Correction fiche exercices N 1 : Géométrie dans l espace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Correction fiche exercices N 1 : Géométrie dans l espace"

Transcription

1 Correction fiche exercices N : Géométrie dans l espace M. HARCHY TS -Lycée Agora-05/06 Droites et plans de l espace Correction exercice Les points M et C appartiennent aux deux plans, c est donc la droite (CM) qui est leur intersection. Elle contient le point A ; l affirmation est donc vraie. Le point M n appartient pas au plan (BCD) les droites sont donc non coplanaires et l affirmation est fausse. Pour les même raisons que précedemment, l affirmation est fausse. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l une coupe l autre ; toute parallèle à (DM) coupe (ABC) donc l affirmation est fausse. Correction exercice. C est évidement ( ) qui est l intersection de ces deux plans (a) C est une droite. (b) Le point I. (c) Nommons P le point d intersection de (BC) et ( ) ; ce point est donc sur les plans (SBC) et Q. (PI) est donc la droite cherchée.. On a lors la figure ci-dessous : Correction exercice 3. Les doites (IJ) et (BC) sont coplanaires (le plan (ABC) ) elle sont danc sécantes (car les plans (BCD) et (IJK) ne sont pas parallèles) ; nommons E leur point d intersection. E appartient aux plans (BCD) et (IJK). Par suite, on trouve F point d intersection des droites (IK) et (BD) ; il appartient aussi aux plans (BCD) et (IJK). L intersection cherchée est donc la droite (EF). La droite (JK) contenue dans le plan (IJK) est parallèle à la droite (CD) contenue dans le plan (BCD). D après le théorème de toît, la droite ( ) à l intersction de ces deux plans est parallèle aux droites (JK) et (CD) Géométrie vectorielle. Vecteurs et plans Correction exercice. On remarque d abord que EF = AB et que AE = DH La relation de Chasles donne ML = MA + AE + EL = DA + AE + EF = ( ) DA + AB + AE = DB + DH

2 . Les vecteurs ML, DB et DH sont donc coplanaires. D, DB et DH forment un plan qui est alors parallèle à la droite (ML) (strictement car M (DBH) ). Correction exercice 5. Les trois points S,B et D ne sont pas alignés, ils forment donc un plan qui contient : O car la pyramide SABCD est régulière (la hauteur coupe la base au croisement des diagonales) K car K (SD) (SBD) J car J (SO) (SBD). (a) BK = BS + SK = SB + 3 SD (b) Soit le point M tel que le quadrilatère SBMD soit un parallélogramme ; on a alors SM = SB + SD. Comme les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu, on a bien SO = ( SB + SD ). BJ = BS + SJ = BS + SO = SB + ( SB + SD ) = 3 SB + SD (c) On constate que BJ = 3 BK ; les points B, K et J sont donc bien alignés. 3. (a) Les plans (BJC) et (ABC)sont sécants en (BC). Les plans (BJC) et (SCD) sont sécants en (CK)(en effet K (BJ) (SD) (b) Les plans (BJC) et (SAD) sont sécants en une droite contenant le point K. Comme ces deux plans contiennent les droites (BC) et (AD) qui sont parallèles ; la section est la parallèle à ces droites passant pas K. (c) On a alors la figure ci-dessous Correction exercice 6. La propriété de la droite des milieux dans un triangle justifie le fait que les vecteurs IJ et BD sont colinéaires.. Comme IJ = BD + 0 AC, ces trois vecteurs sont colinéaires. 3. IJ = BD = BC + CD. Les trois vecteurs sont donc bien colinéaires.. IK =IA +AD +DK = BA +AD + DC = AD + BA + AD + DC = AD + BC. On en déduit que ces trois vecteurs sont colinéaires. Correction exercice 7. On obtient la figure :. (a) (b) AC + BD = AI + IC + BI + ID = AB + IC AB + ID = IC + ID IG = ( IA + AG = IA + AC + AC + BD = IC + IC + ID )= 3 IC + ID. Les points I, G, D et C sont donc coplanaires (c) La droite (IC) est dans le plan ABC, sont intersection éventuelle avec DG est le point cherché.

3 Correction exercice 8 On a la figure :. PQ = PA + AB + BQ = 5 AB + AB 3BA 3AC = 8 5 AB 3AC + 0AD PR = PA + AC + CR = 5 AB + AC CA AD = 5 AB 3 AC AD PS = PA + AD + DS = 5 AB + AD + 9 DA = 5 AB + 0AC AD. On constate que : 9 PQ + 3 PS = 5 AB 3 AC 6 5 AB AD = 5 AB 3 AC AD = PR. Les quatre points sont donc bien coplanaires. 3. Dans le repère ( A; AB ; AC ; ) AD, Calculons les coordonnées des quatre points P, Q, R et S puis celles des vecteurs PQ, PR et PS. P ( 5 ;0;0 ). x Q = 3(0 ) Les coordonnées de Q vérifient : y Q 0 = 3( 0). On trouve alors Q( ;-3 ;0). z Q 0 = 3(0 0) x R 0 = 3 5 (0 0) Les coordonnées de R vérifient : y R = 5 ( 3 (0 ). On trouve alors R 0; 3 ; 5 ) z R 0 = 5 3 ( 0) 3. x S 0 = 9 (0 0) Les coordonnées de S vérifient : y S 0 = ( ) 9 (0 0). On trouve alors S 0;0; 5 9. z S = 9 (0 ) Les coordonnées de PQ sont PQ 3 0 soit PQ Les coordonnées de 0 5 PR sont PR soit PR Les coordonnées de PS sont PS soit PS Repérage dans l espace Correction exercice 9 x = 5t. (d) : y = + t z = + 3t. Comme B (d) ; x B = 5t = 9 d où t=-. On trouve alors y B = + ( ) = et z B = + 3 ( ) =. Donc B(9 ;- ;-). 3. Comme C (d) ; z C = + 3t = 7 d où t=. On trouve alors x B = 5 = 6 et y B = + =. Donc C(-6 ; ;7).. Pour que le point D soit sur la droite (d), ses coordonnées doivent vérifier le système suivant : Comme le système est vérifié D (d) 5t = + t = 0 + 3t = t = t = t =

4 Correction exercice 0. (d) la droite passant par le point A ( ; ; ) et de vecteur directeur u. (a) On a EF 0 ( 3) 5 soit EF E appartient-il à (d)? Pour cela, il doit vérifier le système :. (. Comme EF et u sont colinéaires EF = u ), les droites (d) et(ef) sont parallèles. + t = t = 3 + t = 5 t = t = 7 t = 3,5 Comme ce système est impossible, E (d) ; les droites (EF) et (d) sont donc bien strictements parallèles. (b) On a EH 8 ( 3) soit EH 5. EH et u ne sont pas colinéaires ; mais on ne peut pas conclure que les droites (EH) et (d) sont sécantes car elles peuvent être non coplanaires. x = t Une équation de (EH) est (EH) : y = 8 5t avec t R. z = 8 + 3t + t = t t = t Si les droites sont sécantes, leur équations doivent vérifier le système : t = 8 5t t = t t = 8 + 5t t = + t = 8 + 3t + t = 8 3t t = x K = + Ce système est vrai, les droites sont donc sécantes et on trouve : y K = z K = + D où K(3 ; ; ). Correction exercice x = t x = t. On a (d) : y = 3 + t et (d ) : y = + t avec (t,t ) R R z = + t z = 3 + t 6 = t t = 6. M (d) 8 = 3 + t t =. La dernière équivalence étant fausse, on conclut alors que M (d) = + t t = 6 = t M (d t ) 8 = + t = 5 t = 5. La dernière équivalence étant vraie, on conclut alors que M (d ) = 3 + t t = 5 t = t 3. (d) et (d t = t ) sont sécantes si le système suivant adment une solution : 3 + t = + t t + t = 3 + t = 3. Comme le système n admet t = 0 pas de solution, les droites ne sont pas sécantes. Correction exercice. (d) et (d ) ont respectivement pour vecteur directeur v 3 et v. Comme ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles. t = + t t Sont-elles sécantes? + t = t = t t = t + t = + + t = 3t = + t 3t = t t = 0 Comme le système admet comme solution le couple (t;t ) = (0; ), les droites (d) et (d ) sont sécantes. Réponse c. Un vecteur directeur de la droite (AB) est le vecteur 3 AB soit AB qui est aussi le vecteur directeur de (d). ( ) 5 Les deux droites sont donc parallèles strictement ou confondues. = t t = 3 Si A (d) alors = 8 + t t = 3. Donc A (d) et les droites sont confondues. Réponse b = + 5t t = 3 3 Produit scalaire 3. Extension du produit scalaire à l espace Correction exercice 3. (a) AB DH = 0 car les vecteurs sont orthogonaux.

5 . FB DH = FB DH = a car les vecteurs sont colineaires de sens opposés. HF DC = HF DC cos( π ) = a a = a (b) AI AB = AB AB = a car B est le projeté orthogonal de I sur (AB) dans le plan (ABI) Notons M le milieu du segment [AE] ; alors par projection orthogonale, AI AE = AH AE = a ( AI AF = AI + AF IF ) ( ) = 5a + a a = 3 a (c) DK BL = 0 car les vecteurs sont orthogonaux. EB DG = 0 car les vecteurs sont orthogonaux. EC BD = EA BD + AC BD = = 0 EC BG = EF BG + FC BG = = 0 (d) KC KB = ( KC + KB CB ) ( ) = a + 5a a = a ( BJ BL = BJ + BL Jl ) ( ) = 5a + a a = a FG EG = ( GF GE = GF + GE FE ) = ( a + a a ) = a ( DK DI = DK DB + DK BI = DK + DB KB ) ( ) + 0 = a + a 5a = a BK BJ = ( BK BL + BK LJ = BK + BL KL ) ( ) + 0 = 5a + a a = a Or BK BJ = BK BJ cos ( KBJ ) = On trouve alors KBJ 66, 5a 5a cos( KBJ ) = 5a cos( KBJ ) d où cos ( KBJ ) = Dans le triangle BFD rectangle en B, on trouve DF = 3a d où OF = OG = ( OF OG = OF + OG FG ) ( ) = 3a + 3a a = a Correction exercice. Calculons les coordonnées des deux vecteurs AB et AC. x = x AB B x A = y = y AB B y A = d où AB z = z AB B z A = 3 AC + soit AC 0 Le repère étant orthonormé, on peut untiliser les formules adéquates. (a) AB AC = 0 = 5 (b) AB = ( ) + ( ) + ( ) = 6 AC = () + (0) + (5) = 5 On trouve alors cos ( BAC ) = 5 et donc BAC 55, AB 3 0 soit AB 3 et AC 0 soit AC AB AC = 3 0 = 0 Comme les produit scalaire est nul, les vecteurs directeurs des droites sont orthogonaux et par suites les droites aussi. Comme elles ont le point A en commun, les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Correction exercice 5. Par projection orthogonale : BA BC = BA BJ = a a = a AB BD = AB BJ = BA BJ = a a = a. BA DC = BA DB + BA BC = AB BD + BA BC = 0 Les vecteurs sont bien orthogonaux. 3a

6 Correction exercice 6 3. Equation cartésienne d un plan Correction exercice 7. n.. Comme A (Ox) ; alors y A = 0 et z A = 0. De plus A P donc x A + y A + z A = 0. On trouve alors x A = 0 x A = Donc A( ; 0 ; 0) B vérifie y B = 0 soit B(0 ; ; 0). C vérifie z C = 0 soit C(0 ; 0 ; ). 3. x D + y D + z D = = 0. Donc D P x E + y E + z E = = 0. Donc E P. Sa cote vérifie l équation : + z = 0 z = 3. La côte cherchée est 3. Correction exercice 8. Les coordonnés d un vecteur normal impliquent que l équation de P est de la forme x y +3z+d = 0 où d est un réel à déterminer à partir des coordonnées de A : x A y A + 3z A + d = d = 0 d =. P : x y + 3z = 0.. En utilisant lesméthodes de l exercice précédents, on trouve (6 ; 0 ; 0) ; (0 ; - ; 0) et (0 ; 0 ; ). 3. n est aussi un vecteur normal à P ; son équation est donc aussi de la forme x y + 3z + d = 0. Á partir des coordonnées de B, on trouve d = 0 d = 8. D où P : x y + 3z 8 = 0.. P : x y + 3z = 0 Correction exercice 9. Montrons que les vecteurs AB et AC sont non colinéaires. 0 0 AB 3 soit AB et AC 5 soit AC On remarque que x AC = x AB et que y AC y AB ; les vecteurs ne sont donc pas colinéaires, les trois points A, B et C forment bien un plan.. Notons a n b le vecteur cherché avec (a;b;c) un triplet de réels non tous nuls. Comme n est normal au plan (ABC) : c n AB = 0 a + b + c = 0 a = b + c a = b + c n AC = 0 a + 3b 5c = 0 (b + c) + 3b 5c = 0 b = 5 3 c Ce système de deux équations à trois inconnues admet une infinité de solutions. Posons c = k ; on trouve alors b = 3 5 k et a = 5 8 k On trouve alors k n k 3k avec k R (sinon n = 0 ). On peut choisir par exemple n 3. k 3. L équation du plan (ABC) est la forme x 3y + z + d = 0 avec d R. Comme le point A appartient à ce plan d = 0 d = 3 (ABC) : x 3y + z + 3 = 0. (a) AB 0 soit AB et AC 3 0 soit AC 5. En observant les deux dernières coordonnées, on constate que les vecteurs ne sont pas colinéaires. (b) Notons a n b le vecteur cherché avec (a;b;c) un triplet de réels non tous nuls. c Les coefficients de a + b c = 0 n vérifient le système : 5a + b + c = 0 On peut supposer que a 0 et poser a = par exemple. (si on abouti à une impossibilité, on posera a = 0). Le système devient alors : + b c = 0 b = 5 c c = b + c = c c = 0 b = On trouve n 9. Par comodité, choisissont n (c) L équation du plan (ABC) est la forme x + y + 9z + d = 0 avec d R. Comme le point A appartient à ce plan d = 0 d = 7 (ABC) : x + y + 9z 7 = 0. 9.

7 Correction exercice 0. (a) MA = MB ( MI + IA ) ( MI + IB ) = 0 MI + MI IA + IA MI MI IB IB = 0 ) ( MI ( AB + ) AB ( MI ) ( ) AB AB = 0 MI AB + AB MI AB AB = 0 IM AB = 0 (b) Comme une distance est positive, MA = MB MA = MB ce si et seulement si M est équidistant de A et de B. Ce qui équivaut à IM AB = 0 si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux et ce équivaut M appartient aux plan de vecteur normal AB et passant pat I. 0. AB 5 3 soit AB et les coordonnées de I milieu de [AB] sont ( 0+ ; 3+5 ; 3 ) = ( ; ; ) 3 + L équation du plan est de la forme x + y z + d = 0 avec d R Comme il contient I : d = 0 soit d = 0 L équation du plan est x + y z 0 = CD 5 et les coordonnées de J milieu de [CD] sont ( ;,5 ; ). 0 L équation du plan est de la forme x + 5y + d = 0 et d vérifie + 7,5 + d = 0 L équation cherchée est de x + 5y + 5,5 = 0 Correction exercice Soit M un point de l intersection entre les deux plans et soit n un vecteur normal au plan P. Pour montrer que les plans sont orthogonaux, il faut montrer que la droite (d ) passant par M et dirigée par n est incluse dans le plan P. L origine du repère appartient aux deux planset le plan P admet le vecteur n La droite (d ) passant par M et dirigée par n admet donc comme équation : (d ) Soit A un point de (d ). On alors x A + y A z A = t + 6t t = 0. Donc A P d où (d ) P. Les plans P et P sont donc orthogonaux. Correction exercice. On trouve 0 AB soit AB 3 + Un éventuel point d intersection doit vérifier le système 3 d où une équation (AB) : x = t y = t z = 3 + t x + y + z = 0 Les coordonnées du point d intersection sont donc (,5 ;,5 ; -3) x = t y = t z = 3 + t comme vecteur directeur. x = t y = 3t z = t avec t R.. avec t R. t + t t = 0 x = t y = t z = 3 + t t =,5 x =,5 y =,5 z = 3. On peut utiliser la méthode précedente et aboutir à un système sans solution ou constater que : Un vecteur directeur de (d) de coordonnées 3 et un vecteur normal n de P de coordonnées sont orthogonaux. (en effet leur produit saclaire est nul). La droite (d) et le plan P sont donc parallèle. Strictement ou non? (d) passe par le point A de coordonnées ( ; - ; ). Est-il inclus dans P? = 0. Donc A P On en déduit que (d) et P sont strictements parallèles. CD 3 est aussi orthogonal à n. x C + y C z C + = 3 + = 0 donc C P (d ) et P sont donc strictements parallèles. Correction exercice 3. Les plans P et P sont sécants si et seulement si les vecteurs normaux des deux plans ne sont pas colinéaires. C est la cas car avec les notations classiques, on a : n 3 et n où x n = x et n 7 y n y. n Les points appartenants aux deux droites vérifient le système :

8 x 3y + z = 5 x + y + 7z = x = 5 + 3y z x = 5 + 3y z (5 + 3y z) + y + 7z = z = y. Ce système possède une infinité de solutions. En posant y = t où t R, il devient x = t L équation de la droite cherchée est : y = t z = y et n 6. Les vecteurs normaux n z = y x = t nesont pas colinéaires. Pour déterminer l équation paramétrique de la droite d inter- section, on peut poser z = t et si on aboutit à une incompatibilité on devra changer de variable posée. x + y + t + = 0 y = x t x = On doit alors résoudre le système x y + 6t = 0 x + x + t + + 6t = 0 5 t y = 5 + t x = 5 t L équation de la droite cherchée est donc y = 5 + t z = t

Fiche d exercices N 1 : Géométrie dans l espace

Fiche d exercices N 1 : Géométrie dans l espace Fiche d exercices N 1 : Géométrie dans l espace M. HARCHY T S 2 -Lycée Agora-2015/2016 1 Droites et plans de l espace Exercice 1 Soient ABCD un tétraèdre et M un point du segment [AC] distinct de A et

Plus en détail

Chapitre 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

Chapitre 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Chapitre 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en B (voir

Plus en détail

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Ph DEPRESLE 30 juin 015 Table des matières 1 Parallélisme dans l espace Géométrie vectorielle.1 Vecteurs de l espace......................................... Vecteurs colinéaires-caractérisation

Plus en détail

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en

Plus en détail

CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace

CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans de l espace... 3 1.1 Définitions... 3 1.1.a Droites de l espace... 3 1.1.b Droites et plans de l espace... 3 1.1.c Plans

Plus en détail

Chapitre 12 : Produit scalaire de l'espace

Chapitre 12 : Produit scalaire de l'espace Chapitre 2 : Produit scalaire de l'espace (partie 2 : vecteurs orthogonaux, équation d'un plan I Produit scalaire Définition (repère orthonormé de l'espace Un repère (O,I,J,K de l'espace est orthonormé

Plus en détail

Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace

Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace Réactiver les savoirs, p 272 Calculer et utiliser le produit scalaire dans le plan QCM 1 Réponse C Le triangle ABC est rectangle en A donc les vecteurs AB et CA

Plus en détail

Exercice 1. Soit ABCD un tétraèdre régulier (c est-à-dire AB = AD = AC = BD = DC = BC). 1. Montrer que (AB) est orthogonale à (DC).

Exercice 1. Soit ABCD un tétraèdre régulier (c est-à-dire AB = AD = AC = BD = DC = BC). 1. Montrer que (AB) est orthogonale à (DC). Exercices Produit scalaire dans le plan et l espace Terminale S Exercice 1 Soit ABCD un tétraèdre régulier (c est-à-dire AB = AD = AC = BD = DC = BC). 1. Montrer que (AB) est orthogonale à (DC). 2. Soit

Plus en détail

Droites et plans de l espace. Corrigés d exercices Version du 08/05/2014

Droites et plans de l espace. Corrigés d exercices Version du 08/05/2014 Corrigés d exercices Version du 08/05/04 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 6 : N Page 79 : N 64, 65, 67 Page 67 : N 9 Page 80 : N 7, 7, 75 Page 74 : N Page 8 : N

Plus en détail

4. n de coordonnées (3 ; 3 ; 2) est normal au vecteur AC(1 ; 1 ; 0) car :

4. n de coordonnées (3 ; 3 ; 2) est normal au vecteur AC(1 ; 1 ; 0) car : Exercice I : France Juin 006 Correction des exercices de géometrie dans l espace : Recueil. VRAI. Comme les coordonnées ; 4 ; vérifient + 4 = 0, alors le point A appartient au plan d équation x + y z =

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Correction 1 1. En remarquant l égalité suivante : AC AB + BC On obtient les coordonnées du vecteur : AC Ä x + x ; y + y ä. On a : AB» x + y BC» x + y AC» (x + x ) + (y + y ) 3. Le théorème de Pythagore

Plus en détail

TS DS3 Mardi 22 novembre 2016

TS DS3 Mardi 22 novembre 2016 TS DS Mardi novembre 06 Exercice : ( points) On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur. voir annexe On se place dans le repère orthonormal (A ; AB ; AD ; AE ). On considère les points I ; ; 0,

Plus en détail

Droites et plans de l espace. Corrigés d exercices Version du 30/04/2015

Droites et plans de l espace. Corrigés d exercices Version du 30/04/2015 Corrigés d exercices Version du 0/04/05 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 6 : N Page 80 : N 7, 7, 75, 76 Page 67 : N 9 Page 8 : N 80, 86 Page 74 : N Page 84 : N

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE

CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE CHAPITRE II GEOMETRIE DANS L ESPACE COURS 1) Définitions, notations et premières propriétés Les points dans l espace sont notés, comme ceux du plan, par des lettres majuscules : A, B, C,. Les droites dans

Plus en détail

TS DS3 Vendredi 22 novembre Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

TS DS3 Vendredi 22 novembre Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). TS DS Vendredi novembre 0 Exercice : ( points) On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur. voir annexe On se place dans le repère orthonormal (A ; AB ; AD ; AE ). On considère les points I ; ; 0,

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE DROITES, PLNS ET VECTEURS DE L ESPCE I- Droites et plans de l espace 1. Positions relatives de droites et de plans (a) Position relative de deux droites Deux droites distinctes de l espace peuvent être

Plus en détail

EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE

EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE On donne le cube ABCDEFGH d arête a où les sommets sont ordonnés comme dans la figure suivante (pour les exercices 1 et 2) : H G E F D C A B Exercice 1. Calculer, dans chaque

Plus en détail

Première S : Exercices sur les barycentres

Première S : Exercices sur les barycentres Première S : Exercices sur les barycentres Exercice 1 : 1. Montrons que G est le barycentre de (A, ), (B, 1), (C, ) et (D, 1). 1 1 1 1 AG ( BC DC ) AG ( GC GB GC GD ) = GC GB GD GA GB GC GD 0 G est le

Plus en détail

2. Quelles sont les fonctions f de E solutions de l équation aux dérivées partielles

2. Quelles sont les fonctions f de E solutions de l équation aux dérivées partielles PCSI DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n 10 16/06/2003 Durée : 2 heures EXERCICE 1 : Soient A, B, C, D quatre points non coplanaires de E espace affine de dimension trois, formant un tétraèdre ABCD On

Plus en détail

2) Si deux plans sont parallèles, toute droite de l un est parallèle à toute droite

2) Si deux plans sont parallèles, toute droite de l un est parallèle à toute droite TS Chapitre G1 : Première partie Travail de groupes Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux? 1) Si une droite (d) est strictement parallèle à un plan (P) et si (d ) est une droite du

Plus en détail

,=L'ESPACE=AU=BAC=2013fe

,=L'ESPACE=AU=BAC=2013fe 31 Antilles-Guyane Asie juin septembre 2005 2012 3 points (O; i, j, k) est un repère orthonormal de l espace. On note D la droite dont une représentation paramétrique est Soit P le plan défini par l équation

Plus en détail

1 ère S2 Devoir de contrôle n 3

1 ère S2 Devoir de contrôle n 3 1 ère S2 Devoir de contrôle n 3 Mercredi 15 Novembre 2006. I) ABCDEFGH est un cube. AC et BD sont sécantes en I. EG et FH sont sécantes en J. Dans chacun des tableaux ci-dessous cocher les cases où l affirmation

Plus en détail

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Chapitre 17 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Rien n'est plus facile à apprendre que la géométrie pour peu qu'on en ait besoin. Sacha Guitry 1 VECTEURS DE L ESPACE 1.1 Notion de vecteurs Dénition 1 Vecteur). Soient

Plus en détail

I) AXIOMES ET DEFINITIONS

I) AXIOMES ET DEFINITIONS I) AXIOMES ET DEFINITIONS 1) Rappelles 1.1 La représentation plane d un objet dans l espace La représentation dans l espace ne respecte pas la nature des formes, cela varie suivant l angle de vision de

Plus en détail

Position relative de droites et plans

Position relative de droites et plans TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : Un plan est défini par : - Trois points non alignés ou - Deux droites sécantes ou - Deux droites strictement parallèles Si un plan contient deux

Plus en détail

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun.

Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun. Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs I Positions relatives de droites et de plans Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires

Plus en détail

I. Nouvelle Calédonie 2014

I. Nouvelle Calédonie 2014 ANNALES LE PRODUIT SCALAIRE I. Nouvelle Calédonie 2014 Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Terminale S Ch.8 PARTIE Géométrie dans l'espace Ú La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité.

Plus en détail

Chapitre XII : Géométrie dans l espace

Chapitre XII : Géométrie dans l espace I - Positions relatives dans l espace 1) Positions relatives de droites et de plans Chapitre XII : Géométrie dans l espace Définition 1 : On dit que deux droites et de l espace sont coplanaires lorsqu

Plus en détail

Feuille n o 4 : géométrie

Feuille n o 4 : géométrie Licence 1 Mathématiques Algèbre et géométrie 1 Université Rennes 1 2017 2018 1 Produit scalaire Exercice 1 Feuille n o 4 : géométrie Soit (ABCD) un parallélogramme non aplati du plan euclidien P. 1. En

Plus en détail

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan TS Chapitre 07 Produit scalaire dans l Espace Droites et plans de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan 11 Définition Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls Soit A, B et C des

Plus en détail

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = 25 + 49 AB = 5, AC

Plus en détail

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Lycée Louise Michel Gisors) 1S Corrigé QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 u + v u v ). On applique avec u = AB et v = BC. 1 On obtient : AB BC

Plus en détail

Géométrie dans l espace Partie 1

Géométrie dans l espace Partie 1 Géométrie dans l espace Partie 1 Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 1 Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives

Plus en détail

Vecteurs. Géométrie analytique

Vecteurs. Géométrie analytique 6 septembre 014 Vecteurs. Géométrie analytique Addition de deux vecteurs EXERCICE 1 On donne trois vecteurs u, v w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v )+

Plus en détail

Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace

Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace (partie 1 : Sections, vecteurs et droites de l'espace I Positions relatives de droites et de plans, sections Définition Un plan est défini à partir de 3 points non

Plus en détail

Chapitre 1 : Géométrie dans l espace

Chapitre 1 : Géométrie dans l espace Chapitre 1 : Géométrie dans l espace M. HARCHY T S 2 -Lycée Agora-2015/2016 1 Droites et plans de l espace 1.1 Règles d incidence (Rappels) Théorème 1 Par deux points distincts A et B de l espace passe

Plus en détail

TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace

TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace Une droite est définie par deux points distincts Un plan est défini par trois points non alignés droite (AB) le plan

Plus en détail

( x y. ) v y ' alors u v=xx' + yy' +zz ' ) alors u = x2 +y 2 +z 2

( x y. ) v y ' alors u v=xx' + yy' +zz ' ) alors u = x2 +y 2 +z 2 Produit scalaire dans l'espace Prérequis : cours et exercices 1S déposés sur le blog / Vidéo Mathrix : https://youtu.be/d5nnupwzjum I Extension du produit scalaire du plan à l'espace a Définition du produit

Plus en détail

BA + 1 MA MC. O, ı, j, )

BA + 1 MA MC. O, ı, j, ) Exercice 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple QCM). Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant

Plus en détail

EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE EXERCICES : PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Exercice 1 : Dans un repère orthonormé O, ı, j, ) k, on donne le point A 1;2;0). 1. Rappeler la définition de la sphère S) de centre A de rayon 3. 2. Démontrer

Plus en détail

DS TS1 géométrie dans l espace 2016

DS TS1 géométrie dans l espace 2016 DS TS géométrie dans l espace 06 xercice Dans l espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par, F et G les milieux

Plus en détail

Droites et plans dans l'espace : exercices - page 1

Droites et plans dans l'espace : exercices - page 1 Droites et plans dans l'espace : exercices - page Ex : Vrai ou faux Positions relatives Dans l'espace : ) Trois droites concourantes sont coplanaires. 2 ) Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles

Plus en détail

( CD ) et ( ) ( ) ( FGC ) sont. ( AED ) sont : Droites et plans de l espace vecteurs MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet

( CD ) et ( ) ( ) ( FGC ) sont. ( AED ) sont : Droites et plans de l espace vecteurs MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 Exercice Droites et plans de l espace vecteurs Exercice On considère le cube ABCDEFGH On pose u = EF, v = BC et w = HB Pour chaque question, donner toutes les bonnes

Plus en détail

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle

Plus en détail

Nom : GEOMETRIE ANALYTIQUE 2nde

Nom : GEOMETRIE ANALYTIQUE 2nde Exercice 1 Les points A et B sont tels que A(2 ; 1) et B(5 ; 3). 1) Calculer les coordonnées du point M tel que A soit le milieu du segment [BM]. 2) Calculer les coordonnées du point N, symétrique de A

Plus en détail

Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale PARTIE.

Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale PARTIE. Chapitre 10. Géométrie dans l espace - 017-018 - Terminale 07. 1 PRTIE. I. EXERCICES D INTRODUCTION : Exercices sur le chapitre 10, du déclic T S. Enoncé. 1 ) ctivité n 4 page 59. Sur la figure ci-contre

Plus en détail

VECTEURS DANS ESPACE

VECTEURS DANS ESPACE VECTEURS DANS ESPACE LISTE DES COMPETENCES CODE DENOMINATION VE101 VE102 VE10 VE104 VE105 VE106 VE107 VE108 VE109 VE110 VE111 VE112 VE11 VE114 VE115 VE116 VE117 VE118 VE119 VE120 VE121 VE122 VE12 VE124

Plus en détail

Terminale S le Jeudi 27/09/2018. Devoir surveillé 1

Terminale S le Jeudi 27/09/2018. Devoir surveillé 1 Terminale S le Jeudi 7/09/08 Durée : heures Devoir surveillé Les réponses doivent être justifiées avec méthode La démarche est valorisée et pas seulement le résultat A titre indicatif : Les exercices,

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace. Corrigés d exercices Version du 17/05/2014

Produit scalaire dans l espace. Corrigés d exercices Version du 17/05/2014 Corrigés d exercices Version du 17/5/14 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 36 : N Page 31 : N 66, 68, 7 Page 37 : N 7 Page 313 : N 79 Page 38 : N 36 Page 316 : N

Plus en détail

Fascicule MATHEMATIQUES 4 ème v10.17 DROITES DES MILIEUX

Fascicule MATHEMATIQUES 4 ème v10.17 DROITES DES MILIEUX DROITES DES MILIEUX Exercice 1 ABC est un triangle, I milieu de [BC], J celui de [AB]. Démontre que (IJ) et (AC) sont parallèles en énonçant la propriété utilisée. Exercice POT est un triangle. A milieu

Plus en détail

SUJET A INSERER DANS LA COPIE

SUJET A INSERER DANS LA COPIE Nom : DS n Classe : TS Prénom : le 16/10/017 Compétences Acquis En cours d acquisition Prise d initiative Maitrise des calculs Raisonnement par récurrence Détermination de limites Formules de géométrie

Plus en détail

Strictement parallèles. peut être : Strictement parallèle

Strictement parallèles. peut être : Strictement parallèle 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 1 Droites et plans 1. 1 Positions relatives de droites et de plans Proposition 2. 1 1. Deux droites et de l espace peuvent être : Coplanaires et sécantes Coplanaires

Plus en détail

DS n 3 le 20/11/ Déterminer les ensembles de définition puis les variations des fonctions,, et définies ci-dessous :

DS n 3 le 20/11/ Déterminer les ensembles de définition puis les variations des fonctions,, et définies ci-dessous : Nom Prénom DS n le 0//07 Classe T S Avis du professeur Compétences évaluées Démontrer par récurrence. Etudier les variations d'une fonction. Placer des points dans un repère de l'espace. Déterminer des

Plus en détail

Géométrie analytique et vectorielle dans l espace, cours, terminale S. Géométrie vectorielle et analytique dans l espace, cours, terminale S

Géométrie analytique et vectorielle dans l espace, cours, terminale S. Géométrie vectorielle et analytique dans l espace, cours, terminale S Géométrie analytique et vectorielle dans l espace, cours, terminale S Géométrie vectorielle et analytique dans l espace, cours, terminale S F.Gaudon http://mathsfg.net.free.fr 27 mars 2013 1 Extension

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de 2c : Tome VECTEURS ET BASES. c) OB BC OA d) AB DC BC ED

Douala Mathematical Society :  Workbook : Classes de 2c : Tome VECTEURS ET BASES. c) OB BC OA d) AB DC BC ED Douala Mathematical Society : wwwdoualamathsnet: Workbook : Classes de c : Tome 1 015 VECTEURS ET BASES EXERCICE 1 Simplifier les expressions suivantes : a) BC AB CD b) DC AB CE EA c) OB BC OA d) AB DC

Plus en détail

Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace

Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace Chapitre X-B Vecteurs et repère de l espace Les définitions et les calculs des vecteurs du plan peut être étendus à l espace. I. Vecteurs La

Plus en détail

S entrainer plus. Pour tout point M du plan, on note V M = 3 MB 2

S entrainer plus. Pour tout point M du plan, on note V M = 3 MB 2 S entrainer plus Exercice 1 : Amérique du Nord-Juin 200- ACO5 p37 Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le mileu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC. Pour tout

Plus en détail

( ) dans lequel on donne les points suivants :

( ) dans lequel on donne les points suivants : Exercices de géométrie dans l espace Exercice On considère le parallélépipède ci-contre : G F B E D A C O Exprimer en fonction de OA, OB et OC les vecteurs suivants : OF, AC, BF et AG. Exercice H G On

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle BCE rectangle et isocèle en C. Le point

Plus en détail

Droites et plans dans l espace

Droites et plans dans l espace Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Définition Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

Exercices de géométrie dans l espace

Exercices de géométrie dans l espace 1. mérique du Sud novembre 2005 - extraits... G ans cet exercice, une réponse par «VRI» ou «FUX», sans justification, est demandée au candidat en regard d une liste d affirmations. E J On donne le cube

Plus en détail

Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1

Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1 Objectif n 1 : Positions relatives de droites et de plans dans l'espace Quelques différences entre la géométrie plane et la géométrie dans l'espace Dans le

Plus en détail

Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace

Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 1 Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace I. Caractérisation vectorielle (A) Vecteur dans l espace 1. Notion de vecteur dans

Plus en détail

Leçon 24 Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace.

Leçon 24 Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace. Leçon 24 Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace. Pré-requis : - Calcul vectoriel (en particulier la relation de Chasles) Pré-requis : - Définition et propriété d un parallélogramme

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Fascicule MATHEMATIQUES 3 ème v10.17 THÉORÈME DE THALÈS. Exercice 2 Donne la ou les figures présentant deux triangles en position de Thalès.

Fascicule MATHEMATIQUES 3 ème v10.17 THÉORÈME DE THALÈS. Exercice 2 Donne la ou les figures présentant deux triangles en position de Thalès. THÉORÈME DE THALÈS Exercice 1 1. Enonce dans ton cahier le théorème de Thalès. 2. Enonce dans ton cahier la réciproque du théorème de Thalès. Exercice 2 Donne la ou les figures présentant deux triangles

Plus en détail

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan

Ex 8 : Angles orientés de vecteurs. Ex 9 : Vrai ou faux. Ex 10 : Entre deux droites. Ex 11 : Entre une droite et un plan Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace : exercices page Produit scalaire dans l'espace Pour les exercices à 4, on considère le cube ci contre de côté a. M, N, P et I sont les milieux respectifs

Plus en détail

0 ; ;1 3, K 3. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

0 ; ;1 3, K 3. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). EXERCICE 1 Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse

Plus en détail

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm

( ) ( BIG ) est : Produit scalaire et espace La droite ( OA ) avec A( 2; 4; et le plan P. Exercice 1 - qcm ENSM cours pi Marc Bizet 0-04 Exercice - qcm Produit scalaire et espace ABCDEFGH est un cube d arête de longueur et on EF considère les milieux I et J des arêtes [ EH ] et [ ] La longueur BI 5 5 vaut BG

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs u, v et w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v

Plus en détail

T S Cours Géométrie dans l espace 1. 1 Droites et plans de l espace. 1.1 Positions relatives. 1.2 Parallélisme

T S Cours Géométrie dans l espace 1. 1 Droites et plans de l espace. 1.1 Positions relatives. 1.2 Parallélisme T S Cours Géométrie dans l espace 1 Il y a de la géométrie dans l espace au bac tous les ans. (quasiment) 1 Droites et plans de l espace 1.1 Positions relatives F On considère le cube ABCDEFGH et I le

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace 1 Géométrie dans l espace Table des matières 1 Rappels sur les vecteurs 1.1 Définition................................. 1. Propriétés................................. Le produit scalaire dans l espace

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES - spécialité ii Table des matières 1 Les fonctions affines par morceaux 1 1.1 Fonction affine.................................... 1 1.1.1 Définition

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace I- ositions relatives de droites et de plans ) ositions relatives de deu droites I I = = = Remarque: Le fait que deu droites n aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure,

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Produit scalaire dans l espace I) Produit scalaire du plan (rappel) 1) Différentes expressions du produit scalaire Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors : u. v = 1 ( v + u ² u ² v ²) (Forme triangulaire)

Plus en détail

BC = 3 4 AB ( BA 8

BC = 3 4 AB ( BA 8 1 e S - programme 011 mathématiques ch8 cahier élève Page 1 sur 6 Ch8 : Produit scalaire Exercice n A page 5 : Calcul vectoriel Reproduire la figure et compléter le texte On considère le triangle ABC donné

Plus en détail

Géométrie analytique de l espace EM56

Géométrie analytique de l espace EM56 Chapitre Géométrie analytique de l espace Table des matières Rappels Repère dans l espace Vecteurs dans l espace 3 Colinéarité de deux vecteurs 5 Orthogonalité de deux vecteurs 6 Combinaison linéaire de

Plus en détail

Correction de qques exercices du manuel scolaire 4 ème Maths ( Géométrie dans l espace ) D où I,0,0 ; O,, IJ IK et IJ. IK 0d où. OKIJ est un carré.

Correction de qques exercices du manuel scolaire 4 ème Maths ( Géométrie dans l espace ) D où I,0,0 ; O,, IJ IK et IJ. IK 0d où. OKIJ est un carré. Eercice n : AE est perpendiculaire au / La droite plan EFGH d où AE FH AE. FH * EFGH est un carré donc AE FH AE. FH. AG FH AE EG. FH De même AG. HC. AG. FH AG FH AG. HC AG HC / contenus dans le plan FHC

Plus en détail

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE I- Orthogonalité de droites et de plans 1. Droites orthogonales Définition Soit d 1 et d 2 deux droites de l espace. On dit que d 1 et d 2 sont orthogonales

Plus en détail

DROITES ET PLANS DE L ESPACE

DROITES ET PLANS DE L ESPACE Chapitre 15 DROITES ET PLANS DE L ESPACE Les schémas du mathématicien, comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse.

Plus en détail

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure.

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Exercice 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Illustration D. Le Fur 1/?? Exercice 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S

NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S Exercice 1 On donne A(2 ; 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( 2 ; 1 ; 2) et D( 1 ; 2 ; 5). 1) ABCD est-il un parallélogramme? Un rectangle? 2) Calculer les coordonnées de l isobarycentre du quadrilatère ABCD. Figure

Plus en détail

Repérage dans l espace

Repérage dans l espace GÉOMÉTRIE Repérage dans l espace 10 Les savoir-faire du chapitre 230. Choisir une décomposition pertinente pour un problème d alignement ou de coplanarité. 231. Utiliser les coordonnées pour la colinéarité,

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

( ) a pour représentation paramétrique

( ) a pour représentation paramétrique Pondichéry 13 Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie.

Plus en détail

Chapitre G1 : Seconde partie. Travail de groupes. Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux?

Chapitre G1 : Seconde partie. Travail de groupes. Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux? TS Chapitre G : Seconde partie Travail de groupes Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux? Page 45 n 7 Colinéarité - Relation de Chasles Des vecteurs colinéaires à KJ sont : JK, GB,

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

Sujets de bac : Droites et plans dans l espace

Sujets de bac : Droites et plans dans l espace Sujet n : Polynésie septembre 003 Sujets de bac : Droites et plans dans l espace L espace est rapporté à un repère ; ; ; orthonormé. Soit un nombre réel. On donne les points 8; 0; 8, 0; 3; 0 ainsi que

Plus en détail

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé

Plus en détail

Translations et vecteurs

Translations et vecteurs Translations et vecteurs A) Translation. 1. Définition. Soient trois points A, B et M. L image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M tel que ABM M, dans cet ordre, soit un

Plus en détail

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Cours Terminale S 1. Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété 1 : Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans

Plus en détail

Exercices proposés : semaine n o 7

Exercices proposés : semaine n o 7 Prépa ATS Exercices proposés : semaine n o 7 I. Géométrie dans le plan 1 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que : 1. BA 2 = BH BC 2. CA 2 = CH CB 3. AH 2

Plus en détail

2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace

2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace 2 nde FICHE n 11 Les grands principes de géométrie dans l espace I. Représenter l espace Dans cette leçon, sauf précisions contraires, nous allons plus particulièrement étudier l octaèdre IKLMNJ cidessous

Plus en détail