Moment d'une force Théorème du moment cinétique. Johann Collot Mécanique L1 et IUT1

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1 Momet d'ue force Théorème du momet ciétique

2 Théorème du momet ciétique référetiel iertiel repère fixe /réf. o poit o fixe / repère m M V dt = d P OM dt = OM d P d OM P = d OM P OM d P = V dt m V OM d P = OM d P OM dt = d OM P

3 Théorème du momet ciétique o m M V référetiel iertiel repère fixe /réf. Momet de la force appliquée au poit matériel M par rapport à O poit o fixe / repère OM dt = d OM P Momet ciétique du poit matériel M de masse m de quatité de mvt par rapport à O P

4 Théorème du momet ciétique o m M V référetiel iertiel poit o fixe / repère OM dt = d OM P repère fixe /réf. m dt = d F L /o O m = d L O F /o dt m = F OM /o L O = OM P

5 Applicatio : système matériel isolé 2 poits matériels sur lesquels e s'applique aucue force extere et dot les masses sot costates Alors, quelle que soit leur iteractio mutuelle, o a : 2/1 1/2 1/2 2/1 = 0 Ces deux forces ot le même 1 2 support (même droite) o OM 1 2/1 dt = d L 1/O OM 2 1/2 dt = d L 2/O poit o fixe / repère OM 1 2/1 OM 2 1/2 dt = d L 1/O L 2/O OM 1 OM 2 2/1 dt = d L 1/O L 2/O =0 car OM 1 2/1 = OM 2 2/1 La relatio précédete reste vraie pour tout système isolé (costitué de plus de 2 poits matériels) Aisi, le momet ciétique total d'u système isolé reste costat das le temps

6 O OM i i ext k /i j/i k système fermé costitué de poits matériels j=1, j i pour le poit i : OM i j/i k OM i ext k /i dt = d L i /O Pour l'esemble des poits i=1 j=1, j i OM i j /i i=1 k OM i ext k /i dt = i=1 d L i /O i =1 k =0 car pricipe de l'actio et de la réactio OM i k /i ext dt = d i=1 somme des momets extérieurs par rapport à O L i /O = d L tot m F ext /O momet ciétique total par rapport à O dt = d L tot /O O peut motrer que le poit O est soit u poit fixe das le repère iertiel cosidéré, soit u poit aimé d'ue vitesse parallèle à celle du cetre de masse du système, soit le CM du système lui-même

7 Mouvemet à force cetrale Mouvemet d'u poit matériel mobile autour d'u poit fixe avec ue force toujours dirigée vers ce poit fixe u V M m F /o = OM = 0 = d L 0 u L 0 = OM m V = cte OM toujours perpediculaire à L 0 L 0 O La trajectoire de M est coteu das u pla perpediculaire à L 0 L 0 = OM m V = u m d dt u d dt u = m 2 d dt u u = m 2 d dt k avec k = u u

8 Mouvemet à force cetrale Mouvemet d'u poit matériel mobile autour d'u poit fixe avec ue force toujours dirigée vers ce poit fixe V u M u L 0 = m 2 d dt = cte L 0 dh = d O d = d S ds = C 2 dt S = C 2 t C ' 2 d dt = C 2 d = C dt Surface ifiitésimale balayée par pedat dt OM E des temps égaux, les surfaces balayées par le rayo vecteur sot égales 2 ème loi de Képler

9 Momet d'u couple M 2 M1 C= OM 1 OM 2 = M 1 O OM 2 = M 1 O O M 2 = M 1 M 2 o idépedat du poit d'origie Momet par rapport à u axe o M m F /o

10 Exemple d'applicatio du théorème du momet ciétique : l'effet gyroscopique sur ue roue O toure la roue vers la gauche e appliquat u petit momet perpediculaire à l'axe de rotatio de la roue. Le momet ciétique iitial se coserve. Il iduit alors ue projectio (e rouge) sur u axe perpediculaire à l'axe de rotatio de la roue qui fait basculer la roue vers la droite.

11 Exemple d'applicatio du théorème du momet ciétique : le motard e virage à vitesse costate (versio simplifiée) R P = m g CM l cm F ext = m CM R N = m g et R T = mv 2 M F ext /CM = d L G dt R = 0 M R T /CM M P/CM M R N /CM = 0 h cm R N h cm m V 2 R l cm m g=0 tg = V 2 R g R T Si le motard e se peche pas das l'itérieur du virage la deuxième relatio 'est pas satisfaite, le momet résultat des forces de frottemet sur la route le fait basculer vers l'extérieur du virage!

12 Théorème du momet ciétique et frottemet : le virage moto avec cotre-braquage Le motard veut virer vers la droite : 1) il braque très légèremet so guido vers la gauche!, mais sas se pecher vers la gauche la moto réagit e pivotat rapidemet autour de so axe logitudial vers la droite : effet du momet résultat des forces de frottemet sur la route. 2) Le motard et la moto s'icliet vers la droite l'effet gyroscopique sur la roue avat agit sur celle-ci autour de so axe vertical e produisat u momet vers la droite. Le guido qui était à gauche toure et braque progressivemet vers la droite. 3) Le motard et la moto sot pechés, le virage se déroule selo le schéma déjà vu 4) E fi de virage le motard peut relever so poids e braquat très légèremet le guido vers la droite, la moto pivote vers l'extérieur du virage. L'effet gyroscopique agit alors sur le guido qui reviet e positio droite Attetio il y a de l'effet gyroscopique mais il 'y a pas que ça sur ue moto : exemple u patieur sur glace toure aussi e se pechat.

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