CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler

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1 SESSION 2 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Prie I : Preière roche de l cose d Euler Soi N L focio es coiue e décroisse sur ],+ [ e doc sur [,+] Doc our ou réel de [,+], o + D rès l iéglié, o O e dédui que d + d + N, + 2 Soi N S soe élescoique + + Aisi, our ou eier urel o ul, S e doc l suie S N es jorée D ure r, our N S + S + Doc l suie S N es croise E jorée r, cee suie coverge vers u réel oé γ Puisque N, S, r ssge à l liie qud ed vers +, o obie γ 3 Soi N E os x +, o obie + x dx + d d + Soi 2 Pour ou réel de [,], o < + + e doc l iégrle, o e dédui que d + d 4 Soie e deux eiers urels els que > Alors S S our + 2, 2 obie + d + d + + Pr croissce de D rès l quesio récédee, + 2 E ddiio ebre à ebre ces ecdrees, o S S , soes élescoiques E fis edre vers + à fixé, o obie γ S

2 5 Pr suie, our, que li 2γ S ou ecoreγ S e doc N, 2+2 γ S 2 + 2γ S Coe li H l++s l+l + l+γ+ 2 +o 6 Soi D rès l quesio 4, 7 Soi γ S γ T < ou efi γ S + γ +o 2, le héorèe des gedres ere d ffirer 2 +o Mie,S H l+ H l+γ+ 2 +o 2+2 γ T 2 Aisi, T 7 es ue vleur rochée de γ à 2 rès e doc e doc 2+2 γ T l+γ+ 2 +o 2+ < 2 + > l8 γ < l8+ 2 Ceci fouri ecore,575 < γ <, e doc,57 < γ <,59 ou ecore γ,58 à 2 rès Ce derier ecdree es s d liude 2 is fouri ue vleur rochée de γ à 2 rès Prie II : Deux reréseios iégrles de l cose d Euler L focio e e es coiue sur [,+ [ De lus, e + o 2 O e dédui que l iégrle e + e e e riculier, e e + e d es ue iégrle bsolue covergee e doc covergee e es coiue sur [,+ [ e égligeble e + dev 2 Pr suie, l iégrle e De êe, l focio e es ue iégrle bsolue covergee e doc covergee Mis lors l iégrle e e d b Qud ed vers r vleurs suérieures, e o 2 2 +o Doc li + e d es ue iégrle covergee O e dédui que li 2 +e 2 +o e o d

3 c Aisi, l focio e e es coiue sur ],] e se rologe r coiuié e Pr suie, l iégrle e e d d es ue iégrle covergee Puisque les iégrles e e d d e e e d d so des iégrles covergees, e e d d es ue iégrle covergee 2 Soie x e deux réels sricee osiifs Les focios e e e b so coiues sur [x, ] Doc, chcue des iégrles roosées exise E os u ds l reière iégrle de sore que d du e v b ds l deuxièe iégrle, o obie u e e b e e b e u b d d d x x x x u du e v bx bx v dv e b e d d x b Soie e b deux réels els que < b e z u réel el que z > Alors < z bz Esuie, our ou réel de [z,bz], e bz e e z Pr croissce de l iégrle, o e dédui que b bz e bz z x b e bz e bz e z e bz l d d z z b c Qud x ed vers r vleurs suérieures, e bx l e e x l bx e b gedres ere d ffirer que li d l x + D ure r, our ou >, b li + e d d e l b b e coe b b ede vers l Le héorèe des d e z l li + e l Qud < b, e fis edrexversuisvers+ ds l églié de l quesio, o obie b l Cee églié rese vrie si > b e échge les rôles de e b e o doc oré que,b ],+ [ 2, e e b d l b b, o e dédui que e e b d 3 Ue reière reréseio iégrle de l cose d Euler Soi > O si que our ou réel q de l iervlle ],[, Soi N N N + e e + e q q e doc, uisque e ],[ ],[, e e + e N+ soe élescoique Mie, li N + e N+ cr > O e dédui que l série uérique de ere géérl e e +, N, coverge e que uis que + e e + e e + b Mis lors e + e e e e + e + e + e +2

4 c L focio e es deux fois dérivble sur R e s dérivée secode à svoir l focio e es osiive sur R Doc l focio e es covexe sur R Pr suie, so grhe es u-dessus de s gee e so oi d bscisse ou ecore R, e Si de lus >, o successivee e uis e rès divisio des deux ebres r le réel sricee osiif d Pour >, osos u e e e our > e N, osos u e + e + e +2 Chque focio u, N, es coiue r orceux sur ],+ [ De lus, d rès l quesio récédee, our N e >, u e + e Doc chque focio u, N, es osiive sur ],+ [ L série de focios de ere géérl u, N, coverge silee sur ],+ [ vers l focio u d rès l quesio 3b e l focio u es coiue r orceux sur ],+ [ Soi N u d e + e + e +2 d d +2 + l + d rès + + l quesio 2c Pr suie, our N, u d + S + D rès l rie I, l série uérique de ere géérl u d, N, coverge e our soe γ D rès le héorèe dis r l éocé e débu de deuxièe rie, o e dédui que l focio u es iégrble sur ], + [ e que γ u d u d γ e e d 4 Ue deuxièe reréseio iégrle de l cose d Euler Soi > O vu à l quesio II que l iégrle Mis lors, qud ed vers, l+ e d coverge De lus, e e e d [ l e ] + li + l e l e l e e e d l l e l e Doc li l+ d + e b Soi > D rès l quesio 3d, e γ+ d e e e e e e e d+ d+ d+ l +o e d e e e d e e c Pr suie, γ+l+ d e e d+ Puisque e e d coverge e, o e dédui que li e d rès l quesio, li l+ d e filee l+ + e d e e l+o o e d+ d e d D ure r,

5 e li γ+l+ + d d L focio e l es coiue sur ],+ [ e égligeble e + dev d rès u héorèe de croissces 2 corées Doc l focio e l es iégrble sur [,+ [ Qud ed vers r vleurs suérieures, e l l o ],] uisque 2 < e doc l focio e l es iégrble sur ],] Filee l focio e l es iégrble sur ],+ [ O si que l focio es iégrble sur Soie e A deux réels els que < < A Les deux focios e e l so de clsse C sur le sege [,A] O eu doc effecuer ue iégrio r ries e o obie A e l d [ e l ] A + A e A d e l e A e la+ d Qud A ed vers +, o obie e l+ e l d li + e Soi > γ+ e l d D rès l quesio c, li + e e l d e l + d e d Qud ed vers, o obie e γ+l+ d + e l d e e l d +e l l γ+l+ e d D rès l quesio d, li e l d e l + Efi, qud ed vers r vleurs suérieures, e doc li l l Filee, li γ+ +e + e d e l l e l l, γ e l d ou ecore e l d Prie III : Pour ue vleur rochée de l cose d Euler D rès l quesio II4, Doc, e d e e e d e e d l e D ure r, [ l l e ] l e li +l e e d l e e b D rès l quesio II3d e u vu de l covergece de chcue des iégrles cosidérées, γ e e d e e d+ e e d+ e e e d d e e d+ e e e e e d d e l e e e d d d rès l quesio récédee

6 γ e e d d 2 Pour ou eier, H!! O e dédui que l série eière de soe F u ro de! covergece ifii e e riculier F es défiie e dérivble sur R De lus, l dérivée de F s obie r dérivio ere à ere b Pour ou réel x >, Fx F x Fx+ H! x cr H e doc H! x c Soi x > D rès ce qui récède, x +! Fx+ x H + x! H + x! + x + +! Fx+ x x e x F x e x F x Fx e x x! Fx+ ex x Mie, l focio e es coiue sur ],x] e rologeble r coiuié e Cee focio es doc iégrble sur ],x] E iégr sur ],x], o obie Filee, x e d x e F d e x Fx e F e x Fx H e x Fx x >, Fx e x x e d 3 Soi x > γ+lx e e x Fx e d e x d d e x x + d e d e x Fx e x e + d+ d x x d e d d x >, γ+lx e x Fx e x d 4 Soi + Alors H + H! +!!! +! e!h +!!!! } {{ } + +!!! + + +! cr < + e e 2π 2π 2π

7 γ+l e e F d e H! +e + H + e! d, e doc γ+l e H! e + H + e! e e + 2π d e + e d e e 2π 6 O red e riculier 3 e o obie our ou eier, 3 H γ+l e! 3 e 3 2 6π e e + 3 L chie fouri γ à rès 3 2 6π e 2 2 e e 2 2 < e doc e 2 63 H + e! + d e + H! 2 l2 es ue vleur rochée de Prie IV : L cose d Euler soe de l série de Vcc 9 Soi N v b Soi N v σ 2j 2j+ 2 2j< j+< j 2 2j+ 2 j j2 j2 j σ σ j h j2 h2 σ +σ h2 h σ + σ σ j2 2j σ σ c Soi N σ 2 + h h2 2 h h H d v σ σ H H + H 2 H H + + H + l2 +γ l+ +γ l γ +o l2 l2+γ+o γ+o Doc l série uérique de ere géérl v,, coverge e v γ 2 Posos v [log 2] Pour, > e doc our ou eier urel o ul, 2 2 2

8 L suie v N es doc s décroisse à rir d u ceri rg e o e eu s liquer le crière sécil des séries lerées b Soie e deux eiers urels els que + < +2 Puisque l suie es décroisse, o si que l vleur bsolue de l soe N vleur bsolue de so reier ere à svoir Doc Pour + < +2, o + log 2 < +2 e doc [log 2 ] + Pr suie, u 2 es jorée r l c Soie u eier urel suérieur ou égl à 4 Soi l eier urel el que + < +2 c es-à-dire [log 2 ] Alors u + u + + u u v + + u Mis lors u v + u [log 2 ] 2 log 2 [log 2 ] 2 log 2 2 4log 2 D rès u héorèe de croissces corées, 4log 2 ed vers qud ed vers + e d rès l quesio d, [log 2 ] v v ed vers γ qud ed vers + O e dédui que l suie u coverge vers γ N u γ 3 Soi N Puisque l suie ed vers e décroiss, r exise d rès le crière sécil ux séries lerées De lus, o si que l vleur bsolue de r es jorée r l vleur bsolue du reier ere de l soe égle à r e doc r 2 Aisi, our ou eier urel, r e doc l série de ere géérl r es bsolue covergee 2 + b Soi N v j j j2 v r r + Soi lors N r r + + r r r r + vec r + e doc li 2+r + E e coe de v, o doc r v γ γ + j j, +j

9 Pr suie, li u l cr si, es u obre ir e doc 2 +j j Prie V : L forule de Goser 972 x F, x Id F x Tx e doc Id F T Soi lors N, x F e N Puisque les edoorhises Id F e T coue, l forule du biôe de Newo ere d écrire x[] Id F T x[] T x[] x + 2 Soi N Pour +! +! Coe li! d rès u héorèe de croissces corées, o e dédui que li 2 b Soi ε > Il exise N el que, u < ε es dorév fixé Pour, 2 u < u u + u + ε 2 Mie, d rès l quesio,,, u + li u + ε 2 ε 2 u u e doc li obre fixe de suies de liies ulles Pr suie, il exise el que, Pour, o lors u < ε 2 + ε 2 ε O oré que ε >, N/ N, u < ε e doc u + ε 2 + li u soe d u u < ε 2 u c Suosos ie que l suie u N coverge vers u ceri réel l Alors l suie v N u l N coverge vers D rès l quesio b, il e es de êe de l suie v Mie, our N, v u l u + l N u l u l

10 3 Soi N N V N N N N x[] N + U U U cr U e + N N N N N b Posos S N N 2 N+ + + x d rès l quesio V N + U N U + + U + U N N + + U + N+ U + + N N N, V N + cr U + U U + + N+ 2 N+ + 2 U soe élescoique + N x li U j Pour ou eier urel N, j + x[] + V N 2 N+ N N+ U + 2 N+ x[] + N+ N+ Puisque li + U S, l quesio 2c ere d ffirer que l suie li N + 2 N+ N+ N+ U 2 N+ 2 N+ N+ N+ N+ N+ U U coverge e que N N U S ou ecore l série uérique de ere géérl x[] +, N, coverge e x[] + x 4 Soi N Pour N, x[] + x 2 + dx x 2 x dx 2!! +! +!!! + x 2 x d rès le résul dis r l éocé dx N, N, x[] +

11 b Soi N Puisque l suie x j j N coverge vers e décroiss, l série de ere géérl j x j +j j N coverge d rès le crière sécil ux séries lerées Mis lors l quesio récédee ere d ffirer que l série de ere géérl [x] 2 +, N coverge e que j j +j j x j j Mis lors l quesio IV3b ere d ffirer que γ c Pr suie, l suie double osiive γ [x] , γ es soble e