THEORIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

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1 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine THOI DU CHAMP LCTOMAGNTIQU Cous édigé pa : D. TILMATIN AMA Faculté des sciences de l Ingénieu, univesité de sidi-bel-abbès. INTODUCTION Il existe tois égimes distincts en électomagnétisme, chacun difféent de l aute suivant la vaiation en fonction du temps. a) égime stationnaie (.S) Phénomènes indépendants du temps t ; Toutes les gandeus électiues et magnétiues (, H, ) sont constantes..s: lectostatiue (Chapite ) + Magnétostatiue (Chapite ) b) égime uasi-stationnaie (QS) Phénomènes vaiables avec le temps t (Chapite 3); xemple: cos(πft) Si f< khz QS Si f> khz égime vaiable c) égime vaiable (.V) Phénomènes tès vaiables avec le temps Ne concene ue les hautes féuences > khz. Dans le V le champ électomagnétiue devient une onde électomagnétiue ui se popage dans l ai. SOMMAI : Chapite I : lectostatiue Chapite II : Magnétostatiue Chapite III : égime Quasi-Stationnaie Chapite IV : égime Vaiable- uations de Maxwell Chapite V : Popagation du champ électomagnétiue Chapite VI : éflexion et tansmission des ondes électomagnétiues.

2 Chapite : lectostatiue CHAPIT I Cous de A.Tilmatine LCTOSTATIQU Définition : L électostatiue est l étude des inteactions électiues ente des chages constantes et immobiles. Autement dit, pas de couant électiue. I. STUCTU ATOMIQU D LA MATI. L atome N lecton Noyau Le noyau compend des : - chages positives appelées potons - paticules neutes appelées neutons Les électons sont des chages négatives ui gavitent autou du noyau. n valeu absolue, les chages de l électon et du poton sont égales : Les caactéistiues des paticules sont indiuées dans le tableau ci-dessous. Paticule Masse Chage lecton Poton Neuton e,6. 9 C m e 9,9. -3 kg m p, kg m n, kg A l état fondamental, il y a autant d électons ue de potons : l atome est une paticule neute. L atome est ionisé s il cède ou acuiet un électon : - c est un ion positif s il ped ou plusieus électons. - c est un ion négatif s il gagne ou plusieus électons.. Nuage électoniue Le nuage électoniue est fomé d'électons tounant à gande vitesse autou du noyau selon des tajectoies tès complexes. Les électons sont épatis su les couches selon les uantités suivantes : K N 3 L 8 O 5 M 8 P 7 Q Couches péiphéiues Définition : C'est la couche la plus extême d'un atome. Ses électons sont appelés électons péiphéiues ou électons de valence. La couche péiphéiue d'un atome ne peut pas posséde plus de huit électons. Impotant : Les popiétés électiues dépendent des électons de la couche péiphéiue. - e + e

3 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine Les bons conducteus ont leu denièe couche incomplète. Ils cédeont facilement leus électons (électons libes). Les isolants ont leu denièe couche satuée ou pesue satuée. Ils ne cédeont pas facilement leus électons (électons liés). Les semi-conducteus sont des matéiaux dont la denièe couche est fomée de 4 électons. Le silicium et le gemanium sont les semi-conducteus les plus utilisés. II. LOI D COULOMB (785) Chales A. de Coulomb : ingénieu fançais (736 86). Soient deux chages ponctuelles et Foce de Coulomb : F Unités : F [N] ;, [C] ; [m] ε : constante diélectiue du vide. Vide, ai ε 8,85 - [F/m] F F La chage exece une foce F su, de même ue la chage exece une foce F su. Attaction et épulsion : Si et ont même signe Foce de épulsion. Si et ont des signes opposés Foce d attaction. : Foces ente chages électiues de signes identiues ou opposés Une chage Q placée dans une égion où se touvent plusieus autes chages est soumise à l action de toutes ces chages : F(P) F + F + F 3 + F 3 Q P F F xecice : tant donné la disposition des chages de la figue, touve la foce ésultante appliuée su la chage C 3 A B 3

4 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine xecice : Deux chages ponctuelles sont situées su l'axe des abscisses comme suit (voi figue). On donne Q C, Q - -9 C. stime la foce suivant l axe des x appliuée su une toisième chage Q C? Q Q Q 3 X III. CHAMP LCTIQU. Définition Le champ électiue est une gandeu physiue ui exece une foce électiue su une paticule chagée. emaue : à pemièe vue, il peut semble ue le champ électiue n a u une signification mathématiue, en l occuence un vecteu ui pemet de calcule aisément les foces. Mais le champ électiue a deux autes caactéistiues impotantes. D une pat il set à élimine le concept d action a distance, c est l entité ui de poche en poche tansmet l inteaction d une chage a une aute. Le champ électiue a, d aute pat, véitablement une signification physiue, ca il possède de l énegie et de l impulsion. F La gandeu est l expession du champ électiue cée pa. De même, sachant ue : F La gandeu est l expession du champ électiue cée pa 4 πε. Sens du champ électiue : cm cm u u u est un vecteu unitaie adial issu de la chage u positive ( sotant ou divegent) : Le champ électiue est un vecteu négative ( entant ou convegent) Unité de : Comme pa définition nous avons F / : donc [] N / C. n généal on utilise une aute unité : Vu ue -dv / dx : Alos [] V / m.. Champ d un ensemble de chages Le champ électiue poduit pa un ensemble de chages ponctuelles est égal à la somme vectoielle des champs poduits pa toutes les chages. n i u i i i 4

5 Chapite : lectostatiue Cas de chages : Cous de A.Tilmatine + u+ u 3. Lignes de champ Définition Une ligne de champ est une ligne ui est tangente en chacun de ses points au champ électiue en ce point. xemple 3 ligne de champ 4 Ligne de champ unifome : C est une ligne de champ où le module est patout le même en chacun de ses points et ui possède une seule diection. xemple: Le champ existant ente deux plans chagés est unifome (sea démonté pa la suite). Déplacement électiue D ε xecice : Quate chages sont aangées su les coins d un caé comme monté dans les figues ci-dessous. Dans uel case(s) le champ électiue est-il égal à zéo au cente du ectangle? Supposez ue toutes les chages ont la même valeu et la seule difféence est le signe IV. PATITION DS CHAGS. Ligne chagée d ρ dl ρdl avec ρ densité de chage linéiue (C/m) (L) dl 7 ρ (C/m). Suface chagée d ρ sds ρsds S avec ρ s densité de chage sufaciue (C/m ) 3. Volume chagé d ρ vdv ρvdv V avec ρ v densité de chage volumiue (C/m 3 ) ds (S) 8 ρ s (C/m ) 9 5

6 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine xecice : Calcule le champ et le potentiel électiues poduits pa un filament ectiligne, infiniment long, potant une chage ρ pa unité de longueu. xecice : Soit un disue de ayon chagé unifomément en suface avec une densité sufaciue σ >. ) Calcule le champ électiue (M) en un point uelconue M su l axe du disue. ) On fait tende ves l infini. n déduie l expession du champ (M). Solution : ) On choisit comme élément de suface ds une couonne ciculaie compise ente les cecles de ayons y et y+dy. L élément de suface ds pote une chage d σ ds Pa aison de symétie (il s agit d une suface éuipotentielle), le champ cée pa cette couonne en un point M d abscisse x est poté pa Ox et a pou expession : dx dcosθ σ ds σ ds dx cosθ k cosθ πε 4 avec ds π y. dy cos θ x / et x + y D où σ πydy. x dx k 3/ x + y σ x ydy ( ) ε ( ) 3/ x + y Le champ total est donc également poté pa Ox, et vaut ; σ x ydy σ x d [ ( ) ] x x / y 3/ + ε x y + ε ( ) ( ) σ x / ε + x ) Si on fait tende ves l infini, on déduit : σ ε d x O X θ M d Y Aute solution : Le disue pote une chage totale ρ s Sρsπ La couonne compise ente les cecles de ayons et +d pote une chage d : d ρ s dsρs πd et cée au point M un potentiel dv : d ρs πd dv PM x + o 6 M x Soit donc : 6

7 Chapite : lectostatiue V ( x) D où πρ d + x ( + x) d( x) s s + ρ 4ε d + x ρs ( x) [ x] ρs V( x) ε ( + x± x) ε V + Cous de A.Tilmatine Au cente du disue (xo): ρs V( o) ε nsuite, on calcule le champ [( + x) x] d dv ρ ± s dx ε dx d où Pou x, ρ s x m ε + x ρ s ε x + x ρ s Pou x, x ε + x xecice : Calcule le champ cée pa un anneau mince chagé unifomément, su un point se touvant su l axe. d a b α d n α d d L élément difféentiel est dans ce cas un petit ac d angle dθ, de longueu a dθ. Sa chage vaut alos d λadθ. λadθ L élément d poduit un champ d πε a+ b 4 ( ) A chaue chage d lui coespond une chage d ui poduit un champ d. Les composantes veticales de d et d ui sont égales et opposées, s annulent. Le champ ésultant poduit pa le cecle est donné pa : d dcosα Soit, donc : cosα b λadθ d πε + b ( a+ b) / d ( a b ) 4 cosα π λabdθ λab dθ d d n λab ( a 3/ 3/ + b) ( a b) ( a b + ) + 3/ π a 7

8 Chapite : lectostatiue Comme Q λπ a epésente la chage totale de l anneau : Cous de A.Tilmatine Qb 4 πε ( ) 3/ a + b P V. DIPOL LCTIQU Le dipôle électiue est une disposition tès intéessante constituée de deux chages égales et opposées sépaées pa une tès petite distance, u on etouve paticulièement à l échelle atomiue. Le moment électiue dipolaie est donné pa : p a, où a est diigé de la chage négative ves la chage positive. - θ' O a θ + Le potentiel cée pa le dipôle au point P est : V 4 ( ) πε On peut écie d apès la figue : a cosθ Si la distance a est tès petite pa appot à, on peut pose: a cosθ et acosθ Ce ui donne : V Le calcul en coodonnées polaies donne deux composantes du champ électiue : Une composante adiale : V pcosθ ; 3 Une composante tansvesale θ : V psinθ θ θ 3 θ P u θ Un dipôle placé dans un champ électiue est soumis à un couple ui tend à l aligne suivant la ligne de ce champ. u θ P Z n pésence d un champ électiue Sans un champ électiue F - F 8

9 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine VI. POTNTIL LCTIQU On considèe une chage placée à l oigine d un epèe. On appote une aute chage de l infini jusu à une distance de. Supposons et positives. Le tavail founi W pou vaince la foce de épulsion de est W avec Fd Fd d W d d πε [ ] 4 Suivant le pincipe de consevation de l énegie, le tavail founi W est emmagasiné pa la chage sous fome d énegie potentielle p, Soit W p. On pose donc : p V 4 πε avec V potentiel cée pa On peut également écie : p V avec V potentiel cée pa V est donc l expession du potentiel cée pa une chage et p V est l énegie potentielle d une chage soumise à un potentiel V. Unité soit en J/C ca pa définition V p / ou bien en Volt, ui est l unité la plus utilisée. Le potentiel cée pa plusieus chages en un point P peut ête déteminé à pati de l expession suivante : n 3 i V i i Conclusion : Une chage ponctuelle poduit : Un champ (vectoiel) u. Un potentiel (scalaie) V. xecice : Les chages Q +4 µc, Q -4 µc, Q 3 +5 µc, et Q 4-7 µc sont placées su un ectangle de longueu 5cm et de lageu 3cm, comme epésenté à la figue. Calcule l'énegie potentielle de cette configuation de chages. 9

10 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine xecice : Tois chages ponctuelles sont appotés de l'infini aux positions suivantes su l'axe des abscisses: Q 5,. -6 C à x - m, Q,6. -6 C à x m, et Q3 5,. -6 C à x m. Quelle est l'énegie potentielle de cette configuation de chages? xecice : Deux chages Q C et Q - C sont placées aux sommets d un tiangle éuilatéal, de 4 cm de côté.. Calcule le potentiel au point P.. Quelle est la diection du champ électiue au point P? xecice : Aux sommets d un caé ABCD de coté m sont placées les Y Q Q chages suivantes : M Q. -8 C ; Q C ; Q C ; Q C ;. Calcule le champ et le potentiel électiues au cente O O du caé.. Calcule le potentiel au point M milieu de AB. Q 4 VII. LATION NT et V Pou place une chage en un point où ègne un potentiel V, il faut founi un tavail W : W F.d Ce tavail est emmagasiné pa la chage sous fome d énegie potentielle p : p V W p dw dp F.d dv.d dv dv.d D aute pat, on peut pose ue : dv V dx+ V dy V dz V u V x u V y uz ( dxux dyuy dzuz) gadv. d x y z + + x y z D apès les éuations et, on obtient: gadv Conclusions: ) gad V V u V x u V y uz x y z Le champ électostatiue a le sens des potentiels décoissants. Suivant l axe des x, nous avons : V ux. V x > V V V Le champ électiue est toujous diigé du potentiel le plus élevé au potentiel le plus bas. ) ot ot( gadv ) D apès cette elation mathématiue, on déduit ue le champ électostatiue est non otationnel. C est-àdie ue la ligne de champ électiue ne se efeme jamais su elle même. Les lignes de champ électiue ne se efement ue su des chages électiues. Q 3 X + Oui _ 3). dl n effet, nous avons : ot ot. ds. dl Le long d un contou femé uelconue, dans le uel on définit deux points A et B : B A. dl. dl+. dl ( VA VB ) + ( VB V A) A B Non A dl dl 34 B

11 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine VIII. SUFAC QUIPOTNTILL Définition : C est une suface où le potentiel est constant et patout le même. xemple: chage ponctuelle V Le potentiel est constant si on pose constante ; Chaue sphèe de ayon constant (,, 3 ) epésente donc une suface éuipotentielle. Sens de pacous de la boucle sens de dl 3 ègle de base : le champ électiue est toujous pependiculaie à la suface éuipotentielle. xecice : Monte ue le champ électiue est pependiculaie à la suface éuipotentielle. Solution : Soit OPQ un plan unifomément chagé, c est donc Y une suface éuipotentielle située dans le plan XOY gad V V u V x u V y uz x y z Comme V V x y donc V u z z Le champ électostatiue est pependiculaie à la suface éuipotentielle. V constant V ; V x y Q Ligne éuipotentielle : O P X ligne éuipotentielle Z IX. THOM D GAUSS. Flux électiue Flux électiue : Φ e. ds Flux magnétiue : Φ m B. ds (S) θ B ds Suface non femée.ds dscosθ Suface femée Suface globale suface S (base supéieue) + suface S (base inféieue) + suface latéale S 3. Φ e. ds+. ds+. ds3 S S S3 ds ds 3 ds : Suface femée : Suface non femée

12 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine emaues: Les vecteus ds elatifs à la suface femée sont pependiculaies à la suface considéée et sotants. Quand le flux est positif, il est «sotant». Quand il est négatif, le flux est «entant». La notion de «flux» ne signifie pas vaiment u il y a un mouvement de uelue chose à taves la suface.. Théoème de Gauss dscosθ Φe.dS dscosθ ds cosθ dω dω : Angle solide sous leuel on voit ds à pati de (cône). Pou une suface femée d Ω 4π On obtient alos Φ e 4π ε Donc.ds ε Théoème de Gauss: Le flux électiue à taves une suface femée uelconue est égal au appot /ε, où epésente la somme des chages se touvant à l intéieu de cette suface. θ 4 ds Aute démonstation (plus simple) : On considèe comme suface femée une sphèe de ayon. ds les vecteus et ds sont tous les deux adiaux Donc : ϕ. ds ds ds comme est constant su toute la suface de la sphèe : 4 ϕ ds π ε 4 Cas généal : Les chages se touvant à l extéieu de la suface femée ne sont pas considéées dans le théoème de Gauss. ' ϕ n n i. ds ε ε ε i ε ' Fome difféentielle : Φ e. ds div dv ; V si la chage est unifomément épatie dans un volume V on pose : ρ v dv V où ρ v densité de chage volumiue D où div dv v ρ dv ε ε V Soit donc, ρv div ε V n 4 ' 3

13 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine xecice : Champ d une chage ponctuelle On choisit comme suface femée une sphèe de ayon. La suface de Gauss doit especte la symétie du poblème, le champ en tout point de la suface doit ête constant. xecice : On considèe une sphèe de ayon possédant une chage supeficielle de densité ρ s. Détemine le champ électiue à l intéieu et à l extéieu de la sphèe. xecice : Détemine le champ électiue poduit pa un filament ectiligne possédant une chage unifome de densité ρ, en utilisant le théoème de Gauss. 3. uations de Laplace et de Poisson ( ) ρv div div( gadv). V V ε V V V v Soit ρ V + + (elation de Poisson) x y z ε V V V Si ρ v : + + (uation de Laplace) x y z xecice : Utilise l éuation de Laplace pou détemine la distibution du potentiel et le champ électostatiue dans la égion située ente deux plans paallèles potés aux potentiels V et V (V >V ). xecice : ésoude l execice pécédent, en considéant u il existe une chage volumiue de densité ρ v ente les deux plans. X. CAPACIT- CONDNSATU. Conducteu uniue C /V C : capacité du conducteu ; : chage du conducteu ; V: potentiel du conducteu Unité : [C] C / V ; n généal on utilise comme unité le Faad et ses sous multiples [C]Faad F xemple: Sphèe chagée (ue ce soit en volume ou en suface) V C. Deux conducteus (condensateu) : 47 Q Si V et V sont les potentiels de ces conducteus, la capacité du système est définie pa : C V V. Tout système constitué de deux conducteus uelconues sépaés pa un isolant est un condensateu. La capacité du condensateu est C / U. où U V V epésente la d.d.p ente les deux conducteus. V, V potentiels des deux conducteus. Les condensateus les plus connus sont : Cylinde intene isolant - Sphèe intene isolant Sphèe extene : Condensateu sphéiue Cylinde intene V V : Condensateu cylindiue 3 : Condensateu plan

14 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine emaues : Les deux amatues potent des chages Q égales mais opposées. Q est la chage du condensateu. La capacité est indépendante de la tension et de la chage : elle constitue seulement le facteu de popotionnalité (constant) ente les deux. lle dépend des paamètes géométiues du condensateu. xecice : Détemine la capacité d un condensateu plan. xecice : Calcule la capacité d un condensateu sphéiue de chage Q, constitué de deux amatues sphéiues concentiues de ayons et. XI. NGI LCTOSTATIQU Soient, V: chage et potentiel du condensateu à un instant t. Pou amene une chage supplémentaie d au condensateu, on doit founi un tavail dw, afin de vaince la épulsion des chages existantes. appel W F.d V Si nous appotons une chage supplémentaie d, le tavail effectué est : dw V d dw F.d V d W m avec m : chage maximale soit en généal : W, C ou bien comme V/C : W V. emaues : m m m C C C V d d W V est l énegie emmagasinée pa un système (condensateu, ensemble de chages ) suite à un tavail founi. W V est l énegie potentielle ue possède une chage dans un potentiel V. Comme ρs ε et ρss, il vient : ( ) S W Sd V V s ρ s C s d S ρ ρ ε ε ε ε ε avec V volume du condensateu. W ε V Conclusion: le champ électiue emmagasine de l énegie électiue de densité w ε. Aute démonstation : Considéons une sphèe de ayon u on se popose de chage. A un instant donné, supposons ue la chage de la sphèe est. Le fait de chage la sphèe exige un tavail dw, ca pou appote une chage supplémentaie d il faut vaince la épulsion de la chage. dw V d ; Comme V / C, 4

15 Chapite : lectostatiue dw d. C Le tavail founi pou pote la chage de la sphèe de à m est : d C m m W C Cous de A.Tilmatine étant donné ue C 4 π ε, on obtient : W () Calculons l intégale suivante : dv Le volume d une sphèe de ayon est : V π Pa conséuent : dv 4 π d dv ( 4 d) d π πε πε πε en substituant ce ésultat dans l éuation (), on obtient : W ε dv. XII. INTACTION NT L CHAMP LCTIQU T LA MATI. Conducteu : Considéons un conducteu cylindiue placé ente deux plaues métalliues soumises à une tension U. le conducteu est en éuilibe électostatiue, c est-à-die u il ne touche pas les deux électodes. Autement, les chages seont mises en mouvement et naîta un couant. Le conducteu n est plus en éuilibe électostatiue. app int pas de champ appliué int app : champ appliué extene; int : champ intene cée pa la nouvelle épatition de chages ; : champ ésultant app int Dans un conducteu les électons sont libes de mouvement. Dés u on appliue un champ électiue, les électons se déplacent sous l action de ce champ, il en ésulte une nouvelle distibution de chages ui donne naissance à un champ intene ui annule le champ appliué. Conclusion : le champ électiue dans un conducteu en éuilibe est nul. 5

16 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine. Isolant (diélectiue) : Polaisation électiue : Dans un atome, les centes de gavité du noyau et des électons coïncident, pa conséuent le moment dipolaie moyen de l atome est nul (). Pa conte apès l application d un champ électiue extene, le cente de gavité des électons est déplacé d une cetaine distance x pa appot au noyau : l atome est alos polaisé et devient un dipôle électiue de moment p ( 6). Dans chaue atome est cée un champ p de sens opposé au champ appliué. Les molécules peuvent avoi un moment dipolaie pemanent, de telles molécules sont dites polaies. x Pas de champ extéieu Pésence d un champ extéieu Les électons dans l isolant sont liés aux atomes. Quand on appliue un champ électiue, les électons ne se libèent pas mais sont légèement déplacés pa appot au cente de gavité de l atome, c est la polaisation. p est appelé champ de polaisation ( p <<) app p diminue légèement mais ne s annule pas. Conclusion Le champ électiue passe à taves un isolant et s annule dans le conducteu. Dans le vide 4 πε Dans un diélectiue matéiel : ε La polaisation fait diminue dans le diélectiue matéiel ca ε ε ε ε ε ε ε > : pemittivité elative ; ε pemittivité du vee. 6

17 Chapite : lectostatiue Cous de A.Tilmatine FOMULAI D LCTOSTATIQU Chages : Ponctuelles : Q [C] ; linéiues : λ [C/m] Sufaciues : σ [C/m ] ; volumiues : ρ [C/m 3 ] Champs : D Déplacement ou Induction électiue [C/m ] Champ électiue [V/m]. D ε Loi de Coulomb : F ; Chage ponctuelle : u et V Lois de base : Q div Dρ ou. ds ε ot ou. dl Potentiel : V. dl ; dv. dl ; gadv V ux V u V y uz x y z Tension : U AB V A V B B A. dl Tavail : W BA U AB Capacité : C U Densité d énegie électiue : w ε. int 7