Régime permanent sinusoïdal
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- Coralie Lecours
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1 égime permanen sinusoïdal. Grandeurs araérisiques des signaux périodiques Une grandeur physique (ouran, ension, e. es die périodique si elle reprend ideniquemen la même valeur à inervalles de emps égaux. Période : emps minimal néessaire pour rerouver la même valeur de la fonion. Fréquene F : inverse de la période. F Valeur insananée i ou i( : la fonion elle-même. Valeur maximale : ampliude ou valeur de rêe (une valeur insananée pariulière Valeur moyenne : i( La valeur moyenne d'un ouran périodique es égale à l'inensié du ouran oninu qui fournirai la même harge (q pendan une période. Valeur iae : i ( Si nous omparons à l'énergie dissipée par e Joule dans une résisane pendan une période : W Joule ( i nous observons que la valeur iae d'un ouran périodique es l'inensié d'un ouran oninu qui fournirai dans une résisane le même e Joule pendan une période. S. isseran SL appels d éleroinéique
2 égime permanen sinusoïdal (A.. On parle de régime permanen sinusoïdal lorsque l'évoluion emporelle des signaux orrespond à des sinusoïdes. La forme générale d'un signal sinusoïdal es don : i( sin ( ω ϕ appelons quelques définiions : Phase insananée : ω ϕ Phase à l'origine ou déphasage : ϕ Pulsaion : Période : Fréquene : ω π ω ν ω π alulons les valeurs moyenne e iae : sin ( ω ϕ os[ ( ω ϕ] sin ( ω ϕ. eprésenaions d'une grandeur sinusoïdale Pour failier les aluls il es possible de faire appel à deux représenaions des grandeurs sinusoïdales. es deux représenaions onsisen à assoier à une grandeur sinusoïdale un veeur ournan dans un plan. La projeion de e veeur sur un des deux axes peu alors donner aès à la grandeur onsidérée. La représenaion peu êre graphique, il s'agi de la représenaion de Fresnel. lle peu êre analyique. n e à ou veeur on peu assoier un nombre omplexe don la parie réelle es égale à une omposane de e veeur e la parie imaginaire à l'aure omposane dans un repère orhonormé. S. isseran SL appels d éleroinéique
3 ..a eprésenaion de Fresnel Le veeur de Fresnel assoié à un signal sinusoïdal es un veeur ournan don la viesse angulaire es égale à la pulsaion du signal. La norme de e veeur es égale à l'ampliude du signal e l'angle polaire es à ou insan égal à la phase insananée du signal. La valeur algébrique du signal es donnée par la projeion du veeur ournan sur l'axe verial. i( ω ϕ i( sin ( ω ϕ Figure Lorsqu'on ne ompose que des signaux de même période, on ne s'inéresse en fai qu'aux déphasages relaifs. l n'es don pas néessaire de faire ourner la figure. On se onene d'un veeur fixe ayan pour norme l'ampliude du signal e pour angle polaire son déphasage. ϕ Noaion : ϕ Figure néressons nous à la somme de deux fonions sinusoïdales de même fréquene : l vien : Y( y ( y y ( a y ( a ( sin ( ω ϕ sin ( ω ϕ a a (sin ω osϕ (sin ω osϕ osω sin ϕ osω sin ϕ S. isseran SL appels d éleroinéique
4 Y( (a osϕ a osϕ sin ω (a sin ϕ a sin ϕ osω Nous pouvons inroduire deux paramères réels A > e φ, els que : ave : a osϕ a osϕ A osφ a sin ϕ a sin ϕ A sin φ A a a a a (osϕ a ϕ ϕ φ sin a sin an a osϕ a osϕ osϕ sin ϕ sin ϕ a a a a os( ϕ ϕ n reporan dans l'expression de Y( nous obenons : Y( A (sin ω osφ osω sin φ A sin ( ω φ Nous aurions pu raisonner direemen sur la figure 3 e à parir de elle-i rerouver l'ampliude A e le déphasage φ du veeur somme des deux veeurs représenan les fonions y e y. a A ϕ - ϕ ϕ ϕ φ a Figure 3 Nous avons vu dans le hapire prééden que la mise en équaion de erains dipôles fai inervenir la dérivaion ou l'inégraion. ssayons de voir ommen peuven se raduire es opéraions dans la représenaion de Fresnel. onsidérons une fonion sinusoïdale : Dérivons ee fonion : d y( y( a sin ( ω ϕ a ω os( ω ϕ a ω sin ( ω ϕ π / S. isseran SL appels d éleroinéique
5 La dérivée orrespond à la mulipliaion de l'ampliude par la pulsaion ω e se rouve en quadraure avane par rappor au signal. De même inégrons la fonion : a a y ( os( ω ϕ sin ( ω ϕ π / ω ω La primiive orrespond à la division de l'ampliude par la pulsaion ω e se rouve en quadraure reard par rappor au signal. La figure 4 résume la représenaion graphique de es deux opéraions. aω ϕ π/ a ϕ ϕ π/ a/ω Figure 4..b Noaion omplexe A oue fonion sinusoïdale d'ampliude a e de phase insananée ω ϕ nous pouvons faire orrespondre un nombre omplexe défini par : y( a [os( ω ϕ j sin ( ω ϕ] a e j( ω ϕ a e jϕ e où j représene l'imaginaire pur : j - (noaion de physiien. Dérivons ee fonion omplexe par rappor à : d y( jϕ j ω a e e j ω y( S. isseran SL appels d éleroinéique
6 La dérivaion orrespond à une mulipliaion par j ω. alulons la primiive de ee fonion omplexe : y( jϕ a e e j ω L'inégraion se ransforme en une division par j ω. y( j ω Nous verrons dans les prohains paragraphes que l'uilisaion de la noaion omplexe perme de simplifier la résoluion des équaions différenielles en régime permanen sinusoïdal..3 mpédanes omplexes On appelle impédane d'un dipôle linéaire passif (résisane, apaié ou self la grandeur omplexe ( qui relie dans la représenaion omplexe la différene de poeniel au ouran : u( A dipôle i( B u( (j ω i( Figure 5 Ave les noaions suivanes pour l'impédane omplexe : (j ω j X j e ϕ e son inverse : Y j X G j B Y jϕ e La parie réelle de l'impédane es appelée résisane. La parie imaginaire X de l'impédane es appelée réaane. La grandeur es appelée module de l'impédane. La grandeur ϕ représene le déphasage de l'inensié i( par rappor à la ension u(. La grandeur Q X / es appelée faeur de qualié du dipôle. La grandeur Y / es appelée admiane du dipôle. La parie réelle G de l'admiane es appelée onduane. La parie imaginaire B de l'admiane es appelée susepane. S. isseran SL appels d éleroinéique
7 onsidérons l'impédane des rois dipôles de base. ésisane pure : A i B u( va ( vb( i( n noaion omplexe : u( U e u u( i( Figure 6 Don : ( ondensaeur parfai : A i q B d q( i( q( u( n noaion omplexe : u( U e i( d u( u Figure 7 i( d u( U e u( Don : ( jπ / e ω nduane pure : A i L u Figure 8 B di( u ( L n noaion omplexe : i( e u( L e L i( Don : jπ / L ( jlω Lω e S. isseran SL appels d éleroinéique
8 .4 Assoiaions d'impédanes.4.a Un exemple onsidérons un irui L soumis à une exiaion sinusoïdale v( V sin ω. udions le ouran i(, lorsque le régime permanen es aein : L v( - i Figure 9 Nous pouvons érire la ension aux bornes du généraeur e aux bornes des rois dipôles en série : di( q( v ( i( L ave i( e qui nous donne omme équaion différenielle : d q( di( L i( i( v( ou d i( L d i( i( d v( La soluion d'une elle équaion es la superposiion d'une soluion de l'équaion sans seond membre (le régime ransioire e d'une soluion pariulière de l'équaion omplèe (le régime permanen. Nous avons vu que sauf pour les soluions de l'équaion sans seond membre enden oues rapidemen vers un ouran nul. omme v( es une fonion sinusoïdale de pulsaion ω, on peu hoisir une soluion pariulière de l'équaion omplèe de la forme : i( sin ( ω ϕ. Nous pouvons résoudre l'équaion différenielle en uilisan la noaion omplexe : v( V e i( e jϕ e S. isseran SL appels d éleroinéique - 3 4
9 L'équaion devien : Soi : v( L'impédane peu êre noée : i ( j L ω v( ω ( i( ave ( j L ω ω (j ω j X(j ω ave X( L ω ω où X( es la réaane du irui. Noons le module de l'impédane : X L ω ω Nous pouvons réérire la relaion enre la ension e l'inensié sous la forme : V e e jϕ e ( j X Muliplions haun des deux membres par son onjugué, nous obenons : V ( X e qui nous perme d'érire pour l'ampliude de l'inensié : V D'aure par, pour déerminer le déphasage de l'inensié par rappor à la soure de ension, nous avons : Don : ϕ V e j V (osϕ j sin ϕ ( j X L ω X ω an ϕ e os ϕ S. isseran SL appels d éleroinéique - 3 4
10 emarquons que os ϕ don -π/ ϕ π/. L'impédane du irui L varie ave la pulsaion. lle es minimale pour la pulsaion propre du irui : pour L ω soi ω ω min L L'inensié es alors en phase ave la soure de ension. La ourbe i-dessous monre la variaion de l'ampliude de l'inensié (ou sa valeur iae pour une ension donnée en fonion de la pulsaion de la soure. Nous avons un phénomène de résonane à ω. ω ω Figure alulons pour quelle pulsaion nous avons : 'es-à-dire X ( L ω ± ω l nous fau résoudre : L ω ± ω ee équaion a pour disriminan : 4 L > Les soluions son don de la forme : S. isseran SL appels d éleroinéique - 3 4
11 ω ± ± L 4 L Nous ne onservons que les soluions posiives, 'es-à-dire : ω ω 4 L L 4 L L On défini le faeur de qualié du irui L omme : Q ω ω ω e faeur de qualié araérise la largeur de la résonane. elle-i es d'auan plus éroie que le faeur de qualié es grand. n reporan les expressions des rois pulsaions nous obenons pour le faeur de qualié : Q L.4.b Noaion omplexe e lois de base Grâe à la noaion omplexe oues les lois de base (nœuds, mailles, assoiaion en série, assoiaion en parallèle, superposiion, Noron, hévenin, Millman, e. qui on éé obenues pour les réseaux de résisanes en régime oninu resen valables en régime permanen sinusoïdal, les impédanes jouan le rôle des résisanes. 'es-à-dire qu'il es possible d'érire les équaions régissan l'éude d'un irui sans passer par les équaions différenielles. eprenons l'exemple prééden. emplaçons haque dipôle par son impédane, nous pouvons modéliser le irui omme indiqué sur la figure. n proédan à parir de e shéma omme nous savons le faire en régime oninu, nous pouvons érire : v( i( L i( i( S. isseran SL appels d éleroinéique
12 L v - i Figure Nous rerouvons la même relaion que dans le paragraphe prééden : v( i( ave L j L ω ω.5 Puissane en régime sinusoïdal.5.a Puissane moyenne Nous avons vu qu'en onvenion réepeur la puissane reçue par un dipôle s'éri : u A i B p ( u( i( Figure n régime sinusoïdal, la ension e l'inensié son des fonions sinusoïdales de même pulsaion. Noons ϕ le déphasage de la ension par rappor à l'inensié. Un hoix de l'origine des emps nous perme don d'érire : i( sin ω u( U sin ( ω ϕ S. isseran SL appels d éleroinéique
13 u( i( / Figure 3 alulons la puissane insananée : p( U sin ω sin ( ω ϕ U [osϕ os(ω ϕ] La puissane insananée apparaî don omme la somme d'un erme onsan e d'une fonion sinusoïdale de fréquene double. Le erme onsan es la puissane moyenne reçue par le dipôle sur une période : P < p > p( U osϕ ee quanié es égalemen appelée puissane aive. p( <p> / Figure 4 S. isseran SL appels d éleroinéique
14 Au débu de e hapire nous avons alulé la valeur iae d'une fonion sinusoïdale. n uilisan e résula nous avons pour la ension e l'inensié : U U Nous pouvons don réérire la puissane aive sous la forme : P U osϕ e qu'on éri enore sous la forme du produi de la puissane apparene S e du faeur de puissane λ : P S λ ave : S U U λ osϕ Pour essayer d'appréhender une onséquene onrèe de ee déomposiion, onsidérons un usager onsomman une puissane moyenne P. Le réseau d'alimenaion élerique doi fournir une puissane supérieure pour ompenser les peres dans la ligne. Nous pouvons érire ee pere sous la forme : P L L où L représene la résisane de la ligne. alulons le rappor P L /P : PL P L U osϕ L U osϕ L P U os ϕ Pour minimiser les peres l'opéraeur doi don essayer de : - minimiser la résisane de la ligne (vous l'auriez deviné; - augmener U (d'où l'uilisaion de lignes haue ension; - avoir un faeur de puissane aussi grand que possible en valeur absolue. S. isseran SL appels d éleroinéique
15 .5.b Puissane omplexe La puissane insananée n'éan pas une fonion sinusoïdale sa représenaion omplexe n'es pas auorisée. Nous inroduisons ouefois une puissane omplexe définie par : P * u i jϕ U e U (osϕ j sin ϕ e abus nous perme de rerouver la puissane aive e la puissane apparene. On noe généralemen P e Q les paries réelle e imaginaire de la puissane omplexe : ave : P e P Q m P S P P P j Q U osϕ U U sin ϕ j S e ϕ puissane aive puissane réaive puissane apparene.5. Adapaion d'impédane onsidérons une soure de ension sinusoïdale réelle modélisée par sa f.e.m. e( e son impédane inerne. e généraeur es onneée à une harge d'impédane. Quelle doi êre ee impédane pour que la puissane reçue par ee harge soi maximale? e - i u e( e j X j X Figure 5 alulons la puissane omplexe reçue par la harge : S. isseran SL appels d éleroinéique
16 * i i u P Or : X (X ( e( i( Nous pouvons don aluler la puissane aive : X (X ( P e P Dérivons ee expression par rappor à X : [ ] X (X ( X (X X P Don : X X X P La puissane aive es alors égale à : ( P Dérivons par rappor à : 3 3 ( ( ( ( P Don : P La puissane moyenne reçue par la harge es don maximale si son impédane es égale au onjugué de l'impédane de la soure : * S. isseran SL appels d éleroinéique
17 l y a alors adapaion d'impédane. La puissane maximale vau alors : P max 8 4 La puissane reçue par la harge es égale à la puissane dissipée dans la soure. S. isseran SL appels d éleroinéique
18 S. isseran SL appels d éleroinéique - 3 5
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