Année universitaire 2012/2013

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1 Année univesitaie 1/13 Examen Electomagnétisme PEIP Aix-Maseille Univesité 15 janvie 13 5 poblèmes - ecto veso / Duée e l épeuve heues alculettes stanas autoisées / Fomulaie Page A4 autoisée 1. (4pts Quate chages ponctuelles, chacunes e 3µ se touvent aux positions P 1 = (4,, m, P = ( 4,, m, P 3 = (, 4, m et P 4 = (, 4, m. (a Touve le champ électique (vecteu à la position M =(,,3m. Su l axe z les composante es champs pepeniculaie à l axe s annulent eux à eux. Il ne este que la supeposition es champs le lang e l axe z. La composante u champ électique su l axe z est le ientique pou chacune es paticules. Le champ électique su l axe z est la supeposition e ces 4 champs A.N. E z (,, z = 4 Q [ P i M 4 P i M ẑ = 4 Q ] 1 P i M 3 4 P i M P i M ẑ P i M = = 5 P i M P i M ẑ = 3 5 [ E = ẑez (,, z = ẑ ] 5 ] = ẑ [ , ẑ [ Vm 1] (b Quelle est la foce (vecteu su une chage Q = 1µ à la position M =(,,3m? F = q E = 1 4, ẑ [N] =, 6 ẑ [N] 1

2 . (6pts On consièe un champ électique aial, expession en cooonnées sphéiques : E (, θ, ϕ = < a a a (a Rappele l énoncé u théoème e Gauss. Q int E S = (1 (b alcule la chage Q(, contenue ans une boule e ayon < a. Q( E = S = 4 ϵ E ( = 4 S Q( = 4 (c alcule la chage totale, Q(, contenue ans une boule e ayon peut-on en conclue au sujet e la égion > a? Q( E = S = 4 ϵ E ( = 4 a Q( = 4a > a. Que ( Quelle est la imension e la constante? La imension e est [ m ] (e Détemine le potentiel électostatique V ( avec la convention V ( =. Quan = a : Pou < a : Le potentiel est onc V ( V ( = V ( V (a = E = a V ( = a 1 V (a = a a E = = a 1 a = a = (a V ( = a + a = [a ] V ( = ϵ [a ] < a > a a 1

3 (f Bonus : Déuie la ensité volumique e chage, ρ( ans la égion < a. Dans ce poblème à symétie sphéique, la ensité volumique e chage, ρ (, est à symétie sphéique : Q = 4 ρ ( A pati es solutions (b et (c, on a : 4 < a Q ( = 4a > a On calcul facilement la ifféentielle Q : 8 < a Q = > a e qui onne : On auait pu utilise aussi ρ ( = < a > a ρ ( = iv e = iv E e = E = ou ρ ( = V ( = 1 V ( = < a = > a ϵ 1 1 = = a 4 [ ] [a ] [ ] a 1 = 1 < a > a = 1 a 4 3

4 3. (4pts Une suface e S = 85cm ans le plan z = est entouée pa un conucteu filaie (cicuit femé. Le champ magnétique local est onné pa : B = B cos ( 1 3 t ( ŷ + ẑ (T (a alcule le flux magnétique, Φ (t, à taves ce cicuit. (A.N. B =, 5 T B S Φ (t = B S = cos ( 1 3 t = S, cos ( 1 3 t = cos ( 1 3 t (b Quelle est la foce électomotice e(t ans le cicuit. Φ (t e = t =, 3 sin ( 1 3 t (c Si la ésistance u cicuit est e 1Ω, quel est le couant I (t inuit ans le cicuit. e = RI (t =, 3 sin ( 1 3 t I (t =, 3 sin ( 1 3 t A 4. (3pts On consièe un cicuit en fome e cae ectangulaie (e imensions selon x et l selon y pacouu pa un couant I (entetenu pa un généateu ans le plan z =. Le champ magnétique ambiant s écit : ( x B (x = ẑb sin (T. z y I O I l x (a Touve le flux u champ magnétique à taves le cae, Φ, quan il est à la position iniquée ans la figue (un bo su l axe y (x = et un aute su la oite x =. B l ( x Φ i = S = x yb sin ẑ ẑ ( x [ ( x ] = lb x sin = lb cos = lb [cos ( cos (] = lb 4

5 (b On éplace le cae une istance le long e l axe x, Touve le flux magnétique àpès le éplacement. On peut éuie, Φ f = Φ i, iectement à pati e la natue sinusoiale u champ ou pa calcul iect : B Φ f = S = lb x sin [ = lb cos = lb ( x ] ( x = lb [cos ( cos (] (c Quel est le tavail effectué los u éplacement. Pa le théoeme e Maxell, le tavail effectué pa la foce e laplace los u éplacement est W = I (Φ f Φ i = 4IlB L opéateu oit founi un tavail opposé W op = W = 4IlB 5. (3pts Un poton lancé ans un champ magnétique écit une obite ciculaie avec une péioe T. (m p 1, kg, et q p 1, (On négligea la foce e la gavitation evant la foce e Loentz ans l établissement u pincipe fonamental e la ynamique (a Que pouvez-vous en conclue au sujet e l oientation elative ente la vitesse u poton et le champ magnétique? La vittesse, v, u poton est pepeniculaie au champ B. (b Expime le ayon e l obite u poton en fonction e sa masse m p, e sa chage q p, e sa vitesse v, et u champ B. F = F = q p v p vp B = q p v p B = m p a = m p m p v p R L = q p v p B R L = m pv p q p B (c A.N. Quel est le champ magnétique si la péioe est T =, 18µs.? R L T = R L B = T v p m p q p = B m p q p 3 1 T 5