EXERCICES. Appliquer ses connaissances. 13. a. L énergie totale est la somme de l énergie électrique du condensateur et de l énergie magnétique

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1 c. Après avoir refai un enregisremen pour verses valeurs croissanes de résisance, on observe que la spirale compore de moins en moins de ours : un our correspond visiblemen à une oscillaion e le nombre de ours donne le nombre d oscillaions effecuées par l oscillaeur. (Si on passe au régime apérioque, il n y a plus de spirale mais un arc OM 0 de concavié ournée vers le hau.) d. oscillaeur décri ici es de ype, la charge iniiale du condensaeur es de 50, il es en oscillaions libres amories puisqu on observe seulemen 4 oscillaions effecuées. 0. a. énergie iniiale du condensaeur s écri : E e ( 0) = -- b. e circui correspond au modèle : il y a échange périoque enre les formes élecrique (dans le condensaeur) e magnéique (dans la bobine). es formes son périoques de période À n 0 = -----, on a : E = E e e E m = 0 À ( n + ) 0 = -----, on a : E = E e 4 m E e = 0 c. Seule es homogène à une durée.. a. En Doc., EXEIES Appliquer ses connaissances u( 0) = 5 V Donc : q( 0) = u( 0) =, affirmaion es vraie. b. a pseudo-période mesurée es de 0,4 ms. affirmaion es fausse. c. Pour la première expérience, on peu prévoir une pseudo-période proche de la période propre : 0 = Pour la deuxième expérience, on prévoi : = = Or, on mesure : = 0, ms affirmaion es vraie. d. En régime apérioque, les grandeurs élecriques n oscillen pas. affirmaion es fausse. 3. a. énergie oale es la somme de l énergie élecrique du condensaeur e de l énergie magnéique de la bobine : E = E e + E m = ---- de b. a dérivée es nulle. Donc : --- q dq dq d q = 0 car, avec un condensaeur oriené en récepeur e possédan la charge q sur la première armaure renconrée par le couran, i = dq dq i = éan non nul, on simplifie e on rerouve l équaion fférenielle d évoluion de la charge q du condensaeur. 6. a. On observe une décharge oscillane amorie. b. e circui es peu amori : la pseudo-période es voisine de la période propre On mesure : = 40, ms D où : =, F c. On branche la voie de sore qu on ai le résisor «pris» enre la masse e cee voie. Alors : u = i e i = d. À l insan de basculemen, le condensaeur es complèemen chargé, la ension à ses bornes es maximale. Or, à la dae = 0, la ension à ses bornes es nulle : les deux daes ne coïnciden donc pas. 7. a. E max = -- max Numéro du maximum E max ( J),7, 0,84 0,57 0,4 0,9 0, b. Aux mêmes insans (calculables par l expression ( n ) ), l énergie magnéique es nulle, l énergie oale es égale à E max. c. E max () n es pas affine. E max (µj) q u + -- i 68 PAIE - ÉVOION DES SYSÈMES ÉEIQES

2 d. Numéro du maximum E max ( J),7, 0,84 0,57 0,4 0,9 0, ln ( Emax ) 0,53 0,09 07, 056, 087, 3, 5, 0 ln (E max ) e graphe correspond à une droie, la grandeur ( k) correspond au coefficien receur. D où : k = 85 s e k = 85 s On calcule -- = 85, 7 S.I. omme l unié de -- es aussi le s, on en dédui : k = -- Aller plus loin 8.. a. a consane de emps du circui inducif s exprime par = -- e vau 0,50 s. b. e régime es coninu permanen : la bobine foncionne comme un conduceur ohmique = I Donc : I = --- =, 00 A. a. On calcule = 35, 0 3 F ee valeur rès faible es compaible avec la modélisaion de l inerrupeur. b. On oriene chaque pôle en récepeur. applicaion de la loi des mailles e la relaion inensié-ension du condensaeur permeen d obenir : d d = c. Si on écri la relaion sous la forme : d d u = , e sachan que : du = [ V s ] e d u = [ V s ] On voi que : u = [ V s donc e, ] [ ] = [ s ] de même -- = [ s ] On rouve deux emps caracérisiques : associé à la période propre 0 = e = -- es valeurs respecives son 83, 0 6 s e 0,50 s. 0 omme >> , le sysème peu osciller, le régime es pseudo-périoque. d. À = ns, on a : = 8, 0 3 V À = 0 ns, on a : = 8, 0 4 V e. éincelle apparaî puisque la ension aein la valeur criique d ionisaion. 3. a. I = --- =, 00 A 0 = = 37, 0 9 s = ---- =, s e régime es encore pseudo-périoque. b. m = 700 V, la ension n aein jamais la valeur criique, il n y a pas d éincelles. 9.. b. d q q = ( ) c. On a : 0 d Q Q d = car Q d q = d. a foncion proposée es soluion si : = 0 = (voir le cours) e. On obien alors : q= + Q m cos ( ) pour la soluion de ( ).. a. q 0 = 0 e i 0 = 0 b. q 0 s exprime aussi par : + Q m cos ( 0 ) e i 0 par : 0 Q m sin ( 0 ) D où : Q m = e 0 = 0 c. a charge q () s écri : ( cos ( 0 ) ) es une foncion sinusoïdale varian enre les valeurs 0 e e de période 0. a droie d équaion q= es axe de symérie pour la courbe correspondane. Il y a des oscillaions élecriques non pas auour de l éa de charge nulle mais auour de l éa de charge moyenne. 8 - ircui série 69

3 0. a. es un oscillaeur élecrique en régime pseudo-périoque. En régime rès amori, il n y a plus d oscillaions mais une décroissance régulière de la ension de la valeur iniiale jusqu à la valeur 0. b. Pour 7 pseudo-moifs, on mesure la durée 7,0 ms d où = 0, ms. Il inervien aussi le emps caracérisique de l amorissemen des oscillaions. c. On oriene chaque pôle en récepeur. applicaion de la loi des mailles e la relaion inensiéension du condensaeur permeen d obenir : 0 r d d = d. équaion ne compore plus de erme en r d On rerouve, comme dans le cours, 0 = e. a pseudo-période es quasi-égale à la période propre car le circui es peu amori. D où : = 00, H. a. ENAÎNEMEN A BA 0 = b. = 4 V e = 6 ms c. On repère, dans le ableau, deux demi-ableaux : l un où rese consan, de valeur 0,40 F, l aure où rese consan de valeur 68 mh. On peu donc racer l évoluion de la grandeur avec la variable (avec = 040, F ), puis l évoluion de avec la variable (avec = 68 mh ). es représenaions obenues son des droies passan par l origine : es proporionnelle à e à. es deux grandeurs éan indépendanes, es proporionnelle à. e coefficien de proporionnalié se calcule à parir d un des deux graphes, il vau. On vérifie donc que es égale à la période propre. d. équaion ( ) représene, dans le sysème de coordonnées choisi, une droie passan par l origine, décroissane e de pene ( k ) : le graphe es en accord avec l équaion ( ). a pene mesurée es :, 0 6 s omme : On a : d = u = = 6, 0 0 k s e. énergie oale sockée dans le circui : E E e + E m -- u = = rese consane i On écri : Soi : E E e + E m -- u -- du = = + K = E --- f. e graphe es une droie décroissane, coupan les axes de coordonnées en E --- ; 0 e 0 ; E PAIE - ÉVOION DES SYSÈMES ÉEIQES

4 PAIE. ÉVOION DES SYSÈMES ÉEIQES POBÈMES DE BA.. a. Oui. iliser un conduceur ohmique de résisance plus élevée permera d augmener la valeur de la consane de emps du circui, e donc la durée du régime ransioire. b. Non. c. e d. Non car la valeur de la force élecromorice n a pas d influence sur la durée du régime ransioire. e. Non. f. Oui. a durée acuelle de l acquisiion es rop grande devan celle du régime ransioire, on peu envisager de la raccourcir pour mieux visualiser le régime ransioire.. a. On visualise u PM sur la voie e u SM sur la voie. Avec la convenion d orienaion inquée pour u i (), on a : i () PS u PM u = = SM b. Avec la convenion d orienaion inquée pour dq d( u i (), on a : i () SM ) du SM = = = c. Par analogie avec le résula de la modélisaion, on en dédui : = 0, 0 9 F = 0, nf.. a. Avec la convenion d orienaion inquée pour i, on a : u PS = ri u b. i () SM = donc u PS ---- du SM r = u SM c. Dans l égalié précédene, chacun des ermes doi avoir la mension d une ension. Pour le premier erme de la somme on a donc : ---- [ V] [ s] = [ V] ---- es donc bien homogène à un emps.. a. On visualise u PM sur la voie e u SM sur la voie, on a u PM = u SM. On a donc u PS = 0. u SM éan consane l expression de u PS devien : r u PS = ---- u SM On en dédui que r < puisque u SM n es pas nulle. b. On a alors : = a. e graphe monre qu en régime permanen : u SM = u PM = = V e i= I max = ma De = i on dédui = = 000 i (ma) u SM,5,5 I max I max 0,5 τ 0 0 0,5,5 (µs) b. a angene à la courbe en = 0 coupe son asympoe horizonale d équaion i= I max = ---- au poin d abscisse. e poin de la courbe d abscisse a pour ordonnée I max ( e ) = 6, ma. Par les deux méhodes, on obien : = 04, s c. = ---- donc = = 04, mh 3.. Quand 0 e quand l associaion es en couran coninu e régime permanen. inensié i es nulle si D es un condensaeur, e u D es nulle si D es une bobine de résisance négligeable : a. Pour un condensaeur : i= f() b. Pour une bobine de résisance négligeable : u D = f(). a. Pour un condensaeur : E () = -- u donc e D a= u D = g () b. Pour une bobine de résisance négligeable : E () = -- i donc e a= i= g() 3. f () = a dg () équivau : a. pour le condensaeur à : i du D = b. pour la bobine à : u D = ---- es deux égaliés son vraies, la relaion es vérifiée pour le condensaeur e pour la bobine. 7

5 4. ension aux bornes du conduceur ohmique en convenion récepeur : u = i Adivié des ensions : u= u + u D = i + u D À 0 on : a u = 0 = i + u D En inroduisan f () e g () on obien : a. pour le condensaeur : f () + g () = 0 D où d après l équaion () : a dg () + g () = 0 dg() Ou encore : g() = 0 avec = a a b. pour la bobine : g() + f() = 0 D où d après l équaion () : g() + a dg () = 0 dg() Ou encore : g() = 0 avec -- = -- a a 5. g () Ae dg() = donne = A e E dans l équaion () : A e + A e = 0 vrai quel que soi A. Ae es bien soluion de () quelle que soi la valeur de A. 6. À = 0, il y a coninuié de la ension u D pour le condensaeur, e de l inensié i pour la bobine, donc de g () quelle que soi la naure de D (condensaeur ou bobine). Ses valeurs à = 0 son les mêmes qu à < 0, en régime permanen avec u= max a. Pour le condensaeur : g () = u D À = 0, on a : g () = max Or : g( 0) = A donc A= max b. Pour la bobine de résisance négligeable : g () = i À = 0, on a : g () = max Or : g( 0) = A donc A max = a. Pour le condensaeur : g () = u D () = max e b. Pour la bobine : max g () = i () = e 4.. ourbe : = 70, 0 ourbe : =, 0 ourbe 3 : = 0, es la résisance qui es responsable de l amorissemen des oscillaions. égime pseudo-périoque (courbes e 3 ). égime apérioque (courbe ).. a. (ou d ) = 0 es la même équaion pour la charge q ou pour la ension. c = 0 = e = = = 7, ms d. À = 0, on a : i( 0) = 0 q( 0) = ( 0) Donc : i( 0) = 0 Q m sin ( ) = 0 q( 0) = Q m cos = 0 Q m = q( 0) = ( 0) = 00 e. 0 = = 7, ms 0 = ms =, 5 ms 4 On rouve 0 aux erreurs expérimenales près. 3. a. Amplificaeur opéraionnel. b. Pour D foncionnan dans la parie : = 3 i E : D où : q u dq q i = u = --- u = ---- q b. + u = 0 donc --- d q = 0 u r, q 0 0 i D u D + u + = 0 3 i + ri u = 0 dq i d = = u D d u ( r 3 ) d u = 0 i u D 7 PAIE - ÉVOION DES SYSÈMES ÉEIQES

6 c. Si r > 3, le erme en ( r 3 ) es posiif, il correspond à un amorissemen des oscillaions. Si r = 3, le erme ( r 3 ) d s annule e on rerouve l équaion fférenielle du circui : les oscillaions son sinusoïdales. b. a période es liée à la fréquence par : e = donne : 4 = f = 30 pf e = 6, 5 % = -- f 5.. a. De 0 à 5 ms, la ension aux bornes du condensaeur augmene puis se sabilise : c es la charge. De 5 ms à, on a une décharge oscillane dans la bobine. b. u = ---- e i d = [ V] = [ inducance ] [ A] [ s] donnen : [ A] = [ capacié ] [ V] [ s] Soi : [ ] = [ s] donc [ ] = [ s] c. 3 = ( 88 5) ms donc = 4 ms a période propre se calcule par : 0 = = 4 ms On vérifie donc que 0 (circui peu amori). d. e sysème oscille effecivemen pour les valeurs de résisance faibles. enregisremen (. b) correspond à. enregisremen (. c) correspond à 3. a résisance es responsable de l amorissemen des oscillaions.. a. a courbe de charge en (. a) es idenique à celle de (. b) donc la consane de emps es idenique, donc es idenique. a pseudo-période se mesure : 3 = ( 65 5) ms donc = 7 ms 0 donne = = 0, 49 H b. a courbe de charge en (. b) es fférene de celle en (. b), la valeur de a éé mofiée. Par mesure, on a : = ( 83 5) ms Soi : = 34 ms = = 9 F 3. a. On peu écrire ( ) = a + b avec a > 0 ( augmene avec ) a es le coefficien receur de la droie, il vau 0,40 pf par % b= a = 05 pf e ( ) = 05 0, 40 (en pf) 6. I.. D après la courbe, = 0, V au bou d un emps suffisammen long. e circui considéré perme la charge du condensaeur : = + i i éan l inensié insananée. Au bou d un emps suffisammen long, i es nulle e = Donc : = 0, V. Méhode de la angene à l origine : = 66, ms 3. = donne = 66 F 4. Si on remplace par = --, la consane de emps passe de à --. a courbe racée rejoin donc plus vie l asympoe horizonale = 0, V.,0 V τ/ τ / II.. e régime permanen es obenu lorsque i ne varie plus : I = 8 ma. a loi d adivié des ensions donne : = i+ ri En régime permanen : i= I e ---- = 0 Donc : = ( + r)i e ( + r) = --- I Soi : r = III.. a. Oscillaions libres puisque le circui ne compore aucun généraeur. b. Oscillaions amories à cause de la résisance r de la bobine.. 3 = 0077, s donc = 6 ms 3. En supposan le circui peu amori (résisance r de la bobine faible devan la résisance criique), on a égalié enre période propre e pseudo-période. = donc = = 0, 9 H 73