M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

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1 M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique dont l évolution au cours du temps en l absence d amortissement et d excitation, est régie par l équation différentielle linéaire : (E OH ) ẍ + ω x = où est la pulsation propre. Rq : On rencontrera cette situation en électricité pour un circuit série contenant une inductance L, une capacité C et une résistance R. En régime libre, c est à dire sans excitation, et en l absence d amortissement (R = ), la charge q aux bornes du condensateur vérifie : q + LC q = Cf Cours E4 L importance du concept d oscillateur harmonique vient de ce qu il décrit le comportement général d un système à un degré de liberté au voisinage d une position d équilibre stable. Donc, le modèle de l oscillateur harmonique est très utile pour un problème unidimensionnel et une force conservative qui ne dépend que d une variable x ( Cf Cours M3) I.3 Description du mouvement de l oscillateur harmonique La solution générale de l équation différentielle est : x(t) = X m cos( t + ϕ), avec : - la pulsation propre du mouvement (en rad.s, - X m l amplitude, - ϕ la phase (à l origine des temps). X m et ϕ sont déterminés à partir des conditions initiales (C.I.) : a) x(t = ) = X m cos ϕ = x b) ẋ(t = ) = X m sinϕ = ẋ = v. Définition : Les oscillations d un oscillateur harmonique sont purement sinusoïdales et la période propre des oscillations est : T = π Lorsque T ne dépend pas de l amplitude des oscillations, on dit qu il y a isochronisme des oscillations. Rq : On peut encore écrire x = X m cos ϕ cos t X m sinϕsin t ou encore x = A cos t + B sin t

2 M4 I. Oscillateur Harmonique 8-9 où A et B sont des constantes à déterminer par les conditions initiales. Cette relation est parfois pratique. En tenant compte des C.I. : A = X m cos ϕ = x et B = X m sinϕ = v x(t) = x cos( t) + v sin( t) Et donc : X m = A + B = x + ( v ) avec cos ϕ du signe de x. et tan ϕ = B A = v x I.4 Énergie(s) de l oscillateur harmonique Définition : ( Cf Cours M3) L Oscillateur Harmonique à un degré de liberté x évolue dans un puits parabolique d énergie potentielle : E p (x) = E p () + kx Ceci revient à dire que l Oscillateur Harmonique est soumis à une force conservative : F(x) = de p dx = kx Cas du ressort vertical (cf. I.) : Grâce à cette expression de F(x), on retrouve, bien entendu, l équation du mouvement de l Oscillateur Harmonique : k mẍ = F(x) ẍ + ωx = avec : = m Où «x»est la variable notant l écart par rapport à la position d équilibre de l oscillateur harmonique, soit X = x x eq avec x eq = x + mg k ; d où : E p = kx = ( k (x x ) mg ) = k k(x x ) mgx +Cste } {{ } } {{ } E p,g E p,elast L énergie potentielle de l oscillateur harmonique est bien la somme de ses différentes formes d énergies potentielles. Ici, il s agit de l énergie potentielle élastique (prise nulle en x = x ) et de l énergie potentielle de pesanteur (prise nulle en x = ), la Cste permettant de choisir l origine de l énergie potentielle totale en x = x eq. Cf. Cours. La solution de l équation différentielle étant de la forme x = X m cos( t + ϕ) et de période T, toutes les grandeurs g décrivant le mouvement sont également périodiques de période T et leurs valeurs moyennes sont définies par : < g > T t t g(t)dt avec t t + T et t quelconque La valeur moyenne des énergies cinétique et potentielle sont donc égale à : < E k > T E k dt et < E p > T E p dt T T http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com

3 8-9 II. Oscillateur Harmonique M4... Cf. Cours... D où : < E k >= 4 mw X m = 4 kx m < E p >= 4 mw X m = 4 kx m Or E m = E k + E p = Cste = kx m < E k >=< E p >= E m avec E m = kx m On décrit cette égalité en disant qu il y a équipartition de l énergie. (Sous-entendu : l énergie mécanique, en moyenne, se répartit autant en énergie cinétique qu en énergie potentielle). I.5 Portrait de phase d un oscillateur harmonique Définition : On appelle portrait de phase d un système à un degré de liberté, dont l évolution est décrite par la variable x(t), un diagramme caractéristiques des évolutions du système représenté dans le plan de phase (x, ẋ) ( Cf Cours M). On a vu au I.4), pour le ressort modélisé par un oscillateur harmonique, que la conservation de l énergie mécanique (Intégrale Première du Mouvement) donne une équation du type : mẋ + kx = E m = Cste soit, encore : x E m k + ẋ E m m = On reconnaît l équation x a + ẋ = d une ellipse de demi-axes : b Em E m ω a = = k mω selon x et b = E m Em = k m selon ẋ. L ensemble des ellipses correspondant aux valeurs de E m possibles constitue le portrait de phase de l oscillateur harmonique NON amorti et libre (non excité). Cf. Cours Cf. Poly : dans le cas du pendule simple, la modélisation de l oscillateur harmonique est valable lorsque le portrait de phase est assimilable à une ellipse. Ce qui est le cas pourles faibles l amplitudes : θ m = α. Il y a alors isochronisme des petites oscillations : T = π g Rq : Dans le cas des amplitudes modérées (θ 9 ), les portraits de phase ne sont plus des ellipses, ( il n y a) plus isochronisme des petites oscillations et on établit la formule de Borda : T T + α 6 qadripcsi@aol.com http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 3

4 M4 II. Oscillateur harmonique Spatial 8-9 II Oscillateur harmonique spatial Définition : On parle d oscillateur harmonique spatial lorsque les équations décrivant l évolution du système peuvent se mettre sous la forme de 3 équations de la forme : mẍ + k x = mÿ + k y = x, y, z étant 3 variables indépendantes (par ex. les coordonnées cartésiennes) m z + k 3 z = De solution générale : x = X m cos (ω t + ϕ ) y = Y m cos (ω t + ϕ ) z = Z m cos (ω 3 t + ϕ 3 ) avec ω i = k i m pour i =,, 3. Conclusion : Le mouvement se caractérise par des oscillations correspondant à 3 oscillateurs harmoniques indépendants. Exemple : Oscillateur Harmonique Spatial Isotrope Soit un point matériel M repéré par le vecteur r = OM par rapport à un point O fixe du référentiel d étude (supposé galiléen). À la date t =, il a la position r = OM et une vitesse v. Il est soumis à la force F = k r. Le P.F.D. s écrit : m d r dt = k r, soit encore : d r dt + ω r = avec : ω k m La solution s écrit : r = A cos t + B sin t, où A et B sont des vecteurs à déterminer en fonction des Conditions Initiales. En utilisant : r (t = ) = r, on déduit : A = r. Avec d r dt (t = ) = A sin t + B cos t, on déduit : d r dt (t = ) = v = B. Finalement : r = v r cos t + sin t, ce qui montre que le mouvement se fait dans le plan passant par O et déterminé par les directions de r et v. Définissons un repère en prenant l axe Ox suivant r et l axe Oy dans le plan de la trajectoire. En projetant l équation de r sur les axes, on a : x = r cos t + v x sin t y = v y sin t On obtient bien oscillateurs indépendants. où v x et v y sont les composantes de v. L équation de la trajectoire s obtient en éliminant le temps t à l aide de la relation sin t + cos t =. sin t = y ( ) v On isole donc : y cos t = x yv vx x on a alors : r + ω r r v v y vy y + x r xy v x r v = y y Cl : La trajectoire est donc une ellipse centrée en O.. Le fait qu il n en apparaît que au lieu des trois attendus vient du choix judicieux du repère Oxy pour exprimer la trajectoire plane 4 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com

5 8-9 II. Oscillateur harmonique Spatial M4 Ce qui se voit bien dans le cas particulier v x = où l équation devient : y x r + y v y ω avec a = r et b = v y. = x a + y b = Qu en est-t-il de l énergie potentielle d un oscillateur harmonique spatial? Un raisonnement similaire au précédent (cf. 4) mais tenant compte, cette fois, des trois équations scalaires du mouvement issues du P.F.D. conduit à : E m = ( m x + k x ) + ( mẏ + k y O r ) ( + mż + ) k 3z Retenons que l énergie mécanique d un oscillateur harmonique spatial est la somme des énergies mécaniques des trois oscillateurs harmoniques associés à ses trois degrés de liberté. v M x On reconnaît l énergie cinétique : E k = mẋ + mẏ + mż et il apparaît l énergie potentielle : E p = k x + k y + k 3z. Cl : Un oscillateur harmonique spatial correspond donc à un point matériel soumis à une force conservative : ( ) ( ) ( ) Ep F Ep ex Ep ey ez = k x e x k y e y k 3 z e z x y,z y x,z z x,y Et pour l oscillateur harmonique spatial isotrope? Ce qui précède est toujours valable bien sûr, puisque l O.H.S.I. est un cas particulier d O.H.S. où la force de rappel est colinéaire au vecteur position : F k r = kx ex ky e y kz e z ce qui signifie : k = k = k 3. Ce qui revient à dire que l énergie potentielle de l oscillateur n est fonction que de la distance r = OM du point matériel M au centre de force O : E p = kom = kr Trajectoire d un Oscillateur Harmonique Spatial Anisotrope : Lorsque k, k et k 3 ne sont pas tous identiques, la trajectoire peut être ouverte ou fermée : qadripcsi@aol.com http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 5

6 M4 III. Oscillateur Harmonique Amorti en régime libre 8-9 III III. Oscillations libres amorties de l Oscillateur Harmonique Exemples Dans les deux exemples du I.), la façon la plus simple de tenir compte de l amortissement est d introduire une force de frottement proportionnelle à la vitesse. On parle dans ce cas de frottement fluide visqueux car cela décrit bien l effet dû au déplacement dans un liquide ou un gaz à des vitesses faibles. Cela permet par ailleurs, de conserver la linéarité des équations puisque la force de frottement visqueux est proportionnelle à la vitesse. a Ressort vertical (Cf I.)) : Dans l exemple du ressort, on ajoute la force opposée à la vitesse hẋ e x, d où l équation : mẍ = hẋ k(x x eq ) soit, en introduisant l écart par rapport à l équilibre X x x eq : Ẍ + h m Ẋ + k m X =. Ce que l on peut encore écrire, en introduisant la pulsation propre du système {ressort-masse} et la durée caractéristique τ : Ẍ + Ẋ τ + ω X = avec ω k m et τ m h. b Pendule simple : On ajoute la force h, v = hl θ e θ, d où en projetant le PF.D. selon e θ dans la base polaire : ml θ = hl θ mg sin θ, soit, pour les petites oscillations (sinθ θ) : θ + h θ m + g l θ =. Ce que l on peut encore écrire, en introduisant la pulsation propre du pendule (système {fil-masse}) et la durée caractéristique τ : θ + θ τ + ω θ = avec ω g l et τ m h. c Rappel d électrocinétique : Nous rencontrerons un tel type d équation, en Électricité ( Cf Cours E4) :, dans le circuit RLC série, l amortissement est dû à la résistance, et la charge q du condensateur vérifie en régime libre : q + R L q + LC q =, qu on peut encore écrire : q + q τ + ω q = q + Q q + ω q = avec : III. τ = Q = R L. Soit : τ = L R et Q = L R =, avec, toujours, = RC LC Définitions Définition : On appelle Oscillateur Harmonique Amorti un système à un degré de liberté dont l évolution est régie par l équation différentielle linéaire du second ordre : ẍ + ẋ τ + ω x = (E OHA ) avec la pulsation propre et τ le temps de relaxation (encore appelée durée caractéristique).. et non pas à son carré, comme c est le cas des forces de frottement fluide pour les grandes vitesses ( Cf Cours M) 6 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com

7 8-9 III. Oscillateur Harmonique Amorti en régime libre M4 On introduit souvent le paramètre sans dimension Q appelé facteur de qualité défini par : Q τ. L équation devient : ẍ + Q ẋ + ω x = d équation caractéristique : r + r τ + ω = () Propriété : Plus Q est grand, plus le terme lié à l amortissement est faible. III.3 Les régimes de l oscillateur harmonique amorti ( Cf. E4.IV) Le discriminant δ de l équation caractéristique () : Trois régimes libres sont possibles : = τ 4ω = ω Q 4ω = 4ω ( 4Q ) Régime Apériodique Régime Critique Régime Pseudo-périodique Q < ( > ) Q = ( = ) Q > ( < ) Il existe deux solutions réelles r et r de () avec r < r. L unique solution de () est : r = d où : Deux solutions imaginaires de () : r / = τ ± j ω 4τ on note α τ = Q < et ω ω 4τ = 4Q la solution est de la forme : la solution est de la forme : la solution est de la forme : x = A e rt + B e r t x = (A + Bt)e t x = e αt A cos(ωt + ϕ) (A,B) R (A,B) R A R + et ϕ [, π[ Pseudo-période : T = π ω = π 4Q r et r sont toutes les deux négatives et leur produit vaut : r r = ω r < et r >. x s amortit donc principalement en e r t = e r t. x s amortit comme e t : cas où l amortissement est le plus rapide (durée π ) T π ( + π 8Q) > = T pseudo-période>période propre amortissement au bout de qques T. Définition : Décrément logarithmique : δ ln x(t) x(t + T) = ln e αt e α(t+t) δ = αt qadripcsi@aol.com http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 7

8 M4 III. Oscillateur Harmonique Amorti en régime libre 8-9 III.4 Énergie de l oscillateur harmonique amorti Reprenons l équation de l oscillateur harmonique amorti : ẍ + ẋ τ + ω x = Multiplions cette équation par mẋ ; il vient : ẍ + ω x = ẋ τ Ce qu on peut encore écrire : mẍẋ + mω ẋx = mẋ τ < L énergie mécanique diminue donc à cause des phénomènes d amortissement. En régime pseudo périodique, les pertes relatives pendant une pseudo-période sont :... calculs : cf. Cours manuscrit... E m = E m(t) E m (t + T) = π E m E m (t) Q cf. Portraits de phase : Il y a retour à la position d équilibre stable (x =, ẋ = ) quel que soit le régime libre. On dit que ce point particulier (x =, ẋ = ) du plan de phase est un «attracteur». 8 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com