Repérage et vecteurs

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1 Repérage et ecters Chapitre 10 page 241 Introdction : Rappels por démarrer : Page 241 I-Egalité de ecters 1- Détermination d'n ecter. Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction ; - son sens ; - sa longer o norme. Exemple : AB et CD n'ont pas la même direction : ils ne peent donc pas aoir le même sens. AB et FE ont la même direction mais pas le même sens. AB et GH ont la même direction et le même sens. Vocablaire A est l'origine et B est l'extrémité d ecter AB 2- Vecters égax. Propriété 1 : Si AB = CD alors le qadrilatère ABDC est n parallélogramme. A C B D Propriété 2 : AB = DC ; AD = BC ; Si le qadrilatère ABCD est n parallélogramme alors BA = CD DA = CB Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

2 3- Notation : Représentant d n ecter. Qelles égalités poez-os écrire? AB = CD = EF On pose alors : = r AB= r CD= r EF Notation AB, CD et EF sont appelés des représentants d ecter la norme d ecter est notée Si AB est n représentant d ecter, alors = AB = AB II. Somme de ecters (addition ectorielle). 1- Relation de Chasles a-actiité. Tracer : Les ecters EF et FG tels qe : EF = et FG = Le ecter EG Le ecter EG est la somme des ecters EF et FG On a : EG = EF + FG = + b-relation de Chasles. AB + BC = AC Tracer : Les ecters AB et 2- Règle d parallélogramme a-actiité. AD tels qe : AB = et AD = Le parallèlogramme ABCD ; Le ecter AC. Le ecter AC est la somme des ecters AB et AD, on a : AC = AB + AD = + Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

3 b-règle d parallélogramme. AB + AC = AD 3- L'addition ectorielle est commtatie. Por tos ecters et, o + o = o + o III.Vecter nl- Vecter opposé- Différence de ecters. 1- Vecter nl Tot ecter ayant son extrémité confonde aec son origine est appelé ecter nl. Il est noté : 0 Propriétés : Sa norme est nlle, sa direction et son sens ne sont pas définis. AA = BB = MM = 0 qels qe soient les points A, B et M. 2- Opposé d'n ecter D'après la relation de Chasles, AB + BA = AA = 0 ; posons = AB On écrit qe : BA = AB = On dit qe : le ecter BA est l'opposé d ecter AB le ecter est l'opposé d ecter Propriétés : dex ecters opposés ( non nls ) ont la même direction, la même norme et sont de sens contraire. Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

4 3- Différence de dex ecters On note le ecter somme + ( ) Por constrire le ecter il fat donc commencer par représenter le ecter (opposé de ) pis constrire la somme + ( ) IV. Prodit d n ecter par n nombre réel Exemples : Soit n ecter non nl : 2 Le ecter 2 est le ecter : Le ecter 3 2 est le ecter : 1 de même direction qe le ecter 1 de même direction qe le ecter 2 de même sens qe le ecter car 2 est positif, de sens opposé a ecter car 3 est négatif, 2 3 de longer 2 3 de longer 3 2 Remarqes : por tos ecters et por tos nombres réels k et k', car ne longer est positie. 0 = 0 k 0 = 0 V. Colinéarité de dex ecters 1- Définition k ( + ) = k + k (k + k') = k + k' Dex ecters non nls o et o sont dits colinéaires s'ils ont la même direction. Par définition, 0 est colinéaire à tot ecter. Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

5 2- Propriétés 1 Si les ecters non nls et sont colinéaires alors il existe n nombre réel k tel qe : = k 2 S'il existe n nombre réel k tel qe = k.. alors et sont colinéaires. Exemples = 2 k = 2 1 = 2 k = 1 2 VI. Application de la colinéarité. 1- Parallélisme de dex droites Soient (A, B) et (C, D) dex coples de points distincts. Por proer qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles, il sffit de démontrer qe les ecters AB et CD sont colinéaires, c'est-à-dire q'il existe n nombre k tel qe : AB = k CD 2- Alignement de points. Soient A, B et C trois points distincts. Por proer qe les points A, B et C sont alignés, il sffit de démontrer, en tilisant la colinéarité, qe les droites (AB) et (AC) sont parallèles - o bien (AB) et (BC), o encore (AC) et (BC) - Il n'existe pas de nombre k tel qe = A k 3- Caractérisation d milie I d'n segment [AB] Propriété : I milie d segment [AB] se tradit ectoriellement par la relation de colinéarité 1 AI = AB o par AI = IB o encore par AI + BI = 0 2 A D B B C C A I B Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

6 1 Comprendre le cors : 4- Actiité. a) Dans le repère (O ; ) ci-dessos, placer les points M et N d abscisse 4 et 3. Exprimer en fonction de les ecters siants : OM =.. ON =.. MN = b) Compléter les caractéristiqes des ecters : ecter direction sens longer OM celle de celi de 4 ON MN 2 b) Compléter les phrases : Il existe n réel x tel qe OM = x. ON, car ces dex ecters sont. Le signe de x est.., car.. De pls, OM = 4 et ON = 3 donc on obtient la aler d réel x :.. d) De même, il existe n réel y tel qe MN = y. ON. Déterminer y.. En tilisant le qadrillage ci-dessos, placer les points M, N et P définis par les relations : AM = 3 BN = 2 3 et CP = a) Comme les ecters BK et sont.., il existe n réel x tel qe BK = x.. On obtient x =. Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

7 b) De la même façon, on écrit BL = + y.. On obtient y =.. 3 Relier chaqe sitation ectorielle à la sitation géométriqe qi li correspond. Relation ectorielle sitation géométriqe Schéma des sitations a) MR = 1 MS 1- S est le milie de [ RT ] 2 b) RS = 3 4 MT 2- RSTM est n trapèze c) MS = 1 2 ( MR + MT ) 3- RTSM est n parallélogramme d) RM = k RS, k [ 0 ; 1 ] 4- P [RS ] e) RT = - SM 5- R est le milie de [ MS ] Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

8 VI Propriétés élémentaires dans n repère.. 1- Propriétés des ecters dans ne repère (O, i ; j ) a-exemple. M (2 ; 6) signifie qe OM = 3 i + 2 j. On note OM 3 2 j b-coordonnées d ecter AB i Pisqe AB = AO + OB = OB OA, les coordonnées d ecter AB sont : AB x B x A y B y A c-coordonnées d milie I d'n segment [AB] Pisqe AI = IB, on a AO + OI = IO + OB et encore 2 OI = OA + OB Par site 2x I = x A + x B. 2y I = y A + y B Les coordonnées d milie I de [AB] sont donc : I xa + xb 2 ya + yb 2 2- Propriétés des ecters dans n repère Orthonormal a- Orthogonalité On dit qe 2 ecters non nls sont orthogonax lorsq'ils définissent des directions orthogonales, c'est à dire qe les droites spports des représentants de ces ecters sont perpendiclaires. On note alors On dit qe ( O ; i ; j ) est n repère orthonormal lorsqe i j et i = j = 1 La norme d ecter b-calcl de la norme d'n ecter x y est : = x² + y² Calcl de la distance entre dex points Comme AB x B x A y B y, la distance entre les points A et A B est obtene à partir de : AB² = (x B x A ) ² + (y B y A ) ² : Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

9 Repérage et ecters Chapitre 10 page 241 Introdction :Rappels por démarrer : ( Page 241 ) I-Egalité de ecters 1- Détermination d'n ecter. 2- Vecters égax. b-calcl de la norme d'n ecter 3- Notation : Représentant d n ecter. 4-Actiités. II. Somme de ecters (addition ectorielle). 1-Relation de Chasles a-actiité. b-relation de Chasles. 2-Règle d parallélogramme a-actiité. b-règle d parallélogramme. 3- l'addition ectorielle est commntatie. 4-Actiités. III.Vecter nl- Vecter opposé- Différence de ecters. 1- Vecter nl 2- Opposé d'n ecter 3- Différence de dex ecters IV. Prodit d n ecter par n nombre réel. V. Colinéarité de dex ecters 1- Définition 2- Propriétés VI. Application de la colinéarité. 1- Parallélisme de dex droites 2- Alignement de points. 3- Caractérisation d milie I d'n segment [AB] 4- Actiité. VI Propriétés élémentaires dans n repère.. 1-Propriétés des ecters dans ne repère (O, i ; j ) a-exemple. b-coordonnées d ecter c-coordonnées d milie I d'n segment [AB] 2- Propriétés des ecters dans n repère Orthonormal a-orthogonalité Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters

10 TD OUVERTURE : VECTEURS ET FORCES 1 La péniche Une péniche dont le goernail a été endommagé est tirée par dex remorqers de pissances différentes, repérés sr le dessin par les points R 1 et R 2 et disposés comme sr la figre ci-dessos. La longer des flèches représentant les ecters F 1 et F 2 est proportionnelle à la force de traction de chacn des remorqers. Dans qelle direction cette péniche a-t-elle se déplacer? F 1 R1 P R2 F 2 Tot se passe comme si le point P était somis à la traction F d'n câble niqe aec F = F1 + F 2 2 L'entraînement de rgby A cors d'ne séance d'entraînement de rgby, afin de faire traailler la pissance des jambes, l'entraîner propose l'exercice siant : n des joers J 1 est reten à l'aide de dex cordes par dex atres joers J 2 et J 3 et doit s'efforcer d'aancer. Déterminer, dans chacn des trois cas, si J 1 aance o recle. Dans chacn des cas ci-desss, F 2 et F 3 sont les forces axqelles J 2 et J 3 somettent J 1, qi, li, tire aec ne force F 1. On admet qe l'intensité de ces forces est proportionnelle à la norme des ecters représentés Mme Lcotte-Le Visage Lycée Polyalent Prié ISM-La Proidence Repérage et ecters