effet : si F et G sont des primitives d une même fonction f sur D f,alors : x D f,f(x) = G(x)+k,k R, (ainsi les primitives d une même fonction sont toutes égales, mais à une constante additive près...) ainsi si F est une primitive def, toutes les primitives def, sont les fonctionsx F(x)+k,mais il en est une et une seule dont la courbe passe par un point donné... IV.2 primitive passant par un point donné IV.3 Il existe une unique primitive F de f vérifiantf(x 0 ) = y 0, i.e telle que C F passe par le point de coordonnées (x 0,y 0 ), où x 0 et y 0 sont deux réels donnés,avecx 0 D f. illustration graphique La figure ci-dessous représente les primitives de la fonction f(x) = x 2 x, c est à dire les fonctions F définies par :F(x) = 3 x3 2 x2 x+k. On constate graphiquement qu il n y en a qu une qui passe par le point A(,4) par exemple. D où l unicité de la primitive passant par un point donné. 7 Giorgio

8 V MÉTHODES DE CALCULS A O V Méthodes de calculs Les règles de calculs données dans ce qui va suivre, sont obtenues grâce aux formules de dérivations qu il faut tout simplement adapter et "lire à l envers",en effet : ( ) on a = u donc...est une primitive de... u u2 on a ( u ) u = 2 donc...est une primitive de... u de la même façon, on en déduit les formules de calculs des primitives suivantes : 8 Giorgio

9 V. primitives des fonctions usuelles V MÉTHODES DE CALCULS V. primitives des fonctions usuelles Tableau des primitives des fonctions usuelles la fonctionf a pour primitives les fonctionsf f(x) = a surr F(x) = ax+k f(x) = x surr F(x) = x2 2 +k f(x) = x 2 f(x) = x n,n Z\{} sur],0[ ou sur ]0, + [ R sur R ou surr + ou sur F(x) = x +k F(x) = n+ xn+ +k f(x) = x sur ]0,+ [ F(x) = 2 x+k f(x) = sin(x) surr F(x) = cos(x)+k f(x) = cos(x) surr F(x) = sin(x)+k f(x) = +tan 2 (x) = cos 2 (x) ] sur π 2, π [ 2 F(x) = tan(x)+k V.2 règles de calculs les règles de calculs de primitives sont données par les formules suivantes : fonctionsf primitivesf f = u+v F = U +V +k f = λu, avecλ R F = λu +k f = u u F = 2 u2 +k f = u u n,n Z\{} F = n+ un+ +k f(x) = sin(ax+b) aveca 0 f(x) = cos(ax+b) aveca 0 F(x) = a cos(ax+b) F(x) = a sin(ax+b) 9 Giorgio