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2 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Chapitre 3 Séries umériques 3. Préparatio Défiitio 3..2 O appelle série de terme gééral u et o ote u (qui se lit «série de terme gééral u»), où (u ) N R N, la suite de terme gééral S (u) = k=0 u k. S (u) s appelle la somme de rag de la série. Lorsque la suite (S (u)) coverge vers S, o dit que la série u est covergete, que sa somme est S, ce que l o ote S = + k=0 u k. E ce cas, R (u) = S S (u) s appelle le reste d ordre de la série. Lorsque la suite (S (u)) diverge, o dit que la série u diverge. Le fait pour ue série de coverger ou de diverger, s appelle la ature de la série. Questio 3..8 Étudier à la mai la ature des séries suivates :. q, où q R (série dite géométrique) ;

3 3.. PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 2. (o pourra étudier S 2(u) S (u)) ; 3. (miorer S par quelquechose de simple) ; 4. (majorer S 2 par quelquechose de simple). Questio 3..9 Démotrer les résultats suivats :. O e chage pas la ature d ue série e modifiat u ombre fii de termes ; 2. Si u coverge, alors u + 0 ; 3. Si u coverge (o dit que la série est absolumet covergete), alors u coverge (o pourra s ispirer de la questio (24).) ; 4. L esemble des séries umériques covergetes est u espace vectoriel sur R. 3.. Remarque fodametale! : Toute suite (u ) N R N est de même ature que la série v où : { v 0 = u 0, v = u u. Questio Le démotrer. Questio 3..2 Quel om pourrait-o doer à cette remarque? (Peser à somme comme s etedat itégrale). Questio Traduire les propriétés usuelles de l itégrale, e termes parallèles sur les séries : relatio de Chasles, itégratio par parties, chagemet de variables... Défiitio 3..3 Ue série covergete, o absolumet covergete est dite semi-covergete. Questio Motrer que ( ) + est semi-covergete (à la mai).

4 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.. PRÉPARATION Questio Si u est ue série réelle, o pose u + = max(0, u ) et u = max(0, u ). Motrer que si u est semi-covergete, alors u + et u diverget. Paralléliser. Exercice 3..4 Soit la série défiie das la questio 23, motrer que l [, + ], ϕ S(N), telle que + =0 u ϕ() = l. (O pourra expliquer sur u dessi ce qui se passe, puis essayer de le formaliser ou essayer de costruire ϕ pour obteir l = 2).

5 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2 Réposes aux questios de la préparatio Répose à la questio 8 de la sectio 3.. Si q = la série diverge, car S = q +. Si q, o peut sommer : la série coverge q <. 2. O a : S 2 S = S = q+, q 2 k+ k 2 = 2, doc la série diverge (si elle covergeait, la différece S 2 S devrait tedre vers 0). 3. O peut comparer à la précédete : k= k= +, doc la série diverge. O pourrait aussi motrer par récurrece que S 2 2, ce que l o observe sur ue comparaiso à ue itégrale : S dx = 2 2. x 4. O peut comparer à l itégrale de la foctio x /x 2, k= k 2 + k=2 k k x 2 dx = + x 2 dx = 2 2.

6 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION (Ou ecore motrer par récurrece que S 2 ). La série coverge doc puisque la suite (S ) est croissate, majorée par De ces exercices, o peut tirer quelques résultats. Propositio Soiet u et v deux séries à termes positifs, telles que alors : v coverge u coverge. u diverge v diverge. N, u v, Démostratio O a clairemet N, S (u) S (v) et de plus, la positivité etraîe la croissace de (S (u)). Doc, si la série v coverge, (S (v)) est majorée, doc (S (u)) est aussi majorée, croissate, elle coverge. L autre résultat s obtiet par cotrapositio. 2 Répose à la questio 9 de la sectio 3.. Appelos u l aciee série et v la ouvelle, puis, E l esemble des termes qui ot chagés (il est fii, par hypothèse), preos alors N = max( N, v E). E ce cas, La ature de la série e chage pas. M N, S M (v) = S M (u) + N (v k u k ). k=0 costate

7 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 2. Comme o a :, u = S (u) S (u), si u coverge, S (u) et S (u) tedet tous deux vers la même limite S(u) doc u 0. Attetio! La réciproque est fausse, comme le motre la série / étudiée précédemmet. 3. Soit u ue série telle que u coverge (o dit que la série est absolumet covergete), alors N, { u + = max(u, 0) u, u = max( u, 0) u. Les séries u + et u coverget doc d après la propositio 4 de la sectio 3.2. Or u = u + u, doc S (u) = S (u + ) S (u ), ce qui assure la covergece de la série u. 4. Évidet... Répose à la questio 20 de la sectio 3. O a clairemet : et le résultat e découle. S (v) = u 0 + (u k u k ) = u, k= Répose à la questio 2 de la sectio 3. O appellera la série associée à la suite (u ), la série dérivée de la suite Malgré l extrème simplicité de la démostratio, cette remarque est très importate. Nous allos doc essayer d e extraire le plus d iformatios possibles.

8 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Exemple O a vu, das la correctio de la questio 8 de la sectio 3., que : l(), e comparat la somme avec l itégrale de x /x etre 0 et (Voir plus loi la comparaiso série/itégrale). Essayos d être plus précis das le développemet et étudios : u = k= k l(). Comme la suite (u ) a so terme qui ressemble à ue série, o peut lui appliquer la remarque démotrée ci-dessus, e posat : v = u u = l() + l( ) Le cours sur les foctios itégrables ous icite à éocer : Propositio Soiet u et v deux séries à termes positifs.. (Équivalece) u + v u et v sot de même ature. 2. (Négligeabilité) 3. (Grad «O») u = o(v ) et v coverge u coverge. u = O(v ) et v coverge u coverge. Démostratio Idem que pour la propositio 8 de la sectio

9 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Exemple (suite) D après cette propositio, o e déduit que v est covergete, doc v aussi, ce qui permet d affirmer : γ R, = l() + γ + o() (Formule d Euler) k k= E fait, o peut obteir des iformatios plus précises, comme pour les foctios itégrables (Voir la propositio 9 de la sectio 2.2). Propositio (Itégratio des relatios de comparaiso discrètes) Soiet u et v deux séries à termes positifs (du mois à partir d u certai rag).. (Équivalece) 2. (Négligeabilité) u + v u = o(v ) si elles diverget, si elles coverget, S (u) + S (v), + R (u) + R (v). 0 { si v coverge, R (u) = o (R (v)), si v diverge, S (u) = o (S (v)). 3. (Grad «O») u = O(v ) { si v coverge, R (u) = O (R (v)), si v diverge, S (u) = O (S (v)). Démostratio Idem que pour la propositio 9 de la sectio

10 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Exemple (suite et fi) O avait trouvé v /2 2 = w, e appliquat la propositio à w, il viet que : Puis, par comparaiso avec ue itégrale : et fialemet R (v) = S(v) S (v) = γ u + R (w). k= R (w) + 2, k = l() + γ + ( ) 2 + o. Remarque O pourrait cotiuer ad libitum. Vérifios avec Maple : > asympt(sum(/k,k=..),) ; l() + γ O( 6 ) Ue autre propositio (que ous avos déjà utilisée) est la célèbre et utile comparaiso série/itégrale. Propositio (Comparaiso série/itégrale) Soit f : [0, + [ [0, + [, cotiue par morceaux, décroissate, alors : f est itégrable f() coverge. De plus, lorsque f est pas itégrable, o a : 0 f(t) dt + k=0 f(k).

11 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Démostratio k N, t [k, k + ], o a, d après la décroissace de f, f(k + ) f(t) f(k), e itégrat sur [k, k + ], il viet f(k + ) k+ k f(t) dt f(k), U rectagle d aire majorate U rectagle d aire miorate E sommat les iégalités sur k, il viet : k f(x) f(k) f(0) f(t) dt k=0 0 k=0 f(k) f(). (3.)

12 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Le reste de la démostratio est fort simple. Si f est itégrable, alors ( f(t) dt) est borée, et (S 0 ) aussi, comme les termes positifs, la suite (S ) est covergete. Si au cotraire f est pas itégrable, alors ( f(t) dt) ted vers +, et (S 0 ) aussi. De plus, o a l iégalité 3., qui permet de voir que comme f() reste boré, il est égligeable devat S et S + f(t) dt. Remarque La décroissace de f à partir d u certai rag suffit (de même que sa positivité). 2. Lorsque f est itégrable, o a pas écessairemet : R + f(t) dt FAUX. Exemple Posos : f(x) = e x = ce qui ous doe ue série géométrique covergete. O a R = e k = e (+) + k=0 ( ) x, e e k = e (+) /e = e e. Or + e x dx = e + R.

13 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES E revache, ous avos u ecadremet : R + Cela permet souvet de coclure quad même : (a) Si o a (cas des séries de Riema et de Bertrad) f() alors l iégalité 3.2 permet d obteir : + f(t) dt R + f(). (3.2) f(t) dt au voisiage de +, + R + f(t) dt. (b) Si, au cotraire (cas des séries à très forte décroissace) alors car f() + f(t) dt au voisiage de +, R = f( + ) + R + + f( + ), R f(t) dt f( + ).

14 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION (c) (Cas proche du cas géométrique) Il arrive qu aucue des deux égligeabilités précédetes e soit vérifiée : Exemple Recherchos u équivalet du reste de la série de terme gééral u = l(), pour. 2 Posos f(x) = l(x)/2 x, cette foctio est décroissate à partir d u certai rag, et maifestemet itégrable (égligeable devat /x 2 au voisiage de + ) sur [, + [. Calculos l itégrale : + f(t) dt + + > f :=t->l(t)/(2**t) ; > diff(f(t),t) ; > asympt(%,t,) ; Nous e sommes doc das aucu des cas faciles... f := t l(t) 2 t l(t) l(2) t 2t 2 t l(2) l(t) + O( t ) 2 t f (t) l(2) dt l() 2 l(2).

15 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES (Aalyse) O peut remarquer que les deux termes à comparer (f() et + f(t) dt) sot du même ordre, et doc supposer raisoablemet que : C R +, R C l() 2. E ce cas, ous savos que ous pouvos cotiuer le développemet asymptotique e étudiat : u = R C l() 2, puis la série v = u u. > v :=uapply(-f()-c*l()/2**+c*l(-)/2**(-),) ; v := l() 2 C l() C l( ) ( ) > asympt(v(),,2) ; C l() l() 2 C + O( ) 2 2 Ue valeur particulière apparaît C =. (Sythèse) Posos C =, alors la suite u = R l() 2 est de même ature que la série v. Or : ce qui motre que : v = o(f()), doc R (v) = u = o(r ), l() R Si f est croissate, positive, o peut aussi utiliser ue comparaiso avec ue itégrale (bie sûr, les iégalités e sot pas das le même ses, et la foctio est jamais itégrable, de même que la série diverge). Brièvemet, o obtiet : S f() 0 f(t) dt S f(0),

16 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION et Si f() 0 f(t) dt, o a : S 0 f(t) dt. Si f() 0 f(t) dt, o a : S f(), car S = f() + S et S f( ) + f(t) dt f(t) dt f(). 0 0 Autre cas : se débrouiller comme das l exemple précédet. Exercice Trouver des équivalets de : Exercice du jour k=0 22k k, k=0 3 k k. Exemple Cherchos u équivalet de u =!.. O a alors l(u ) = k= l(k), et ue comparaiso avec l itégrale de la foctio t l(t) doe : Ce qui doe, l(u ) l(). S }{{} l() l(u ) l(t) dt S l(). l()

17 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 2. Étudios maiteat le terme suivat, soit : v = l(k) l(), (la suite) et w = v v (la série dérivée). k= > w :=uapply(l()-*l()+(-)*l(-),) ; w := l() l() + ( ) l( ) > asympt(w(),,2) ; + O( ) La série w (et doc la suite (v )) est à termes égatifs équivalets aux termes d ue série divergete ( ), elle diverge doc et v = S (w). 3. Puis o étudie : x = v +, (la suite) et doc y = x x, la série dérivée. > asympt(w()+-(-),,3) ; 2 + O( ) 2 La série y (et doc la suite (x )) est à termes positifs équivalets aux termes d ue série de Riema divergete, elle diverge doc et x = S (y) 2k l() 2. k=

18 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION 4. Il faut cotiuer, car o e peut toujours pas predre l expoetielle pour trouver u équivalet. Soit : z = x l() 2, (la suite) et doc t = z z la série dérivée. > asympt(w()+-(-)-l()/2+l(-)/2,,4) ; 2 + O( 2 ) 3 La série t (et doc la suite (z )) est à termes égatifs, équivalets aux termes d ue série covergete, elle coverge doc, et otos K sa somme. soit : ce qui e preat l expoetielle doe : Remarque E fait, o a même : R (t) k=+ Doc S (t) = z = K + o(), l(u ) = l() K + o(), u + ( e ) e K x 2 dx 2, et comme R (t) = (lim + z ) z = K z, il viet plus précisémet (et gratuitemet) : ( ) ( u = C + ( )) e 2 + o.

19 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES La plupart du temps, il est impossible de calculer la costate C qui iterviet (comme pour la formule d Euler, où γ est ue «ouvelle costate»). Cepedat, pour!, il est possible de l obteir avec l itégrale de Wallis : Rapidemet, o a :. 0, 0 I + I. 2. Ue itégratio par parties doe : I = π/2 0 (si(t)) dt. I + = π/2 Ce qui doe ue récurrece de 2 e 2. Il viet alors : 0 si(t) (si(t)) dt = (I I + ),. u v p 0, I 2p+ = 2p 2p + I 2p (2p 2) 2 2p = (2p + ) (2p ) 3 I. }{{} Soit, e multipliat le déomiateur (et doc le umérateur aussi) par le umérateur I 2p+ = (2p p!) 2 (2p + )!. = De même : I 2p = 2p 2p I (2p ) 2p 2 = (2p) 2. I }{{} 0 =π/2

20 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Soit : I 2p = (2p)! (2 p p!) 2 π Il reste à remarquer que I 2p+ I 2p, d après la formule de récurrece, et comme I 2p est etre les deux, o a I 2p I 2p+. E remplaçat!par so équivalet trouvé au dessus! /e C, o trouve C, soit :! + ( e ) 2π, (Formule de Stirlig) Corrigé de l exercice 5 de la sectio 3.2. (Lucie) O cherche l équivalet de : S = 2 2k k. O utilise ue comparaiso série/itégrale avec la foctio : f(x) = 2 2x x, qui est croissate. k=0 O a doc : S f() 0 f(t) dt S f(0). > f :=x->2**(2**x)*sqrt(x) ; f := x 2 (2x ) x

21 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES > diff(f(x),x) ; 2 (2x) 2 x l(2) 2 x (2x ) x O «corrige» la dérivée... > diff(f(x)/(2**x*(l(2))**2),x) ; 2 (2x ) x + 2 (2x ) ) 2 x 2x l(2) x 2(2x 2 2 x l(2) O a doc : ( ) f(x) f(x) x + 2 x (l(2)) 2, et ces foctios sot o itégrables, positives, par itégratio des relatios de comparaisos (voir 9 de la sectio 2.2), il viet : [ ] f(x) f() f(t) dt + 2 x (l(2)) 2 2 (l(2)) 2 f(). 0 O applique alors la méthode déjà vue : S = f() + S, et S f( ) + f f f(), [0, ] [0,] ce qui produit : S + f().

22 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION 2. (Xavier C.) O cherche u équivalet de : S = 3. O procède ecore par comparaiso série/itégrale, avec la foctio : f(x) = 3 x x qui est croissate. k=0 Il viet S f() [0,] f S f(0). > f :=x->3**(sqrt(x))*sqrt(x) ; f := x 3 x x > diff(f(x),x) ; x) 2 3( l(3) + 3 ( x) 2 x O peut corriger la dérivée... > diff(2*f(x)*sqrt(x)/(l(3)),x) ; 3 ( x) x) x + 2 3( l(3) Ou faire ue itégratio par parties...

23 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Das les deux cas, o trouve : Doc > itparts(it(f(x),x=..),f(x)) ; 3 ( ) (3/2) 3 ( 2 3( x) l(3) + 2 [0,] f S + 2 f() f(). l(3) 2 l(3) 3. 3 ( x) x ) x dx Exercice Doer u équivalet de : Exercice du jour S = 5 + l(). k= Répose à la questio 22 de la sectio 3. O a les aalogies suivates : Séries à termes positifs u S (u) = Itégrales de foctios positives f où f est supposée cotiue [a,b[ u k F (x) = k= a x f(t) dt.

24 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION ( x u = S (u) S (u) f(x) = F (x) = a ) f(t) dt u v u et v sot de même ature f(t) b g(t) f et g sot itégrables e même temps Si de plus, elles diverget : S (u) S (v) Si, de plus, elles e sot pas itégrables : [a, x]f b g [a,x] Si au cotraire elles coverget : R (u) R (v) Si elles sot itégrables : f b g. De même avec o et O De même avec o et O Attetio! u coverge u 0. Mais, f itégrable sur [a, b[ f(t) 0. t b Itégratio par parties discrète Itégratio par parties : f g = fg fg [x,b[ [x,b[ (Itégratio par parties discrète) 2 Soit la série à étudier de la forme : u S (v), w Nous reviedros sur les autres aalogies, u peu plus tard. 2 Plus coue sous le om de trasformatio d Abel, elle est hors programme, c est-à-dire que vous avez pas le droit de l utiliser directemet comme u résultat du cours. Il faut à chaque fois, d ue part justifier par ue aalogie so utilisatio, d autre part, refaire le calcul das so etier.

25 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES o a alors : S (w) = u k S k (v) = k=0 (S k (u) S k (u)) S k (v), avec la covetio que S (u) = 0. E regroupat suivat les S k (u) il viet : S (w) = S k (u) S k (v) S k+ (v) + S (u) S + (v). k=0 = v k+ k=0 Remarque O peut parfois aussi utiliser le fait que : u = R (u) R (u). Exemple Soit a ue série à termes positifs covergete, o pose :, b = ( + ) ka k. Et o veut étudier la ouvelle série. Comme il est difficile d obteir des iformatios (majoratios, équivalets...) sur b, o va reveir à ue chose élémetaire : le calcul de S (b). o itervertit les sommatios, il viet : S (b) = S (b) = p= p(p + ) ka k k= p=k k=0 p ka k, k= p(p + ),

26 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION or (e décomposat e élémets simples la fractio ratioelle) Doc, fialemet : p=k p(p + ) = p=k ( p ) = p + k +. S (b) = S (a) + ka k. k= Σ Pour faire apparaître des S k (a), il suffit de faire ue itégratio par parties discrète : et Σ = S k (a)(k (k + )) + ( + )S (a), k= S (b) = + k= S k (a) + S(a), d après Césaro. La série b est doc covergete, et sa somme est la même que celle de a. Questio (Pascal) Commet procède-t-o pour itervertir les sommatios? Répose à la questio 25 de la sectio 3.2 Le pricipe gééral est semblable à celui utilisé pour le calcul des itégrales doubles (d ailleurs ue somme double est-elle pas ue itégrale double discrète?). O écrit : u,p sous la forme u,p, I p J puis, o «lit» la somme obteue das le ses que l o veut. (,p) A

27 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Exemple Soit la somme : O a das le pla des (, p) le dessi suivat : N S = u,p à itervertir. =2 p=0 Zoe d évolutio des (, p) p 2 N

28 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Et doc (très poitillés horizotaux) N N S = u,p. p=0 =mi(2,p) Propositio (Césaro) Soit (a ) ue suite réelle telle que : alors et la réciproque est fausse. Démostratio a + l R {, + }, ( ) a k + l, + k=0. Ue preuve epsiloate a été vue e première aée. 2. O peut cepedat utiliser les outils que ous possédos : Si l 0, a l, doc a diverge et S (a) ( + )l. Si l = 0, o applique le raisoemet précédet à a +. Si l = +, alors A > 0, A = o(a ), et a diverge, doc S (A) = ( + )A = o(s (a)). U cotre-exemple simple à la réciproque est la suite a = ( ). Exemple U peu prématurémet, ue série à termes complexes : e iθ, où θ R \ 2πZ, et. }{{} u 2

29 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES D abord, la série est (hélas) pas absolumet covergete, car u /. Pas d autre idée? Regardos ce qui se passe sur l aalogue cotiu. Commet motre-t-o que la limite de x e iθt t dt existe lorsque x +? Tout simplemet à l aide d ue itégratio par parties : x e iθt t dt = [ e iθt ] x iθt a ue limite fiie x + e iθt iθt 2 }{{} /θt 2 doc itégrable dt. E coséquece, il est aturel d utiliser la trasformatio aalogue. S (u) = k= e iθk k = k= S k S k, k où O remarque de plus que : Fialemet S k = S (u) = k p=0 e iθp = eiθ(k+) e iθ, car e iθ. S k k= 2 est borée. e iθ ( S k k ) S 0 + S. k + + v 0 k

30 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Et comme la série v k est covergete, et (S (u)) admet ue limite. v k = S ( ) k k(k + ) = O, k 2 Exercice Soit u ue série à termes positifs, (u ) état décroissate et tedat vers 0, o pose : N, v = (u u + ). Motrer que u et v sot de même ature, et que si elles coverget, elles ot même somme. Corrigé de l exercice 7 de la sectio 3.2 O peut remarquer que la décroissace de (u ) sigifie la positivité de v, puis que u u + ressemble (à u décalage d idice près) à ue dérivée discrète. Regardos l aalogue cotiu, soit f ue foctio décroissate vers 0, défiie sur [0, + [, et g(x) = xf (x), o veut motrer que lorsque f est itégrable g l est et réciproquemet. x 0 x tf (t) dt = [tf(t)] x 0 f(t) dt. Tout va doc dépedre du comportemet du crochet, or o a vu das la remarque 30 de la sectio 2.3, que l itégrabilité de f etraîait (lorsque f était décroissate, la covergece de xf(x) vers 0). De toutes maières, ous pouvos remarquer que tout viet de l itégratio par parties. Faisos doc ue itégratio par parties discrète : Doc : S (v) = k(u k u k+ ) = k=0 0 u k (k (k )) u + u 0 = S (u) u + u 0. k=0

31 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Si u coverge, alors la suite (S (v)) est croissate, majorée par S(u), elle est doc covergete. Automatiquemet, u + doit coverger, vers ue limite l 0, mais si l 0, alors u l/, et la série e saurait coverger, doc l = 0. Remarque O a motré e passat l aalogue discret de la remarque 30 de la sectio 2.3, à savoir : soit u ue série, covergete, à termes décroissats, alors u + 0. Réciproquemet, si la série v coverge, o voit que (S (u)) et (u + ) sot de même ature. Pour pouvoir travailler, ous allos calculer u e foctio des v k. Comme, u u + = v, il viet u u + = Comme o sait que u 0, la série v k /k est covergete de somme u, et doc : k= v k k. Alors, reportos pour estimer u + : u = k= v k k. La fi est immédiate. u + = k=+ v k k + k=+ v k O peut utiliser l aalogie discret/cotiu pour étudier des suites récurretes, et e trouver des équivalets.

32 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Exemple Étudios la suite récurrete défiie par : u + = si(u ), et u 0 Clairemet u 0 (o peut le voir sur le dessi suivat) : ] 0, π [ t O a doc ue relatio du type : u + = u u3 6 + o(u3 ), lorsque +. Mais ous sommes u peu bloqué, o recoaît das u + u ue dérivée discrète, faisos doc ue aalogie avec le cotiu.

33 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES O trouve ue équatio différetielle y = y 3 /6, qui fait apparaître, lorsqu o sépare les variables, la dérivée de la foctio /y 2. Aussi, allos-ous ous itéresser à la dérivée (discrète) de /u 2. Posos : v = DL = ( ) + u2 u 2 + u 2 u o(u2 ) u La série v est doc à termes positifs, équivalets à /3 termes d ue série divergete et : S (v) = u 2 + u Ce qui coduit directemet à : u + 3. Corrigé de l exercice 6 de la sectio 3.2 O fait ue comparaiso série/itégrale à l aide de la foctio : f(x) = 5 x+ x x l(x), qui est croissate. > f :=x->5**(x+sqrt(x))*sqrt(x)*l(x) ; f := x 5 (x+ x) x l(x)

34 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION O a : et > diff(f(x),x) ; 5 (x+ x) ( + ) l(5) x l(x) + 5 (x+ x) l(x) 2 x 2 x x) + 5(x+ x > limit(%/f(x),x=ifiity) ; l(5) S f() [,] f [,] [,] f S f(0), f l(5) f() l(5). Nous sommes das le cas où les termes sot tous du même ordre, il faut alors procéder par aalyse et sythèse. (Aalyse) Supposos que l équivalet cherché soit de la forme : S Cf(), o pourrait alors étudier u = S Cf() (la suite) et v = u u la série dérivée.

35 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES U bo cadidat pour C est 5/4. (Sythèse) Posos : alors v = o(f()) et S (v) = o(s ) = u, doc : > v :=uapply(f()-c*f()+c*f(-),) ; v := 5 (+ ) l() C 5 (+ ) l() + C 5 ( + ) l( ) > asympt(v(),,) ; ( l() ( C) 5 0 C l(5) l() + O( ) 5 5 u = S 5 4 f(), et v = u u, 5 S l(). Répose à la questio 23 de la sectio 3. La série est clairemet pas absolumet covergete. Sa covergece se motre simplemet e étudiat les suites (S 2 ) et (S 2+ ) qui sot adjacetes. O retrouvera cette méthode lors de l étude géérale des séries alterées. La série est bie semi-covergete. )

36 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION Répose à la questio 24 de la sectio 3. Si la série u coverge, et que la série u diverge, alors, o a : { u + = 2 (u + u ), u = 2 ( u u ), doc u + diverge, doc u diverge. Corrigé de l exercice 4 de la sectio 3. O va motrer e gééral (ce est pas tellemet plus dur), pour ue série semi-covergete réelle quelcoque. Soit u cette série. O peut reuméroter les termes de telle sorte que : θ et ψ sot strictemet croissates, (θ, ψ) N N N, u θ() 0, θ umérote les termes 0,, N, u ψ() < 0 ψ umérote les termes < 0, θ(n) ψ(n) = N, o oublie aucu idice. Pour l exemple proposé, θ() = 2 et ψ() = 2 +. D après ce qui précède, les séries u θ() et u ψ() sot divergetes. O va costruire ϕ S(N) par itératio. Posos ϕ(0) = 0, et supposos costruits ϕ(),..., ϕ(p), alors il y a das ce p-uplet, u certai ombre de θ(k), k variat de 0 à p et des ψ(k), k variat de 0 à p 2 = p p, supposos de plus que : p u ϕ(k) < l k=0 L idée de l itératio est : D abord rajouter des termes <0, pour reveir avat l ; puis, rajouter des termes 0, pour redépasser l. p u ϕ(k), où l R. k=0

37 3.2. RÉPONSES AUX QUESTIONS DE LA PRÉPARATION CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Commeços par dimiuer, pour cela il faut rajouter des ψ(k), o peut s itéresser à : {q > p 2, p q u ϕ(k) + u ψ(k) < l}, k=0 k=p 2+ cet esemble est o vide, d après la divergece de 0 u ψ(k) vers (c est ue série à termes < 0 qui diverge...), soit p 2 so plus petit élémet. O a : p u ϕ(k) + k=0 posos ϕ(p + ) = ψ(p 2 + ),..., ϕ(p + p 2 p 2 ) = ψ(p 2). Il faut maiteat ajouter des termes positifs : p 2 k=p 2 + u ψ(k) < l, {q > p, p+p 2 p 2 k=0 u ϕ(k) + q k=p + u θ(k) l}, est lui aussi o vide, et admet u plus petit élémet p, o costruit alors ϕ(p + p 2 p 2 + ) = θ(p + ),..., ϕ(p + p 2 p 2 + p p ) = θ(p ), et l ecadremet des sommes est ecore vérifié. L itératio se poursuit, comme p 2 > p 2 et p > p, ous sommes assurés de costruire ue applicatio ϕ bijective. Remarque Lorsque l = +, dépasse, puis o reviet, o dépasse 2, puis o reviet, etc. Et de maière symétrique pour l =.

38 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS 3.3 Pratique de l étude d ue série à termes positifs Pour étudier les séries à termes positifs, ous avos besoi de séries de référéreces :. (Séries de Riema) coverge α >. α Démostratio Il suffit de comparer à l itégrale de /x α (Séries de Bertrad) α coverge (l()) β ou α >, α = et β >. Démostratio Comme pour les itégrales, voir le deuxième item de l exercice 3 de la sectio (Séries géométriques) q coverge q < Puis, o applique les techiques usuelles :. Majoratio, mioratio, domiatio asymptotique, équivalece Comparaiso avec ue itégrale. Exemple Soit α > 0, étudios la série ( u = arccos ). α

39 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Pour celà, cherchos simplemet u équivalet de u, soit u équivalet de la foctio x arccos( x) au voisiage de 0. O a : (arccos( x)) = ( x) 2 0 +, itégrable sur ]0, ]. 2x E appliquat les méthodes d itégratio des relatios de comparaiso (voir la propositio 9 de la sectio 2.2), il viet x x (arccos( t)) dt dt 0 +, 2t soit 0 arccos( x) 0 + 2x, et u Fialemet : u coverge α > α. Remarque O peut même coclure que : R (u) 2 k=+ 2 k α/2 (α/2 ) } {{ α/2 } par comparaiso avec ue si α > 2, et lorsque la série diverge : S (u) 2 k= 2 k lorsque α 2. α/2 ( α/2)α/2

40 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS 2. Soit α > 0, étudios la série de terme gééral Il est facile de voir que la série diverge, car u =, où 3. (l(l())) α u, et la comparaiso série/itégrale doe immédiatemet (cas où la foctio est décroissate et o itégrable) : S (u) 3 (l(l(t)) α f(t) Pour chercher u équivalet de cette itégrale (lorsque ted vers + ), o peut essayer d appliquer les méthodes vues das l exemple 2 de la sectio 2.2. (Correctio de la dérivée) f α (t) = t l(t)(l(l(t))), α+ mais ( t l(t) l(l(t))f(t)) f(t), cette méthode e permet pas, e ce cas de coclure. (Itégratio par parties) f(t) dt = [tf(t)] 3 D où : 3 S (u) 3 dt. tf (t) dt. f(t) } {{ } f(t) dt 3 (l(l())) α.

41 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3. Preos la suite défiie das l exemple 3 de la sectio 3.2, o a vu alors que 3 u, doc la série u α coverge si, et seulemet si, α > Soit u l uique racie das ]0, [ du polyôme o peut se poser les questios suivates : X + X, (a) Vers quelle valeur ted (u )? (Si limite, il y a...) Notos cette limite l. (b) Étudier la série : u l α. (c) Peut-o avoir ue iformatio plus précise sur le développemet asymptotique de u? Réposes : Remarque Les techiques que ous allos utiliser sot très importates, et ous y reviedros das le cours sur les développemets asymptotiques. (a) Posos f (x) = x + x et étudios ses variatios sur [0, ]. Il viet x 0 u f 0

42 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS Ceci motre doc l existece et l uicité de u, il ous doe aussi ue iformatio fodametale : Pour placer u réel x [0, ] par rapport à u, il suffit de regarder le sige de f (x). (b) Preos doc u x ]0, [ fixé, alors f (x) = }{{} x + }{{} x > 0 pour assez grad Doc, N, N, 0 u x, ce qui motre que u 0. (c) Pour trouver plus d iformatios, o reporte das l expressio défiissat u : Doc u /. (d) Cherchos u terme supplémetaire. O pose doc 3 f (u ) = 0, soit u + u = u ( + u ) =. boré u u = + v, avec v = o ( ). Il reste à reporter das l expressio f (u ) = 0, il viet : ( ) ( ) + v + + v =, soit v = ( + v) = exp( l( + v)). ( ) De cette équatio, o peut déduire que : 3 Il est importat, e mathématiques comme ailleurs de ommer les objets que l o utilise!

43 3.3. PRATIQUE DE L ÉTUDE D UNE SÉRIE À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES v < 0, et doc l( + v ) 2 v < 0, ce qui motre que v = O ( ). E réijectat cette doée das l équatio ( ), il viet que 2 v 0 et v + +. Exercice O pose :. Motrer que : Exercice du jour ϕ(x) = ta(x) tah(x). N,!x ] π 2 + π, π 2 + π [, ϕ(x ) = Doer les trois premiers termes du développemet asymptotique de x.

44 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES 3.4 Iterversio itégrales/séries 3.4. O pourrait se demader s il est possible d itervertir sommatio de série et itégrale, c est-à-dire si : u I =0? + = u. =0 I La répose est toujours NON! Preos e effet les foctios «chapeaux» : f et la série dérivée u = f f. 0 / 2/

45 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Nous allos essayer de trouver des hypothèses suffisates simples pour pouvoir itervertir. Auparavat, les objets utilisés vérifierot : N, u : I C cotiue par morceaux, itégrable sur I, (H) et x I, u (x) coverge, et S(u)(x) = + =0 u (x) est cotiue par morceaux. Remarque O a doc, sous les hypothèses de (H), S (u) s S(u) Ue applicatio immédiate du théorème de covergece mootoe doe : Propositio Soit u ue série vérifiat (H), telle que de plus N, u 0, alors ( ) S(u) est itégrable S (u) est majorée. Si de plus, S(u) est itégrable, alors : I S(u) = Démostratio Il suffit d appliquer le théorème de covergece mootoe à l suite I =0 I u. N (S (u)) N qui est croissate. 2

46 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES Théorème Soit u ue série vérifiat les hypothèses (H), alors : u coverge = S(u) est itégrable. I Et e ce cas : S(u) = u = I I =0 =0 I u. Démostratio. Ue première idée est d étudier ce qui se passe lorsque la série est absolumet covergete. D après la propositio qui précède, e posat v = u, et e supposat que la série v coverge (simplemet), o a ( ) S(v) itégrable S (v) est borée. Or, d après les hypothèses du théorème, I S (v) = k=0 I I u k + =0 I u. Ce qui motre que S(v) est itégrable, et De plus, o a clairemet : Doc, S(u) est itégrable sur I. S(v) = I =0 I S(u) S(v). u.

47 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Efi, N S(u) u = I =0 I }{{} CV absolue }{{} propositio I I =N+ =N+ I =N+ =N+ I u u u u N + 0 reste d ue série CV. 2. Le défaut de la démostratio précédete est qu elle écessite l absolue covergece de otre série, si celle-ci fait défaut, il est possible de passer outre e posat : ( ) v = mi S(u), u k. O a alors clairemet : v : I R est cotiue par morceaux sur I. (v ) est ue suite croissate. v est itégrable sur I, car v k=0 u k qui l est. k=0

48 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES La covergece simple de (v ), s obtiet par : et v S(u) v mi( S(u), s u k ) S(u). + k=0 O applique alors le théorème de covergece mootoe S(u) itégrable Or ici, la coditio de droite est satisfaite car : ( I v ) borée. v La foctio S(u) est doc itégrable et I I u k 0 u k 0 I 0 I u k. costate I S(u) = lim v + I 0 I u. Il reste à motrer que : S(u) = I 0 I u,

49 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES où la série I u coverge absolumet, tout simplemet car I u u. O procède comme tout à l heure : I S(u) u k = u k I 0 I I + itégrale d après ce qui précède u k. Or d après ce qui précède (e commeçat la série au rag + ), u k u k 0. + I + Remarque Attetio à e jamais écrire de série du type u k, dot o e coaît pas la ature. Remarque La techique du miimum pour costruire u objet mootoe est importate das les exercices théoriques (voir l exercice 8 de la semaie de colles ). Exemple Étudios la série : x } α {{ e x }, où. u (x) + I Elle est défiie pour x > 0, pour certaies valeurs de α, elle peut être défiie e x = 0. Démostratio Pour x > 0 c est ue série géométrique de raiso e x ]0, [. Si α >, u (0) = 0, doc elle est ecore défiie pour x = 0. Clairemet, pour x < 0, le terme gééral e ted pas vers 0. 2 I + 2

50 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES La somme est itégrable sur ]0, + [, lorsque α >. Démostratio O peut calculer la somme pour x 0 : S(u)(x) = x α + S(u) est défiie, cotiue, positive sur ]0, + [. De plus, qui est itégrable sur ]0, ], pour α >. Et : e x = xα e x e x. S(u)(x) x 0 + x α 2, S(u)(x) x + x α e x = o ( ), x 2 qui est itégrable α sur [, + [. 2 E appliquat la propositio 9 de la sectio 3.4, comme les u (x) > 0, il viet que + 0 x α e x dx = + 0 S(u)(x) dx. Ue autre maière de voir, est d exploiter plus à fod la ature géométrique de la série : Pour ue série géométrique le reste se maîtrise totalemet. q = q k q + +. q k=0 reste explicite Les u état clairemet itégrables, l itégrabilité de S(u) est celle du reste, or, e appliquat le théorème de covergece mootoe (ou celui de covergece domiée), il viet que : lim x α e (+)x e x dx = 0.

51 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Doc, I S(u) = k= + 2. Étudios maiteat la foctio défiie par : La foctio H est défiie sur tout R. Démostratio La foctio est défiie cotiue sur ]0, + [ R. 0 x α e kx dx + H(t) = I u + doc ϕ(, t) est itégrable sur [, + [. De plus x α e (+)x dx = 0. 0 e } {{ x } 0 si(xt) e x dx. ϕ : (x, t) si(xt) e x Étudios à t fixé, so itégrabilité. O a ϕ(x, t) e x x + e x, ϕ(x, t) xt e x t, ce qui doe l itégrabilité de ϕ(, t) sur ]0, ]. H est bie défiie sur tout R. 2 H est cotiue sur R. Démostratio O va appliquer le théorème de cotiuité sous le sige, issu de la covergece domiée. Pour cela, il e reste qu à trouver ue domiate ψ idépedate de t itégrable de ϕ(, t). Pour cela, ous avos besoi de localiser t : soit A > 0, alors t [ A, A] ϕ(x, t) {, e x si x [, + [ t A, si x ]0, ].

52 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES Ce qui défiie ue domiate ψ(x) coveable, et motre la cotiuité de H sur [ A, A], doc sur R. 2 α R, o a H(α) = = e x si(αx) dx. v (x) Démostratio O peut remarquer que la série v (x) est absolumet covergete, de somme : S( v )(x) = si(αx) e x e x, (toujours la somme géométrique), et cette foctio est clairemet itégrable sur I =]0, + [. D après la propositio 9 de la sectio 3.4, o e déduit que la suite v coverge, I E posat o a o peut doc appliquer le théorème 4 de la sectio 3.4, il viet que : H(α) = I(α) = t ], [, H(t) = I = + 0 k=0 v = = x α e x dx, I v. ( ) k t 2k+ I(2k + 2). (2k + )! 2

53 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Démostratio Supposos cou le développemet de si(x), sous la forme : x R, si(x) = E remplaçat das l expressio de H, il viet H(t) = + 0 k=0 k=0 ( ) k x 2k+ (2k + )! ( ) k (xt) 2k+ (2k + )!(e x ) w k (x) (t est fixé) O va essayer d utiliser le théorème, pour cela, il faut étudier la série de terme gééral I w k, or ]0,+ [ w k = t 2k+ I(2k + 2), (2k + )! il ous faut doc avoir u équivalet (ou ue estimatio) de I(a), lorsque a +. > assume(a>0) : > Ia :=it(x**(a-)/(exp(x)-),x=0..ifiity) ; x (a ) Ia := 0 e x dx Maple e sait pas calculer cette itégrale, mais o a vu à la première questio que l o avait : > assume(,posit) : I a = x a e (+)x dx. =0 dx.

54 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES > it(x**(a-)*exp(-(+)*x),x=0..ifiity) ; Γ(a ) ( + ) a Là, il sait, voyos commet ous pouvos l obteir : > chagevar(u=(+)*x, > It(x**(a-)*exp(-(+)*x),x=0..ifiity),u) ; u ( )(a ) e ( u) + du 0 + > simplify(%) ; ( + ) ( a ) u (a ) e ( u) du 0 C était aussi simple que cela. La somme qui apparaît est coue de Maple : > sum(/**a,=..ifiity) ; ζ(a ) > Ia :=GAMMA(a)*Zeta(a) ; Ia := Γ(a ) ζ(a ) O a fialemet réussi à calculer I a. Regardos so comportemet asymptotique. > asympt(ia,a,) ; 2 π a + O(( a )(3/2) ) ( a )a e a Ça set so Stirlig à plei ez. Ce qui ous itéresse, c est le comportemet de la foctio ζ au voisiage de +.

55 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES > asympt(zeta(a),a,2) ; + O( 2 ) a Cela peut se trouver, e comparat à l itégrale de la foctio : t t a, o écrit les iégalités et o fait tedre a vers +, après avoir, bie sûr, isolé le premier terme (qui doe le ). > assume(a,posit) : > covert(gamma(a),factorial) ; a! a De plus, la foctio Γ vérifie clairemet (itégratio par parties) : E coclusio : x > 0, Γ(x + ) = xγ(x), et, doc N, Γ() = ( )!. I(2k + 2) (2k + )!, et ]0,+ [ w k t 2k+, qui est le terme d ue série covergete pour t ], [. 2 Remarque O peut démotrer avec les outils que ous possédos le développemet du sius : Démostratio La formule de Taylor avec reste itégral, appliquée sur [0, x] doe (x R) : N, si(x) = ( ) k x 2k+ (2k + )! + k=0 x (x t) 2+ si (2+2) (t) dt. 0 (2 + )! R (x)

56 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES Il suffit alors de majorer : R (x) t=xu = 0 x 2+ ( u) 2+ si(xu + ( + )π)x du (2 + )! x 2+2 (2 + )! + ( u) 2+ du 0 = 2+2 0, x R. E coséquece, la série coverge et sa somme est bie si(x). 2 Corrigé de l exercice 8 de la sectio 3.3 (Malo). La foctio ϕ : x ta(x) tah(x), est strictemet croissate sur ] π/2 + π, π/2 + π[, et comme elle ted vers (resp. + ) lorsque x ( π/2 + π) + (resp. x (π/2 + π) ), elle possède u uique poit d aulatio x. 2. De plus, d après l ecadremet de x, o a clairemet : x + π. Esuite, o peut remarquer : et doc x π π/4. Posos ta(x ) +, et x π x = π + π 4 + z, où z = o(), ] π 2, π [, 2

57 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES o peut doc écrire : ( π ) ta 4 + z = tah ( π + π, 4 + z) > series(ta(x+pi/4)-,x,2) ; 2 x + O(x 2 ) > series(/tah(x+*pi+pi/4)-,x,) ; ( e (2 π+/2 π) ) + e (2 π+/2 π) + O(x) > simplify(%) ; 2 e (/2 π (4 +)) + O(x) > res :=op(,%) ; res := 2 e (/2 π (4 +)) > asympt(res,,2) ; Error, (i asympt) uable to compute series

58 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES > limit(res*exp(2**pi),=ifiity) ; ( /2 π) 2 e Fialemet, ( z exp 2π π ) E fait, o peut aller plus loi das l utilisatio des théorèmes d itégratio, e remarquat qu e fait ue série est aussi ue itégrale. E effet, si u est ue série à valeurs das C, o costruit la foctio : { R C, f u : t u, si t [, + [. Questio Quel rapport y a-t-il etre la covergece de la série et l itégrabilité de la foctio f u? Répose à la questio 26 de la sectio 3.4 O a : S (u) = u k = k+ f u (t) dt = k=0 k=0 k 0 + f u (t) dt, ce qui motre que si l itégrale est semi-covergete, la série est covergete. La réciproque est aussi vraie, car, si x [0, + [, et tel que x [, + [, x S x (u) f u (t) dt = u dt u 0. 0

59 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Cepedat, les théorèmes itéressats sur l itégratio demadet la otio d itégrabilité. Posos N, v = u, alors : S (v) = + 0 f u (t) dt, doc, la série v coverge (i.e. la série u coverge absolumet) si, et seulemet si, f u est itégrable sur [0, + [. u coverge f u est itégrable sur [0, + [ Nous allos alors pouvoir utiliser le résultat précédet à la situatio suivate : soit (u,p ) (,p) N 2 ue suite double de complexes, peut-o itervertir les sommatios? C est-à-dire, e supposat que p u,p coverge et soit de somme σ, et e supposat que la série σ coverge, a-t-o automatiquemet la covergece de toutes les séries u,p, de sommes s p et la covergece de la série s p, aisi que la relatio p=0 =0 u,p = =0 p=0 Pour y répodre dès maiteat, ous allos tout simplemet cosidérer l ue de ces sommatios comme ue itégratio. Exercice du jour Exercice Trouver u exemple où l iterversio est pas possible. 2. Soit x <, que doe l iterversio das x x u,p? = à développer e série géométrique?

60 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES O a e fait deux résultats permettat d itervertir ue itégrale et ue série (tous deux issus du théorème de covergece mootoe), à savoir la propositio 9 et le théorème 4 de la sectio 3.4. Ils coduiset à deux résultats sur les séries doubles : Propositio (Utilisatio de la propositio 9) Soit (u,p ) ue suite double de termes positifs, telle que (, p) N 2, les séries p u,p et u,p coverget, alors : ( + ) u,p coverge ( + ) u,p coverge, p p=0 et si elles coverget, alors leurs sommes sot égales. Remarque E gros, lorsque les termes sot positifs, o peut itervertir les sommatios sas chager, i la ature, i, e cas de covergece, la somme. Démostratio Utilisos le résultat d aalogie etre ue série et ue itégrale, e défiissat la foctio : { [0, + [ [0, + [, f : t u,p, si t [p, p + [. f est cotiue par morceaux. f est itégrable, car p u,p =u,p coverge. t [0, + [, la série f (t) coverge, car p N, u,p coverge. La somme de la série f aisi défiie, est clairemet cotiue par morceaux, car t [0, + [, =0 f (t) = =0 =0 u,p, si t [p, p + [.

61 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES L applicatio de la propositio doe =0 f itégrable ( ) f k [0,+ [ k=0 est borée. Le terme de gauche sigifiat, d après l aalogie sus-ommée, que : p =0 u,p coverge. Le terme de droite que la suite : soit que la série ( k=0 p=0 p=0 u k,p ) est borée, u,p coverge. L égalité des sommes (e cas de covergece) découle immédiatemet de la propositio. Théorème (Utilisatio du théorème 4) Soit (u,p ) ue suite double de complexes vérifiat : N, p u,p coverge (covergece absolue). p N, u,p coverge (covergece simple). De plus, ( + ) u,p coverge. p=0 2

62 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES Alors et p =0 u,p coverge, u,p = p=0 =0 =0 p=0 u,p. Démostratio Le premier item sigifie que la foctio f est itégrable, le secod, que la série f coverge simplemet, et le troisième que la série f coverge, le résultat est alors l applicatio du théorème sus-dit. 2 I Remarque Le théorème de covergece domiée permet aussi d obteir u résultat sur l iterversio série/itégrable (ou série/série), mais il écessite de domier des sommes partielles de séries qui sot la plupart du temps iestimables. Exercice O pose s ], + [, Exercice du jour ζ(s) = = s, et N, p est le ième ombre premier (classés par ordre croissat).. Motrer que : ( ) p s k= + ζ(s).

63 3.4. INTERVERSION INTÉGRALES/SÉRIES CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 2. Que pesez-vous de la série p? Corrigé de l exercice 9 de la sectio 3.4. U exemple où l iterversio est pas possible : 2. O a, comme x <, doc p, u,p = u 2,p = p, et u,p = 0, 2. = x x = x x p, p=0 x + x = = p=0 x +p. O a doc u,p = x +p, si x > 0, o peut appliquer les deux résultats, si x 0, seul le théorème est applicable. Das les deux cas, l iterversio doe : = x + x = x (p+) p=0 = = xp+ x p+.

64 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS 3.5 Complémets sur les séries à termes positifs 3.5. Comparaiso logarithmique Propositio Soiet u et v deux séries à termes > 0, telles que : alors. Si v coverge, u coverge. 2. Si u diverge, v diverge. N, u + u v + v, Démostratio O a besoi de l iégalité (et de même du sige des termes), qu à partir d u certai rag N, alors : N, u u. v v. u N+ u N vn v N, ce qui doe, e multipliat termes à termes : u = O(v ), la propositio 5 de la sectio 3.2 permet de coclure. 2 Remarque C est e fait u résultat particulièremet simple. Qu apporte-t-il? Il iterviedra lorsque u est compliqué et lorsque u + /u est plus simple O peut par exemple comparer à ue série géométrique, c est le critère de d Alembert : Si o pred v = q, avec 0 < q <, il viet : u + q, N, u coverge. u

65 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES Si o pred u =, il viet : v + v, N, v diverge. 4 Exemple Soit a > 0. Nature de O calcule a C 2? u u + u + 4a. Doc, Si 4a <, q ]4a, [, N N, N, u +/u q, doc la série coverge. Si 4a >, N N, N, u +/u, la série diverge. Si 4a =, o a u +/u, le critère e permet pas de coclure. Remarque Ici, le rapport ted vers par valeurs iférieures, o e peut coclure, mais si la limite avait été +, la divergece était obteue. Remarque Lorsqu il y a u paramètre (etraîat souvet ue discussio), il reste presque toujours des trous avec cette méthode. E fait, o peut aussi utiliser la formule de Stirlig et u + a π 2e 2 e 2 2 2π (4a) π. 4 O peut oter das ce cas que la suite (v ) est croissate et e saurait tedre vers 0. O dit parfois que la série diverge grossièremet.

66 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS > asympt((2*)!/(!)**2,,2) ; + O(( π )(3/2) ) O obtiet tout de suite : Si 4a <, u = o(/ 2 ), la série coverge. Si 4a >, u >, la série diverge. Si 4a =, u / π, la série diverge. Remarque E fait, il e faut pas oublier que ce critère est u cas simple, d ue remarque simple (o pourrait e faire d autre, e comparat à importe quelle famille de séries, comportat u paramètre, Riema, Bertrad...), il est doc pas particulièremet puissat. O tombe souvet sur ue limite du gere, pour u + /u. 4 Exemple (Éervat) u = /α, u +/u, aucue coclusio. Exemple (Le même, mais u peu plus pardoable) ecore raté! u = k=2 ( 2 e /k), alors u+ u, Exemple (Plus itéressat) Soit la suite récurrete défiie par : u 0 Ue étude (rapide!) de la suite motre que u 0. ] 0, π [, et u + = cos(u ), N. 2

67 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES O peut alors développer le cosius au voisiage de 0 et : Doc ( ) u + = u2 2 + u 2 o(u2 ) + 2. u + u + u 2 + 0, la série coverge! (Et ul besoi d évaluer plus précisémet so terme). Questio Et commet pourrait-o l évaluer plus précisémet? Répose à la questio 27 de la sectio 3.5 Nous avos déjà étudié ue série récurrete de ce type u + = si(u ) (voir l exemple 3 de la sectio 3.2). Le pricipe était de se rameer à ue dérivée discrète, et faire ue aalogie avec le cotiu. Ici, le terme u + u iterviet pas aturellemet, mais, ous savos que les termes de la suite sot > 0, e passat au logarithme, il viet : l(u + ) = 2 l(u ) l(2) + o(u ) (3.3) À peu de choses, o peut cosidérer cette équatio comme liéaire, aussi allos-ous lui appliquer le même traitemet : L équatio homogèe est : v + = 2v, de solutio géérale v = 2 v 0. Cotiuos avec ue méthode de «variatio de la costate», e posat l(u ) = 2 w, il viet, e reportat das (3.3) : w + = w l(2) ( o u ) 2 +, soit x = w + w + l(2). (3.4) 2+

68 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS La série aisi itroduite est doc covergete, otos X sa limite (bie sûr, X 0, car w l est), o a alors S (x) = w = X + o(), soit u = e X2 exp(o(2 )). Cela permettrait de coclure aisémet à la ature de la série u, lorsque X < 0, mais ous voulos plus! L équatio (3.4) doe e fait plus d iformatios : D où où, X < 0, puisque u 0. R (x) X w l(2) w = X + K ( ) 2 + o 2 k=+2 2 k K 2. et u e K e X2, Remarque Cette méthode e permet pas e gééral d évaluer exactemet la costate X, e revache, comme c est la somme d ue série (ou la limite d ue suite), o peut l évaluer umériquemet Résumé sur la recherche d équivalets de suites récurretes Soit la situatio où l o a ue suite récurrete défiie par u + = f(u ), telle que l o sait que u + 0. Cherchos u équivalet de u.. Cas où f(x) = x ax +α + o(x +α ) au voisiage de 0, avec a > 0 et α > 0. (Voir le cas 3) O a u + u au +α,

69 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES ue aalogie avec le cotiu, où cette équatio s écrirait : y = ay +α y ( ), soit y +α = k y α = a, ous icite à étudier la dérivée (discrète) de la suite u α, soit La suite est coue... v = u α + u α. 2. Cas où f(x) = ax + bx +α + o(x +α ), avec 0 < a <, et b 0. O a u + = au + bu +α + o(u +α ), ue variatio de la costate ous icite à poser u = a v, il viet alors L aalogie avec le cotiu, ous icite à étudier la dérivée (discrète) de v α, soit : v + = v + ba α v +α + o(v +α a α ). y ( ) y +α = k y α, w = v+ α v α,

70 CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS Exemple Preos f(x) = si(x)/2, soit (a = /2, α = 2 et b = /2). O a u = v 2, w = v+ 2 v 2 3 4, la série w est doc covergete, la suite /v 2 aussi, et doc u C 2. Remarque O peut cotiuer le développemet asymptotique, e utilisat que la série w a u reste R (w) = ( lim ) + v 2 v = 3 k 9 4. k=+ Ce qui doe u développemet de /v 2, et doc de u... Attetio, pour cotiuer le développemet, il faut impérativemet cotiuer à travailler sur la boe suite (ici /v 2 ) et la boe série (ici w )! Ne jamais reveir à u sauf pour éocer les résultats. 3. Cas où f(x) = ax +α + bx +α+β + o(x +α+β ), où α > 0, β > 0, a 0 et b 0. Ce cas a été illustré par la répose à la questio 27 de la sectio 3.5. Exercice Soit f : I R de classe C p, p >, soit α I, tel que f(α) = α) et 0 < f (α) <, f (α) =... = f (p ) (α) = 0 et f (p) (α) 0. Motrer que :. η > 0, x 0 I ]α η, α + η[, la suite récurrete x + = f(x ) coverge vers α. 2. De plus Corrigé de l exercice 2 de la sectio 3.5 x α + Cf (α).

71 3.5. COMPLÉMENTS SUR LES SÉRIES À TERMES POSITIFS CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES. Comme la foctio est de classe C, la dérivée f (qui est cotiue), vérifie Si o pred x 0 V, o a par ue récurrece immédiate : k <, η > 0, x I ]α η, α + η[, f (x) k <. V N, x V et x α k x 0 α. La suite coverge bie vers α. 2. Quitte à traslater le problème, o peut supposer α = 0, u développemet limité de f au voisiage de 0 doe : f(x) = xf (0) + xp p! f (p) (0) + o(x p ). Nous sommes bie das le cas d applicatio de l étude précédete : x Cf (0). Remarque Comme d habitude avec cette méthode, ous e possédos pas beaucoup d iformatios sur la costate C. O aurait evie de mettre C = x 0 α, mais est-ce exact? Comparaiso avec ue itégrale : le retour Questio Soit f : [a, b[ C, cotiue par morceaux, et soit (b ) ue suite (croissate la plupart du temps) qui ted vers b (b ]a, + ]), la série b + f(t) dt est-elle de même ature que b } {{ } u x a f(t) dt, (x b )?