3.2 Succession d intégrales simples - Théorème de Fubini

Transcription

1 8 Intégrle oule. Suession intégrles simples - Théorème e Fuini Soit R = [, [, ( <, < ) un retngle fermé u pln R et f: RR une fontion ontinue. Pour x [, fixé, l fontion f(x, ): [, Réfinie pr f(x, )(y) = f(x, y) est intégrle sur [,. Le nomre f(x, )(t)t épen e x. On on une fontion A: [, R éfinie pr A(x)= f(x, t)t. En intégrnt l fontion A sur l intervlle [,, on l formule [ ( ) : A(x)x = f(x, y)y x. éfinition.7. ns l expression i-essus, on rpport à x. [ f(x, y)y x e l formule ( ) it que l on or intégré pr rpport à y, et ensuite pr e mnière nlogue, ns l expression [ l on intègre or pr rpport à x, puis pr rpport à y. f(x, y)x y, on it que Exemple.8. Consiérons le retngle R = [, [, R ( x, y ) et l fontion f éfinie sur R pr f(x, y) =xy + y +. Ii, =, =, = et =. on f(x, y)y = (xy + y + )y = intégrnt or pr rpport à y; [ xy + y + y y= y= = 9 x +, en intégrnt mintennt le résultt prééent pr rpport à x, on otient: [ (xy+ y ( ) [ 9 9 +)y x= x+ x= 4 x + x = 9 4 = 75 4 A présent, ommençons pr intégrer ette même fontion pr rpport à x, puis ontinuons le lul en intégrnt pr rpport à y: [ x= on f(x, y)x = (xy + y + )x = x y + (y + )x = y + x= y +, en intégrnt or pr rpport à x; en intégrnt le résultt i-essus pr rpport à y, on otient: [ (xy+y ( +)x y= y + ) [ y+ y= y + 4 y +y =+ 7 4 = 75 4 ns l exemple.8 nous remrquons que les eux intégrtions suessives onnent le même résultt. Cei n est ps le fit u hsr mis est û u théorème suivnt que nous mettrons.

2 . Suession intégrles simples - Théorème e Fuini 9 Théorème.9. (Théorème e Fuini pour les retngles fermés) Soit R = [, [, ( <, < ) un retngle fermé u pln R et f: RR une fontion ontinue, lors f est intégrle sur R et on : [ [ f(x, y)xy = f(x, y)y x = f(x, y)x y. R Exemple.. Soit R = [, [, R et f: RR éfinie pr f(x, y)= ye xy. Clulons I = f(x, y)xy. [ R près le théorème e Fuini, on I = (ye xy )x y. [ x= Or (ye xy )x = e xy =e y e y. x= [ On en éuit I = (e y e y )y = ey e y = e4 e +. Note: En intégrnt or pr rpport à x, le prééent lul nous pris juste eux lignes. Si nous ommençons pr intégrer or pr rpport à y, nous nous renons vite ompte que le lul est moins évient. En effet (ye xy )y néessite une intégrtion pr prties. [ y (ye xy )y = x exy y= ( x exy = e x y= x ) x + x. L intégrtion e ette ernière expression néessite mnifestement enore une intégrtion pr prties: ( ( e x x )+ ) [ x x x= x ex x x ex x+. x Une intégrtion pr prties onne: [ x ex x= x ex ( x ex )x. On en éuit que ( ( e x x )+ ) [ [ x x x= + = x e4 e +. x ex Il fut retenir que ns l pplition u Théorème e Fuini, un hoix juiieux e l orre intégrtion s impose.

3 4 Intégrle oule. Intégrles oules sur es omines non retngles On onsière un omine orné u pln réel R, f: R et on vourit luler (si elle est éfinie) l intégrle f(x, y)xy. Si le omine onsiéré n est ps un retngle mis est orné, nous pouvons l inlure ns un retngle R, onsiérer un qurillge u retngle R et éfinir une somme oule e Riemnn sur les retngles u qurillge qui sont entièrement ontenus ns le omine R. Plus le qurillge ser fin, mieux ser pproximé pr les retngles u qurillge ontenus ns. Si l somme oule e Riemnn ten vers une limite I R lorsque le ps u qurillge ten vers, lors l fontion f est intégrle sur et on f(x, y)xy =I... Intégrles sur un omine ompris entre les grphes eux fontions et eux roites vertiles Théorème.. Soient [, ( < ) un intervlle fermé orné e R, u et v eux fontions ontinues sur [, telles que x [,,u(x) v(x). Soit le omine e R éfini pr = {(x, y) R / x, u(x) y v(x)}. Si f: R est une fontion ontinue, lors f est intégrle sur et on [ v(x) f(x, y)xy = f(x, y)y x. u(x) Exemple.. Soit le omine e R ompris entre les roites équtions x =, x = 4 et les eux proles équtions respetives y = (x ) 4, y = (x ) + 4. On onsière sur l fontion f éfinie pr f(x, y) =x y +. Nous llons luler l intégrle I = f(x, y)xy. Posnt u(x) = (x ) 4 et v(x) = (x ) + 4, on voit filement que sur l intervlle [,4, on u(x) v(x) quel que soit x. = {(x, y) R / x 4, u(x) y v(x)}.

4 . Intégrles oules sur es omines non retngles 4 Appliqunt le théorème., on otient: [ 4 x +6x 5 [ 4 f(x, y)xy= f(x, y)y x= (x+)y y x 4x 4 ( On on I = (x+)(v(x) u(x)) v(x) +u(x) ) x, 4 ( I = x x + 55x ) x=[ x4 x x x = 5. y=v(x) y=u(x) x. Exerie.. Cluler l surfe u omine érit ns l exemple... Intégrles sur un omine ompris entre les grphes eux fontions et eux roites horizontles Les résultts e e prgrphe se éuisent e eux u prgrphe prééent en éhngent les rôles e x et y. On onsière un intervlle [, ( < ) fermé orné e R, u et v eux fontions ontinues éfinies sur [, telles que y [,, u(y) v(y). Soit le omine u pln ontenu entre les grphes es fontions u, v et les roites horizontles éqution respetive y = et y =. Formellement, = {(x, y) R / y, u(y) x v(y)}. Théorème.. Soit f: R une fontion ontinue, lors f est intégrle [ v(y) sur et on f(x, y)xy = f(x, y)x y. u(y)

5 4 Intégrle oule.. Intégrles oules sur un omine - s générl Si R n est ps un retngle et ne peut être éfini en utilisnt les grphes e eux fontions et eux roites vertiles (ou horizontles), on éompose si possile, en omines "élémentires" u type e eux éjà trités. On utilise ensuite l propriété suivnte pour fire le lul. Propriété: Soit un omine fermé orné e R. On suppose que est réunion e eux omines fermés et ( = ) et que et ont une intersetion vie, ou ontenue ns leur or (Autrement it, les intérieurs es eux omines ne se renontrent ps). ns e s, si f: Rest une fontion ontinue sur, f est intégrle sur et on f(x, y)xy = f(x, y)xy + f(x, y)xy. Exemple.4. Soit = (x, y) x R / 4 y + y 4 x + (voir le essin i-essous). On onsière f:r une fontion ontinue et on veut luler I = f(x, y)xy. Posons = {(x, y) / y } et = {(x, y) /y }. et sont es omines qui sont éfinis à l ie e roites vertiles ou horizontles et e grphes e fontions omme ns le prgrphe prééent. L intersetion e et est un segment e roite. On = {(x, y) R / x, y 4 x +}, = {(x, y) R / y, x 4 y +}. f(x, y)xy = f(x, y)xy + f(x, y)xy.