Le but de l'exercice est de montrer que les points K, L et M sont alignés. KL sur les vecteurs. KM sur les vecteurs

Transcription

1 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Exercice 1 : ( points) ABC est un triangle. Les points K, L et M sont tels que : AK = -, AL = AB et BM = BC. 6 Le but de l'exercice est de montrer que les points K, L et M sont alignés. 1) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) Déterminer les coordonnées de K, L et M. b) Démontrer que K, L et M sont alignés ) Solution vectorielle (sans repère) a) Décomposez KL sur les vecteurs AB et. b) Décomposez KM sur les vecteurs, AB et BC. En déduire une décomposition de KM sur les vecteurs AB et uniquement. c) Montrer que K, L et M sont alignés. Exercice : (6 points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = x²,c f sa courbe représentative et la droite d d'équation 5x y + 7 = 0. 1) Déterminer les points d'intersection de d et de C f. ) Soit a un réel et A le point d'abscisse a de C f, on note T A la tangente à C f au point A. a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de a, T A et d sont parallèles. b) Déterminer, lorsqu'il existe, les coordonnées du point d'intersection de T A et de d en fonction de a. 1

2 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Exercice 1 : ( points) ABC est un triangle. Les points D, E et F sont tels que AD = 1 1, AE = AB et BF = BC 3 Le but de l'exercice est de montrer par deux méthodes différentes que D, E et F sont alignés. 1) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) Déterminer les coordonnées de D, E et F. b) Démontrer que D, E et F sont alignés. ) Solution vectorielle a) Décomposer DE et DF sur AB et b) Démontrer que D, E et F sont alignés. Exercice : (6 points) On considère la fonction f définie sur * par f(x) = 1, Cf sa courbe x représentative et la droite d d'équation x + y + = 0. 1) Déterminer le(s) point(s) d'intersection éventuels de d et de Cf. ) Soit a un réel non nul et A le point d'abscisse a de Cf, on note TA la tangente à Cf au point A. a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de a, TA et d sont parallèles. b) Déterminer, lorsqu'il existe, les coordonnées du point d'intersection de TA et de d en fonction de a.

3 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Exercice 1 : ( points) ABC est un triangle. Les points K, L et M sont tels que AK = - 3 3, AL = AB et 1 BM = BC. 6 Le but de l'exercice est de montrer que les points K, L et M sont alignés. 1) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) Déterminer les coordonnées de K, L et M. b) Démontrer que K, L et M sont alignés ) Solution vectorielle (sans repère) a) Décomposez KL sur les vecteurs AB et. b) Décomposez KM sur les vecteurs, AB et BC. En déduire une décomposition de KM sur les vecteurs AB et uniquement. c) Montrer que K, L et M sont alignés. 3

4 Première S3 IE7 vecteurs et droites S ) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) AK = 0 AB 3 donc K 0; - 3 AL = 3 AB + 0 ; donc L 3 ;0 AM = AB + BM = AB + 1 BC = AB ( BA + ) = AB 1 AB + 1 AB 6 6 AM = 5 AB + 1 AB ; donc M ; 1 6 b) KL LM xl xk = = = = yl - yk = xm xl ym - yl = = KL = 9LM Donc les vecteurs KL et LM sont colinéaires et donc les points K, L et M sont alignés. ) Solution vectorielle (sans repère) a) KL = KA + AL = AB = 3 AB + 3 b) KM = KA + AM = 3 + AB + BM = 3 + AB + 1 BC 6 KM = AB BC 6 KM = 3 AB ( KM = AB BA + ) = AB = AB + 6 3

5 Première S3 IE7 vecteurs et droites S c) KL = 3 ( AB + ) et KM = 5 6 ( AB + ) 10 9 KL = ( AB + ) = 5 6 ( AB + ) = KM KM = 10 KL 9 Donc les vecteurs KM et KL sont colinéaires; donc les points K, L et M sont alignés. Exercice : (6 points) On considère la fonction f définie sur par f(x) = x²,c f sa courbe représentative et la droite d'équation 5x y + 7 = 0. 1) Déterminer les points d'intersection de d et de Cf. ) Soit a un réel et A le point d'abscisse A de Cf, on note TA la tangente à Cf au point A. a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de a, TA et d sont parallèles. b) Déterminer, lorsqu'il existe, les coordonnées du point d'intersection de TA et de d en fonction de a. 1) (x;y) d C f 5x y + 7 = 0 y = x² -x² + 5x + 7 = 0 y = x² Le discriminant de l'équation du second degré -x² + 5x + 7 = 0 est : = b² - ac = 5² - (-)7 = = 81 = 9² Comme > 0, cette équation admet deux solutions : x 1 = -b - a = -5 9 (-) = 1 = 7 -b + et x = = a - = -1 d et Cf ont donc deux points d'intersection de coordonnées : B (-1;1) et C 7 ; 9 5

6 Première S3 IE7 vecteurs et droites S ) a) Une équation de la droite TA est y = f'(a)(x a) + f(a) = a(x a) + a² Soit y = ax a² + a² Soit ax y a² = 0 Un vecteur directeur de TA a pour coordonnées : 1 a. Un vecteur directeur de d a pour coordonnées 5. Si TA et d sont parallèles alors les vecteurs de coordonnées 1 a et 5 sont colinéaires. Soit : 15 - a = 0 Soit a = 5 Pour a = 5 les droites TA et d sont parallèles. b) (x;y) TA d ax y a² = 0 5x y + 7 = 0 -ax + y + a² = 0 5x y + 7 = 0 (5 a)x + a² + 7 = 0 y = ax a² Si a 5 a² + 7 x = a 5 y = a a² + 7 a 5 - a² a² + 7 x = a - 5 y = a3 + 1a a²(a 5) a 5 6

7 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Conclusion : a² + 7 x = a 5 5a² + 1a y= a 5 Si a = 5 TA et d sont parallèles et n'ont pas de point d'intersection. Si a 5, le point d'intersection de TA et d a pour coordonnées : a² a ; 8a3 5a² + 1a 5 a Animation GeoGebra en ligne 7

8 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Exercice 1 : ( points) ABC est un triangle. Les points D, E et F sont tels que AD = 1, AE = 1 AB et BF = BC 3 Le but de l'exercice est de montrer par deux méthodes différentes que D, E et F sont alignés. 1) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) Déterminer les coordonnées de D, E et F. b) Démontrer que D, E et F sont alignés. ) Solution vectorielle a) Décomposer DE et DF sur AB et b) Démontrer que D, E et F sont alignés. 1) Solution analytique dans le repère (A; AB, ) a) 1 AD = 0 AB + ; donc D 0; 1 AE = = 1 AB + 0 ; donc E ; 0 AF = AB + BF = AB + BC = AB + ( BA + ) = AB - AB + AF = - AB + ; donc F(-1;) b) DE DF xe xd ye - yd = = xf xd yf - = yd = On remarque que DF = -3 DE 8

9 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Donc les vecteurs DF et DE sont colinéaires et donc les points D, E et F sont alignés. ) Solution vectorielle a) DE = DA + AE = AB = 1 AB DF = DA + AF = AB + BF = AB + BC DF = AB + ( BA + ) DF = AB - AB + = - AB + 3 On remarque que DF = -3 DE Donc les vecteurs DF et DE sont colinéaires et donc les points D, E et F sont alignés. 9

10 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Exercice : (6 points) On considère la fonction f définie sur * par f(x) = 1, Cf sa courbe représentative et x la droite d d'équation x + y + = 0. 1) Déterminer le(s) point(s) d'intersection éventuels de d et de Cf. ) Soit a un réel non nul et A le point d'abscisse a de Cf, on note TA la tangente à Cf au point A. a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de a, TA et d sont parallèles. b) Déterminer, lorsqu'il existe, les coordonnées du point d'intersection de TA et de d en fonction de a. (x;y) d C f x + y + = 0 y = 1 x x + x + = 0 y = 1 x x² + + x = 0 y = 1 x (x + )² = 0 y = 1 x x = - y = - 1 d et Cf ont donc un point d'intersection B de coordonnées : B -;- 1 1) a) Une équation de la droite TA est y = f'(a)(x a) + f(a) = - 1 a² (x a) + 1 a Soit y = -x a² + a Soit x + a²y a = 0 Un vecteur directeur de TA a pour coordonnées : -a² 1. 10

11 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Un vecteur directeur de d a pour coordonnées - 1. Si TA et d sont parallèles alors les vecteurs de coordonnées -a² 1 et - 1 sont colinéaires. Soit : -a²1-1(-) = 0 Soit a² = Soit a = - ou a = Pour a = ou a = - les droites TA et d sont parallèles. Remarque : Si a = -, une équation de TA est x + y + = 0. On reconnait une équation de d. Donc si a = -, d et TA sont confondues. b) (x;y) TA d x + a²y a = 0 x + y + = 0 (a² - )y - a - = 0 x = -y - Si a - et a Conclusion : a + y = a² - x = -8a 16 a² a 16 -a² a² - 8a x = = a² - a²- y = a + a² - Si a = - ou a = TA et d sont parallèles et n'ont pas de point d'intersection. Si a - et a, le point d'intersection de TA et d a pour coordonnées : -a² -8a a² - ; a + a² - 11

12 Première S3 IE7 vecteurs et droites S Animation GeoGebra illustrant l'exercice 1